复习卷一答案

高等数学（一）期末考试 （B卷）答案 第 1 页 共６页
一、填空题（每小题3分，共6×3=18分）
1．若极限kxxex30) sin1(lim，则k 3 ．
2．设隐函数)(xyy由方程xyyln所确定，则dxdyxyy12．
3．若Cxdxxfsin)( ，则dxxf)(Cxx2cos．
4．2 22 4)1( dxxx= 2．
5．若反常积分dxxk )1(121 收敛，则参数k的取值范围是10k．
6．已知二阶常系数齐次线性微分方程有一个特解为xxey2，则此微分方程
是044yyy．
二、单项选择题(每小题3分，共5×3=15分)
1． 0x时，无穷小量)]31)(1ln[(xx等价于（ B ）.

A．x； B．x2； C．x3； D．23x．
2．设1)0()(lim0xfxfx，则下列结论中错误的是( C ).
A．函数)(xf在0x处连续； B．函数)(xf在0x处可导；
C．)0(f是)(xf的极值； D．)0(f不是)(xf的极值．

3．设)0( 1)(lnxxxf，则)(xf ( A ).
A．Cex； B．Cxln； C．Cex； D．Cex．
4．设)(xf是R上的连续周期函数，若对于任意x恒有4 )( )(2 3 3 0 xxdttfdttf
成立，则)(xf的周期是（ D ）.
A．2； B．3； C．4； D．6．
5．心形线)cos1(ar（0a）所围成的图形的面积是（ C ）.
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A．22a； B．2a； C．232a； D．22a．
三、计算题（解题要有必要的步骤）
（本大题共6小题，每小题6分，共36分）

1．若函数0,0,)1(1)(2032xaxdtexxfxt，在0x处连续， 求a的值．

解：2402030032)1(lim)1(1lim)(lim22xedtexxfxxxtxx （3分）
3
832)4(lim220xx
x
，
（2分）

因为函数在0x处连续，所以
)0(fa
3

8
)(lim0xf

x
． （1分）

2．求不定积分dxx12cos．
解：令12xu，则212ux，ududx， （1分）
duuudxxcos12cos
（1分）

duuuuudusinsinsin
（2分）

Cuuucossin
， （1分）
Cxxx12cos12sin12
． （1分）

3．设0,10,1)(xxxxxxf， 求定积分20)1(dxxf．
解：令 1xu，

1120
)()1(duufdxxf
（1分）


100111duu

u
duu
（2分）
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1
0

0

123)1ln()1(32uuu
（2分）

2ln3124
． （1分）

4．求圆的渐伸线)cos(sin)sin(costttaytttax)0(a相应于t0的一段弧的弧长．
解： tatytatxsin,cos， （2分）
dtyxs022)()(
（2分）
dttattat022)sin()cos(

dtat

0
22

202




aat


． （2分）

5．求微分方程 xxyyxln 满足初始条件11xy的特解．
解： xyxyln1 （1分）







Cdxexeydxxdxx11)(ln
（1分）






CdxxxxCdxexexxln)(ln
lnln





Cxx
2

)(ln
2
（2分）

由 11xy 得1C, （1分）
所以 12)(ln2xxy． （1分）
6. 求微分方程xxeyyy223的通解．
解：对应齐次方程的特征方程为 0232rr， （1分）
特征根为 2,121rr， （1分）
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对应齐次方程的通解为 xxeCeCy221， （1分）
设特解为 xxebxaxebaxxy222)()(， （1分）

代入方程解得 1,21ba，故xexxy22)2(， （1分）
所求方程的通解为 xxeCeCy221xexx22)2(． （1分）
四、[8分]求微分方程0)(2yyex满足初始条件00xy，210xy的特解．
解： 令py，则dxdpy （1分）
原方程化为 02pdxdpex， （1分）
xxeCpdxepdp


1
2

1
， （2分）

由 2100xxyp 111xxeepC， （1分）
即 1xxeedxdy2)1ln(Ceyx， （2分）
由 00xy21ln2ln2xeyC． （1分）
五、[8分]直径为20cm，高为80cm的圆柱形容器内充满压强为10N/cm2的气体，设温
度保持不变，要使气体体积缩小到原体积的1/3, 问要作多少功？
（注，恒温下，压强p与体积V 成反比）
解 以母线左底面这端为原点，水平向右
为x轴正向建立坐标系，坐标x的值表示
活塞的位置，在恒温下气体的压强p与体积V的乘积为常数，即kpV，故

800008010102pVk
. （2分）

S
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又xSV，所以xSkp，作用在活塞上是气体压力为xkpSF， （2分）
现设活塞从位置x压缩到dxx，这时气体压力所作的功元素为 dxxkFdxdW，
于是使气体体积缩小到原体积的1/3, 要克服气体压力所作功为
3lnln3/80803/80803/8080kxkdxxkdWW

（2分）

)(3ln800)(3ln80000JcmN
（1分）
即要克服气体压力作的功为)(3ln800J。 （1分）

六、综合题（9分）（1）求曲线xey，该曲线过原点的切线以及y轴所围成的封闭图形
的面积；（2）求该图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积．
解： （1）设切点为),(00xex，由xey，可得
切线方程为 )(000xxeeyxx，
由切线过原点可得 10x， （1分）
故切线方程为 exy， （2分）

所求图形的面积为 12)2()(10210eexedxexeSxx； （3分）
（2）该图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为

102102)()(dxexdxeV

x



6)3(32
21032102exeex


． （3分）

七、证明题（本题6分）设)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，证明：在),(ba内有唯一的
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
，使下式成立：badxxfdxxf)(1)(．

证明： 设 bttadxxfdxxftF)(1)()(， （1分）
则)(tF在],[ba上可导，且badxxfaF0)(1)(，badxxfbF0)()( （1分）
由零点定理可知， 在),(ba内至少有一个， 使0)(F， （2分）
又0)(1)()(tftftF， （1分）

因而在),(ba内有唯一的，使 badxxfdxxf)(1)(． （1分）