(完整word版)2018年中考数学复习专题训练：二次函数的综合应用(含解析)
(完整版)2018二次函数压轴题题型归纳(可编辑修改word版)
⎩ ⎩ ⎩ 一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式： AB =2、中点坐标：线段 AB 的中点C 的坐标为：⎛x A+ xBy A + y B ⎫， ⎪⎝22 ⎭直线 y = k 1 x + b 1 （ k 1 ≠ 0 ）与 y = k 2 x + b 2 （ k 2 ≠ 0 ）的位置关系：（1）两直线平行⇔ k 1 = k 2 且b 1 ≠ b 2（2）两直线相交⇔ k 1 ≠ k 2（3）两直线重合⇔ k 1 = k 2 且b 1 = b 23、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆ 和参数的其他要求确定参数的取值范围；（4） 两直线垂直⇔ k 1k 2 = -1② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于 x 的一元二次方程 x 2－2(m + 1)x + m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。
4、二次函数与 x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线 y = mx 2 + (3m +1)x + 3 与 x 轴交于两个不同的整数点，且 m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于 x 的方程 mx 2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当 m = 0 时， x = 1；当 m ≠ 0 时， ∆ = (m - 3)2≥ 0 ， x =2m综上所述：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。
6、函数过固定点问题，举例如下：， x 1= 2 - 3 、 x m 2= 1 ；已知抛物线 y = x 2 - mx + m - 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
2018数学中考专题之二次函数解析式(含答案)
中考专题之二次函数的解析式二次函数是初中数学中考题的一个重要内容，而熟练地求出二次函数的解析式是解决其他二次函数问题的重要保证。
二次函数的定义：二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：2y ax bx c(a 0)。
2、顶点式：2y=a(x —h) +k (a* 0)，其中点(h, k)为顶点，对称轴为直线x=h。
3、交点式(两根式)：y=a(x —x 1)(x —x2) (a^ 0)，其中x 1, x 2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。
常见题型：一、根据定义求值2例1、若y (m2 m)x m 2m 1是二次函数，则m= _______________________ 提醒：一定要注意二次项系数不为0。
二、开放性例2、经过点A (0, 3)的抛物线解析式为 ___________________________________提示：这种题目，最好设最简单的解析式y ax2三、平移型1 2 5 1 2例3:将y —x2 3x —的图象是由y — x2怎样平移得到的？2 2 2提示：这类平衡问题，由于平移时，抛物线上任何一点平移的方向距离都相同，所以解决这类问题一般观察特殊点(比如顶点) ，根据特殊点的平移情况来判断平移情况。
四、压轴题中求解析式举例例4、抛物线过过A(-2,0)、B (-3, 3)及原点0,求抛物线的解析式。
分析：此三点不是特殊点，所以用待定系数法直接代入即可。
解：设拋物銭的SS忻式対片品+加刃)，T抛物曲A「2』)」B〈已“「o ( 0 J 0 )可得4a_2t+r=0* 9a—3b^c=3 *c=QJfE解得’ ft=2 reOL「•拋物我的解忻式为y-x£ + 2x ;2 1例5、已知y ax bx 1(a 0)过点A ( — ,0 )、B (2, 0),求函数解析式。
2018年中考数学总复习 专题检测12 二次函数试题 (新版)
专题检测12 二次函数(时间60分钟满分100分)一、选择题(每小题3分,共36分)1.若函数y=a是二次函数且图象开口向上,则a=(B)A.-2B.4C.4或-2D.4或32.抛物线y=x2-6x+3的顶点坐标为(A)A.(3,-6)B.(3,12)C.(-3,-9)D.(-3,-6)3.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(D)4.直线y=x-2与抛物线y=x2-x的交点个数是(C)A.0B.1C.2D.互相重合的两个5.2根据表格提供的信息,下列说法错误的是(C)A.该抛物线的对称轴是直线x=-2B.该抛物线与y轴的交点坐标为(0,-2.5)C.b2-4ac=0D.若点A(0.5,y1)是该抛物线上一点,则y1<-2.56.喜迎圣诞,某商店销售一种进价为50元/件的商品,售价为60元/件,每星期可卖出200件,若每件商品的售价每上涨1元,则每星期就会少卖出10件.设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每星期销售该商品的利润为y元,则y与x的函数解析式为(A)A.y=-10x2+100x+2 000B.y=10x2+100x+2 000C.y=-10x2+200xD.y=-10x2-100x+2 000 〚导学号92034168〛7.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点,则m的取值范围是(A)A.m≤2B.m<-2C.m>2D.0<m≤28.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象相交(如图),则不等式ax2+bx+c>的解集是(B)A.1<x<4或x<-2B.1<x<4或-2<x<0C.0<x<1或x>4或-2<x<0D.-2<x<1或x>-4 〚导学号92034169〛9.如图,O为坐标原点,边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75°,使点B落在某抛物线的图象上,则该抛物线的解析式为(B)A.y=x2B.y=-x2C.y=-x2D.y=-3x210.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A,B两点,Q是二次函数y=ax2+bx+c图象上一点,且AQ⊥BQ,则a的值为(D)A.-B.-C.-1D.-211.在1~7月份,某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜,并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示,则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是(C)A.1月份B.2月份C.5月份D.7月份12.如图,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,得出了下面五条信息:①c>0;②b=6a;③b2-4ac>0;④a+b+c<0;⑤对于图象上的两点(-6,m),(1,n),有m<n.其中正确的个数有(C)A.2B.3C.4D.5二、填空题(每小题4分,共32分)13.抛物线y=-ax2+2ax+3(a≠0)的对称轴是直线x=1.14.