浙教版初中数学七年级下册知识点汇总

第1章平行线1.1 平行线1.2 同位角、内错角、同旁内角1.3 平行线的判定1.4 平行线的性质1.5 图形的平移1.1 平行线1. 定义：在同一个平面内，不相交的两条直线；如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行.2.在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况.3.平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.这一基本事实实际上就是著名的“平行公理”.4.两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角. 邻补角的性质：邻补角互补.5.两条直线相交所得的四个角中，有公共的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.6.如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补.1.2 同位角、内错角、同旁内角1. 认识“三线八角”（1）如图所示，两条直线l1，l2被第三条直线,l3所截，构成8个角，也就是通常所说的“三线八角”.2. 同位角、内错角、同旁内角·同位角如上图所示，观察∠1与∠2的位置，它们都在第三条直线l3的同旁，并且分别位于直线l1，l2的同一侧，这样的一对角叫做同位角.·内错角如上图所示，观察∠7与∠4的位置，它们分别位于第三条直线l3的异侧，并且都在两条直线l1与l2之间，这样的一对角叫做内错角.·同旁内角如上图所示，观察∠7与∠8的位置，它们都在第三条直线l3的同旁，并且在直线l1与l2之间，这样的一对角叫做同旁内角.1.3 平行线的判定1. 平行线的判定方法1（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单（2）推理形式：∵∠1=∠2，∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行）.（3)基本事实的推论在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，推理形式为：∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l22.平行线的判定方法2（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简单说成：内错角相等，两直线平行；（2）推理形式：∵∠1=∠2，∴l1∥l2 (内错角相等，两直线平行).3平行线的判定方法3（1）基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.（2）推理形式：∠1+∠2=180°∴l1∥l2 (同旁内角互补，两直线平行）1.4 平行线的性质1. 平行线的性质（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.（2）性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等.（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补.（4）基本图形如图所示. 应用格式如下：因为AB//CD，所以∠1=∠2.因为AB∥CD、所以∠2=∠3.因为AB/CD，所以∠2+∠4=180°.2. 平行线的性质与判定的区别平行线的性质与判定中的条件和结论恰好相反，在“两条直线被第三条直线所截”的前提下，从同位角相等、内角相等、同旁内角互补推出两直线平行，这是平行线的判定；而从两直线平行推出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，这是平行线的性质.1.5 图形的平移1. 平移的概念一个图形沿某个方向移动，在移动过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移，简称平移.2. 平移的条件物体作平移的两个条件：(1)相同的运动方向；(2)相等的运动距离.3.平移作图平移作图的一般步骤：(1)确定平移的方向和距离；(2)骗定表示围形的关键点；(3)过关键点作平行(或在同一条直线上)且相等的线段，得到关键点的对应点；(4)按原图形依次连结对应点，所得到的图形就是平移后的图形. 其中找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段是最关键的.4.平移的性质（1）平移不改变图形的形状和大小.（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上)且相等. 图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等.注意：在平移作图中，最关键的是找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段.1.6 应用1. 数对顶角2对对顶角l1 l2 l3 l1 l2 l3 l43组两两对应6组两两对应3*2=6对6*2=12对n条直线n-1+n-2+……+1（n−1+1）（n−1）2=n（n−1）2组×2=n（n-1）对2. 同旁内角特殊数法直线两两相交产生2对同旁内角图中有4条截线，每条截线形成3对交线，共计12组同旁内角数量：2×12=24对①变式图形：∠1与∠2都是同位角图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角②变式图形：∠1与∠2都是内错角图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角③变式图形：∠1与∠2都是同旁内角图形特征：在形如“n”的图形中有同旁内角第2章二元一次方程组2.1 二元一次方程2.2 二元一次方程组2.3 解二元一次方程组2.4 二元一次方程组的应用2.5 三元一次方程组及其解法（选学）2.1 二元一次方程1. 二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式方程叫二元一次方程.