选修2-2第三章 复数
2019版数学《学案导学与随堂笔记》人教A版浙江版选修2-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习课
得 z ＝1－3i.
1234 5
解析 答案
3.若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为
A.－4B.－45 NhomakorabeaC.4
√D.45
解析 z＝|43＋－34ii|＝3－5 4i＝35＋45i.
1234 5
解析 答案
4.计算：[(1＋2i)i100＋(11－ ＋ii)5]2－(1＋2i)20. 解 [(1＋2i)·i100＋(11－ ＋ii)5]2－(1＋2i)20 ＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－22i1010
知识点二 复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi←一――一―对――应→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)←一――一―对――应→平面向量O→Z.
知识点三 复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ； ④除法：zz12＝ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋＋db2d＋bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0).
解答
(2)若复数z对应的点P在直线y＝ 12 x上，求θ的值. 解 由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ). 由点 P 在直线 y＝12x 上，得－2sin2θ＝－12， ∴sin2θ＝14，又 θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此 sin θ＝12，∴θ＝π6或 θ＝56π.
2019年高考数学(选修2-2) 第三章数系的扩充与复数的引入 本章提升测评
第三章本章提升测评一．选择题1．（2016课标全国Ⅱ（文），2，★☆☆）设复数z 满足z+i=3-i ，则= ( )A ．- 1+2iB ．1-2iC ．3+2iD ．3-2i2．（2016山东（理），1，★☆☆）若复数z 满足2z+=3- 2i ，其中i 为虚数单位，则z= ( )A ．1+2iB ．1-2iC.- 1+2i D ．-1-2i3．（2016课标全国Ⅱ（理），1，★☆☆）已知z=(m+3)+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．（-3，1）B ．（-1，3）C ．(1，+∞)D ．（-∞，-3）4．（2016课标全国Ⅲ，2，★☆☆）若z= 1+2i ，则=( )A ．1B ．-1C.i D ．-i5．（2016课标全国l （理），2，★☆☆）设(1+i)x =1+yi ，其中x ，y 是实数，则lx+yil=( )A ．1B ．2C ．3 D.26．（2016山东（文），2，★☆☆）若复数z=i -12，其中i 为虚数单位，则z -=( )A.1+i B ．1-iC.- 1+i D ．-1-i7．（2015湖北，1，★★☆）i 为虚数单位，i ⁶ᵒ⁷的共轭复数为 ( )A ．iB ．-iC.l D ．-18．（2015广东，2，★★☆）若复数z=i(3 - 2i)（i 是虚数单位），则z -= ( )A.2 -3iB.2+3iC.3+2iD.3 - 2i9．（2014山东，1，★☆☆）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a-i 与2+bi 互为共轭复数，则(a+bi)²= ( )A.5 -4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i10．（2014天津．1．★★☆）i 是虚数单位，复数=++i i 437 ( )A.1-i B ．-1+i c ．i 25312517+ D ．i 725717+-11.（2013安徽，1，★★☆）设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若z ．z -i+2=2z ，则z=( )A.1+iB.1-iC.- 1+iD.-1-i12．（2013浙江，1，★★☆）已知i 是虚数单位，则（- 1+i ）（2-i ）=( )A.- 3+iB.- 1+3iC.-3+3iD.- 1+i二．填空题13.（2017浙江，12，★★☆）已知a ，b ∈R ，( a+bi)²=3+4i （i 是虚数单位），则a ² +b ²=__________，ab=____．14．（2016天津（理），9，★☆☆）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若( 1+i)( 1-bi)=a ，则b a 的值为__________. 15．（2016江苏，2，★☆☆）复数z=(1+2i)（3-i ），其中i 为虚数单位，则z 的实部是___________．16．（2016天津，9，★☆☆）i 是虚数单位，复数。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
z2 · z1 z1· z2＝________ z1 ( z2 · z3 ) (z 1 · z2)· z3＝________
1 z2 ＋ z1 z3 z1(z2＋z3)＝z ________
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：(1) (2＋i)i＝__________________； (2)(1－2i)(3＋i)＝________________.