如图所示的四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d 的大小关系为a>b>d>c.15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,当x=2时,y的值为2.16.已知A(2,y1),B(3,y2)是抛物线y=-(x-1)2+的图象上两点,则y1>y2.(填不等号)17.如图,抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位长度后,顶点在直线y=x上的M处,则平移后抛物线的解析式为y=(x-1)2+1.18.已知函数y=其图象如图中的实线部分,图象上两个最高点分别是A,B,连接AB,则图中曲四边形ABCO(阴影部分)的面积是2.19.某体育公园的圆形喷水池的水柱(如图1),如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流(如图2),其上的水珠的高度y(单位:米)关于水平距离x(单位:米)的函数解析式为y=-x2+4x+,那么圆形水池的半径至少为米时,才能使喷出的水流不落在水池外.20.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x-1交y轴于点A,过点A作AB∥x轴交抛物线于点B,点P在抛物线上,连接PA,PB,若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上,则△ABP的面积是2.三、解答题(共32分)21.(15分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).(1)求此抛物线的解析式;(2)求此抛物线顶点坐标及对称轴;(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=1,求点B的坐标.抛物线解析式为y=x(x-2),即y=x2-2x.(2)因为y=x2-2x=(x-1)2-1,所以抛物线的顶点坐标为(1,-1),对称轴为直线x=1.(3)设B(t,t2-2t),因为S△OAB=1,所以×2×|t2-2t|=1,所以t2-2t=1或t2-2t=-1,解方程t2-2t=1得t1=1+,t2=1-,则点B的坐标为(1+,1)或(1-,1);解方程t2-2t=-1得t1=t2=1,则点B的坐标为(1,-1),所以点B的坐标为(1+,1)或(1-,1)或(1,-1).〚导学号92034170〛22.(17分)某电子科技公司开发一种新产品,公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次.在1~12月份中,公司前x个月累计获得的总利润y(单位:万元)与销售时间x(单位:月)之间满足二次函数关系式y=a(x-h)2+k,其一部分图象如图所示,点A为抛物线的顶点,且点A,B,C的横坐标分别为4,10,12,点A,B的纵坐标分别为-16,20.(1)试确定函数解析式y=a(x-h)2+k;(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润;(3)在前12个月中,哪个月该公司一个月内所获得的利润最多?最多利润是多少万元?根据题意可设y=a(x-4)2-16,当x=10时,y=20,所以a(10-4)2-16=20,解得a=1,所求函数解析式为y=(x-4)2-16.(2)当x=9时,y=(9-4)2-16=9,所以前9个月公司累计获得的利润为9万元.又由题意可知,当x=10时,y=20,而20-9=11,所以10月份一个月内获得的利润为11万元.(3)设在前12个月中,第n个月该公司一个月内所获得的利润为s万元.则有s=(n-4)2-16-[(n-1-4)2-16]=2n-9,因为s是关于n的一次函数,且2>0,所以s随着n的增大而增大,而n的最大值为12,所以当n=12时,s=15,所以12月份该公司一个月内所获得的利润最多,最多利润是15万元.。
内蒙古2018年中考数学重点题型专项训练 二次函数综合题
二次函数综合题类型一与角度有关的问题★1.抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB＝∠ABC，利用图①求点 P 的坐标；(3)点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图②比较∠OCQ与∠OCA 的大小，并说明理由．第 1 题图解：(1)当y＝0时，得0＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1，x2＝3，∴B 点的坐标为(3，0)，当x＝0，得 y＝3，即 C 点坐标为(0，3)，设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋3(k≠0)，将点 B(3，0)代入得0＝3k＋3，解得 k＝－1，∴直线 BC 的解析式为 y＝－x＋3；(2)由(1)可知OB＝OC＝3，∴△BOC 为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，抛物线对称轴为 x＝1，设抛物线对称轴交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E，当点 P 在 x 轴上方时，如解图①，第 1 题解图①∵∠APB＝∠ABC＝45°，且 PA＝PB，∴∠PBA＝180°－45°＝67.5°，2∠DPB＝12∠APB＝22.5°，∴∠PBD＝67.5°－45°＝22.5°，∴∠DPB＝∠DBP，∴DP＝DB，在 Rt△BDE中，BE＝DE＝2，由勾股定理可得，BD＝22，∴PE＝2＋22，∴P(1，2＋22)；当点 P 在 x 轴下方时，由对称性可知 P 点坐标为(1，－2－22)，综上可知，抛物线的对称轴上存在点 P,使∠APB=∠ABC，P点坐标为(1，2＋22)或(1，－2－22)；（3）如解图②，作点A关于y轴对称的点F，点 F 的坐标为(1，0)，则∠OCA＝∠OCF，设直线 CF 的解析式为 y＝kx＋b，把点 C(0，3)，F(1，0)代入求得 k＝－3，b＝3，则直线 CF 的解析式为 y＝－3x＋3，y＝－3x＋3，联立y＝－x2＋2x＋3x1＝0解得y1＝3 ，x2＝5y2＝－12，直线 CF 与抛物线的交点坐标为(0，3)、(5，－12)，第1题解图②设点 Q 的坐标为(a，－a2＋2a＋3)，当0＜a＜5 时，∠OCF＜∠OCQ，则∠OCA＜∠OCQ；当a＝5时，∠OCF＝∠OCQ，则∠OCA＝∠OCQ；当a＞5时，∠OCF＞∠OCQ，则∠OCA＞∠OCQ.类型二线段及周长问题★1. 如图，抛物线y＝－14x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)，B(－4，－4)，且抛物线与 y 轴交于点 C，连接 AB，BC，AC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点 P 的坐标；(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及 x 轴于 F、D 两点.请问是否存在这样的点 E，使 DE＝2DF？若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.第 1 题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (4，0)，B (－4，－4)，⎧ － 1⨯16 + 4b +c = 0⎧ 1 ⎪ 4 ⎪b =， 2 ∴ ⎨ 1，解得 ⎨⎪ ⎪⎪－⨯16 - 4b +c = -4⎩c =2 ⎩ 4∴抛物线的解析式为 y ＝－14 x 2＋12 x ＋2；（2）由抛物线y ＝－14x 2＋12x ＋2 可得其对称轴为直线x ＝1 2－1 ＝1，点 C 的坐标为(0，2)，2 ⨯(－4)如解图，作点 C 关于对称轴 x ＝1的点 C′，则 C′的坐标为(2，2)，连接BC ’；即 BC′＝ (2 + 4)2+ (2 + 4)2＝62，BC′与对称轴的交点即为所求点 P ，连第 1 题解图接 CP ，此时△PBC 的周长最小．