26.1.2二次函数图像和性质课件2(人教版九下)
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26.1.2二次函数的图像(1)(^__^) 嘻嘻……
当a>0时,抛物线的 开口向上,顶点是抛物线 的最低点, a越大,抛 物线的开口越小;
当a<0时,抛物线的开口 向上,顶点是抛物线的最高点 , a越大,抛物线的开口越大; 开口大小：|a|越大，开口 越小；|a|越小，开口越大
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -2-1 o1 2 3 4 5 x -3
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
yx
2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 y=x2 （0，0） y= -x2 （0，0） y轴 在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 .
y x
2
顶点坐标
4
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何 知道的？ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-2 2 1
y x
2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴. 对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
1
0
-8 -6 -4 -2 -1 2 4
共同点: 开口向上; 除顶点外,图像 都在x轴上方 不同点: 开口大小不同;
y=- 2
1
-2
-3
-4
-5
当a〈0时，图 x 象开口向下， 顶点是抛物线 的最高点，a 越大，抛物线 的开口越大。
6 8
-6
-7
x2
-8 -9
y=-x2
人教版九年级数学下册26.1.2反比例函数的图像和性质(第2课时) 课件
【解析】因为反比例函数y=mxm²-5，它的两个
分支分别在第一、第三象限，
所以必须满足｛
m²-5= m﹥0
-1
得 m =2
y
y=mxm²-5
0
x
1、反比例函数 y kx的图象经过（2，
-1），则k的值为
； -2
2、反比例函数 y kx的图象经过点（2， 5），若点（1，n）在反比例函数图象
【解析】选C.设A点的坐标为（a,b），则k=ab，△ABO的
面积为 1 OB OA 1 ab 3 ，所以ab=6，即k=6
2
2
5.（威海·中考）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比
知识巩固
1.函数 y =
5 x
的图象在第_二__,四__象限，在每
个象限内，y 随 x 的增大而_增__大__ .
2. 双曲线 y =
1 3x
经过点（-3，___）
3.函数
y
=
m-2 x
的图象在二、四象限，则m的取
值范围是m__<_2_ .
4.对于函数 y =
1 2x
，当 x<0时，y 随x的_减__小__而
y
y
B
P(m,n)
oA
x
根据象限确定k的符号
B
P(m,n)
oA
x
2.根据图中点的坐标
y A(-2,b).
0
（1）求出y与x的函数解析式.
（2）如果点A（-2，b）在双
x 曲线上，求b的值. B (3,-1) （3）比较绿色部分和黄色部
分的面积的大小.
答案：（1） y 3 x
（2）
y3 2
22.1.2二次函数y=ax2图像与性质
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
x y = x2 · · · · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · · · · ·
9
4
1
0
1
9
4
9
2. 根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点（x,y） 3.连线 如图，再用平 滑曲线顺次连接各点， －3 2 就得到y = x 的图象．
y = x2
6
3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线 开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向 上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c （a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c y = x2
m2+m
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
0
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
九年级数学《y=-ax2的图像及性质》课件
26.1二次函数yy=ax2 的图象和性质
x
复习回顾 导入新课
抛物线
顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 开口大小 增减性
极值
y=ax2 (a>0)
（0，0） y轴
y x
在x轴的上方（除顶点外）
LOREM IPSUM DOLOR
向上
a越大，开口Biblioteka 小；a越小，开口越大x<0时，y随x的增大而减小； x>0时，y随x的增大而增大。 当x=0时，最小值为0。
学而不思则罔
回
头
一
看
我有哪些收获呢？
， 我
与大家共分享！
想 说
还有什么疑问吗?
…
y 1 x2 2
的图象，图象的开口大小与哪个因素有关
小组展示
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 y=-x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
函数图象画法
描点法
0.5 1 1.5 2 ... -0.25 -1 -2.25 -4 ...
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
列表
描点
连线
y=-x2
y ax2
a 绝对值越大，开口越小。
y x2
y 2x2
y 1 x2 2
x
复习回顾 导入新课
抛物线
顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 开口大小 增减性
极值
y=ax2 (a>0)
（0，0） y轴
y x
在x轴的上方（除顶点外）
LOREM IPSUM DOLOR
向上
a越大，开口Biblioteka 小；a越小，开口越大x<0时，y随x的增大而减小； x>0时，y随x的增大而增大。 当x=0时，最小值为0。
学而不思则罔
回
头
一
看
我有哪些收获呢？
， 我
与大家共分享！
想 说
还有什么疑问吗?
…
y 1 x2 2
的图象，图象的开口大小与哪个因素有关
小组展示
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 y=-x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
函数图象画法
描点法
0.5 1 1.5 2 ... -0.25 -1 -2.25 -4 ...