注意：“含有”表示系数不为0，（化简后）例如：x+y=10（√）x+2y=10+x（×）X+2y+z=10（×）“项的次数”，例如x2+y=0（×）xy-5=0（×）“整式”；初中我们就学习整式（排除法）、分式（分母里面有字母）和根式（根号里面有字母），只要是几元几次方程，必然是整式方程一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）2. 二元一次方程的解（1）使二元一次方程左、右两边的值相等两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，一般情况下，一个二元一次方程有无数解. （每一个解是一个数对，要用大括号括起来）例：二元一次方程有无数个解，所以它的解是任意数.（×）3. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：①方程两边的代数式都是整式----整式方程②含有两个未知数----二元③含有未知数的项的次数为1----一次例题：1、下列方程中，是二元一次方程的有（①⑤⑦） ①2x+y=3 ②x 2+3y=1 ③xy+5y=8 ④3x -2y=4z ⑤4x=y−24 ⑥1x +4y=6 ⑦xπ+y=5 2、下列各式中，属于二元一次方程的个数有（ C ）②④⑧①xy+2x -y=7 ②4x+1=x -y ③1x +y=5 ④x=y ⑤x 2-y 2=2 ⑥6x -2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y -1）=2y 2-y 2+x ⑨1x +x=1x +y （所有化简都在整式范围内化简，分式不化简）A.1B.2C.3D.42.2 二元一次方程组1. 二元一次方程组的概念由几个（2个及以上）一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起，方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）如{2x =63x −y =1也是二元一次方程组. {x +1=8y −3=5 {x =8y =5 {x −y =52x +1=83x +y =10例题：下列方程组中，哪些是二元一次方程组：__________ ①{x +y =42x +3y =7 （√） ②{2a −3b =115b −4c =6（×） ③{x +y =8x 2−y =4 （×）④{xy −7=9y =2x（×） ⑤{x =1y =−1 （√） ⑥{2x =1xy =−1 （×） ⑦{2x +y =1y −z =−1 （×） ⑧{2x +y =11y=−1（×）2. 二元一次方程组的解：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数.例题：方程组{2x +y =■x +y =3的解为{x =2y =■ ，则被遮盖的前后两个数分别为（ C ） A.1、2 B.1、5 C.5、1 D.2、43. 二元一次方程的两种基本解法的一般步骤：·代入消元元法①将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示. ②用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数. 得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值.③把这个未知数的值代人代数式，求得另一个未知数的值.④写出方程组的解.·加减消元法：①将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数).②通过相减（或相加)消去这个未知数. 得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.④将求得的未知数的值代人原方程且中的存一个方程，求得另一个未知数的值.⑤写出方程组的解.4. 应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：(1)理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系.(2)制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组.(3)执行计划：列出方程组并求解，得到答案.(4)回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.5.当方程组中的某个方程的某个未知数的系数的绝对值为1，或某个方面的常数项为0时，一般用代入消元法解方程组比较简捷；当方程组中某个未知数的系数的绝对值相同或成倍数关系时，一般用加减消元法解方程组比较简捷；当未知数的系数的绝对值都不同时，找出某一个未知数系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，使得方程中某个未知数的系数相同（或互为相反数），再用加减法消元求解.6.在解二元一次方程组时，除了代入消元法和加减消元法之外，我们还可以用整体代入法、换元法、设元法等方法求解，应根据题目灵活选择.整体代入法：在求代数式值中应用，求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值. 有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到.7.回顾：一元一次方程是指含有一个未知数，并且未知数的项的次数为一次的方程. 例如：x=3x，2x=6x-1,9x-6=2x二元一次方程是指含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是一次的方程. 例如x=y+1，（a+b）×2=30第3章整式的乘除3.1 同底数幂的乘法3.2 单项式的乘法3.3 多项式的乘法3.4 乘法公式3.5 整式的化简3.6 同底数幂的除法3.7 整式的除法1.幂的运算法则：注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.例题:1.计算（1）（-3）2013·（- 13）2011（2）2·8n ·16n =222，求n 的值.（3）-12016+（π-3.14）0-2×（-3）2.连线a m n a m -a n2.整式的乘除法法则：注意：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“+”连结，最后写成省略加号的代数和形式，根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab3.