解析：(1)原式＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
3 3 3 1 (2)原式＝－ － ＋4－4i(1＋i) 4 4 3 1 ＝－ ＋ i(1＋i) 2 2 3 1 1 3 ＝－ － ＋ － i 2 2 2 2
栏 目 链 接
1＋ 3 1－ 3 ＝－ ＋ i. 2 2
－2＋3i －2＋3i1－2i (3)原式＝ ＝ 1＋2i 1＋2i1－2i －2＋6＋3＋4i 4 7 ＝ ＝ ＋ i. 5 5 12＋22 5－29 5 i 5－29 5 i7＋3 5 i (4)原式＝ ＝ 7－3 5 i 7－3 5 i7＋3 5 i 35＋29×15＋15 5－29×7 5i 470－188 5 i ＝ ＝ 2 2 94 7 ＋3 5 ＝5－2 5 i.
2 2 2 2
栏 目 链 接
基 础 梳 理
例：i＋2 的共轭复数是( A．2＋i C．－2＋i
答案：B
)
B．2－i D．－2－i
栏 目 链 接
＋ 2
4 ． i
4n ＋ 1
4n i － 1 － i 1 ＝ ______________ ， i
＝
i －1 －i 1 ， ____________
i －1 －i 1， i4n ＋ 3 ＝ ____________
高中数学人教a版选修2-2第三章3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义【练习】(学生版).docx
马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i2．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝( )A ．23－2iB ．－23－2iC ．±23－2iD ．23±2i 3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－45．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－16．▱ABCD 中，点A 、B 、C 分别对应复数4＋i 、3＋4i 、3－5i ，则点D 对应的复数是( )A ．2－3iB ．4＋8iC ．4－8iD ．1＋4i 二、填空题7．在复平面内，若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则 |AB →|＝________.8．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．9．在复平面内，O 是原点，O A →、O C →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ， 那么B C →对应的复数为________________．15．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________________．。
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充和复数的概念》课后训练1
课后训练1．下面三个命题：(1)0比－i 大；(2)x ＋y i ＝1＋i(x ，y ∈R )的充要条件为x ＝y ＝1；(3)a ＋b i 为纯虚数的充要条件是a ＝0，b ≠0．其中正确的命题个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－13．以2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．2＋iC ． D4．若a －1＋2a i ＝3＋4i ，则实数a 的值为( )A ．±2B ．－2C ．2D ．05．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，且M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．－1或66．复数z ＝x 2－2x －3＋21122(log log 2)i x x --是虚部为正数的非纯虚数，则实数x 的取值范围是( )A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭∪(2,3)B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(3，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭∪(2,3)∪(3，＋∞)7．若复数z ＝2623m m m --+＋(m 2－2m －15)i 是实数，则实数m ＝__________． 8．已知m ∈R ，复数z ＝(2)1m m m +-＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；9．若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1＞z 2的m 值的集合是什么？使z 1＜z 2的m 值的集合又是什么？10．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值．(1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ； (2)226(23)i 01x x x x x --+--+＝．参考答案1答案：B 解析：0与－i 不能比较大小，故(1)错；当a ，b ∈R 时(3)才正确，故(3)错；由复数相等的充要条件知(2)正确．2答案：D 解析：∵(a ＋i)i ＝b ＋i ，∴－1＋a i ＝b ＋i ．∴1,1,b a -=⎧⎨=⎩∴1,1.a b =⎧⎨=-⎩3答案：A解析：2i 222i +的实部为－2，故所求的复数为2－2i ．4答案：C 解析：由复数相等的充要条件知a 2－1＝3且2a ＝4，故a ＝2．5答案：B 解析：由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，所以22313,560,m m m m ⎧--=⎨--=⎩即41,61,m m =-⎧⎨=-⎩或或得m ＝－1．6答案：D 解析：由已知得221122230,log log 20,x x x x ⎧--≠⎪⎨-->⎪⎩ 即112213,log 1log 2x x x x ≠-≠⎧⎪⎨<->⎪⎩且或， 即131024x x x x ≠-≠⎧⎪⎨<<>⎪⎩且，或， ∴0＜x ＜14或x ＞2且x ≠3． ∴实数x 的取值范围为104⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪(2,3)∪(3，＋∞)．7答案：5 解析：根据题意得22150,230,m m m ⎧--=⎨+≠⎩解得m ＝5． 8答案：解：若z ∈R ，则m 须满足2230,10,m m m ⎧+-=⎨-≠⎩解得m ＝－3．答案：若z 是虚数，则m 须满足m 2＋2m －3≠0且m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3．答案：若z 是纯虚数，则m 须满足2(2)0,1230,m m m m m +⎧=⎪-⎨⎪+-≠⎩解得m ＝0或m ＝－2． (4)14i 2z =+． 