【备战高考】2013届高考理科数学总复习之小题训练3 ]

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2013年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

2013年(全国卷II)(含答案)高考理科数学2013年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()．A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i3．等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()．A．13B．13-C．19D．19-4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝()．A．1111+2310+++B．1111+2!3!10!+++C．1111+2311+++D．1111+2!3!11!+++7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c9．已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()．A．14B．12C．1 D．210．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()．A．(0,1) B．211,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭C．211,23⎛⎤-⎥⎝⎦D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．20．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1 x ya b+(a＞b＞0)右焦点的直线30x y+=交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F 分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)2221a b cb c a++≥.2013年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：解不等式(x －1)2＜4，得－1＜x ＜3，即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{0,1,2}，故选A.2．答案：A 解析：2i 2i 1i =1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2-+＝－1＋i. 3．答案：C解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝31(1)1a q q--＝a 1·q ＋10a 1， ∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19.4．答案：D解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β. 又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.5．答案：D解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r rx (0≤r ≤5，r ∈Z)，则含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.6．答案：B解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；当k ＝2时，12T =，1=1+2S ；当k ＝3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k ＝4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…；当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，所以B 正确．7．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为，故选A.8．答案：D解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c ＜b ＜a .故选D.9．答案：B 解析：由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a (x －3)过点(1，－1)，代入得12a =，所以12a =.10．答案：C解析：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．11．答案：C解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p .又点F 的坐标为,02p⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(y －y 0)y ＝0. 将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即202y －4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. 12．答案：B解析：情形1：直线y = a x +b 与AC 、BC 相交时，如图所示，设MC= m, NC = n,由条件知S△MNC = 12⇒mn = 1显然0 < n ≤ 2 ⇒m = 1n≥22又知0 <m ≤ 2 , m≠n所以22≤m ≤ 2 且m≠1D到AC、BC的距离为t, 则tm+ tn=DNMN+DMMN= 1⇒t =mnm+n⇒1t= m +1mf (m) = m + 1m(22≤m ≤ 2 且m≠1)的值域为(2,322] ⇒2 < 1t≤322⇒23≤t <12因为b =1-CD =1- 2 t ，所以1-22< b≤13情形2：直线y = a x +b与AB、BC相交时，如图所示，易求得x M= -ba,y N=a+ba+1,由条件知(1+ba)a+ba+1= 1⇒b21-2b= aM在线段OA上⇒0< ba<1 ⇒0 < a < bt txym nDCoNMA BxyCo BA MNN 在线段BC 上⇒0< a +ba +1 <1 ⇒b < 1解不等式：0 < b 21-2b < b 得 13 < b < 12综上：1-22 < b < 12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=.14．答案：8解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得n ＝8.15．答案：10 解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210cos 19θ=. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝31010-，sin θ＝1010，sin θ＋cos θ＝105-. 16．答案：－49解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，①S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =，所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以π4B =. (2)△ABC 的面积12sin 24S ac B ac ==. 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－π2cos 4ac . 又a 2＋c 2≥2ac ，故422ac ≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2+1.18．解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB 2AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则10,0,CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝3||||=·n m n m sin 〈n ，m 6即二面角D －A 1C －E 619．解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000，当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150. 由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以ET ＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y yx x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为30)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为22=163x y +.(2)由2230,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解得4333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,3.x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 因此|AB |46.由题意可设直线CD 的方程为y ＝533x n n ⎛+<< ⎝，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,42229n n -±(-).因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝24342|93x x n -=-.由已知，四边形ACBD 的面积2186||||929S CD AB n =⋅=-当n ＝0时，S 86. 所以四边形ACBD 86. 21．解：(1)f ′(x )＝1e x x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1e 1x x -+. 函数f ′(x )＝1e 1x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝1e 2x x -+在(－2，＋∞)单调递增．又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得0e x ＝012x +，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝012x +＋x 0＝20012x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FA EA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离2222cos d x y α=+=+＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．24．解：（Ⅰ）由a 2 + b 2 ≥2ab ，b 2 + c 2 ≥2bc ，a 2 + c 2 ≥2ac 得a 2 +b 2 +c 2≥ab + bc + ac ⇒ (a + b + c )2 = (a 2 + b 2 + c 2) + 2(ab + bc + ac ) ≥3(ab + bc + ac ) ⇒ 1≥3(ab + bc + ac )⇒ab + bc + ac ≤ 13. （Ⅱ）证法一：因为 a 2b + b ≥2a ，b 2c + c ≥2b ，c 2a + a ≥2c所以 ( a 2b + b 2c + c 2a )+(a + b + c ) ≥ 2(a + b + c )⇒ a 2b + b 2c + c 2a + 1 ≥ 2⇒ a 2b + b 2c + c 2a ≥1证法二：由柯西不等式得：( a 2b+ b 2c + c 2a )( b + c + a )≥ (a + b + c )2 ⇒ a 2b + b 2c + c 2a ≥1。