设直线BC′的解析式为 y＝kx＋m，∵点 B(－4，－4)，C′(2，2)，⎧ 2k+m= 2，解得⎨⎧ k =1，∴⎨-4k+m= -4⎩m =0⎩∴直线BC′的解析式为 y＝x，将 x＝1代入 y＝x，得 y＝1，∴点 P 坐标为(1，1)．∴BC＝42+ (2 + 4)2= 213 .∵△PBC 的周长为 CP＋BC＋PB＝BC＋BC′，∴△PBC 周长的最小值为213＋62；(3)由点A(4，0)，B(－4，－4)可得直线AB的解析式为y＝12x－2，设点E(x，12x－2)，其中－4<x<4，则F(x，－14 x2＋12x＋2)，DE＝|12x－2|＝2－12x，DF＝|－14 x2＋12x＋2|，当2－12x＝－12x2＋x＋4，即点F位于x轴上方，解得 x1＝－1，x2＝4(舍去)，将 x＝－1代入 y＝1x －2，得到y＝－5，∴E(－1，－5)，222当 2－12x＝12x2－x－4，即点F位于x轴下方，解得 x1＝－3，x2＝4(舍去)，将 x＝－3代入 y＝12x－2，得到 y＝－72，∴E(－3，－72)．综上所述：点 E 的坐标为：(－1，－52)，(－3，－72)．★2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 y＝－x＋4与x 轴交于点 A，过点 A 的抛物线 y＝ax2＋bx与直线 y＝－x＋4交于另一点 B，且点 B 的横坐标为1.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上一个动点(点P不与点A、B重合)，过点P作 PM∥OB 交第一象限内的抛物线于点 M ，过点 M 作MC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 N，过点 P 作 PF⊥MC 于点 F，设 PF 的长为 t，①求 MN 与 t 之间的函数关系式(不要求写出自变量 t 的取值范围)；②当 MN 取最大值时，连接 ON，直接写出sin∠BON 的值．第 2 题图解：(1)∵y＝－x＋4与x轴交于点A，∴A(4，0)，∵点 B 的横坐标为1，且直线 y＝－x＋4经过点 B，∴B(1，3)，∵抛物线 y＝ax2＋bx 经过 A(4，0)，B(1，3)，⎧16a+ 4b= 0，∴ ⎨3a +b =⎩⎧a = -1解得⎨.b =4⎩∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋4x；(2)①如解图①，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，第 2∵B(1，3)，A(4，0)，∴OD＝1，BD＝3，OA＝4，∴AD＝3，∴AD＝BD，∵∠BDA＝90°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∵MC⊥x 轴，∴∠ANC＝∠BAD＝45°，∴∠PNF＝∠ANC＝45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN＝∠PNF＝45°，∴NF＝PF＝t，∵∠PFM＝∠ECM＝90°，第 2 题解图①∴PF∥EC，∴∠MPF＝∠MEC，∵ME∥OB，∴∠MEC＝∠BOD，∴∠MPF＝∠BOD，∴tan∠BOD＝tan∠MPF，∴OD BD＝MF PF＝3，∴MF＝3PF＝3t，∵MN＝MF＋FN，∴MN＝3t＋t＝4t；②如解图②，作 BG⊥ON 于 G 点，第 2 题解图②当过点 M 的直线与直线 AB 平行且与抛物线只有一个交点时， MN 取最大，∴设与 AB 平行的直线 y＝－x＋b，当－x2＋4x＝－x＋b；即 x2－5x＋b＝0，25＝25－4b＝0，解b＝4 .25∴直线 y＝－x＋4，∴抛物线 y＝－x2＋4x 与 y＝－x＋254的交点 M(52，154)，∴N 点的横坐标为52，N 点的纵坐标为－52＋4＝32，即 N(52，32 )，∴ON 的解析式为 y＝53 x，∵BG⊥ON，5设 BG 的解析式为 y＝－3 x＋b，将 B(1，3)代入 y＝－5x＋b，解得 b＝14，3 3 514∴BG 的解析式为 y＝－3 x＋3，⎧y =3x⎧x =35 517⎪⎪联立⎨514 ，解得⎨21 ，⎪⎪⎪y = -x +⎪ y =3 3 17⎩⎩3521即G(17，17)．∴由勾股定理，得 OB＝12+ 32＝10 ，BG＝(1735-1)2+ (1721- 3)2＝61734，634∴sin∠BON＝BG＝17 ＝685 .OB10 85★3 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y 轴于点 C，点 P 是该抛物线上一动点，点 P 从 C 点沿抛物线向 A 点运动(点 P 不与点 A 重合)，过点 P 作 PD∥y 轴交直线 AC 于点 D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA－MC|最大？若存在，请求出点 M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，⎧9 + 3b+c= 0⎧b =－4，∴ ⎨，解得⎨1+b+c= 0 ⎩c =3⎩∴抛物线解析式为 y＝x2－4x＋3；(2)令x＝0，则y＝3，∴点 C(0，3)，则直线 AC 的解析式为 y＝－x＋3，设点 P(x，x2－4x＋3)，∵PD∥y 轴，∴点 D(x，－x＋3)，3 9 ∴PD＝(－x＋3)－(x2－4x＋3)＝－x2＋3x＝－(x－2)2＋4，∵a＝－1<0，∴当 x＝32时，线段 PD 的长度有最大值94；(3)由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA＝MB，由三角形的三边关系，|MA－MC|<BC，∴当 M、B、C 三点共线时，|MA－MC|最大，即为 BC 的长度，设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋m(k≠0)，⎧k + m =0⎧k= -3，则⎨，解得⎨m =3 ⎩m =3⎩∴直线 BC 的解析式为 y＝－3x＋3，∵抛物线 y＝x2－4x＋3的对称轴为直线 x＝2，∴当 x＝2时，y＝－3×2＋3＝－3，∴点 M(2，－3)，即抛物线对称轴上存在点 M(2，－3)，使|MA－MC|最大．类型三面积问题★1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与 y 轴交于点 C(0，3)，且此抛物线的顶点坐标为 M(－1，4)．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB 面积相等时，求点 D 的坐标；(3)点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为 E，将△PCE 沿直线 CE 翻折，使点 P 的对应点P′与 P、E、C 处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．第 1 题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点C(0，3)，顶点为 M(－1，4)，⎧c =3⎧a = -1⎪b⎪b = -2⎪-= -1，∴ ⎨2a，解得⎨⎪⎪⎪a - b + c =4⎩c =3⎩∴所求抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3.(2)令y＝－x2－2x＋3＝0，解得x＝－3或x＝1，故A(－3，0)，B(1，0)．∴AB＝4，∴OA＝OC＝3，△AOC 为等腰直角三角形．