答案：若z ＝12＋4i ，则m 须满足2(2)1,12234,m m m m m +⎧=⎪-⎨⎪+-=⎩解得m ∈∅．9答案：解：当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0， m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5．当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18．上面m 的公共值为m ＝0，此时z 1与z 2同时为实数，且z 1＝1，z 2＝2． ∴使z 1＞z 2的m 值的集合为空集，使z 1＜z 2的m 值的集合为{0}．10答案：解：∵x ，y ∈R ，∴由复数相等的定义得21,1,x x y y x y -=-⎧⎨+=--⎩解得x ＝3，y ＝－2．答案：∵x ∈R ，∴由复数相等的定义得2260,1230,x x x x x ⎧--=⎪+⎨⎪--=⎩即321,31x x x x x ==-≠-⎧⎨==-⎩或且或，∴x ＝3．。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第3章 3.1.2 复数的几何意义 Word版含解析
3.1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．[基础·初探]教材整理1 复平面与复数的几何意义 阅读教材P 104～P 105的内容，完成下列问题． 1．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一对应←———→复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i 一一对应←———→平面向量OZ →.在复平面内，复数z ＝1－i 对应的点的坐标为( ) A ．(1，i) B ．(1，－i) C ．(1,1)D ．(1，－1)【解析】 复数z ＝1－i 的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)． 【答案】 D教材整理2 复数的模阅读教材P 105“右侧”，完成下列问题． 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ→，则向量OZ →的模叫做复数a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a2＋b2(r ≥0，r ∈R )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( ) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) (3)复数的模一定是正实数．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]当实数m (1)位于第四象限； (2)位于x 轴负半轴上； (3)在上半平面(含实轴)．【精彩点拨】 (1)根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解 (2)根据实部小于0，虚部等于0求解． (3)根据虚部大于或等于0求解．【自主解答】 (1)要使点位于第四象限，需 ⎩⎨⎧ m2－8m ＋15>0，m2＋3m －28<0，∴⎩⎨⎧m<3或m>5，－7<m<4，解得－7<m <3.∴当－7<m <3时复数z 对应的点在第四象限． (2)要使点位于x 轴负半轴上，需 ⎩⎨⎧m2－8m ＋15<0，m2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m<5，m ＝－7或m ＝4，得m ＝4.∴当m ＝4时复数z 对应的点在x 轴负半轴上． (3)要使点位于上半平面(含实轴)，需 m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.∴当m ≥4或m ≤－7时，复数z 对应的点在上半平面(含实轴)．解答此类问题的一般思路：(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标． (2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[再练一题]1．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ： (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． 【解】 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． (1)当实数x 满足⎩⎨⎧ x2＋x －6＜0，x2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎨⎧x2＋x －6＞0，x2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限，(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上.(1)向量OZ1对应的复数是5－4i ，向量OZ 2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ→2对应的复数是()A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i(2)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________.【导学号：62952101】【精彩点拨】 (1)先写出向量OZ1→，OZ →2的坐标，再求出OZ →1＋OZ →2的坐标． (2)利用AB →＝OB →－OA →，求出向量AB →的坐标，从而确定AB →表示的复数．【自主解答】 (1)因为向量OZ1→对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5,4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ →1＋OZ →2对应的复数是0.(2)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.【答案】 (1)C (2)－6－8i解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．[再练一题]2．上例(2)中的条件不变，试求向量－12AB →表示的复数．【解】 由上例(2)的解析知AB →＝(－6，－8)， ∴－12AB →＝(3,4)，所以向量－12AB →表示的复数是3＋4i.[探究共研型]探1若复数z 满足|z |＝2，则复数z 的对应点的集合是什么图形？若|z |≤3，则复数z 的对应点的集合是什么图形．【提示】 若|z |＝2，则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆．若|z |≤3，则复数z 的对应点的集合是以原点为圆心，3为半径的圆及其内部．