高考复习资料——2013天津高考理科数学真题

高考复习资料高考复习资料2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+ ·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3,则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A) 10 (B) 10 (C) 310 (D)5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 (A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(B) 13,0⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ (C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭(D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP |= .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b+取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分40分.1.D2.A3.B4.C5.C6.C7.B8.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分,满分30分.（9）12i + （10）15 （11）（12）12 （13）83（14）2-三、解答题（15）本小题主要考察两角和与差的正弦公式/二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期/单调性等基础知识,考察基本运算能力.满分13分（I ）解：(x)f cos2x 4π=⋅-sin+3sin 2x cos 2x 4π⋅-=2sin 2x 2cos2x -2x 4π⎛⎫-⎪⎝⎭所以(x)f 的最小正周期2T==2ππ （Ⅱ）解：因为(x)f 在区间308π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数,在区间382ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数,又f ( 0)=-2,f ( 38π)=,f ( 2π)=2,故函数()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为,最小值为-2.（16）本小题主要考察古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识. 考察运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分13分（I ）解：设“去除的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则13222525476P(A)=7C C C C C +=所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67. （Ⅱ）解：随机变量X 的所有可能取值为1, 2, 3, 433471P(X=1)=,35C C = 34474P(X=2)=,35C C =35472P(X=3)=,7C C = 36474P(X=4)=,7C C =X 12 3 4 P1354352747随机变量X 的数学期望EX=14241712343535775⨯+⨯+⨯+⨯= 17.本小题主要考察空间两条直线的位置关系,二面角、直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,满分13分（方法一）如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系, 依题意得A （0,0,0）,B （0,0,2）,C （1,0,1）,11,2,2,2,1,1,0B （0）,C （1）,E （0）（I ）证明：易得11(1,0,1),(1,1,1)B C CE =-=--u u u u r u u u r于是11110,C CE B C CE B =⊥u u u u r u u u r g 所以.（II ）解：1B C u u u u r=(1,2,1)--.设平面1B CE 的法向量(,,)m x y z =,则10,0,m B C m CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u ur g即20,0,x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x,得y+2z=0,不防令z=1,可得一个法向量为m=（-3,-2,1）.由（I ）,11B C CE ⊥,又111CC B C ⊥,可得111B C CEC ⊥平面,故11=(101)B C u u u u r，，-为平面1CEC 的一个法向量.于是111111cos ,m B C m B C m B C =u u u u ru u u u r g u u u u r g 77142==-⨯,从而1121sin ,7m B C =u u u u r . 所以二面角11B CE C --的正弦值为217.（Ⅲ）解：(0,1,0)AE =u u u r,AE uuu r =(1,1,1). 设1(,,)EM EC λλλλ==u u u u r u u u u r ,0≤λ≤1,有(,1,)AM AE EM λλλ=+=+u u u u r u u u r u u u u r . 可取(0,0,2)AB =u u u r为平面11ADD A 的一个法向量.设θ为直线AM 与平面11ADD A 所成的角,则sin cos ,AM AB θ=u u u u r u u u r=AM AB AM AB u u u u r u u u r g u u u u r u u u r g ()222232112λλλλλ=+++++⨯. 2321λλ++26,解得13λ=,所以2AM =（方法二）（I ）证明：因为侧棱1CC ⊥底面1111A B C D ,11B C ⊂平面1111A B C D ,所以1CC ⊥11B C . 经计算可得15,B E =11B C 12,3EC ==从而2221111B E BC EC =+,所以在11B EC ∆中,11B C 1C E ⊥,又111,CC C E CC E ⊂平面， 111CC C E C =I ,所以11B C ⊥平面1CC E ,又CE ⊂平面 1CC E ,故11B C ⊥CE .（II ）解：过1B 作1B G CE ⊥于点G ,连接1C G . 由（I ）,11B C CE ⊥ ,故CE ⊥平面11B C G ,1CE C G ⊥,所以11B GC ∠为二面角11B CE C --的平面角, 1CC E ∆ 中,由13CE C E ==,12CC = ,可得1263C G =,在11t R B C G ∆中, 1423B G =,所以1121sin 7B GC ∠=,即二面角11B CE C --的正弦值为217. (III) 解：连接1D E ,过点M 作1MH ED ⊥于点H ,可得MH ⊥平面11ADD A ,连接AH ,AM ,则MAH ∠为直线AM 与平面11ADD A 所成的角.设AM x =,从而在Rt AHM ∆中,有234,66MH x AH x ==.在11Rt C D E ∆中,1111,2C D ED ==得123EH MH x ==. 在AEH ∆中,135AEH ∠=o ,1AE =,由2222cos135AH AE EH AE EH =+-o g ,得2217111893x x x =++,整理得2560x --=,解得x =. 所以线段AM的长为（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力. 满分13分.（I ）解：设(,0)F c -,由3c a =知a =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-,代人椭圆方程有2222()1c y a b -+=,解得3y =±,于是33=,解得b =,又222a cb -=,从而1a c ==,所以椭圆的方程为22132x y +=.（II ）解：设点1122(,),(,)C x y D x y ,由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+,由方程组22(1),132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y,整理得2222(23)6360k x k x k +++-=.求解可得2122623k x x k +=-+,21223623k x x k-=+.因为(A B ,所以 AC DB AD CB +u u u r u u u r u u u r u u u r gg 1122(),)x y x y =+-22()x y +g 11,)x y -=1212622x x y y --=21212622(1)(1)x x k x x --++ =22212126(22)2()2k x x k x x k -+-+-=22212623k k+++. 由已知得22212623k k+++=8,解得k =（19）本小题主要考查等差数列的概念,等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式,数列的基本性质等基础知识. 考查分类讨论的思想,考查运算能力、分析问题和解决问题的能力. 满分14分.（I ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ,因为335544,,S a S a S a +++成等差数列 ,所以55334455S a S a S a S a +--=+--,即 534a a =,于是25314a q a ==.又{}n a 不是递减数列且132a =,所以12q =-. 故等比数列{}n a 的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭g .（II ）解：由（I ）得11,121121,2nn n nn S n ⎧+⎪⎪⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎪-⎪⎩为奇数，为偶数.当n 为奇数时,n S 随n 的增大而减小,所以1＜n S 13=2S ≤,故0＜1n nS S -≤111325236S S -=-=.当n 为偶数时,n S 随n 的增大而增大,所以234S =≤n S ＜1,故0＞1n nS S -≥2213474312S S -=-=-.综上,对于*,n N ∈总有712-≤1n n S S -≤56.所以数列{}n T 最大项的值为56,最小项的值为712-.（20）本小题主要考查函数的概念、函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识. 考查函数思想、化归思想. 考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力. 满分14分.（I ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.'()2ln (2ln 1)f x x x x x x =+=+,令'()f x =0,得x =. 当x 变化时,'所以函数()f x 的单调递减区间是⎛ ⎝,单调递增区间是⎫+∞⎪⎭.（II ）证明：0＜x ≤1时,()f x ≤0.设t ＞0,令()()h x f x t =-,[)1,x ∈+∞.由（I ）知,()h x 在区间(1,)+∞内单调递增.(1)h t =-＜0,()'22()ln 1t t t h e e e t t e =-=-＞0.故存在唯一的(1,)s ∈+∞,使得()t f s =成立.（III ）证明：因为()s g t =,由（II ）知,()t f s =,s ＞1,从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln lnln 2ln g t s s s ut f s s s s s u u====++, 其中ln u s =.要使25＜ln ()ln g t t ＜12成立,只需0＜ln u ＜2u.当t ＞2e 时,若()s g t e =≤,则由()f s 的单调性,有2()()t f s f e e =≤=,矛盾,所以s ＞e ,即u ＞1,从而ln u ＞0成立.另一方面,令'11()ln ,1,()22u F u u u F u u =-=-f ,令'()F u =0,得u =2,当1＜u ＜2时,'()F u ＞0,当u ＞2时,'()F u ＜0故u ＞1,()F u ≤(2)F ＜0. 因此ln u ＜2u成立.综上,当t ＞2e 时,有25＜ln ()ln g t t ＜12.。