∴直线 AC 的解析式为 y＝x＋3，如解图①，设 AC 交对称轴 x＝－1于点F(－1，yF)．易得 yF＝2，故点 F(－1，2)．设点 D 坐标为(－1，yD)，则S△ADC＝12|DF|·|AO|＝12×|yD－2|×3.又 S△ABC＝1|AB|·|OC|＝1×4×3＝6.2 2第 1 题解图①由12×|yD－2|×3＝6 得：|yD－2|＝4，故 yD＝－2或 yD＝6.∴点 D 坐标为(－1，－2)或(－1，6)．(3)如解图②，点P′为点P关于直线CE的对称点．过点 P′作P′H⊥y 轴于点 H，设 P′E 交 y 轴于点 N.在△EON 和△CP′N中⎧∠CNP' = ∠ENO⎪∠CP'N = ∠EON =90，⎨故△CP′N≌△EON(AAS)．∴CN＝EN，设 NC＝m，则 NE＝m，第 1 题解图②易得直线 AM 的解析式为 y＝2x＋6，当y＝3时，x＝－32，故点 P(－32，3)．∴P′C＝PC＝32，P′N＝3－m，在 Rt△P′NC中，由勾股定理，得(32)2＋(3－m)2＝m2，解得 m＝158，则3－m＝98.即 CN＝158，P′N＝98，∵S△P′NC＝12|CN|·|P′H|＝12|P′N|·|P′C|，∴P′H＝109.由△CHP′∽△CP′N 可得CH CP'=CP CN'，故 CH＝CP CN'2＝65.∴OH＝3－65＝95，∴P′的坐标是(109，95)．将点 P′(109，95)的坐标代入抛物线解析式，等式不成立，所以点 P′不在该抛物线上．★2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝－x2＋2x＋8的图象与一次函数 y＝－x＋b 的图象交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为－7.点 P 是二次函数图象上 A、B 两点之间的一个动点(不与点 A、B 重合)，设点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 x 轴的垂线交 AB 于点 C，作PD⊥AB 于点 D.(1)求b及 sin∠ACP的值；(2)用含m的代数式表示线段PD的长；(3)连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出 m 的值；如果不存在，请说明理由．第 2 题图解：(1)∵当y＝0时，－x2＋2x＋8＝0，∴x1＝－2，x2＝4.∵点 A 在 x 轴负半轴上，∴A(－2，0)，OA＝2，∵点 A 在一次函数 y＝－x＋b 的图象上，∴2＋b＝0，∴b＝－2，∴一次函数表达式为 y＝－x－2，如解图，设直线 AB 交 y 轴于点 E，则 E(0，－2)，OE＝OA＝2，∴△AOE 为等腰直角三角形，∠AEO＝45°，∵PC⊥x 轴交 AB 于点 C，∴PC∥y 轴，∴∠AEO＝∠ACP＝45°，∴sin∠ACP＝sin45°＝22；第 2 题解图(2)∵点P在二次函数y＝－x2＋2x＋8图象上且横坐标为m，∴P(m，－m2＋2m＋8)，∵PC⊥x 轴且点 C 在一次函数 y＝－x－2的图象上，∴C(m，－m－2)，∴PC＝－m2＋3m＋10，∵PD⊥AB 于点 D，∴在 Rt△CDP中，sin∠ACP＝PD PC＝22，∴PD＝－22 m2＋322 m＋5 2 ；(3)存在，m的值为－1或2.理由如下：如解图，分别过点 D、B 作 DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为 F、G.∵sin∠ACP＝22，∴cos∠ACP＝22，又∵∠FDP＝∠ACP，∴cos∠FDP＝22，在Rt△PDF中，DF＝22PD＝－12m2＋32m＋5，∵点 B 纵坐标为－7，且点 B 在直线 AB：y＝－x－2上，∴点 B(5，－7)，∴BG＝5－m，∵P 不与 A、B 两点重合，∴－2<m<5，∴当S∆PCD＝DF＝1时，解得 m1＝－1或 m2＝5(舍)．S∆PBC BG 2当S∆PCD＝DF＝2 时，解得m1＝2 或m2＝5(舍)，S∆PBC BG∴m 的值为－1或2.★3.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)、B(1，0)、C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．第 3 题图解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)(a≠0)，把点 A(0，4)代入上式，解得 a＝54，∴y＝54 (x－1)(x－5)＝54x2－245x＋4＝54 (x－3)2－165，∴抛物线的对称轴是直线 x＝3.(2)存在，P点坐标为(3，85)．理由如下如解图①，连接 AC 交对称轴于点 P，连接 BP，BA，∵点 B 与点 C 关于对称轴对称，∴PB＝PC，第 3 题解图①∴C△PAB＝AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC，∴此时△PAB 的周长最小，设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，把 A(0，4)，C(5，0)代入 y＝kx＋b 中，⎧b =4⎧4⎪k =－5 ，得⎨，解得⎨⎩5k+b= 0 ⎪⎩b =4 ∴直线 AC 的解析式为 y＝－45x＋4，∵点 P 的横坐标为3，∴y＝－45×3＋4＝85，∴P 点坐标为(3，85)．(3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大，理由如下：如解图②，设 N 点的横坐标为 t，第 3 题解图②此时点 N(t，45t2－245t＋4)(0<t<5)．过点 N 作 y 轴的平行线，分别交 x 轴、AC 于点 F、G，过点A作 AD⊥NG，垂足为点 D.由(2)可知直线AC的解析式为y＝－45x＋4，把x＝t 代入 y＝－45x＋4得 y＝－45t＋4，则 G(t，－45t＋4)．此时 NG＝－45t＋4－(45t2－245t＋4)＝－45t2＋4t，∵AD＋CF＝OC＝5，∴S△NAC＝ S△ANG＋ S△CNG＝12 NG·AD ＋12 NG·CF ＝12 NG·OC ＝12×(－45t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－52)2＋252，∴当 t＝52时，△NAC 的面积最大，最大值为252，由 t＝52，得 y＝45t2－245t＋4＝－3，∴N 点坐标为(52，－3)．类型四特殊三角形存在问题★1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过 A(1，0)，C(0，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．第 1 题图⎧b=－1⎪－⎧a =－12a解：(1)⎪⎪，依题意，得⎨a + b + c =0 ，解得⎨b =－2⎪⎪⎪c =3 ⎩c =3⎩∴抛物线解析式为 y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线 x＝－1，抛物线经过 A(1，0)，∴B(－3，0)．把 B(－3，0)，C(0，3)分别代入 y＝mx＋n，⎧-3m+n= 0⎧m=1，得⎨，解得⎨n =3 ⎩n =3⎩∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3.（2）如解图，连接MA，第 1 题解图∵MA＝MB，∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.∴使 MA＋MC 值最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点．设直线 BC 与对称轴 x＝－1的交点为 M，把 x＝－1，代入直线 y＝x＋3，得 y＝2.