零指数幂和负整数指数幂：（1）a0=1(a≠0). 任何不等于零的数的零次幂都等于1.(a≠0，p是正整数）.任何不等于零的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的（2）a-p=1a pp次幂的倒数.4.乘法公式：在化简求值问题中常会用到乘法公式，使用乘法公式可以简化运算.在利用完全平方公式求值时，注意公式的变形及整体代入思想，通常用到以下几种变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab（2）a2+b2=（a-b）2+2ab（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab（4）（a-b）2=（a+b）2-4ab第4章因式分解4.1 因式分解4.2 提取公因式法4.3 用乘法公式分解因式4.1 因式分解（1）因式分解的概念一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫分解因式.（2）多项式的因式分解与整式的乘法是互逆关系. 整式的乘法运算是把几个整式的积变形为多项式的形式，特征是向着“积化和差”的形式发展；而多项式的因式分解则是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着“和差化积”的形式发展.★注意：分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，即分解因式要彻底.例（台州中考）把多项式2x2-8分解因式，结果正确的是（）A. 2(x2-8)B. 2(x-2)2C. 2(x+2)(x-2)D. 2x(x -4)x解析：2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2).故选C.4.2 提取公因式法1. 公因式的定义及其确定（1）公因式的定义：一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如m是多项式ma+mb各项的公因式，2ab是多项式2ab+4abc各项的公因式.（2）公因式的确定方法：多项式的各项系数的最大公因数(当系数是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积就是多项式的公因式.公因式可以是单项式，也可以是多项式.★公因式的确定方法：（1）系数：取多项式各项系数的最大公约数.（2）字母：取多项式各项都含有的相同字母(或多项式因式）的最低次幂.2. 用提取公因式法因式分解（1）定义：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解. 这种分解因式的方法，叫做提取公因式法. 提取公因式法是因式分解的一种最基本的方法.（2）提取公因式法的一般步骤确定应提取的公因式；用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；把多项式写成这两个因式的积的形式.3. 添括号法则括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.4.3 用乘法公式分解因式1. 运用平方差公式分解因式a2-b2=(a+b)(a-b).语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.例(杭州中考）分解因式：m3n-4mn=________________解析：m3n-4mn =mn(m2 - 4)=mn(m+2)(m -2).答案：mn(m+2)(m -2)2. 运用完全平方公式分解因式a2+2ab+b2= (a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2.语言叙述：两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的2倍，等于这两数和(或者差)的平方.★注意：公式中所说的“两个数”是a，b，而不是a2，b2，其中a，b既可以是单项式，也可以是多项式.3. 形如x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解X2 +(p+ q)x+ pq=(x+p)(x+q)，利用该式可将某些二次项系数是]的二次三项式分解因式. 如：x2-6x-7=(x-7)(x+1)，x2+5x-6=(x+6)(x -1).4. 综合运用提取公因式法和公式法分解因式（1）多项式的因式分解，有的可用提取公因式法，有的可用公式法，有的则两种方法综合应用. 一般地，利用公式a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法.（2）分解因式的一般步骤▲当多项式的各项有公因式时，应首先提取公因式.▲当多项式是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式为三项式时，应考虑用完全平方公式，观察是否符合公式的特点，并确定公式中的a，b.★特别注意：当分解因式后的某一因式有公因式或符合公式时，应继续分解，直到每个因式再也不能分解为止.★当多项式不能直接分解因式时，应先对多项式进行整理变形，再分解.5. 换元法当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式，例如：（a+b）2+2（a+b）+1，（x2-4x+2）（x2-4x+6）+46. 因式分解的方法7. 添括号法则括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.要点三、乘法公式1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差；注意：在这里，a、b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式；平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2、完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.注意：公式的特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.8. 