1.3.2 第1课时 利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的极值要利用导数研究函数的极值，首先需要了解什么是极值以及极值的判定条件。
在微积分中，极值是指函数在其中一点附近取得的最大值或最小值。
函数的极值可以有两种类型：局部极值和全局极值。
1.局部极值：函数在其中一点附近取得的最大值或最小值称为局部极值。
极大值表示函数取得的最大值，极小值表示函数取得的最小值。
2.全局极值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为全局极值。
全局极值可以是局部极值中最大的值或最小的值。
接下来，我们将利用导数进行极值的研究。
根据极值的定义，我们可以得到以下判定条件：1.一阶导数的零点：如果函数在其中一点的一阶导数为零，那么该点可能是极值点。
2.二阶导数的符号：如果函数在其中一点的二阶导数为正，那么该点可能是极小值点；如果二阶导数为负，那么该点可能是极大值点。
现在，我们来具体介绍如何通过导数研究函数的极值。
1.首先，求出函数的一阶导数。
一阶导数表示了函数在每一点的变化率。
将一阶导数设置为零，求解方程，可以得到导数的零点，即可能的极值点。
2.然后，求出函数的二阶导数。
二阶导数表示了函数的变化率的变化率，即加速度。
通过二阶导数的符号可以判断极值是极小值还是极大值。
3.分析导数的零点和二阶导数的符号，确定极值点。
如果对于其中一点，一阶导数为零且二阶导数为正，那么该点是极小值点；如果一阶导数为零且二阶导数为负，那么该点是极大值点。
需要注意的是，以上只是判定条件，并不代表确定该点一定是极值点。
在判定的基础上，还需要进行极值的验证。
验证的方法可以使用导数的一阶和二阶的判断性质，例如利用导数的增减性、凸凹性等性质，来进一步确定函数的极值点。
不过，对于更复杂的函数，有时在求导的过程中会遇到难以处理的情况，这时可以考虑使用其他方法，如拉格朗日乘数法、平方差和法等。
综上所述，利用导数研究函数的极值主要通过求导、求导数的零点和二阶导数的符号进行判定，并通过验证来确定极值点。
同时，需要注意在复杂的情况下使用其他方法进行研究。
高中数学 利用导数研究函数的极值和最值
专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理1.函数的极值（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。
如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.(2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.(3)求可导函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数 ;①求出方程的定义域内的所有实数根；①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。
①根据表格下结论并求出需要的极值。
2. 函数的最值（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：①求在内的极值；①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。
考点探究)(x f x 0x 0f (x )<f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 0x 0f (x )>f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 00x 0)(0='x f 0x )(x f 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '¢f (x )=00)(x f ')(x f I x 0x ÎI f (x )£f (x 0))(0x f y max =f (x 0))(x f I x 0x ÎI f (x )³f (x 0))(0x f y min =f (x 0)[]b a ,)(x f []b a ,)(x f []b a ,)(x f (,)a b )(x f f (a ),f (b ))(x f []b a ,考向1 利用导数研究函数的极值 【例】已知函数x x x f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值.题组训练1.函数的极大值是________，极小值是________．2.已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，求f (2)的值。
1.3.2_函数极值与导数的关系(2课时)教程
高中数学1.3.2函数的极值与导数优秀教案
1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极值的方法。
2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结合的方法解决问题。
教学重难点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。
教学过程一、复习回忆：1.函数的单调性与导数的关系：一般地，设函数y =f (x )在某个区间(a ，b )内有导数，如果在这个区间内f '(x )>0，那么函数y =f (x )为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f '(x )<0，那么函数y =f (x )为这个区间内的减函数.如果在某个区间内恒有f '(x )=0，则y =f (x )为常数。
2.函数f (x )=2x 3－6x 2+7，求f (x )的单调区间,并画出其图象; 二、讲授新课：a b y=f (x ) x o y y=f (x ) xo y a b观察画出函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象，答复下面问题：问题1：在点x =0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x =0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x =0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x =0处的导数是多少？思考1 分析讨论函数在x =0附近的变化规律：你能尝试给出极大值的定义吗？ 函数极大值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义假设x 0满足1. f (x 0)＞f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左正右负〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极大值，点x 0叫做函数y =f (x )的极大值点。
思考2 你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？函数极小值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义，假设x 0满足：1. f (x 0)＜f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左负右正〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极小值，点x 0叫做函数y =f (x )的极小值点。
