中值定理及其应用
5微分中值定理及其应用
CH 5 微分中值定理及其应用1．中值定理定理1 Rolle 中值定理设)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)('=ξf 。
定理2 Lagrange 中值定理设)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ。
定理3 Cauchy 中值定理设)(x f ，)(x g 在],[b a 连续，在),(b a 可导，且0)('≠x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =--。
定理4 Taylor 中值定理设)(x f 在0x 的某个邻域有1+n 阶导数，则在该邻域成立=+=)()()(x R x P x f n n)()(!)(...)(!2)(''))((')(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f n n n +-++-+-+=其中)(x P n 称为)(x f 在0x 的n 次Taylor 多项式，)(x R n 称为n 次Taylor 多项式的余项。
Lagrange 型余项10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ。
Peano 型余项))(()(0n n x x o x R -=。
常见初等函数的展开式:(1) 132)!1(!1...!31!211++++++++=n n xx n e x n x x x e ξ(2) +--+-+-=-+12153)!12(1)1(...!51!31sin n n x n x x x x12)!12()2sin()1(+++-n n x n πξ (3) 221242)!22(cos )1()!2(1)1(...!41!211cos +++-+-+-+-=n n n n x n x n x x x ξ (4) 1132)1)(1(1)1(1)1(...3121)1ln(+-++-+-+++-=+n n n n x n x n x x x x ξ (5) ++--++-++=+n x n n x x x !)1)...(1( (2)1(1)1(2ααααααα11)1()!1())...(1(+--++--n n x n n αξααα2．单调性及其判定定理5 设)(x f 在),(b a 可导,则 (1) )(x f 在),(b a 内单调递增(递减)的充要条件是)0)('(0)('≤≥x f x f ;(2) )(x f 在),(b a 内严格单调递增(递减)的充要条件是:1) )0)('(0)('≤≥x f x f ,),(b a x ∈∀;2) 在),(b a 的任何子空间上,0)('≠x f .注意掌握利用函数单调性证明不等式方法.3．极值与最值设)(x f 在),(0b a x ∈取到极值,则或者0)('0=x f 或者)(x f 在0x 不可导,两者必居其一.极值判断的充要条件:定理6 第一充分条件设0x 在的某邻域可导,且0)('0=x f .若)('x f 在0x x =左右两侧异号,则0x x =是)(x f 极值点;若)('x f 在0x x =左右两侧同号,则0x x =不是)(x f 极值点.1) 当),(00x x x δ-∈时,0)('<x f ;当),(00δ+∈x x x 时, 0)('>x f ,则)(x f 在0x x =取到极小值;2) 1) 当),(00x x x δ-∈时,0)('>x f ;当),(00δ+∈x x x 时,0)('<x f ,则)(x f 在0x x =取到极值;定理7 第二充分条件设)(x f 在0x 处二阶可导,则0x x =是)(x f 的极值点.1) 当0)(''0>x f 时, 0x x =是)(x f 的极小值点,2) 当0)(''0<x f 时, 0x x =是)(x f 的极大值点.若)(x f 在],[b a 连续,则)(x f 在],[b a 必取到最值.最值点将只会在区间端点,驻点获导数不存在的点取得.逐一比较,便可获得最大值,最小值.4．凹凸性与拐点定义 设)(x f y =在区间D 有定义,对任意]1,0[∈λ,任意D x x ∈21,,1) 若),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称)(x f 为D上的凸函数(上凸);2) 若),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称)(x f 为D上的凹函数(下凸).定理8 设)(x f 在D 上可导,则下述论断等价:1) )(x f 为D 上的凹函数;2) )(x f 在D 上单调函数;3) 对任意D x x ∈21,,成立))((')(12212x x x f x x f -+≥.推论 设)(x f 在D 上二阶可导,则)(x f 为D 上的凹函数的充要条件是0)(''≥x f . Jensen 不等式:若)(x f 为],[b a 上的凹函数, 对任意的D x x x n ∈,,21,0≥i λ,11=∑=n i i λ,则成立)()(11i n i i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ.函数凹凸性发生改变的转折点,称为拐点.若)(x f 在0x 二阶可导,则))(,(00x f x 成为曲线)(x f y =拐点的必要条件是0)(''=x f .