全国各地2013届高考数学押题精选试题分类汇编13 算法初步理

2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编13：算法初步一、选择题1 ．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）执行右面的框图,若输出结果为3,则可输入的实数x 值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】本程序为分段函数2212log 2x x y x x ⎧-≤=⎨>⎩，，,当2x ≤时,由213x -=得,24x =,所以2x =±.当2x >时,由2log 3x =,得8x =.所以满足条件的x 有3个,选 C ．2 ．（2013一个程序框图,则判断框内应填入的条件是（）A ．1005i ≤B ．1005i >C ．1006i ≤D ．1006i >【答案】A3 ．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）执行如图所示的程序框图.则输出的所有点(,)x y（）A ．都在函数1y x =+的图象上B ．都在函数2y x =的图象上C ．都在函数2x y =的图象上D ．都在函数12x y -=的图象上【答案】解析:C 4 ．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是124,则判断框①处应填入的条件是（） A ．2n > B ．3n > C ．4n > D ．5n >【答案】C 【解析】由框图的顺序,()()0,1,0111,s n s s n n ===+=+⨯=依次循环()1226s =+⨯=,3n =,注意此刻33>仍然为否, () 633274s n =⨯+==，注意到44>仍然为否,此刻输出()2744124,s =+⨯= 5.n =5 ．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）图1是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1,A 2,,A 10(如A 2表示身高(单位:cm)在[150,155)内的学生人数)图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A ．i<6B ．i<7C ．i<8D ．i<9【答案】C 160~180是4A 到7A ,参与循环的是7i =,循环结束是8i = 6 ．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】由题意,得:n=5,k=0⇒n=16,k=1, ⇒n=8,k=2, ⇒n=4,k=3, ⇒n=2,k=4,⇒n=1,k=5⇒终止,当2n =时,执行最后一次循环; 当1n =时,循环终止,这是关键.输出5k =.7 ．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】第一次35116,1n k =⨯+==;第二次168,22n k ===;第三次84,32n k ===;第四次42,42n k ===;第五次21,52n k ===此时满足条件输出5k =,选 B ．8 ．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）如图给出的是计算1111 (3529)++++的值的一个程序框图,则图中执行框内①处和判断框中的②处应填的语句是（）A ．2,15n n i =+=B ．2,15n n i =+>C ．1,15n n i =+=D ．1,15n n i =+>【答案】C 二、填空题9 ．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）执行如图2所示的程序框图所表示的程序,则所得的结果为_____.【答案】41-10．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）执行如右图的程序框图,那么输出S 的值是________.图2【答案】1-【解析】由框图知:12,1;1,2;,3;2S k S k S k===-===2,4;1,5,S k S k===-=不满足条件,输出S的值是1-.11阅读右侧程序框图,输出的结果i的值为_______.12．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）执行如图所示的程序框图,输出的s值为________.【答案】-213．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）执行右面的框图,若输出结果为21,则输入的实数x 的值是____.【答案】答案:2【解析】若执行1y x =-,则(]3,12x =∉-∞,所以不成立,若执行2log y x =,则()1,x =+∞,成立14．（2013届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）已知b 为如图所示的程序框图输出的结果,则二项式6的展开式中的常数项是___________.(用数字作答)【答案】540- 【解析】:第1次循环:3,2b a ==;第2次循环:5,3b a ==;第3次循环:7,4b a ==;第4次循环:9,54b a ==>,不满足条件“4a ≤”,故跳出循环,输出9b =.∴66=,其通项为616(r r rr T C -+=⋅⋅636(1)3r r r r C x --=-(0,1,2,3,4,5,6r =),令30r -=,得3r =,故常数项为33463540T C =-=-.15．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）如果执行右面的程序框图,则输出的结果是【答案】5-【解析】当1i =时,4S =;当2i =时,1S =-;当3i =时,5S =-;当4i =时,4S =-;当5i = 时,1S =;当6i =时,5S =;当7i =时,4S =;当8i =时,1S =-所以取值具有周期性,周期为6,当21i =时的S 取值和3i =时的S 相同,所以输出5S =-. 16．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）如图在下面的框图输出的S 是363,则条件①可以填______.(答案不唯一)【答案】5n ≤(或6n <)【解析】由3n S S =+知,程序的作用是求和,12345033333363S =+++++=,循环5次,所以条件可以填5n ≤(或6n <).是。

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【优化方案】2013年高考数学总复习第二章第13课时知能演练+轻松闯关文 1．函数f(x)＝xe－x，x[0,4]的最大值是( ) A．0 B. C. D. 解析：选B.f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，f(1)为最大值． 2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( ) A．0≤a<1 B．00；当x时， F′0，即对任意的k≥2，有ak>. 又因为a1＝1＝，所以a1＋a2＋…＋an≥＋＋…＋. 则Sn≥h＋h＋…＋h，故原不等式成立．一、选择题 1．函数y＝( ) A．有最大值2，无最小值 B．无最大值，有最小值－2 C．有最大值2，有最小值－2 D．无最值解析：选C.y′＝＝. 令y′＝0，得x＝1或－1，f(－1)＝＝－2，f(1)＝2.故选C. 2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 解析：选B.设剪去的小正方形边长为x cm，则V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，V′(x)＝4(24－x)2＋8x·(24－x)·(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.故选B. 3．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为( ) A．[，e] B．(，e) C．[1，e] D．(1，e) 解析：选A.f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0， f(x)是[0，]上的增函数． f(x)的最大值为f()＝e， f(x)的最小值为f(0)＝. 4．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( ) A．a≥0 B．a0或a<－4 解析：选C.f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调， f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋2x)，0<x<1，可知－4<g(x)1，得0<x<1. f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln1＝. 答案： 7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的函数关系为P＝24200－x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．则该厂每月生产________吨产品才能使利润达到最大．最大利润是________万元．(利润＝收入－成本) 解析：每月生产x吨时的利润为 f(x)＝(24200－x2)x－(50000＋200x) ＝－x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个极值点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时的利润达到最大，最大利润为315万元．答案：200　315 8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝，由题设得[－2，－1]，故m[－4，－2]．答案：[－4，－2] 三、解答题 9．(2011·高考北京卷)已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1. f(x)与f′(x)的变化情况如下： x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 10．设f(x)＝x3－x2－2x＋5. (1)求函数f(x)的单调递增、递减区间； (2)当x[－1,2]时，f(x)0，f(x)为增函数；当x时，f′(x)0，f(x)为增函数．所以f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，f(x)的递减区间为(－，1)． (2)当x[－1,2]时，f(x)7. 11．(探究选做)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本) (2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(xN*，且1≤x≤20)； MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(xN*，且1≤x≤19)． (2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)， 1≤x≤20，xN*，P′(x)＝0时，x＝12，当1≤x0，当12<x≤20，且xN*时，P′(x)<0， x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． (3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305. 所以当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且xN*. MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，在减少．高考学习网：高考学习网：。