∴M(－1，2)．(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若 B 为直角顶点，则 BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若 C 为直角顶点，则 BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若 P 为直角顶点，则 PB2＋PC2＝BC2，即：4＋t2＋t2－6t＋10＝18.解得t1＝3+217 ，t2＝3-217 .综上所述，满足条件的 P 点共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，3+217 )，P4(－1，3-217 )．★2.如图，抛物线L：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B 的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴直线 x＝1.(1)求抛物线L的解析式；(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求 h 的取值范围；(3)设点P是抛物线L上任意一点，点Q在直线l：x＝－3 上，△PBQ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由．第 2 题图解：(1)把C(0，3)代入y＝ax2＋bx＋c得c＝3.把B(3，0)代入 y＝ax2＋bx＋3，得 9a＋3b＋3＝0，又－2b a＝1，∴解得a＝－1，b＝2.∴解析式是：y＝－x2＋2x＋3；【一题多解】设所求解析式为：y＝m(x－1)2＋n，⎧4m+n= 0⎧m= -1，则把 B(3，0)，C(0，3)代入得⎨，解得⎨m + n =3 ⎩n =4⎩解析式是：y＝－(x－1)2＋4，即 y＝－x2＋2x＋3.(2)由y＝－(x－1)2＋4得抛物线的顶点D(1，4)，如解图①，过点 D 作 y 轴的平行线分别交 CB，OB 于点 E，F，∴△BEF∽△BCO，则OC EF＝BO BF，∴EF＝2，∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4.【一题多解】由 y＝－(x－1)2＋4 得抛物线顶点D(1，4)，∵△OBC 是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，第 2 题解图①∴EF＝BF＝2，∴4－2≤h≤4，即 2≤h≤4.(3)设P(x，－x2＋2x＋3)，如解图②，过点P分别作x轴与l 的垂线，垂足分别是点 M ， N ，∠PMB ＝∠PNQ ＝90°，∠BPM ＝∠QPN，PB＝PQ，∴△PMB≌△PNQ，PM＝PN.第 2 题解图②①当点 P 在 x 轴上方时，有－x2＋2x＋3＝x＋3，即：x2－x＝0，解得 x1＝0，x2＝1，∴P1(0，3)，P2(1，4)．②当点 P 在 x 轴的下方时，有：－x2＋2x＋3＝－(x＋3)，即：x2－3x－6＝0，解得 x＝3 ± (-3)2- 4 ⨯1⨯ (-6)＝3 ±33，2 2∴P3( 3－33，－9－33)，P4(3 +33，－9 +33)，2 2 2 2∴满足条件的点 P 有四个点，分别是 P1(0，3)，P2(1，4)，P3(3－233 ，－9－233 )，P4(3+233 ，－9+233 )．★3. 如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(c>0)的图象与x 轴交于 A、B两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，且OB＝OC＝3，顶点为 M.(1)求二次函数的解析式；(2)点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为 Q，若 OQ＝m，四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出 m 的取值范围；(3)探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由．第 3 题图解：(1)∵OB＝OC＝3，∴B(3，0)，C(0，3)，⎧0 = -9 + 3b+c⎧b =2，∴ ⎨，解得⎨⎩3 =c⎩c =3二次函数的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；(2)如解图所示，连接AC，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，则M(1，4)，设直线 MB 的解析式为 y＝kx＋n，⎧4 =k+n，则有⎨⎩0 = 3k+n⎧k = -2，解得⎨⎩n =6∴直线 MB 的解析式为 y＝－2x＋6，∵PQ⊥x 轴，OQ＝m，第 3 题解图∴点 P 的坐标为(m，－2m＋6)，∴S 四边形ACPQ＝ S Rt△AOC＋ S 梯形PQOC ＝1AO·CO ＋1(PQ＋2 2CO)·OQ ＝12×1×3＋12(－2m ＋6＋3)·m ＝－ m2＋92 m ＋32(1≤m<3)；7 16 21010 (3)线段 BM 上存在点 N(，)，(2，2)，(1＋，4－)5 5 5 5 使△NMC 为等腰三角形．理由如下：如解图，连接 MC，由于 N 是直线 BM 上一点，由(2)知：直线 BM 的解析式为：y＝－2x＋6，因此设 N(x，－2x＋6)且1<x<3，由勾股定理可得：CM ＝(1 - 0)2+ (4 - 3)2= 2 ，CN＝x2+(-2x +3)2，MN＝(x-1)2+ (-2x+ 2)2，①当 NC＝CM 时，x2+(-2x +3)2＝ 2 ，解得 x1＝75，x 2＝1(舍去)，此时 N(75，165)；②当 MN＝CM 时，(x-1)2+ (-2x+ 2)2＝ 2 ，解得 x1＝1＋510，x2＝1－510(舍去)，此时 N(1＋10 ，4－210 )；5 5③当 CN＝MN 时，x2+(-2x +3)2＝(x-1)2+ (-2x+ 2)2，解得 x＝2，此时 N(2，2)．类型五特殊四边形的存在问题★1.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接BD.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2)点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．第 1 题图备用图解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两 点，⎧-1 -b +c = 0⎧b =2， ∴ ⎨，解得 ⎨ ⎩-9 + 3b +c =⎩c =3∴经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式为 y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)如解图①，连接PC 、PE .抛物线对称轴为直线 x ＝－2ba ＝2－＝1， 2×（－1）当 x ＝1时，y ＝－1＋2＋3＝4，∴点 D 坐标为(1，4)，第1题解图①设直线 BD 的解析式为：y ＝mx ＋n ，⎧m = -2将 B 、D 分别代入表达式，解得⎨⎩n =6 ，则 y ＝－2x ＋6，设点 P 的坐标为(x ，－2x ＋6)，∵C (0，3)，E (1，0)，∴由勾股定理可得 PC 2＝x 2＋[3－(－2x ＋6)]2，PE2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，∵PC＝PE，∴x2＋(3＋2x－6)2＝(x－1)2＋(－2x＋6)2，解得 x＝2，y＝－2×2＋6＝2，∴点 P 坐标为(2，2)；(3)依题意可设点M的坐标为(a，0)，则G坐标为(a，－a2＋2a＋3),如解图②，以 F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，必有FM＝MG，|2－a|＝|－a2＋2a＋3|，①2－a＝－(－a2＋2a＋3)，解得 a＝1± 21 ，2②2－a＝－a2＋2a＋3，解得a＝第 1 题解图②3 ±13，2∴M 点的坐标为( 1－21，0)，( 1 +21，0)，( 3－13，0)，2 2 2( 3 13 ，0)．