高中数学_利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思
你能总结出利用导数求解函数极值的方法吗？【课题】《利用导数研究函数的极值》【学情分析】从学生的认知角度来看：1、在学习本节前，学生已有导数的概念及运算做基础，还学习了利用导数研究函数的单调性。
初步具备了运用导数研究函数的能力，但还不够深入，在学习上还有一定困难。
本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力，体会导数的工具作用。
2、学生具备一定的从特殊到一般的归纳能力，但对归纳的概念是模糊的，而且学生自主探究、总结归纳问题的能力还不够理想，把实际问题抽象成数学问题的能力也有所欠缺，需要在老师的引导下进行学习3、本节课又为下节课的求最值做了很好的铺垫。
但对本部分的知识学生的理解能力不足，发现问题能力上可能很难满足本节课的要求。
但学生对新知识兴趣高，肯下功夫、思维活跃，会为本节课的顺利推进提供一定的保障。
从学生的能力储备来看：1、高二下学期的学生已经对高中数学体系有了初步认识，且具有了较强的分析、判断、理解能力和一定层次上的交流沟通能力。
教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、全班交流，培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。
2、学生已经具备了类比一类事物归纳总结另一类事物的共同点与不同点的能力；能够利用提供的实际问题情境和合适的探究材料主动探究出本节知识点。
《利用导数研究函数的极值》效果分析【课题】《利用导数研究函数的极值》【学习效果测评】【学习效果分析】一、优化教学目标，落实学习任务优化教学目标是课堂教学实施素质教育的前提。
本节课在目标确定上，都没有照搬“教参”，而是知识、能力、情感三个方面深入挖掘，精心设计。
在教学目标的落实上，认真钻研教材立足一个“细”字；挖掘教材立足一个“深”字；备写教案立足一个“精”字；设计师生活动立足一个“实”字；教法选择立足一个“活”字，使教学目标有重点，有层次，有启发性、实用性和指导性。
【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-2配套课件：1.3.2利用导数研究函数的极值
极 值
y极小＝f(x0) 记作：__________
极值点
服/务/教/师
极大值点和极小值点 ________________________ 统称为极值点
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单
RB . 数学 . 选修2-2 【自主解答】 (1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x y′ y (－ ∞ ，－1) － －1 0 (－1， 0) － 0 0 (0，1) ＋ 1 0 (1，＋ ∞) ＋
课 前 自 主 导 学
●三维目标 1．知识与技能 (1) 结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要
课 堂 互 动 探 究
条件和充分条件；
(2) 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值与最 值．
服/务/教/师 免/费/馈/赠
返回菜单
RB . 数学 . 选修2-2 2．过程与方法
结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值
【提示】
极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的
极值，需先研究函数的单调性．
服/务/教/师
免/费/馈/赠
返回菜单
RB . 数学 . 选修2-2 求可导函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程 f′(x)＝0 的所有实数根； (3)考察在每个根x0附近，______________ 从左到右 ，导函数f′(x)的 符号如何变化．
函数极值教案
§1.3.2利用导数研究函数的极值学案 05.08一、学习目标知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、学习重点与难点教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三、学习过程：（一）复习提问利用导数判断函数单调性的法则:'>0得f(x)的单调递增区间;解不等式()f x'<0得f(x)的单调递减区间.解不等式()f x（二）创设情景,引入新课Array（三）分组学习1、有关概念：什么是极大值? 什么是极大值点?什么是极小值? 什么是极小值点?什么极大值:一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点极值：极大值与极小值统称为极值2、函数的极值是不是唯一的？请举例说明.函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个3、极大值与极小值之间有无确定的大小关系?请举例说明.极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f4、极大值一定比极小值大吗？请举例说明.极大值不一定比极小值大，极大值与极小值没有必然的大小关系5、点是极值点是在该点的导数为0的什么条件？请举例说明可导函数f(x),点是极值点是在该点的导数为0的必要条件. 例：y=x 36、极值一定是最大值或最小值吗？请举例说明. 极值不一定是最大值或最小值. （四）典例分析例1、求函数()327f x x x =-的极值. 解:2()327f x x '=-=3(x +3)(x －3)，令()0,f x '=解得13,x =-2 3.x =当x 变化时,()f x '、()f x 的变化情况如下表:y 极大值当x=3时有极小值,并且, y 极小值=-54.例2、已知函数()31443f x x x =-+.（1）求函数的极值，并画出函数的大致图象； （2）求函数在区间[－3，4]上的最大值和最小值. 解:（1）2()4(2)(2).f x x x x '=-=-+ 令()0f x '=,解得x 1=-2,x 2=2.当x 变化时,()f x '、()f x 的变化情况如下表：因此,当x=-2时有极大值,并且,y 极大值=28/3;当x=2时有极小值,并且,y 极小值=- 4/3. （2）例3、已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值为10,求a 、b 的值. 解: ()f x '=3x 2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.① 又f(1)=10,故1+a+b+a 2=10.②由①、②解得411a b =⎧⎨=-⎩或3.3a b =-⎧⎨=⎩当a=-3,b=3时,2()3(1)0f x x '=-≥,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意. 当a=4,b=-11时,2()3811(311)(1).f x x x x x '=+-=+- -11/3<x<1时,()0f x '<;x>1时,()0f x '>,此时x=1是极值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.