因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现总结如下：（1）提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.例1：分解因式x3-2x2-x （2003淮安市中考题)x3-2x2-x=x（x2-2x-1）（2）应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.例2：分解因式a2+4ab+4b2（2003南通市中考题）解：a2+4ab+4b2=(a+2b)2（3）分组分解法★分解因式：mx+nx+my+ny=(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)十y(m+n)=(m+n)(x+y)，这种分解因式的方法称为分组分解法.★要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，井提出公因式b，从而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)请用分组分解法分解因式：（1）a2-b2+a2b-ab2.原式=(a2-b2)+(a2b-ab2)=(a+b)(a-b)+ab(a-b)=(a-b)(a+b+ab).（2）a2-a2b+ab2-a+b-b2.原式＝(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)＝(a+b)(a-b)-ab(ab)-(a-b)=(a-b)(a+b-ab-1)=(a-b)[(b-1)-a(b-1)]=(a-b)(b-1)(1-a).例3：分解因式m2+5n-mn-5m解：m2+5n-mn-5m=m2-5m-mn+5n=(m2-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)例：2x4-x3-6x2-x+2=(2x4-x3)-(6x2+x-2)=x3(2x-1)-(2x-1) (3x+2)=(2x-1) ( x3-3x-2)（4）十字相乘法对于mx2+px+q形式的多项式，如果a×b=m，c×d=q且ad+bc=p，则多项式可因式分解为（ax+d）（bx+c）用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3.（1）二次项系数2=1×2.（2）常数项-3=-1×3=1×(-3)，验算“交叉相乘之和”.（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果-1为一次项系数，即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3 =2x2-x-3，则2x2-x-3=(x+1)(2x-3). 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.例4：分解因式7x2-19x-6分析：1×7=7，2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)（5）配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解.例5：分解因式x2+6x-40解x2+6x-40=x2+6x+9-9-40=(x+ 3)2-(7)2=[(x+3)+7][(x+3)-7]=(x+10)(x-4)（6）拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解.例6：分解因式bc（b+ c）+ca（c-a）-ab（a+b）解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc（c-a）+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）（7）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.例7.分解因式2x4-x3-6x2-x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起）解：2x4-x3-6x2-x+2=(2x4-x3)-(6x2+x-2)=x3(2x-1)-(2x-1) (3x+2)=(2x-1) ( x3-3x-2)例7.分解因式2x4-x3-6x2-x+2 (也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起）解：2x4-x3-6x2-x+2=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2=x2｛2[x2+（1x ）2]-（x+1x）-6｝令y=x+1x，x2｛2[x2+（1x ）2]-（x+1x）-6｝=x2[2（y2-2）-y-6]= x2（2y2-y-10）= x2（y+2）（y-5）= x2（x+1x +2）（2x+1x−5）=（x2+2x+1）（2x2-5x+2）=(x+1)2(2x-1)(x-2)（8）求根法令多项式f（x）=0，求出其根为x1，x2，x3，……x n，则多项式可因式分解为f（x）=(x-x1)（x-x2)(x-x3)……(x-x n)(一般情况下是试根法，并且一般试-3，-2，-1，0，1，2，3这些数是不是方程的根)例8.分解因式2x4+7x3-2x2-13x+6解：令f（x）=2x4+7x3-2x2-13x+6=0通过综合除法可知，f（x）=0根为，-3，-2，1，12则2x+7x-2x-13x+6=（2x-1）（x+3）（x-1）（9）图象法（这种方法在以后学函数的时候会用到. 现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的）令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图象与x轴的交点x1，x2，x3，……x n，则多项式可因式分解为f（x）=f(x)=(x-x1)(x-x2 )(x-x3).....(x-x n)例9.因式分解x3+2x2-5x-6解：令y=x3+2x2-5x-6作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)（10）主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.