2★2.如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P 向 x 轴作垂线交直线 BC 于点 Q，设线段 PQ 的长为 m，求 m 与 t 之间的函数关系式，并求出 m 的最大值；(3)在(2)在条件下，m的最大值为抛物线上点D的纵坐标(D不与 C 重合)，在 x 轴上找一点 E，使点 B、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 E 点坐标．第 2 题图解：(1)∵抛物线y＝ax2＋3x＋c经过A(－1，0)，B(4，0)两点，⎧a -3+ c =0∴⎨16a+12 +c= 0 ，⎩解得：a＝－1，c＝4.∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋3x＋4.(2)∵将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C(0，4)．设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b.⎧4k+b= 0，解得：k＝－1，b 将 B(4，0)，C(0，4)代入得：⎨⎩b= 4＝4，∴直线 BC 的解析式为：y＝－x＋4.过点 P 作 x 的垂线与直线 BC 交于点 Q，如解图：第 2 题解图∵点 P 的横坐标为 t，∴P(t，－t2＋3t＋4)，Q(t，－t＋4)．∴PQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t.∴m＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0<t<4)．∴当 t＝2时，m 的最大值为4；(3)点E为(1，0)或(7，0)．【解法提示】将 y＝4代入抛物线的解析式得：－x2＋3x＋4 ＝4.解得：x1＝0，x2＝3.∵点 D 与点 C 不重合，∴点 D 的坐标为(3，4)．又∵C(0，4)，∴CD∥x 轴，CD＝3.∴当 BE＝CD＝3时，B、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形．∴点 E(1，0)或(7，0)．1★3.如图，抛物线y＝4x2＋bx＋c经过原点O和点A(4，0)．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)若该抛物线的对称轴交x轴于点B，抛物线顶点为C，点P为抛物线上任意一点，设点 P 的横坐标为 x，当 S△ABP＝1时，请求出满足条件的所有的点 P 的坐标；(3)点M为抛物线对称轴上一个动点，点N为平面内任一点，能否满足以 M、N、A、C 为顶点的四边形为菱形，若满足，请直接写出 M 点的坐标；若不满足，请说明理由．第 3 题图解：(1)∵抛物线y＝14x2＋bx＋c经过原点O和点A(4，0)，∴y＝14x(x－4)，即 y＝14x2－x.(2)如解图①，由题意，抛物线对称轴为直线x＝2，∴B(2，0),又∵A(4，0)，∴AB＝2，∵S△ABP＝1，∴1AB·|yP|＝1，2∴1×2·|yP|＝1，2∴|yP|＝1，第 3 题解图①∴yP＝±1，当yP＝1时，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2±2 2 ；当yP＝－1时，代入 y＝14x2－x 中解得：x＝2，∴P1(－2 2 ＋2，1)，P2( 2 2 ＋2，1)，P3(2，－1)；(3)M1(2， 5 －1)；M2(2，－ 5 －1)；M3(2，1)；M4(2，32) 【解法提示】如解图②，连接 AC，∵A(4，0)，B(2，0)，点C是抛物线 y＝14x2－x 的顶点，∴C(2，－1)，。
2018年中考数学真题汇编二次函数(含答案)
中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出以下函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y 随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，以下说法正确的选项是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右边C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如下图，以下结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.假设抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.假设抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，取得的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时刻t（s）知足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．那么以下说法中正确的选项是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，假设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），那么①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部份，与轴的交点在点和之间，对称轴是.关于以下说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的选项是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且通过第三象限的点P．假设点P的横坐标为-1，那么一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同窗在研究函数（b，c是常数）时，甲发觉当时，函数有最小值；乙发觉是方程的一个根；丙发觉函数的最小值为3；丁发觉当时，．已知这四位同窗中只有一名发觉的结论是错误的，那么该同窗是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如下图,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。
2018中考数学专题复习第十三讲二次函数的应用共69张
【变式训练】 1.(2017·临沂中考 )足球运动员将足球沿与地面成一 定角度的方向踢出 ,足球飞行的路线是一条抛物线 ,不 考虑空气阻力 ,足球距离地面的高度 h(单位:m)与足球 被踢出后经过的时间 t(单位:s)之间的关系如表 :
t01 2 3 4 5 6 7…
h08
1 4
1 8
2 0
2 0
2
3.用一根长为 40cm的铁丝围成一个半径为 r的扇形,
扇形的面积 S与它的半径 r之间的函数关系式是 S= 1 (40-2r)r. ( √ )
2
考点一 抛物线型实际问题 【示范题 1】(2017·德州中考 ) 随着新农村的建设和旧城的改造 , 我们的家园越来越美丽 .小明家附近的广场中央新修 了个圆形喷水池 ,在水池中心竖直安装了一根高为 2米
? 1, 5
21， 5
∴a=- 1.