探究2 若z ＋|z |＝1＋2i ，那么如何求复数z .【提示】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x2＋y2， 从而x ＋y i ＋x2＋y2＝1＋2i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x2＋y2＝1，y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝2，∴z ＝－32＋2i.(1)已知复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－3B.3iC ．±3iD ．±3(2)求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们模的大小．【精彩点拨】 (1)设出复数z 的虚部，由模的公式建立方程求解． (2)用求模的公式直接计算．【自主解答】 (1)设复数z 的虚部为b ，∵|z |＝2，实部为1，∴1＋b 2＝4，∴b ＝±3，选D.【答案】 D(2)因为z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，所以|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝错误!＝错误!. 因为10>32，所以|z 1|>|z 2|.1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算． 2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．[再练一题]3．(1)复数z ＝x ＋1＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________． (2)已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围.【导学号：62952102】【解析】 (1)∵|z |＝3，∴错误!＝3，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆． 【答案】 以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 (2)∵z ＝3＋a i(a ∈R )，|z |＝ 32＋a2，由已知得32＋a2<4， ∴a 2<7， ∴a ∈(－7，7)．1．复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由－1＜0,2 017＞0得复数z ＝－1＋2 017i(i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限．【答案】 B2．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6D.11【解析】 |z |＝错误!＝错误!. 【答案】 D3．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限， ∴⎩⎨⎧x －2＞0，3－x ＜0，解得x ＞3.【答案】 (3，＋∞)4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 【解析】 ∵|z |＝22， ∴错误!＝2错误!， ∴(x －2)2＋y 2＝8. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a2＋b2， 代入方程得，a ＋b i ＋a2＋b2＝2＋8i ， ∴⎩⎨⎧a ＋a2＋b2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8，∴z ＝－15＋8i.。
人教A版高中数学选修2-2作业：第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 课后
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。
高中数学选修2-2章末检测3：第三章 数系的扩充与复数的引入
章末检测一、选择题1．i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( ) A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3∈SD.2i∈S 2．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A ．若z 21＋z 22＞0，则z 21＞－z 22B ．|z 1－z 2|＝(z 1＋z 2)2－4z 1z 2C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．z 1－z 1是纯虚数或零4．已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m ＋i ＝1＋n i ，则m ＋n i m －n i 等于( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i5．已知a 是实数，a －i1＋i 是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－26．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i7．已知2＋a i ，b ＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，则p ，q 的值为( ) A ．p ＝－4，q ＝5 B ．p ＝4，q ＝5 C ．p ＝4，q ＝－5D ．p ＝－4，q ＝－58．i 为虚数单位，设复数z 满足|z |＝1，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－2z ＋2z －1＋i 的最大值为( ) A.2－1B ．2－2C.2＋1D ．2＋29．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)(其中i 是虚数单位)，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．30B ．15C ．25D ．10010．设复数z 满足|z |＜1且⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝52，则|z |等于( ) A.45 B.34 C.23 D.1211．如果关于x 的方程2x 2＋3ax ＋a 2－a ＝0至少有一个模等于1的根，那么实数a 的值( ) A ．不存在 B ．有一个 C ．有三个 D ．有四个12．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个二、填空题13．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．14.