(浙江专用)2013届高考数学冲刺必备第一部分专题一第三讲专题专项训练

（某某专用）2013届高考数学冲刺必备第一部分专题一第三讲专题专项训练限时：50分钟满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．(2012·某某三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．9B ．9或16C ．7D ．9或7解析：选D 依题意得，当m >8时，有m －8＝1，解得m ＝9；当0<m <8时，有8－m ＝1，解得m ＝7.因此，m ＝7或m ＝9.2．(2012·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x <0，若f a ＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 依题意得，f (a )＝2－f (－1)＝2－－－1＝1.当a ≥0时，有a ＝1，则a ＝1；当a <0时，有－a ＝1，a ＝－1.综上所述，a ＝±1.3．若log a 23<1，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选C 将原式变为log a 23<1＝log a a ．当a >1时，有a >23，所以a >1；当0<a <1时，有a <23，所以0<a <23.综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．4．若方程x 2k －4－y 2k ＋4＝1表示双曲线，则它的焦点坐标为( )A ．(2k,0)、(－2k,0)B ．(0，2k )、(0，－2k )C ．(2|k |，0)、(－2|k |，0)D ．由k 的取值确定解析：选D 若焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，k ＋4>0，即k >4，且c ＝2k .若焦点在y 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k －4<0，k ＋4<0，即k <－4，且c ＝－2k .5．(2012·某某高考)函数y ＝a x－1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )解析：选D 当a >1时，y ＝a x－1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a<1，排除A ，B.当0<a <1时，y ＝a x－1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a<0，故选D.6．已知k ∈Z ，AB ＝(k,1)，AC ＝(2,4)，若|AB |≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47解析：选C 由|AB |≤4⇒k 2≤15，又k ∈Z ，所以k ＝0，±1，±2，±3.由△ABC 是直角三角形，则①若∠BAC ＝90°时，有AB ·AC ＝(k,1)·(2,4)＝0，所以k ＝－2； ②若∠ACB ＝90°时，有AC ·BC ＝(2,4)·(2－k,3)＝0，所以k ＝8(舍去)； ③若∠ABC ＝90°时，有AB ·BC ＝(k,1)·(2－k,3)＝0，所以k ＝－1或3. 所以k ＝－2，－1或3时，△ABC 是直角三角形，故所求概率为P ＝37.7．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 11－q 31－q ＝21，解得：q ＝－12.8．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为( )A ．－112，0 B.112，0C.112，－112D.14，－112解析：选A A ＝{－4,3}．当k ＝0时，B ＝∅，符合要求；当k ≠0时，x ＝－1k.由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，所以－1k ＝－4或－1k＝3，所以k ＝14或k ＝－13，所以实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为：－112，0. 9．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2)解析：选C 当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，所以a 的X 围是{a |－2<a ≤2}．10．如图，有一条长度为1的线段EF ，其端点E 、F 分别在边长为3的正方形ABCD 的四边上滑动，当F 沿正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹长度最接近于( )A ．8B ．11C ．12D ．10解析：选B 当端点E 、F 在边AB 上时，点M 的轨迹是线段，长度为2，在其他三条边上也一样，此类情况下的长度为8.当端点E 、F 分别在正方形的邻边时，如图，因为△AEF 是直角三角形，所以点M 到顶点的距离为12EF ＝12，所以轨迹是四分之一圆周，所以轨迹的长度为4×14×2π×12＝π，于是轨迹的长度为8＋π，最接近于11.二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．解析：设t ＝a x，则y ＝t 2＋2t －1.(1)当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，而y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上，y 单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，故a ＝3.(2)当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，而y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上，y 单调递增，所以y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，故a ＝13.综上知a ＝3或a ＝13.答案：3或1312．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，0≤x ≤1，x 2－4x ＋4，x >1，则不等式1<f (x )<4的解集为________．解析：当0≤x ≤1时，1<3x <4，解得0<x <log 34，故此时0<x ≤1；当x >1时，1<x 2－4x ＋4<4，解得0<x <1或3<x <4，故此时3<x <4.故所求不等式的解集为(0,1]∪(3,4)．答案：(0,1]∪(3,4)13．若x >0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________．解析：当x >1时，y ＝lg x ＋log x 10＝lg x ＋1lg x≥2lg x ·1lg x ＝2；当0<x <1时，y ＝lg x ＋log x 10＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2－lg x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ＝－2. 所以函数值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)14．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝__________. 解析：∵f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]， ∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2.当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a ＝2. 答案：215．若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值X 围是________．解析：当m ＝0时，y ＝x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数；当m ≠0时，y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－12m≤－2，⇒0<m ≤14，综上所述，m 的取值X 围应为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 16．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为________．解析：当双曲线焦点在x 轴上时，b a ＝34，所以b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝916，所以e 2＝2516，e ＝54；当双曲线焦点在y 轴上时，b a ＝43，所以b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝169，所以e 2＝259，e ＝53.答案：54或5317．(2012·某某模拟)若不等式－1<ax 2＋bx ＋c <1的解集为(－1,3)，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ＝0时，存在b ＝12，c ＝－12，使得相应的不等式－1<ax 2＋bx ＋c <1的解集是(－1,3)，因此a ＝0适合题意；当a >0时，依题意得，－1与3是方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根，且ax 2＋bx ＋c >－1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－b a＝－1＋3，c －1a ＝－1×3，b 2－4a c ＋1<0，解得0<a <12；当a <0时，依题意得，－1与3是方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根，且ax 2＋bx ＋c <1恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－b a＝－1＋3，c ＋1a ＝－1×3，b 2－4a c －1<0，解得－12<a <0.综上所述，满足题意的实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12。

广东省某重点中学2013届高三数学理高考冲刺之十三周四小测含答案

十三周四数学小测暨考前练笔一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z 满足2,1i z i-=-则z 等于（）A ．i 31+B ．i-3 C ．i 2123-D ．i 2123+2．a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 3．命题“2,40R x xax a ∃∈+-<”为假命题，是“016≤≤-a ”的（）A ．充要条件C ．充分不必要条件4则M 处的条件为（ ) A ．32k ≥B ．16k <C ．32k < 5如右图所示， A ．12B ．22+C ．23+D ．6主视图侧视图俯视图6．若把函数1sin 3cos +-=x x y 的图象向右平移m (m 〉0)个单位，使点(3π，1）为其对称中心，则m 的最小值是（） A ．π B ．2πC ．3πD ．6π7．圆心在曲线2(0)y x x=>上,且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为A ．22(1)(2)5x y -+-= B ．22(2)(1)5x y -+-= C ．22(1)(2)25x y -+-= D ．22(2)(1)25x y -+-=8、已知,,O A B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =.A 2OA OB -.B 2OA OB -+.C2133OA OB - .D 1233OA OB -+二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式432x x -+-<的解集为．10．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为． 11．实数x ，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥0)1(1y x a a y x ，若函数z=x+y 取得最大值4，则实数a 的值为12．若21()n xx-的展开式中含x 的项为第6项,设2012(13)n n n x a a x a x a x -=++++，则12n a aa +++的值为．xyOAC y x =2y x =(1,1) B13、正项等比数列{}na 满足31a=，313S =,3log n n b a =,则数列{}n b 的前10项和是_____（二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知P 是曲线M ：12cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）上的点，Q 是曲线L :4531x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点，则||PQ 的最小值为．15．(直线与O 交于C ，D 两点，AB 切⊙的中点P ，已知AC=4,AB=6，则ks5u9。

2013年高考数学冲刺押题训练(填空、选择类)(二)

2013年高考数学冲刺押题训练（填空、选择类）（二）一、选择题 1. 已知集合{}0≥=x x A ，{}2,1,0=B ，则A. B A ⊆B. A B ⊆C. B B A =D. ∅=B A答案： B命题立题：本题考查了集合的概念和集合间的关系，属于基础题. 解题思路： 0，1，2A ∈，所以A B ⊆，易错点拔：本题容易粗心导致误选。

2．复数22iz i -=+在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D命题立题：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．解题思路：解：∵22i z i -=+=()()()2222i i i -+-=3455i -∴复数在复平面对应的点的坐标是（35，45-）∴它对应的点在第四象限，易错点拔：本题易错在关于i 的相关运算.3. 设向量(2,0)=a ,(1,1)=b ,则下列结论中正确的是A ． ()-⊥a b bB ．21=⋅b aC ．//a bD ．||||=a b答案： A命题立题：本题考查了向量坐标运算和向量性质，向量的模，向量共线等基础知识，考查了运算能力。

解题思路： ∴=⋅-∴-=-0)()1,1(()-⊥a b b ，∴A 正确；2=⋅，∴B 错误；不存在数λ，使得λ=，即//a b22==，∴D错误。

易错点拔：准确无误地使用公式是本题正确的前提，快速正确地计算是本题正确的保证。

4. ,αβ表示两个不同平面，m 是一条直线且m α⊂，则“//αβ”是“//m β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案： A命题立题：本题考查了充分条件和必要条件，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力。