5
考点二 利用二次函数解决最优化问题 【示范题2】(2017·济宁中考 )某商店经销一种学生 用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个 30元.市场 调查发现,这种双肩包每天的销售量 y(个)与销售单价 x(元)有如下关系 :y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩 包每天的销售利润为 w元.
【自主解答】 (1)如图,以水管与地面交点为原点 ,原 点与水柱落地点所在直线为 x轴,水管所在直线为 y轴, 建立平面直角坐标系 .
由题意可设抛物线的函数解析式为 y=a(x-1) 2+h (0≤x≤3).
抛物线过点 (0,2)和(3,0),代入抛物线解析式可得
???a4a??hh??2，0.解得
???a ? ??h
? ?
?
8 3
2 3
.
,
2018年中考数学压轴题专练 二次函数压轴题综合--最大最小问题(含答案)
OM OC EM ED
∴m = ． 25 41 8
解法二：设 直线 C′D 的解析式为 y = kx + n , 则 3
n 2 41 41 .∴ y x 2 . 25 ，解得 n = 2, k 12 12 kn 8 2
2
∵ y x 2 x 3 = ( x 1) 4 ，∴顶点 D（﹣1，4） ．
2
2
（3）设直线 AC 的解析式为 y=ax+c，则有：
c 3 a 1 ，解得： ，∴直线 AC 的解析式为 y=x+3． 3a c 0 c 3
假设存在，设点 F（m，m+3） ，△ AFP 为等腰直角三角形分三种情况（如图 2 所示） ：
1 2 1 1 1 1 1 1 9 9 x x 1 ， ∵ y x 2 x 1 = ( x ) 2 ， 所以 D 的坐标为（ ， ） ． 2 2 2 2 2 2 2 8 8 1 1 2 1 （ 2 ）如 图 1 ，设 P（ ， k ） ，∵ y x x 1 ，∴ C（ 0 ，－ 1 ） ，∵ A（-1，0） ，B（2，0） ，∴A、 2 2 2
2
2
此时点 P 的坐标为（1，0） ；
2 2 ③当∠APF=90° 时，P（m，0） ，∵点 P 在抛物线 y x 2 x 3 上，∴ 0 m 2m 3 ，解得：m5=﹣
3（舍去） ，m6=1，此时点 P 的坐标为（1，0） ． 综上可知：在抛物线上存在点 P，使得△ AFP 为等腰直角三角形，点 P 的坐标为（2，﹣5）或（1，0） ．
3.（2016 铜仁第 25 题）如图，抛物线 y ax bx 1 （a≠0）经过 A（-1，0） ，B（2，0）两点，与 y 轴交
初中数学最新-2018届中考数学二次函数的应用复习精品
二次函数的应用
知识点回顾：
1、二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠ 0) 的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与
x
轴两交点间的距离？
2. 各类二次函数顶点位置与 a、 b、 c 的关系：
( 顶点在 x 轴上、 y 轴上、原点、经过原点 )
3、求二次函数解析式的方法： 4、二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c(a ≠ 0) 的最大 ( 或最小 ) 值？
当 x 87 时， W (87 90)2 900 891．
当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是
（ 3）由 W 500 ，得 500 x2 180 x 7200 ，
891 元．
整理得， x2 180 x 7700 0 ，解得， x1 70， x2 110．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于
（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（ 2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？
60 2x
答案：（1）根据题意，得 S
x
2
x2 30x 自变量 x 的取值范围是 0 x 30
（ 2） a 1 0 ， S 有最大值 x
b
30 15
2a 2 ( 1)
最大利润
1 (4
6) 2
11
1 10 （元）．
8
2
同步检测：
1、（ 18 莆田）出售某种文具盒， 若每个获利 x 元，一天可售出 6 x 个，则当 x
元
时，一天出售该种文具盒的总利润 y 最大．
答案： 3 2、（ 18 包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本
2018年中考数学精选题专练二次函数(含答案)
① 该抛物 线的对称轴 在 y 轴 左侧； ② 关 于 x 的 方 程 ax 2+bx+c+2=0 无 实 数 根 ；
③ a﹣ b+c ≥ 0 ；
④ a b c 的 最 小 值 为 3． ba
其 中，正 确结论的个 数为（ ）
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
2
16. 已知关于 x 的函数 y=（ m－ 1）x ＋ 2x ＋m图像与坐标轴有且只有 2 个交点，则 m=
2
2
（ 2） W=（x﹣ 30）（﹣ 2x+200 ）﹣ 450=﹣2x +260x﹣ 6450=﹣2（ x﹣ 65） +2000；
（ 3） W=﹣2（ x ﹣ 65）2+2000，
∵ 30≤ x≤60，∴ x=60 时， w 有最大值为 1950 元，
∴当销售单价为 60 元时，该公司日获利最大，为 1950 元．
200 元．
18.(1)M(12,0),P(6,6);(2)y=
19.y=
2 x2-
8 35
x+
999
1 x 2+2x.(3) 当 m=3时，最大为 15 米 . 6
20. 解：（ 1）设 y=kx+b ，根据题意得 60k+b=80,50k+b=100 ，解得： k=﹣ 2， b=200，
∴ y= ﹣ 2x+200（ 30≤x≤ 60）；
则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？
19. 已知二次函数的图象的对称轴为 数图象的关系式。
x=2, 函数的最小值为 3, 且图象经过点 (- 1,5), 求此二次函
20. 市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克
2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)(2)
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中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2;②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A。
①③ B。
③④ C。
②④ D. ②③【答案】B2.如图，函数和（是常数,且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ )A。
B。
C。
D.【答案】B3。
关于二次函数,下列说法正确的是( ）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4。
二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( )A。
B. C。
D。
有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )A。
B. C.D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位,得到的抛物线过点（）A。
（-3，-6） B. (—3,0） C。
（—3，-5） D。
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中考复习专题训练 二次函数的综合应用 一、选择题 1.下列函数是二次函数的是（ ） A. y=2x+1 B. y=﹣2x+1 C. y=x2+2 D. y=x﹣2 2.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ） A. ﹣3 B. 3 C. ±2 D. ±3 3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（ ） A. a＞0，b＞0，c＞0 B. a＞0，b＞0，c=0 C. a＞0，b＞0，c＜0 D. a＞0，b＜0，c=0 4.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（ ）
A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( ) A. （1，0） B. （0，1） C. （0，-1） D. （-1，0） 6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A. y （x﹣2）2+3 B. y= （x﹣2）2﹣3 C. y=﹣ （x﹣2）2+3 D. y=﹣ （x﹣2）2﹣3 7.如图，已知二次函数y1= x2﹣ x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于