已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 15．已知|z 1|＝2，|z 2|＝3，|z 1＋z 2|＝4，则z 1z 2＝__________.16．复数|z |＝1，若存在负数a 使得z 2－2az ＋a 2－a ＝0，则a ＝________. 三、解答题17．计算：(1)i 1＋i ÷(1＋3i)2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3.18．设z 是虚数，m ＝z ＋1z 是实数，且－1＜m ＜2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围．(2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．(3)结合(2)求m －u 2的最小值．[答案]精析1．B2．A [因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．]3．D [举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22＞0，但z 21与－z 22都是虚数，不能比较大小，故A 错；因为|z 1－z 2|2不一定等于(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与(z 1＋z 2)2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，故C 错；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 1＝a －b i ，故z 1－z 1＝2b i ，当b ＝0时是零，当b ≠0时，是纯虚数．故D 正确．]4．D [由m ＋i ＝1＋n i(m ，n ∈R )，∴m ＝1且n ＝1.则m ＋n i m －n i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i.]5．A [a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(a －1)－(a ＋1)i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.]6．B [∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ， ∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.]7．A [由条件知2＋a i ，b ＋i 是共轭复数，则a ＝－1，b ＝2，即实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是2±i ，所以p ＝－[(2＋i)＋(2－i)]＝－4，q ＝(2＋i)(2－i)＝5.]8．C [|z 2－2z ＋2z －1＋i|＝|z －(1＋i)|，故只需求x 2＋y 2＝1上的点到(1,1)的最大距离，其值为1＋ 2.]9．D [由复数相等知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ，则x 2＋y 2＝50－50sin(θ－φ)≤100(其中φ为辅助角)． ∴x 2＋y 2的最大值为100.]10．D [因为⎪⎪⎪⎪z ＋1z ＝|z z ＋1||z |＝52，即|z |2＋1＝52|z |，所以|z |＝12.] 11．C [(1)当根为实数时，将x ＝1代入原方程得a 2＋2a ＋2＝0，此方程无实数解；将x ＝－1代入原方程得a 2－4a ＋2＝0，解得a ＝2±2，都符合要求．(2)当根为虚数时，Δ＝a (a ＋8)＜0，∴－8＜a ＜0.此时有x 1·x 2＝|x 1|2＝|x 2|2＝1＝a 2－a2，所以可得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1，或a ＝2(舍去)．故共有三个．] 12．B [f (n )有三个值0,2i ，－2i.] 13．(3,4)[解析] ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0，m 2－m －6>0，解得3<m <4.14．1＋2i[解析] 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，即a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i. 15.16±156i [解析] 由题意，z 1z 1＝4，z 2z 2＝9，(z 1＋z 2)(z 1＋z 2)＝z 1z 1＋z 2z 2＋z 1z 2＋z 2z 1＝4＋9＋9z 1z 2＋4z 2z 1＝16，所以9z 1z 2＋4z 2z 1＝3，令z 1z 2＝t ，则9t ＋4t ＝3，即9t 2－3t ＋4＝0，所以t ＝16±15i 6，即z 1z 2＝16±15i 6. 16.1－52[解析] 由z 2－2az ＋a 2－a ＝0，得(z －a )2＝a . 又a 为负数，所以z －a 为纯虚数．设z －a ＝b i ，则z ＝a ＋b i ，所以(b i)2＝a ，故a ＝－b 2. 又|z |＝1，所以a 2＋b 2＝1，所以a 2－a －1＝0.故a ＝1±52.由a 为负数，所以a ＝1－52.17．解 (1)i1＋i ÷(1＋3i)2＝i (1－i )(1＋i )(1－i )÷[(1＋3i)(1＋3i)] ＝i －i 22÷(1＋3i 2＋23i)＝1＋i 2÷(－2＋23i)＝(1＋i )(－4－43i )(－4＋43i )(－4－43i ) ＝－4－43i －4i －43i 264＝4(－1＋3)－4(1＋3)i 64＝－1＋316－1＋316i.(2)方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－3i 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3i ＋i ＋3i 243＝[(1－3)＋(1＋3)i]343＝ (1－3)3＋3(1－3)2(1＋3)i ＋3(1－3)(1＋3)2i 2＋(1＋3)3i 364＝16－16i 64＝1－i 4.方法二 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1＋i 1－3i 3＝(1＋i )3(1－3i )3＝1＋3i ＋3i 2＋i 31－33i －9＋33i ＝－2＋2i －8＝1－i 4.18．(1)解 ∵z 是虚数，∴可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， ∴m ＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.∵m 是实数，且y ≠0， ∴y －yx 2＋y2＝0，∴x 2＋y 2＝1，∴|z |＝1，此时m ＝2x . ∵－1＜m ＜2，∴－1＜2x ＜2，从而有－12＜x ＜1.∴|z |＝1，z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. (2)证明 结合(1)可知u ＝1－z 1＋z ＝1－(x ＋y i )1＋(x ＋y i )＝(1－x －y i )(1＋x －y i )(1＋x )2＋y 2＝－y(1＋x )i. 又∵x ∈⎝⎛⎭⎫－12，1，y ≠0， ∴－y1＋x≠0，∴u 为纯虚数．(3)解 m －u 2＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 1＋x i 2＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋x 2＝2x ＋1－x 2(1＋x )2＝2x ＋1－x 1＋x ＝2x －1＋21＋x＝2(x ＋1)＋21＋x－3.∵－12＜x ＜1，∴1＋x ＞0，∴2(x ＋1)＋21＋x－3≥22(x ＋1)·21＋x－3＝1.当且仅当2(x ＋1)＝21＋x ，即x ＝0(x ＝－2舍去)时，等号成立．故m －u 2的最小值为1，此时z ＝±i.。