解题思路：若βα//且m α⊂则//m β，若//m β且m α⊂则平面βα，位置关系相交或者是平行。

2013年高考试题分项版解析数学(理)专题13算法(Word精析版)

第十三章算法一．基础题组1【. 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（陕西卷）】依据以下算法语句 , 当输入 x 为 60 时 , 输出 y 的值为（）(A) 25输入 x(B) 30If x≤ 50 Theny=0.5 * x(C) 31Elsey=25+0.6*( x-50)(D) 61End If输出 y2. 【 2013年2013 年一般高等学校一致考试天津卷理科】阅读右侧的程序框图, 运转相应的程序, 若输入x 的值为1,则输出S 的值为（）(A) 64(B) 73(C) 512(D) 585【答案】 B4. 【2013 年一般高等学校一致考试江苏数学试题】以下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是.开始n1， a2n n 1a 20Ya 3a 2N 输出 n结束5. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）】履行如图3 所示的程序框图，假如输入a 1,b2,则输出的 a 的值为.开始a 10, i 1a 4 ?是否是是奇数 ?否aa输出 ia 3a 1a2i i 1结束6. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试湖北卷理科】阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，输出的结果 i_________.二．能力题组7. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试福建卷理】阅读以下图的程序框图，若编入的 k 10 ，则该算法的功能是（）A. 计算数列2n 1的前10项和B. 计算数列2n1的前 9项和C. 计算数列2n - 1 的前10项和D. 计算数列2n - 1 的前9项和8. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试( 江西卷 ) 理】阅读以下程序框图，假如输出i=5 ，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.S=2 i-2B.S=2 i-1C.S=2iD.S=2i+49.【2013年一般高等学校招生全国一致考试（辽宁卷）理科】履行以下图的程序框图，若输入 n10,则输出的 SA ．5103672B ．C．D．1111555510.【 2013年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）理】履行以下图的程序框图, 若输入n 的值为4,则输出s 的值为 ______.开始输入 ni1,s1否i n是s输出s s i 1结束i i1【答案】7【分析】第一次循环后: s1,i 2 ；第二次循环后: s2, i 3 ；第三次循环后: s4, i 4 ；第四次循环后: s7, i5，此时i 4.故输出7 .【考点定位】程序框图.11. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试（山东卷）】履行右边的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的 n 的值_____.【考点定位】此题考察程序框图的运转门路，考察读图能力和运算能力, 针对近似问题可依据框图中的重点“部位”进行数据排列 .三．拔高题组12. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试数学浙江理】某程序框图以下图，若该程序运转后输出的值是9，5则（）A. a4B. a5C. a 6D. a713. 【2013 年一般高等学校一考新Ⅱ数学（理）卷】行右边的程序框，假如入的N=10，那么出的 s=（ A）1+！未找到引用源。

2013高考数学能力加强集训：专题检测(3)