点B（2，0），若y1＜y2 ， 则x的取值范围是（ ） A. 0＜x＜2 B. 0＜x＜3 C. 2＜x＜3 D. x＜0或x＞3 8. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1 ， 0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（ ） A. a（x1﹣x2）=d B. a（x2﹣x1）=d C. a（x1﹣x2）2=d D. a（x1+x2）2=d 9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面
积等于的点P共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 11.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ） A. - B. 或- C. 2或- D. 2或或- 12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立
方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________ 14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________． 15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________． 16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值． 17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表 x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小． ③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根； 其中正确的有________．（填正确结论的序号） 18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线 ，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1
和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 19.如图是二次函数 和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．
20.如图，二次函数的图象经过点， 对称轴为直线， 下列5个结
论：①； ②； ③；④； ⑤， 其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号） 三、解答题 21.已知抛物线 y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）． （1）求A、B、C的坐标； （2）直接写出当y＜0时x的取值范围． 22.在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C. （1）求点A的坐标； （2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，经过点C的直线 与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线 上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围. 23.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣
4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．
（1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值； （3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．
答案解析 一、选择题 1.【答案】C 【解析】【解答】解：A、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误； B、y=﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误； C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确； D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误． 故选：C． 【分析】直接根据二次函数的定义判定即可． 2.【答案】A 【解析】【解答】∵函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，∴m﹣3≠0，|m|﹣1=2．解得：m=﹣3．故选：A． 【分析】根据二次函数的定义可知：m﹣3≠0，|m|﹣1=2，从而可求得m的值． 3.【答案】B 【解析】【解答】解：抛物线经过原点，c=0； 抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，因此a＞0； 由于对称轴在y轴左侧，对称轴为x= ＜0，又因为a＞0，得b＞0． 故选B． 【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理． 4.【答案】C 【解析】【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，x=﹣ ＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣ ＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误． 故选：C． 【分析】可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致． 5.【答案】C 【解析】 【分析】抛物线与y轴的交点横坐标为0，令x=0求y，可得抛物线与y轴交点的纵坐标．
【解答】把x=0代入y=x2-1中，得y=-1， ∴抛物线y轴的交点坐标（0，-1)． 故本题答案为C． 【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．在抛物线解析式中，令x=0可求抛物线与y轴的交
点坐标，令y=0可求抛物线与x轴的交点坐标 6.【答案】C 【解析】【解答】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（2，3） 故二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2+3
将点（0，1）代入可得，1=a（0﹣2）2+3， 解得，a=﹣ ， ∴这个二次函数的解析式为：y= （x﹣2）2+3． 故选C． 【分析】设解析式为顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，代入顶点坐标和点（0，1）可得结果． 7.【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示：若y1＜y2 ， 则二次函数图象在一次函数图象的下面， 此时x的取值范围是：0＜x＜3． 故选：B． 【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可． 8.【答案】B 【解析】【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1 ， 0）， ∴dx1+e=0， ∴y2=d（x﹣x1）， ∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1） =ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1 =ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1 ∵当x=x1时，y1=0，y2=0， ∴当x=x1时，y=y1+y2=0， ∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点， ∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1 ， 0） ∴ =x1 ， 化简得：a（x2﹣x1）=d 故选：B． 【分析】首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1 ， 0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1 ， 0），再结合对称轴公式求解． 9.【答案】D 【解析】【解答】解：y=x2﹣8x+15的图象与x轴交点（3，0）和（5，0）， |MN|=2， 设p点（x，y）， y=x2﹣8x+15， 面积==|MN|•|y|， 可得y1=， 或者y2=﹣
当y=时，x= ； 当y=﹣时，x=v 所以共有四个点． 故选D． 【分析】由题可求出MN的长，即△MNP的底边已知，要求面积为， 那么根据面积即可求出高，只要把相应的y值代入即可解答．