贵州省盘县第三中学高中数学(人教A版)选修2-2教案：第三章 数系的扩充与复数的进入3.1.1 数系的扩充
课 题27：数系的扩充教学目标（1）了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i 的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件． 教学过程一．问题情境1．情境：1)数的概念的发展从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集．引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为例）2．问题：实数集应怎样扩充呢？二．建构数学1．为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位（imaginary unit ）．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．2．复数概念及复数集C形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数（complex number ）．全体复数构成的集合叫做复数集（set of complex numbers ），一般用字母C 来表示， 即{},,C z z a bi a b R ==+∈．显然有N*N Z Q R C ．3．复数的有关概念1) 复数的表示：通常用字母z 表示，即z a bi =+(,a b R ∈)，其中,a b 分别叫做复数的实部（real part ）与虚部（imaginary part ）；2）虚数和纯虚数①复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b =时，z 就是实数a ．②复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b ≠时，z 叫做虚数（imaginary number ）． 特别的，当0a =，0b ≠时，z bi =叫做纯虚数（pure imaginary number ）．3)复数集的分类分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：4)两复数相等如果两个复数a bi +与c di +（,,,a b c d R ∈）的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等．即a c a bi c di b d =⎧+=+⇔⎨=⎩，（复数相等的充要条件），特别地：000a a bi b =⎧+=⇔⎨=⎩（复数为0的充要条件）．复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径．5）两个复数不能比较大小：两个实数可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，不能比较它们的大小．三．数学运用1．例题：例1．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数， 哪些是虚数，哪些是纯虚数．144,23,0,,5,623i i i --+解： 144,23,0,,5,623i i i --++的实部分别是14,2,0,,5,02-；虚部分别是40,3,0,3-．4,0是实数；1423,,523i i i --+是虚数，其中6i 是纯虚数．例2．实数m 取什么值时，复数(1)(1)z m m m i =-+-是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？分析：由m R ∈可知1m -，(1)m m -都是实数，根据复数a bi +是实数、虚数和纯虚数的条件可以分别确定m 的值．解：（1）当10m -=，即1m =时，复数z 是实数；（2）当10m -≠，即1m ≠时，复数z 是虚数；（3）当(1)0m m -=，且10m -≠，即0m =时复数z 是纯虚数． （变式引申）：已知m R ∈，复数2(2)(21)1m m z m m i m +=++--，当m 为何值时：（1）z R ∈；（2）z 是虚数；（3）z 是纯虚数．解：（1）当2210m m +-=且10m -≠，即1m =-时，z 是实数；（2）当2210m m +-≠且10m -≠，即1m ≠-1m ≠时，z 是虚数； （3）当(2)01m m m +=-且2210m m +-≠，即0m =或2-时，z 为纯虚数．思考：0a =是复数z a bi =+为纯虚数的充分条件吗？答：不是，因为当0a =且0b ≠时，z a bi =+才是纯虚数，所以0a =是复数z a bi =+为纯虚数的必要而非充分条件．例3．已知()(2)(25)(3)x y x y i x x y i ++-=-++，求实数,x y 的值．解：根据两个复数相等的充要条件，可得：2523x y x x y x y +=-⎧⎨-=+⎩，解得：32x y =⎧⎨=-⎩．（变式引申）：已知1244a ai i -+=-+，求复数a ．解：设(,)a x yi x y R =+∈，则12()44x yi x yi i i +-++=-+，(21)(2)44x y x y i i ∴--++=-+， 由复数相等的条件214,24,x y x y --=-⎧⎨+=⎩1,2,12x y a i ∴==∴=+．2．练习：（1）已知复数223(56)()z k k k k i k R =-+-+∈，且0z <，则k = ．解：0z <Q ，则z R ∈．故虚部2560,(2)(3)0k k k k -+=--=2k ∴=或3．但3k =时，0z =，不合题意，故舍去，故2k =．四．回顾小结：1．能够识别复数，并能说出复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数；2．复数相等的充要条件．教后反思：。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，a 叫做 2．复数的定义：形如_________________