专题检测（三）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是 A ．15 B ．30 C ．31D ．64解析由等差数列的性质得a 7＋a 9＝a 4＋a 12，因为a 7＋a 9＝16，a 4＝1，所以a 12＝15.故选A. 答案 A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝11，S 12＝186，则a 8＝ A ．18 B ．20 C ．21D ．22解析记数列{a n }的公差为d ， ∵⎩⎨⎧a 5＝11S 12＝186，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝1112a 1＋12×11d 2＝186，∴⎩⎨⎧a 1＝－1d ＝3，则a 8＝a 1＋7d ＝－1＋21＝20. 答案 B3．(2012·皖北四市联考)已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，即q (q －3)＝0， ∵q ≠0，∴q ＝3.答案 C4．(2012·临川模拟)已知等差数列{a n }的前13项之和为39，则a 6＋a 7＋a 8等于A ．18B ．12C ．9D ．6解析 S 13＝13a 7＝39，∴a 7＝3， ∴a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝9. 答案 C5．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为 A ．4 B ．5 C.45D.15解析 ∵a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ， a 3＝S 3－S 2＝4t ，由{a n }是等比数列，知⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15t －15×4t ，显然t ≠0，解得t ＝5. 答案 B 6．观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …………则第( )行的各数之和等于2 0092. A. 2 010 B ．2 009 C ．1 006D ．1 005解析由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n 行各数和为(2n －1)2，令2n －1＝2 009，解得n ＝1 005. 答案 D7．(2012·济南模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析 8a 2＋a 5＝a 1(8q ＋q 4)＝a 1q (8＋q 3)＝0. ∵a 1q ≠0，∴8＋q 3＝0，即q ＝－2，∴S 5S 2＝1＋q ＋q 2＋q 3＋q41＋q ＝－11.答案 D8．(2012·枣庄八中高三模拟)已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为A ．4B ．6C ．8D ．10解析由题意得a 1＋a 3＋…＝85，a 2＋a 4＋…＝170，所以数列{a n }的公比q ＝2，由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.答案 C9．(2012·宝鸡中学月考)已知正项等比数列{a n }满足：a 2 012＝a 2 011＋2a 2 010，且a n ·a m ＝4a 1，则6⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n 的最小值为A.23 B ．2 C ．4D ．6解析记数列{a n }的公比为q ，由题意知a 2 010q 2＝a 2 010q ＋2a 2 010，化简得q 2－q －2＝0，所以q ＝－1(舍去)或q ＝2，又由已知条件a n a m ＝4a 1，可得a 21q m ＋n －2＝16a 21，所以2m ＋n －2＝24，故m ＋n ＝6，所以6⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋m n ≥4，当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝3时取“＝”．答案 C10．(2012·海淀二模)若f (n )为n 2＋1(n ∈N ＋)的各位数字之和，如：142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f (14)＝17；记f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N ＋，则f 2 012(8)＝A ．1B ．3C ．5D ．7解析由题意知f 1(8)＝11，f 2(8)＝5，f 3(8)＝8， f 4(8)＝11，f 5(8)＝5，f 6(8)＝8，…， ∴f 2 012(8)＝f 2(8)＝5. 答案 C11．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是 A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1， ∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2 q ·1q ＝3，当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－q －1q≤1－2(－q )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1， ∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 D12．(2012·大庆模拟)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N ＋.下列命题中为真命题的是A ．若∀n ∈N ＋，总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若∀n ∈N 总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若∀n ∈N ＋总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若∀n ∈N ＋总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列解析若c n ∥b n ，则a n ＋1a n＝n ＋1n ，∴a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n n －1.n －1n －2.n －2n －3.. (2)1·a 1＝na 1， ∴数列{a n }是等差数列．若c n ⊥b n ，则c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n＝－n n ＋1，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－n －1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－n －2n －1·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·a 1 ＝(－1)n －1n a 1，∴数列{a n }不是等比数列，故选A. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)13．(2012·石景山一模)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4＋a k ＝0，则k ＝________.解析 ∵S 9＝S 4，∴9a 1＋12×9×8×d ＝4a 1＋12×4×3×d ，即a 1＝－6d ，a 4＋a k ＝2a 1＋(k ＋2)d ＝－12d ＋(k ＋2)d ＝0. ∵d ≠0，∴k ＝10. 答案 1014．(2012·廊坊模拟)已知cos π3＝12；cos π5cos2π5＝14；cos π7cos2π7cos3π7＝18，…根据以上等式，可猜想出一般结论是________．解析cos π3＝cosπ2×1＋1＝121；cos π5cos2π5＝cosπ2×2＋1cos2π2×2＋1＝122；cos π7cos2π7cos3π7＝cosπ2×3＋1cos2π2×3＋1cos3π2×3＋1＝123；…∴cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n，n∈N＋.答案cosπ2n＋1cos2π2n＋1…cosnπ2n＋1＝12n，n∈N＋15．某钢厂的年产量由2000年的75万吨增加到2010年的90万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2020年的年产量将达到________万吨．解析设年增长率为x，则由条件可知，各年产量成等比数列，记为{a n}，设2001年产量为a1＝75(1＋x)，则a10＝75·(1＋x)10＝90，∴(1＋x)10＝6 5，则2020年的年产量为a20＝a10(1＋x)10＝90(1＋x)10＝108(万吨)．答案10816．(2012·盐城模拟)已知a＝(m，n)，b＝(p，q)，定义a⊗b＝mn－pq，下列等式中：①a⊗a＝0；②a⊗b＝b⊗a；③(a＋b)⊗a＝a⊗a＋b⊗a；④(a⊗b)2＋(a·b)2＝(m2＋q2)(n2＋p2)．一定成立的是________(填上所有正确等式的序号)．解析①a⊗a＝mn－mn＝0，故成立；②a⊗b＝mn－pq，b⊗a＝pq－mn，不一定成立；③(a＋b)⊗a＝(m＋p)(n＋p)－mn＝(m＋n)p＋p2，a⊗a＋b⊗a＝0＋pq－mn＝pq－mn，故③不一定成立；④(a⊗b)2＋(a，b)2＝(mn－pq)2＋(mp＋nq)2＝m2n2＋p2q＋m2p2＋n2q2＝(m2＋q2)(n2＋p2)，④成立．答案①④三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{2a n}的前n项和S n.解析(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，解得d＝1，d＝0(舍去)，故{a n}的通项a n＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2a n＝2n，由等比数列的前n项和公式得S n＝2＋22＋23＋…＋2n＝2(1－2n)1－2＝2n＋1－2.18．(12分)已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N＋)，求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)． (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).19．(12分)(2012·蚌埠模拟)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋2(x ≠－2，x ∈R )，数列{a n }满足a 1＝t (t ≠－2，t ∈R )，a n ＋1＝f (a n )(n ∈N )．(1)若数列{a n }是常数列，求t 的值；(2)当a 1＝2时，记b n ＝a n ＋1a n －1(n ∈N ＋)，证明：数列{b n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．解析 (1)∵数列{a n }是常数列，∴a n ＋1＝a n ＝t ，即t ＝2t ＋1t ＋2，解得t ＝－1，或t ＝1. ∴所求实数t 的值是1或－1. (2)证明 ∵a 1＝2，b n ＝a n ＋1a n －1，∴b 1＝3，b n ＋1＝a n ＋1＋1a n ＋1－1＝2a n ＋1a n ＋2＋12a n ＋1a n ＋2－1＝3a n ＋1a n －1，即b n ＋1＝3b n (n ∈N ＋)．∴数列{b n }是以b 1＝3为首项，公比为q ＝3的等比数列，于是b n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N ＋)．由b n ＝a n ＋1a n －1(n ∈N ＋)，即a n ＋1a n －1＝3n ，解得a n ＝3n ＋13n －1.∴所求的通项公式a n ＝3n ＋13n －1(n ∈N ＋)．20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝4－14n －1(n ∈N ＋)，数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1，a 2(b 2－b 1)＝a 1.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解析 (1)∵数列{a n }的前n 项和为S n ＝4－14n －1，∴a n ＝S n －S n －1＝4－14n －1－4＋14n －2＝34n －1(n ≥2)，又a 1＝S 1＝4－1＝3(n ＝1)，也适合上式， ∴a n ＝34n －1(n ∈N ＋)，b 1＝a 1＝3，a 2(b 2－b 1)＝a 1⇒34(b 2－b 1)＝3，∴b 2－b 1＝4，数列{b n }为等差数列， ∴b n ＝b 1＋(n －1)4＝4n －1. (2)设c n ＝a n b n ＝3(4n －1)4n －1，∴T n ＝3×31＋3×74＋…＋3(4n －5)4n －2＋3(4n －1)4n －1，①4T n ＝4·3×31＋3×71＋3×1141＋…＋3(4n －5)4n －3＋3(4n －1)4n －2，②②－①，得3T n ＝4×9＋3×4⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋141＋…＋14n －3＋14n －2－3(4n －1)4n －1，∴T n ＝523－48n ＋523·4n .21．(12分)(2012·益阳模拟)已知某市2011年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，且每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．(1)到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)到哪一年底，该年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?(参考数据：1.083≈1.26,1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) 解析 (1)设中低价房面积形成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1. 由题意可知a n ＞0.85b n ，有250＋(n －1)·50＞400·(1.08)n －1·0.85，即20＋5n ＞34(1.08)n －1，即4＋n ＞6.8(1.08)n －1经检验，满足上述不等式的最小正整数n ＝6.到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.22．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解析 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n， 1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.(i)当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立； (ii)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1. 故由(i)(ii)知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.当c ＞2时，令α＝c ＋c 2－42，由a n ＋1a n ＜a n ＋1＋1a n＝c 得a n ＜α. 当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )≤13(α－a n )， α－a n ＋1≤13n (α－1)．当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3. 因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103.。