用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
列表
描点
连线
y=-x2
y ax2
a 绝对值越大，开口越小。
y x2
y 2x2
y 1 x2 2
人教版九年级数学下册第二十六章：26.1.2 反比例函数的图像和性质 优秀课件
-4
-6
-8
当k>0时,两支双曲线分 位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别 位于第二,四象限内;
反比例函数的图象和性质： 1.反比例函数的图象是双曲线; 2.图象性质见下表： k y= K>0 K<0
x
图 象
当k＞0时，函数图象 的两个分支分别在第 一、三象限，在每个 象限内，y随x的增大 而减小. 当k＜0时，函数图象 的两个分支分别在第 二、四象限，在每个 象限内，y随x的增大 而增大.
一、复习引入
反比例函数的定义：
一般地,形如 (k是常数,k≠0)的函数, 叫做反比例函数。其中, x是自变量,y是函 数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实 数.
反比例函数的三种表达式：
① ② ③
1、过点（2，5）的反比例函数的解析 10 式是： y x . 2、一次函数y=2x-1的图象 是 一条直线 ，y随x的增大而 增大. 3、用描点法作函数图象的步骤：
y
4 C（-3,y3)是 y B（5,y2)是反比例函数 x
数形结合
图
⑴代入求值
y1 y2 y3
A
2
⑵利用增减性
B
5
-3
⑶根据图象判断
x
O
C
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
100 反比例函数 y = 的图象上，则（ x
B
）
A、y1>y2>y3
C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3
x
标系中的 图象可能是 D
y o x y o x
:
y o x y o x
(A)
(B)
26.1.2二次函数y=x2的图像1
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;（0，0） 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;（0，0） |a|越大,抛物线的开口越小;
y
a>0
一般地，二次函数y=ax2 的图象是抛物线 _______, 对称 轴是Y ____ 原点 ． 轴 ，顶点是______ 当a>0时，抛物线的开口_____ 向上 ，顶点是抛物线的 低 点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 减小 最___ 当 增大 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物 越小 ； 线的开口_____ 向下 ，顶点是抛物线的 当a<0时，抛物线的开口_____ 高 点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 增大 最___ 当 减小 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物 越大 ； 线的开口_____
当a<0时，抛物线的开口向 下 顶点是抛物线的最____ 高 点， ____, a越大，抛物线的开口越 大 ． ____ │a│越大抛物线开口越小
1 2 y x 2
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
a<0
-3 -2 -1
1
y
1 2
0 -1 -2 -3 -4
3x
1 y x2 2
y 2 x 2
a>0 一般地，抛物线 y=ax2 的对称 原点 ．当 y轴 ，顶点是______ 轴是____ a>0时，抛物线的开口向上 _____，
y 2 x 2y
二次函数的基本性质+图像
26.1 二次函数☆★☆概念引入☆★☆例题1：多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？ 附注：此题的结论经常 分析：由左图可知，如果多边形有n 条边，那么它有 会在选填中出现。
______个顶点。
从一个顶点出发，连接与这点不相邻 的各顶点，可以作______条对角线。
因为像线段MN 与NM 那样，连接相同两顶点的对角线是同一条对角线，所以多边形的对角线总数 d=例题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20件，一年后的产量是______件，再经过一年后的产量是_______________件。
即两年后的产量是________________关系式为 y=一般地，形如y= （ ） 的函数，我们叫做二次函数。
练习1.二次函数221y x x =--+的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________。
2，二次函数22(2)3y x =+-的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________。
3，二次函数21y x x =-++，当x=-1时，y=_______。
4，二次函数y=（m-3）x ²—x+5是二次函数，则常数m 的取值范围是_________。
5，下列函数：①2y x =+②22y x=③2y x=④22y x=⑤(1)(2)y x x =-+⑥22(1)2y x =-+⑦2(21)(2)2y x x x =+--；其中y 是x 的二次函数的是____________6，若2(2)m my m x +=+是关于x 的二次函数，则常数m 的值是___________。
我们先来画最简单的二次函数y=x²的图像在y=x²中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y），再用平滑曲线顺次连结个点，就得到y=x²的图像从上图中我们可以得出，函数y=x²是_________________图形，它的对称轴是_________________，此图形的开口方向_____________，顶点为_______________。
九年级数学下册 第26章二次函数 26.1二次函数及其图象 1二次函数习题课件 新人教版
x
知识点 1 二次函数的有关概念 【例1】下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=5x+1.(2)y=4x2-1.(3)y=-(x-1)2. (4)y=(x+2)2-x2.(5)y=2x2-x+ 3 .
x2
【解题探究】1.二次函数需满足哪三个条件？ 提示:（1）关系式：函数关系式是关于自变量的整式. （2）系数：二次项系数不为零. （3）次数：自变量的最高次数为2. 2.根据二次函数关系式的要求可以判断_（__5_）不是二次函数. 3.根据次数的要求可以判断_（__1_）__，__（__4_）不是二次函数. 4.综合1，2，3可以得到（__2_）__，__（__3_）_是二次函数.