例10.分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列解：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)= a2 (b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)=(b-c)[ a2-a(b+c)+bc]=(b-c)（a-b）(a-c)（11）利用特殊值法将2或10(或其它数）代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.例11.分解因式x3+9x2+23x+15解：令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则x3+9x2+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）（12）待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.例12.分解因式x4-x3-5x2-6x-4如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.解：设x4+-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd从而a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4所以解得则x4+-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)【专题综述】因式分解初中代数中一种重要的恒等变形，也是中考数学试题中比较常见的题型，对于因式分解，除了掌握其方法外，还应注意观察题目的本身特点，正确的选择方法，同时，由于种种原因，因式分解时常常会出现这样或那样的错误，下面举例予以剖析，望有则改之，无则加勉.9. 方法解读（1）曲解概念，局部分解 例1：分解因式：（x+y)2+（x+y)+14错解：原式=（x+y)(x+y+1)+ 14 正解：原式=（x+y)2+2×12（x+y ）+（12）2=（x+y+12）2【解读】尽管结果的第一项是积的形式，但从整体上看还是和的形式. 错因在于曲解了分解因式的意义，误认为只要结果中有整式的积即可，而忽视了整个结果必须是积的形式这一本质.【举一反三】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A.x 2+2x+3=(x+1)2+2B.(x+y)(x -y)=x 2-y 2C.x 2-xy+y 2=(x -y)2D.2x -2y=2(x -y)【答案】D【解析】选项A. x 2+2x+3=(x+1)2+2不是因式分解选项B.(x+y)(x -y)=x 2-y 2不是因式分解选项C. x 2-xy+y 2=(x -y)2不是因式分解选项D. 2x -2y=2(x -y)是因式分解（2）提公因式，不翼而飞例2：分解因式：4a 2b -6ab 2+2ab.错解：原式=2ab(2a -3b).正解：原式=2ab(2a -3b+l)【解读】当各项的公因式恰与某一项相同（或互为相反数）时，提取公因式后.该项的位置必须由l （或-l ）“留守”，而错解忽视了这一点，致使第三项“1”不翼而飞. 【举一反三】 因式分解：ab 2-2ab+a=_______________【答案】a(b -1)2【解析】ab 2-2ab+a=a(b 2-2b+1)=a(b -l)2，故本题的答案为a(b -1)2本题考查略因式分解的提公因式法与公式法，解题的关键在于判断公因式并熟练地运用完全平方式.（3）盲目变换，符号出错例3：分解因式：3q(p-1)2-2(1-p)3.错解：原式=3q(p-1)2-2(p-1)3=(p-1)2[3q-2(p-1)]=(p-1)2(3q-2p +2).正解：原式=3q(l-p) 2-2(1-p)3=(1-p)2(3q-2+2p)【解读】错因在于把（l-p)3化为（p-1）3时出现了符号错误，误认为(l-p)3=(p-1)3.事实上，当n为偶数时，(l-p)m=(p-1)m；当n为奇数时，(l-p)m=-(p-1)m，所以本题中若选择把(p-1)2化为(l-p)2，可避免符号的干扰【举一反三】因式分解：x(x-2)-3(2-x)【答案】(x-2)（x+3)【解析】试题分析：提公因式(x-2)进行因式分解；解：原式=（x-2)(x+3)（4）忘记初衷，背道而融例4：分解因式：（2x+y）2-(x-2y)2.错解：原式=[(2x+y)+(x-2y)][(2x+3)-(x-2y)]=( 3x-y)( x+3y)=3x2+8 x y-3 y2.正解：原式=（3x-y）(x+3y).【解读】错解的最后一步与因式分解背道而驰，是整式乘法. 这种走“回头路”的现象，其原因是混淆了分解因式与整式乘法的本质区别，对分解因式的目标就是“把多项式化为几个整式积的形式”不够明确.【举一反三】分解因式：9(a+b)2-4(a-b)2【答案】(5a+b)(a+5b)【解析】利用平方差公式即可分解因式.解：9(a+b)2-4(a-b)2，=[3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)],=(5a+b)(a+5b)（5）半途而废，前功尽弃例5：分解因式：（x2+4)2-16x2错解：原式=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4+4x)(x2+4-4x).正解：原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2（x-2)2【解读】错因在于分解因式不彻底. 因为结果中的两个因式都是完全平方式，还可以继续分解，所以错解由于半途而废，而导致“前功尽弃”.【举一反三】分解因式：4x2-16=___________【答案】4(x+2)(x-2)【解析】4x2-16.=4(x2-4)=4(x+2)(x-2)10. 强化训练1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.(x+y)(x-y)=x2-y2；B.42=2×3×7；C.x2-x-2=(x-2)(x+l)；D.2x2-x-l=x(2x-1)-1.