通过考察0x x =处两侧)(''x f 的变号情况,可以确定))(,(00x f x 是否为拐点. 若)(x f 为],[b a 上的凸函数,相应的结论可以推得.5．渐近线水平渐近线:,A y =若A x f x =∞→)(lim . 垂直渐近线: 0x x =,若∞=→)(lim 0x f x x . 斜渐近线:b kx y +=, 若k xx f x x =→)(lim 0,b kx x f x x =-→])([lim 0.6．弧微分与曲率对于适当定义的有向曲线弧,成立22dy dx ds +=. 对于不同形式的曲线,分别有dy y x dx x y ds 1)()(122+=+=dt t y t x ds )()(22+=θθθd r r ds )(')(2+=曲率|lim |||0s ds d K s ∆∆==→∆ϕϕ,曲率半径KR 1=.例题分析例1．若)(x f 在],[b a 连续,在),(b a 可导,0)()(==b f a f ,证明存在),(b a ∈ξ,使得)()('ξξf f =.证:构造函数xe xf x F )()(=. 易证)(x F 在],[b a 满足Rolle 定理条件,故存在),(b a ∈ξ,使.0)('=ξF0)()(')('2=-=ξξξξξξe e f e f F ,即)()('ξξf f =.例2．设函数f 在],[b a 上可导,证明存在),(b a ∈ξ,使得)(')()]()([222ξξf a b a f b f -=-.证:构造)(')()]()([)(222ξf a b a f b f x x F ---=.验证 )()()()(22a F a f b b f a b F =-=故)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理条件,于是存在),(b a ∈ξ,使得 0)(')()]()([2)('22=---=ξξξf a b a f b f F .。
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理是微积分中的一个重要定理，描述了一种函数的平均斜率与函数其中一点的斜率之间的关系。
下面将介绍中值定理的应用方法与技巧。
一、介值定理的应用方法1.求函数的零点：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$异号，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，通过寻找$f(a)$和$f(b)$异号的区间，可以确定函数的零点的存在性和位置。
2.确定函数的最值：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$是函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的最小值和最大值，那么在区间$(a,b)$内必然存在一个点$c$，使得$f(c)$是函数的最小值和最大值。
因此，可以通过求解极值点来确定函数的最值。
3.求解方程与不等式：根据介值定理，如果$f(a)<0$且$f(b)>0$，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，可以通过将方程或不等式转化为函数，然后求解函数的零点来求解方程或不等式。
4.判断函数的增减性：根据介值定理，如果函数$f'(x)>0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递增的；如果函数$f'(x)<0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递减的。
因此，可以通过求导并分析导数的符号来判断函数的增减性。
二、中值定理的技巧1.构造辅助函数：有时候使用中值定理计算问题会比较复杂，需要构造辅助函数来简化计算。
辅助函数的选择需要考虑计算的便利性和准确性。
2.利用函数的性质和对称性：中值定理的应用过程中可以利用函数的性质和对称性来简化计算。
例如，如果已知$f(-x)=f(x)$，可以利用这一对称性将问题转化为求解正数情况下的解析表达式。
3.通过作图来理解问题：在使用中值定理计算问题时，可以通过绘制函数的图像来帮助理解问题，辅助解题。
通过图像可以直观地看到函数的变化趋势和函数的性质，更容易理解和判断。
微分中值定理及其应用
提示：对出现若干阶导数的界，估计另外某个导数 的界的问题，往往用Taylor公式。
证明：由Taylor公式有：
f (x0 )
f (x)
f
' (x)( x0
x)
1 2
f
" ( )( x0
x)2
取x0 b, 有
f (b)
f (x)
f
' (x)(b x)
同理，f (x)在[c,b]上连续，(c,b)内二阶可导，
由Lagrange中值定理知，存在点2 (c,b),使得
f ' (2 )
f (b) f (c) bc
而点A(a, f (a))、B(b, f (b))、C(c, f (c))共线，
所以：f (c) f (a) f (b) f (c)，
ca
bc
即f ' (1 ) f ' (2 )。
又f ' (x)在[1,2 ]上连续，在(1,2 )内可导， 由Rolle定理知， (1,2 ) (a,b),使得f‘' ( ) 0。