实部 ，b 叫做复数的________ 虚部 ．全体复数所成的集合叫做 复数的________ 复数集 b＝ 0 ________， 用字母 C 表示． 对于复数 a＋bi(a， b∈R)， 当且仅当______ b≠0 时，复数 z＝a＋bi 时，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当________ a＝0且b≠0 时，z＝bi 叫做纯虚数；当且仅当________ a＝b＝0 叫做虚数；当____________
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
栏 目 链 接
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．
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基 础 梳 理
1．虚数单位 i.
－1 ； (2)实数可以与它进行四则运算．进行四则运 (1)i2＝________
)
D．既不充分也不必要条件
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解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0. ∴a＋bi(a， b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条件． 答案：A
自 测 自 评
2．下列说法正确的是( ) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等 B．若 a，b∈R 且 a＞b，则 ai＞bi C．如果复数 x＋yi 是实数，则 x＝0，y＝0 D．复数 a＋bi 不是实数
解得 x≠－3 且 x≠5.
2 x －x－6 x＋3 ＝0， (3) 要使该复数是纯虚数，需满足 x2－2x－15≠0.
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§3.1.1 数系的扩充与复数的概念.6062复习1：实数系、数系的扩充脉络是： → → → ， 用集合符号表示为： ⊆ ⊆ ⊆复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）： （1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复数的定义问题：方程210x +=的解是什么？为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数； 探究任务二：复数的相等若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等. a bi +=c di + ⇔ ； a bi +=0 ⇔ .注意:两复数 比较大小.※ 典型例题例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？小结：数集的关系：0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.变式：设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A ．0a =B ．0a =且0b ≠C ．0a ≠且0b =D ．0a ≠且0b ≠小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.※ 动手试试练1. 若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，求,x y 的值.练2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+， 当m 取何实数时，z 是：（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.三、总结提升※ 学习小结1. 复数的有关概念；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =-++是实数（ ） A ．0 B ．1- C ． 2- D ．3-2. 如果复数a bi +与c di +的和是纯虚数，则有（ ）A ．0b d +=且0a c +≠B ．0b d +≠且0a c +=C ．0a d +=且0b d +≠D ．0b c +=且0b d +≠3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,那么实数a 的值为（ ） A ．1或2- B ．1-或2 C ．1或2 D ．1-或2-4.若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，则实数x = ；y = .§3.1.2 复数的几何意义.6264复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复平面 问题：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部b 同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标.结论：复数与平面内的点或序实数一一对应. 新知：1.复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.显然，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 1. 复数的几何意义:复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ； 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ ； 复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 注意：人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，规定相等的向量表示同一复数.2. 复数的模向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:||||0,)z a bi r r r R =+=≥∈试试：复平面内的原点(0,0)表示 ，实轴上的点(2,0)表示 ，虚轴上的点(0,1)-表示 ，点(2,3)-表示复数反思：复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.※ 典型例题例1在复平面内描出复数23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0分别对应的点.变式：说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1).小结：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b . 