2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编11：概率

2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编11：概率一、选择题1 ．（2013届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）如图,设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数1(0)y x x =>图象下方的区域 (阴影部分),从D 内随机取一个点M ,则点M 取自E 内的概率为（）A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 【答案】C 【解析】:将1y x =与2y =图象交点记为A ,则1(,2)2A ,∴阴影部分E 的面积1121121ln 22S dx x=+⨯=+⎰,而D 的面积为122⨯=,∴所求概率1ln 22P +=.故选 C ．2 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为（）A ．31B ．21 c.32 D ．61 【答案】A 【解析】由()4n A =知,函数2|3|yx ax =++和1y =的图像有四个交点,所以23y x ax =++的最小值21214a -<-,解得4(4)a a ><-舍去,所以a 的取值是5,6.又因为a 的取值可能是6种,故概率是2163=,故选（）A ．3 ．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A ．21π-B ．112π-C ．2πD ．1π【答案】答案:A考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,4 ．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,若(2)0.023P ξ>=,则(22)P ξ-=≤≤ （）A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】C 【解析】由随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ可知正态密度曲线关于y 轴对称,而(2)0.023P ξ>=,则(2)0.023P ξ<-=,故(22)1(2)(2)0.954P P p ξξξ-=->-<-=≤≤,故选C5 ．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ,A 是曲线2x y =与21xy =围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P,则点P 落入区域A 的概率为（）A ．31 B ．41 C ．81 D ．121 【答案】D 区域A面积为)31231200211|333x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ 11/4312P ==第8题图二、填空题6 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,且(4)0.8P ξ<=,则(02)P ξ<<等于_____________.【答案】0.3【解析】(4)0.8P ξ<=,则2.0)4(=>ξP ,又分布图像关于直线2=x 对称,2.0)4()0(=>=<ξξP P ,则6.0)40(=<<ξP ,3.0)20(=<<ξP7 ．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x y m n+=1表示双曲线的概率为________.【答案】5128 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是_______________.【答案】463【解析】将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数则有123456777777722126C C C C C C +++++=-=种,因为123456728++++++=,所以要使两组中各数之和相,则有各组数字之和为14.则有7615432++=+++;7526431++=+++;7436521++=+++;7421653+++=++;5432761+++=++;6431752+++=++;6521743+++=++;6537421++=+++共8种,所以两组中各数之和相等的概率是8412663=9 ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是________【答案】925【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D 在线段BC 上时,点D 到直线+2=0y 的距离等于2,所以要使点D 到直线的距离大于2,则点D 应在三角形BCF 中.各点的坐标为(20)(40)(62)(42)(43)B C D E F ----，，，，，，，，，,所以105DE EF ==，，6BC =，3CF =,根据几何概型可知所求概率为163921251052BCFDEFS P S ∆∆⨯⨯===⨯⨯.三、解答题10．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013日照二模)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:男性女性合计反感 10不反感 8 合计 30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望. 【答案】由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X ===所以X X 的数学期望为:012.1391917EX =⨯+⨯+⨯=11．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.【答案】解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为11C 11173419C C C +=从8个球中摸出2个小球的种数为2828C = 故所求概率为1928P =5 分 (Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有11C 114312C C =种一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有214424C C =种,一种是所摸得的3小球均为红球,共有344C =种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种由题意知,随机变量ξ的取值为1,2,3.其分布列为:3319123105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 北京市高考压轴卷理科数学）本小题共14分 12．（2013届加2012年全省高中篮球比赛,某中学决定从四为了参个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表:(II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中来自高三(7)班的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE .【答案】解:(I)“从这18名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件A ,则2222423321213()66C C C C P A C +++== 6' (II)ξ的所有可能取值为0,1,2 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C CC C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为:10'∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= 14' 13．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢. (I)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率;(II)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率;(III)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记X Yξ=-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【答案】解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为13,去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件i A ,(0,1,2,3,4)i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(Ⅰ)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率22224128()()()3327P A C ==(Ⅱ)设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ,34B A A =⋃, 故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=. ∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19(III)ξ的所有可能取值为0,2,4.28(0)()27P P A ξ===,1340(2)()(),81P P A P A ξ==+=0417(4)()(),81P P A P A ξ==+= 所以ξ的分布列是14881E ξ=14．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q (简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q ≤80时,为酒后驾车;当Q >80时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2012年1月的某天晚上8点至11点在市区昌隆饭店设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q ≥140的人数计入120≤Q <140人数之内).(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和数学期望. 【答案】解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人.(Ⅱ) 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人;所以x 的所有可能取值为0,1,2;P(x =0)=3836C C =145,P(X=1)=381226C C C =2815,P(x =2)=382216C C C =283X 的分布列为432832281511450)(=⨯+⨯+⨯=X E . 15．（2013届湖北省高考压轴卷数学（理）试题）我省某示范性高中为推进新课程改革,满足不同层次学生的要求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座).统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表:(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; 各辅导讲座满座的科目数为ξ,(2)设周三量ξ的分布列和数学期望.求随机变【答案】(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ,则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.4121(0)(1)(1)2348P ξ==-⋅-=; 1344112121(1)(1)(1)(1)223238P C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅=;22213441121127(2)()(1)(1)()(1)22322324P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=; 33222441121121(3)()(1)(1)()(1)2232233P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=;.4334121123(4)()(1)()(1)2322316P C ξ==⋅-+⋅⋅-⋅=;4121(5)()2324P ξ==⋅=. 所以,随机变量ξ的分布列如下:故117131801234548824316243E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 16．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）生产A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B 为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元 .在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润,求随机变量X 的分布列和数学期望;(ⅱ)求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率.【答案】【答案】(Ⅰ)解:元件A 为正品的概率约为4032841005++=元件B 为正品的概率约为4029631004++=(Ⅱ)解:(ⅰ)随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-433(90)545P X ==⨯=; 133(45)5420P X ==⨯=; 411(30)545P X ==⨯=; 111(15)5420P X =-=⨯=所以,随机变量X 的分布列为:3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=(ⅱ)设生产的5件元件B 中正品有n 件,则次品有5n -件.依题意,得 5010(5)140n n --≥, 解得 196n ≥.所以 4n =,或5n =设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ,则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=17．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）某校从6名学生会干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者.(Ⅰ)所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率【答案】解:(I)ξ得可能取值为 0,1,2;由题意P(ξ=0)=343615C C =, P(ξ=1)=21423635C C C =, P(ξ=2)=12423615C C C = ∴ξ的分布列、期望分别为:E ξ=0×15+1×35+2 ×15=1 (II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为C男生甲被选中的种数为2510C =,男生甲被选中,女生乙也被选中的种数为144C =∴P(C)=142542105C C ==在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为2518．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球,1号球有1个,2号球有m 个,3号球有n 个.从袋中依次摸出2个球,已知在第一次摸出3号球的前提下,再摸出一个2号球的概率是13. (Ⅰ)求m 、n 的值;(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,记得到小球的编号数之和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.【答案】解:(1)记“第一次摸出3号球”为事件A ,“第二次摸出2号球”为事件B ,则31110)/(=-=m A B P , 解得6,3==n m ;(2)随机变量ξ的取值为6,5,4,3,ξ的分布列为所以,数学期望5=ξE 19．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回. (Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望; (Ⅱ)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.【答案】解:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2.设“第一次训练时取到i 个新球(即i =ξ)”为事件i A (=i 0,1,2).因为集训前共有6个篮球,其中3个是新球,3个是旧球,所以51)0()(26230====C C P A P ξ, 53)1()(2613131====C C C P A P ξ,51)2()(26232====C C P A P ξ.所以ξ的分布列为(注:不列表,不扣分)ξ3 4 5 6P151 51 52 31ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE .(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++. 而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥,所以,)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++. 由条件概率公式,得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）, 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）, 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）.所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P . 20．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）(本小题满分13分,其中(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次),设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19,110,111,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: (Ⅰ)获赔的概率;(Ⅱ)获赔金额ξ的分布列与期望.【答案】解:设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故,123k=，，.由题意知1A ,2A ,3A 独立, 且11()9P A =,21()10P A =,31()11P A =. (Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=.(Ⅱ)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=,123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045==, 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110==, 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=. 综上知,ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法: 解法一:由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯299002718.1811=≈(元). 解法二:设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额,123k =，，, 则1ξ有分布列故11900010009E ξ=⨯=. 同理得21900090010E ξ=⨯=,319000818.1811E ξ=⨯≈.综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=(元).21．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:若掷出1点或2点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球.现在前后一共掷了4次骰子,设x 、y 分别表示甲、乙盒子中球的个数. (Ⅰ)求13y x ≤-≤的概率;【答案】解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为12,.33(Ⅰ)若13,y x ≤-≤则只能有1,3,x y ==即在4次掷骰子中,有1次在甲盒中放球,有3次在乙盒中放球,因此所求概率3141232.3381P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭(Ⅱ)由于,x y ξ=-所以ξ的可能取值有0,2,4()222412240,3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33134********,333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()44444111743381P C C ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以随机变量ξ的分布列为:故随机变量ξ的数学期望为244017148024.81818181E ξ=⨯+⨯+⨯= 22．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F,从A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为X(三点共线时,规定X=0)(1)求1()2P X ≥;(2)求E(X)CB【答案】【解析】解:⑴从六点中任取三个不同的点共有36C 20=个基本事件,事件“12X ≥”所含基本事件有2317⨯+=,从而17()220P X =≥. ⑵X 的分布列为:X 014 12 P3201020620120则311016113()01204202202040E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 答:17()220P X =≥,13()40E X =. 23．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）( 本小题满分12分)某次体能测试中,规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为7.0(假定每次通过率相同). (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率;(2) 求运动员甲参加测试的次数的分布列及数学期望(精确到0.1).【答案】⑴因为运动员甲参加一次测试的概率是0.7运动员甲参加两次测试的概率是0.7×0.3=0.21所以运动员甲最多参加两次测试的概率是0.21+0.7=0.91 ⑵ξ的可能取值是1,2,3,4 P(ξ=1)=0.7;P(ξ=2)=0.21; P(ξ=3)=0.063; P(ξ=4)=0.027;24．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）选聘高校毕业生到村任职,是党中央作出的一项重大决策,这对培养社会主义新农村建设带头人,引导高校毕业生面向基层就业创业具有重大意义.为响应国家号召,某大学决定从符合条件的6名(其中男生4名,女生2名)报名大学生中选择3人到某村参加村主任应聘考核.(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.【答案】【解析】(Ⅰ):ξ的所有可能取值为0,1,2.依题意得:3436C 1(0)C 5P ξ===,214236C C 3(1)C 5P ξ===,124236C C 1(2)C 5P ξ===. ∴ξ的分布列为∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ):设“男生甲被选中”为事件A ,“女生乙被选中”为事件B ,则()2536C 1C 2P A ==, ()1436C 1C 5P AB ==,∴()()()25P AB P B A P A ==.故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为25. 25．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(,0,x y ≥且6)x y +=,乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取2个球, 从乙箱中任取1个球.(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ,求当P 取得最大值时,x y 的值; (Ⅱ)当2x =时,求取出的3个球中红球个数ξ的期望()E ξ.【答案】【解析】(I)由题意知203)2(60160.211=+≤=⋅=γx xy Cx C C P L r , 当且仅当y x =时等号成立,所以,当P 取得最大值时3==y x .(II)当2=x 时,即甲箱中有2个红球与4个白球,所以ξ的所有可能取值为3,2,1,0则51)0(14261124===C C C C P ξ,157)1(14261224121412=+==C C C C C C C P ξ,103)2(14261214121222=+==C C C C C C C p ξ, 301)3(142612===C C C P ξ,所以红球个数ξ的分布列为于是67=ξE . 26．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）,获得如下数据:试销结束后(假设商品的日销售量的分布规律不变),在试销期间,每天开始营业时商品有5件,当天营业结束后,进行盘点存货,若发现存量小于3件,则当天进货补充到5件,否则不进货. (1)求超市进货的概率(2)记ξ为第二天开始营业时该商品的件数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】【解析】(1)10642()(3)(4)(5)3030303P P P P =++=++=进货销售件销售件销售件 (2)ξ的取值是345.，， 61317(3)(4)(5)305301010P P P ξξξ========，，，即分布列是: 所以数学期望是345 4.551010E ξ=⨯+⨯+⨯=。