【总结提升】根据实际问题列二次函数关系式的“三注意” 1.认真审题,明确题中关键词语的意义及几何图形的结构特征. 2.分清题目中的自变量和函数的关系. 3.依据常见问题中的数量关系及几何图形中的计算公式,明确变 量之间的关系,列出关系式.
题组一:二次函数的有关概念
1.下列函数不属于二次函数的是( )
【归纳】 1.二次函数的定义: 形如_y_=_a__x_2+__b_x_+__c_(_a_,b__,c_是__常__数__,_a_≠_0_的) 函数,叫做二次函数. 其中x是自变量. 2.相关概念: _a_是二次项系数, __b是一次项系数, __c是常数项.
(打“√”或“×”) (1)函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)是二次函数. ( × ) (2)函数y=(x+1)2-(x-1)2是二次函数. ( × ) (3)在函数y=-2(x-2)2中,二次项的系数是-2,没有一次项,常数 项是-2. ( × ) （4）函数y= x 2 是二次函数.（ × ）
知识点 1 二次函数的有关概念 【例1】下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=5x+1.(2)y=4x2-1.(3)y=-(x-1)2. (4)y=(x+2)2-x2.(5)y=2x2-x+ 3 .
x2
【解题探究】1.二次函数需满足哪三个条件？ 提示:（1）关系式：函数关系式是关于自变量的整式. （2）系数：二次项系数不为零. （3）次数：自变量的最高次数为2. 2.根据二次函数关系式的要求可以判断_（__5_）不是二次函数. 3.根据次数的要求可以判断_（__1_）__，__（__4_）不是二次函数. 4.综合1，2，3可以得到（__2_）__，__（__3_）_是二次函数.
【总结提升】根据实际问题列二次函数关系式的“三注意” 1.认真审题,明确题中关键词语的意义及几何图形的结构特征. 2.分清题目中的自变量和函数的关系. 3.依据常见问题中的数量关系及几何图形中的计算公式,明确变 量之间的关系,列出关系式.
题组一:二次函数的有关概念
1.下列函数不属于二次函数的是( )
【归纳】 1.二次函数的定义: 形如_y_=_a__x_2+__b_x_+__c_(_a_,b__,c_是__常__数__,_a_≠_0_的) 函数,叫做二次函数. 其中x是自变量. 2.相关概念: _a_是二次项系数, __b是一次项系数, __c是常数项.
(打“√”或“×”) (1)函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)是二次函数. ( × ) (2)函数y=(x+1)2-(x-1)2是二次函数. ( × ) (3)在函数y=-2(x-2)2中,二次项的系数是-2,没有一次项,常数 项是-2. ( × ) （4）函数y= x 2 是二次函数.（ × ）
九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质1二次函数y=ax2的图象与性质教学课件(
=ax2的图象与性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. （难点）
导入新课
知识要点
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的 路线,我们把它叫做抛物线.
练一练：画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
< (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象 的特点.（难点） 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用. （难点）
导入新课
知识要点
y＝ax2 图象
位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
这条抛物线关于y轴对称,
3
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的 路线,我们把它叫做抛物线.
练一练：画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
< (1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；
(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶
点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标
人教版数学九年级下册26.1.2第2课时+反比例函数的图象和性质的的综合运用课件
y k 1、若点P（2,3）在反比例函数
的图像上，则k= 6 _
x
2、若点P(m,n)在反比例函数 y 6 图像上，则mn= 6_
x
3、如图，S矩形ABCD= 6 S△ABD=__3_
A
D
S矩形ABCD与S△ABD有何关系？
2
S△ABD=
1 2
S矩形ABCD
B3
C
4、如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
二 反比例函数图象和性质的综合
例2 如图，是反比例函数 y m 5 图象的一支. 根
据图象，回答下列问题：
x
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
y
解：因为这个反比例函数图象的一
函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 y k ，因为点
x A (2，6)在其图象上，所以有 6 k ，解得 k =12.
2 所以反比例函数的解析式为 y 12 .
x
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图 象上，点 D 不在这个函数的图象上.
y
设点 P 的坐标为 (a，b)
∵点
P
(a，b)
在函数
y
k x
的图
象上，∴ b k ，即 ab=k. a
PB
SA
AO
x
BP
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；