例3、已知函数f(x)=-x 3+ax 2+b.若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a 、b 的值.解:(1)由2()320f x x ax '=-+=得x=0或x=2a/3.故2a/3=4,a=6.由于当x<0时,()0,f x '<当x>0时,()0.f x '>故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.五．回顾总结求函数()y f x =极值的一般步骤： （1）求导数()f x '（2）解方程()f x '=0，利用方程的根x 0，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（3）由()f x '在方程()f x '=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况: ① 若f ’(x)在x 0两侧的符号“左正右负”，则x 0 为极大值点; ② 若f ’(x)在x 0两侧的符号“左负右正”，则x 0 为极小值点; ③ 若f ’(x)在x 0两侧的符号相同，则x 0 不是极值点.(1) 导数为零的点不一定是极值点！(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,在函数的整个定义域可能有多个极大值或极小值, 不唯一! (3) 极大值不一定比极小值大! (4)函数的不可导点也可能是极值点;(5)可导函数的极值点一定是使导函数为0的点.。
第一章1.3-1.3.2函数的极值与导数
第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数
A级 基础巩固 一、选择题 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点、两个极小极值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 解析：由导函数f′(x)的图象可知，f′(x)＝0有四个零点，根据极值的概念知，函数f(x)有两个极大值点、两个极小值点． 答案：C 2．f′(x0)＝0是可导函数f(x)在点x0处取极值的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：f′(x0)＝0不能保证f′(x)在x0左右两边异号，故不能保证有极值，但f(x)在x0处有极值则必有f′(x0)＝0. 答案：B 3．设函数f(x)＝xex，则( ) A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点 C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点 解析：f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.所以x＝－1为f(x)的极小值点． 答案：D
4．函数f(x)＝x＋1x的极值情况是( ) A．当x＝1时，取极小值2，但无极大值 B．当x＝－1时，取极大值－2，但无极小值 C．当x＝－1时，取极小值－2；当x＝1时，取极大值2 D．当x＝－1时，取极大值－2；当x＝1时，取极小值2
解析：f′(x)＝1－1x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)和(0，1)上单调递减， 所以当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2. 答案：D 5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0， 即30－6a＝0，所以a＝5.验证知，符合题意，故选D. 答案：D 二、填空题
第六讲-导数的简单应用1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题
令h′(x)＝0，得x＝±1.
所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，
单调递减区间为(－1,1)．
由于h(－2)＝－53，h(1)＝－53，所以h(－2)＝h(1)．
专题一 第六讲 第一课时 第19页
金版教程 ·大二轮复习 ·数学 ·理
热点探究悟道 建模规范答题 专题知能提升
金版教程 ·大二轮复习 ·数学 ·理
f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
热点探究悟道 建模规范答题 专题知能提升
当x∈－1k，＋∞时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． (2)由(1)知，若k>0，则当且仅当－1k≤－1，
即k≤1时，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增；
若k<0，则当且仅当－
专题一 第六讲 第一课时 第10页
金版教程 ·大二轮复习 ·数学 ·理
热点探究悟道 建模规范答题 专题知能提升
真题演练
1. [2014·课标全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．
金版教程 ·大二轮复习 ·数学 ·理
热点探究悟道 建模规范答题 专题知能提升
专题一 集合、常用逻辑用语、函数 与导数、不等式
专题一 第六讲 第一课时 第1页
金版教程 ·大二轮复习 ·数学 ·理
热点探究悟道 建模规范答题 专题知能提升
第六讲 高考中的导数综合应用(解答题型)
专题一 第六讲 第一课时 第2页
专题一 第六讲 第一课时 第27页
金版教程 ·大二轮复习 ·数学 ·理
热点探究悟道 建模规范答题 专题知能提升
高中数学选修2精品课件1.3.2函数的极值和导数
4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
x
f ( x )
的一个极大值。
2. 如 果 x0 是 f′(x)=0 的 一 个 根 ， 并 且 在 x0 的 左 侧 附 近 的一个极小值。
f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是 f(x0)函数f(x)
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
导数值为0为函数是极值点的必要条件。
课堂练习
练习1:下列函数中，x=0是极值点的函数是( A.y=－x3 B.y=x2 C.y=x2－x
(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到. 4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.
例1:已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, f ( x ) 0 ;②当 x<2时, f ( x ) 0 ;③ f (2) 0. 求证:函数y=f(x2)在 x 2 处有极小值. 证:设g(x)=f(x2),则 g( x) f ( x 2 ) 2 x. 2 故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x ) 0 ,即 :
f (b) 0
极大值点
y
f ( x ) >0
f ( x )<0
f ( x ) <0 a
f (a) 0
f ( x) >0
o 极小值点 b
x