例2已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，对应的点 （1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线0x y +=上；（4）在上半平面（含实轴）变式：若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点（1）在虚轴上，求实数m 的取值；（2）在右半平面呢？※ 动手试试练1. 在复平面内画出23,42,13,4,30i i i i i +--+--所对应的向量.三、总结提升 1. 复平面的定义； 2. 复数的几何意义； 3．复数的模.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列命题（1）复平面内，纵坐标轴上的单位是i （2）任何两个复数都不能比较大小（3）任何数的平方都不小于0（4）虚轴上的点表示的都是纯虚数（5）实数是复数（6）虚数是复数（7）实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62. 对于实数,a b ，下列结论正确的是（ ）A ．a bi +是实数B ．a bi +是虚数C ．a bi +是复数D ．0a bi +≠3. 复平面上有点A ，B 其对应的复数分别为3i -+和13i --，O 为原点，那么是AOB ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形4. 若1z =，则||z =5. 实数取什么值时，复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点 （1）位于第四象限？（2）位于第一、三象限？（3）位于直线y x =上？§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.6667复习1：试判断下列复数14,72,6,,20,7,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量.复习2：求复数2log 3z i =的模二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复数代数形式的加减运算 规定：复数的加法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么()()()()a bi c di a c b d i +++=+++ 很明显，两个复数的和仍然是 . 问题：复数的加法满足交换律、结合律吗？新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z +=+ ； 123123()()z z z z z z ++=++探究任务二：复数加法的几何意义问题：复数与复平面内的向量有一一对应的关系.我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？由平面向量的坐标运算，有OZ =12OZ OZ +=（ ） 新知：复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则） 试试：计算（1）(14)(72)i i +-+= (2) (72)(14)i i -++= （3）[(32)(43)](5)i i i --++++= (4) (32)(43)(5)]i i i --++++[= 反思：复数的加法运算即是：探究任务三：复数减法的几何意义问题：复数是否有减法？如何理解复数的减法？类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算. 新知：复数的减法法则为：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-由此可见，两个复数的差是一个确定的复数.复数减法的几何意义：复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.※ 典型例题例1 计算 (56)(2)(34)i i i -+---+变式：计算（1）()845i -+（2）()543i i--（3())29i i +---小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减.例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数；（2）CA 表示的复数;（3）B 点对应的复数.变式：ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数.小结：减法运算的实质为终点复数减去起点复数，即：B A AB z z =-※ 动手试试 练1. 计算：（1）(24)(34)i i ++-；（2）5(32)i -+；（3）(34)(2)(15)i i i --++--； （4）(2)(23)4i i i --++三、总结提升※ 学习小结两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行. ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 0a =是复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件 2. 设O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ） A ．55i -+ B ．55i -- C ．55i + D ．55i - 3. 当213m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4. 2i i +在复平面内表示的点在第 象限.5. 已知134z i =+，点2z 和点1z 关于实轴对称，点3z 和点2z 关于虚轴对称，点4z 和点2z 关于原点对称，则2z = ；3z = ；4z =§3.2.2 复数代数形式的乘除运算1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.6870 复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+ （2）(52)(14)(23)i i i --+--+ （3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 复习2：计算：2()a b ±=(32)(32)a b a b +-= (32)(3)a b a b +--=二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算 规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ =()()ac bd ad bc i -++即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[新知：对于任意123,,z z z C ∈，有 1221z z z z ⋅=⋅ 123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅ 1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。