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命题人：何跨海班次学号 . 姓
名 .
一．选择题 (每小题５分，共40分）
1．函数()sin()4fxx图像的对称轴．．．方程可以是（）

A．2x B．4x C．2x D．4x
2．设实数Ra且iia)(（其中i是虚数单位）为正实数，则a的值为
（）
A．-1 B．0 C．0或-1 D．1
3．已知向量a、b满足6,8,ab且,abab则ab=（）

A．10 B．20 C．21 D．30
4．已知120201,cos15sin15MxdxN，由如右程序框图输出的
S

（）

A. 0 B. 12 C. 1 D. 32
5．给定下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是
异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两
个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交
线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（）
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

6．若不等式11xax对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值
范围是（）
A. [-1,1] B. (1,1) C. (-2,2)
D.[-2,2]

7．如图，已知双曲线2213yx，, AC 分别是虚轴的
上、下顶点，B是左顶点，F为左焦点，直线AB与
FC
相交于点D，则BDF的余弦值是（）

A．77 B．577 C．714
D．5714
8．定义方程()()fxfx的实数根x0叫做函数()fx的“新驻点”，如果
函数()gxx，()ln(1)hxx，()cosxx（()x，）的“新驻点”
分别为，，，那么，，的大小关系是（）
A． B． C．
D．
二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）
9．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8， 9｝，全集U=AB，
则集合
)(BAC

U


= 。

10．61()xx的展开式中的常数项是：。(请用数字作答)

11．已知平面区域}1|),{(22yxyx，0(,)01xMxyyxy，若在区域


上随机投一点P，则点P落在区域M的概率为：。
12.已知△ABC三边长分别为1、2、a()aR其中，“△ABC为锐角三角
形”的充要条件是：“a ”。
13．函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数，那么f(x+5)的单调递增区间是
_________.
14．若等差数列{an}满足a7=p,a14=q,(p≠q),则a21=________
15.有以下命题：设12,,mnnnaaa是公差为d的等差数列{}na中任意m项，
若
12(*,)m
nnnrppNrNrmmm
且
，则12mnnnpaaaradmm；特别

地，当r=0时，称pa为12,,mnnnaaa的等差平均项。
⑴已知等差数列{}na的通项公式为na=2n，根据上述命题，则

131018
,,,aaaa
的等差平均项为：；
⑵将上述真命题推广．．到各项为正实数的等比数列．．．．中：设

12,,m
nnn
aaa
是公比为q的等比数列{}na中任意m项，若
12(*,)m
nnnrppNrNrmmm
且
，

则；特别地，当r=0时，称pa为12,,mnnnaaa的等
比平均项。

一、选择题（每小题5分，共50分）
序号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题：（每小题5分，共25分）
9、__________ 10、__________
11、__________ 12、__________
13、__________ 14、__________
15、___________
三.解答题（12分)
16．一个几何体是由圆柱11ADDA和三棱锥EABC组合而成，点A、B、
C在圆柱上底面圆O 的圆周上，EAABC平面， ABAC，ABAC
，
其正视图、侧视图如图所示．
⑴求证： ACBD；
⑵求锐二面角ABDC的大小．

（三）
一、选择题（每小题5分，共50分）
序号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案
D B A C D B C D
二、填空题：（每小题5分，共25分）
9、________}8,5,3{_ 10、_______20___

11、___21__ 12、______]5,3[____
13、_____]2,7[_____ 14、____pq2______
15、___16___，_
m

pnnnn
qaaaam
121


____

三、解答题
17、（1）略

（2）3