【答案】C【解析】A.(x+y)(x-y)=x2-y2是乘法运算，故不正确；B.42=2×3×7是分解因数，故不正确；C.x2-x-2=(x-2)(x+1)是因式分解；D.2x2-x-l=x(2x-1)-1的右边不是积的形式，不是因式分解，故不正确.2.对于非零的两个实数a，b.规定a@b=a3-ab，那么将a@16结果再进行分解因式，则为（）A. a(a+2)(a-2)B.a(a+4)(a-4)C.(a+4)(a-4)D.a(a2+4)【答案】B【解析】∵a@b=a3-ab∴a@16=a3-16a=a (a2-16)=a(a+4)(a-4).故选B.3.因式分解：(1)2a(y-x)-3b(x-y)；(2)x3-x【答案】(1)( y-x)(2a+3b) (2)x(x+1)(x-1).【解析】试题分析：（1）将原式第二项括号里面变形为y-x，再将y-x提取出来即可；(2)先提取公因式x，再用平方差公式因式分解即可.试题解析：(1)原式=2a(y-x)+3b(y-x)=(y-x)( 2a+3b):（2)原式=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).4.分解因式：x5-2x3-8x【答案】x(x+2)（x-2)（x2+2)【解析】本题考查了综合运用提公因式法和公式法进行因式分解. 先提公因式x，然后连续运用两次平方差公式求解，分解因式时必须分解到每个因式不能再分解为止.原式=x(x4-2x3-8)=x(x2-4)(x2+2)=x(x+2)(x-2)(x2+2)5.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A.x(a-b)=ax-bxB.x2-1+y2=(x-1)(x+l)+y2C.x2-1=(x+1)(x-1)D.ax+bx+c=x(a+b)+c【答案】C【解析】A.是多项式乘法，不是因式分解，错误；B.不是化为几个整式的积的形式，错误；C.是公式法，正确；D.不是化为几个整式的积的形式，错误；故选：C.6.代数式2x2-18因式分解，结果正确的是（）A. 2(x2-9)B. 2(x-3)2C.2(x+3)(x-3)D.2(x+9)(x-9)【解析】∵2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3)，∴C中的结果是正确结果.故选C7.因式分解：①5x3y-20xy3；②(x-1)(x-3)-8【海南省定安县2017-2018学年八年级上学期期末考试数学试题】【答案】①5xy(x+2y)(x-2y)；②)(x-5)(x+1)【解析】①用提公因式法5x3y-20xy3=5xy(x2-4y2)=5xy(x+2y)(x-2y)②用十字相乘法(x-1)(x-3)-8=x2-4x-5=(x-5)(x+1)8.因式分解：(1)2x2-8(2)m3n-10m2n+25mn(3)a2(a-b)+9(b-a)【答案】(1)2(x+2)(x-2);(2)mm(m-5)2;(3)(a+3)(a-3)(a-b).【解析】试题分析：（1）原式提取2，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3)原式变形后提取公因式，再利用平方差公式分解即可.试题解析：(1)原式=2(x2-4)=2(x+2)(x-2)；(2)原式=mn(m2-10m+25)=mn(m-5)2；(3)原式=a2(a-b)-9(a-b)=(a-b)(a+3(a-3).(1)10a-5a2-5；(2)(x2+3x)2-(x-1)2.【答案】(1)-5(a-1)2；（2)(x2+4x-1)(x+1)2.【解析】（1）提取公因式-5后，再用完全平方式进行分解即可10a-5a2-5=-5(a2-2a+1)=-5(a-1)2（2）原式运用平方差公式进行分解后，再用完全平方式进行分解即可(x2+3x)2-(x-1)2=(x2+3x+x-1)(x2+3x-x+1)=(x2+4x-1)(x2+2x+1)=(x2+4x-1)(x+1)210.把下列各式因式分解(1 )a(a-3)+2(3-a)(2)(a+b+c)2-(a-b-c)2(3)4(x+y)2-20(x+y)+25(4) 4a2-b2+6a-3b【答案】(1)(a-3)(a-2) (2)4a(b+c) (3)(2x+2y-5)2(4)(2a-b)(2a+b+3)【解析】试题分析：（1)先把原式化为a(a-3)-2(a-3)，再用“提公因式法”分解即可；（2）先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；（3）用“完全平方公式”分解即可；（4）先把原式分组化为（4a-b)+（6a-3b)，两组分别分解后，再提“公因式”即可.试题解析：(1)a(a-3)+2(3-a)=a(a-3)-2(a-3)=(a-3)(a-2)(2)(a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)+(a-b-c) ] [(a+b+c)-(a-b-c)]=(a+b+c+a-b-cXa+b+c-a+b+c)=2a(2b+2c)=4a(b+c)(3)4(x+y)2-20(x+y)+25=[2(x+y) ]2-20(x+y)+25=[2(x+y) ]2-20(x+y)+52=(2x+2y-5)2(4)4a2-b2+6a-3b=(4a2-b2)+(6a-3b)=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)=(2a-b)(2a+b+3)第5章分式5.1 分式5.2 分式的基本性质5.3 分式的乘法5.4 分式的加减5.5 分式的方程1、分式有无意义及分式值为零的条件：分式中字母的取值不能使分母为零. 当分母的值为零时，分式就没有意义；当分母的值不为零时，分式有意义；当分子的值等于零而分母的值不等于零时，分式的值是零.1.分式AB 中，要使分式有意义，则需分母B≠0；要使AB=0，则需A=0且B≠0.2.分式的基本性质：AB =A×MB×M，AB=A÷MB÷M（其中M是不等于零的整式).3.分式约分的结果必须是整式或最简分式.分式的运算：1、分式的乘法：ba ·cd= bcad分式的除法：ba ÷cd=ba·dc=bdac分式的加减：（1）同分母分式相加减：ab ±cb=a±cb（2）异分母分式相加减：ab ±cd=abbd±cbbd=ab±cdbd分式的乘方：（ab）n=a n/b n（其中n是正整数）。