此题可以推广为： 设f (x)在[a,b]上连续，(a,b)内n 1阶可导，连接点 A(a, f (a))和B(b, f (b))的直线交曲线y f (x)于n个 点Ci (ci , f (ci ))(a c1 c2 cn b)。
1 2
f
" (1 )(b x)2
(1)
取x0 a, 有
f (a)
f (x)
f
' (x)(a x)
1 2
f
数学分析中的拉格朗日中值定理及其运用
数学分析中的拉格朗日中值定理及其运用引言：数学分析中的拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了连续函数在一个闭区间内必然存在一些点使得函数在该点的导数等于函数在该区间的平均变化率。
拉格朗日中值定理及其运用广泛应用于数学、物理、经济等领域，对于相关学科的研究和应用具有重要的意义。
一、拉格朗日中值定理的表述：假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)上可导，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在该点的导数等于函数在该区间的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)其中，f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数，f(b)-f(a)表示函数在区间[a,b]上的变化量，(b-a)表示区间的长度。
二、拉格朗日中值定理的证明：考虑函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))(x-a)/(b-a)，其中，f(b)-f(a)表示函数在区间[a,b]上的变化量，(x-a)/(b-a)表示x在区间[a,b]上的线性函数。
首先，g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))(a-a)/(b-a)=f(a)-f(a)=0；其次，g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))(b-a)/(b-a)=f(b)-f(b)+f(a)=f(a)。
由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，因此g(x)在闭区间[a,b]上也连续，并且在开区间(a,b)上可导。
根据罗尔定理，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且在区间端点处函数的值相等，则存在一些点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
考虑g'(x)的表达式，有g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)由于g'(c)=0，因此0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)三、拉格朗日中值定理的运用：拉格朗日中值定理可以用来证明其他数学定理，也可以用于解决一些实际问题。
微分中值定理及其应用
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
M N
y f ( x)
B
A
D
o a
1
x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定理相差 f (a ) f (b).
f (b) f (a ) 弦AB方程为 y f (a ) ( x a ). ba 曲线 f ( x ) 减去弦 AB,
拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a , b]上连续,在开区间(a , b ) 内可导, 那末在
(a , b ) 内至少有一点(a b ) ，使等式
f (b ) f (a ) f ' ( )( b a ) 成立.
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b).
f ()存在,
f () f ().
只有 f () 0.
注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必 要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可
能不成立.
例如,
f ( x) x, x [0,1]
又例如, f ( x) x0 1, f 在[0, ]上不满足罗尔定理的条 件1 ）、 3） , 但存在点 (0， ), 有f ( ) 0,即罗尔定理的结论成立 . 2 2
2、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x ) 0的根及 f ( x ) 不存在的点
第六章 微分中值定理及其应用
第六章 微分中值定理及其应用在这一章里，讨论了怎样由导数f ′的已知性质来推断函数所应具有的性质．微分中值定理正是进行这一讨论的有效工具．f 一、拉格朗日中值定理1．罗尔定理定理 设函数在区间满足：f ],[b a i）在区间上连续，f ],[b a ii）在区间上可导，f ),(b a iii），)()(b f a f =则在内至少存在一点),(b a ξ，使得0)(=′ξf ．几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线.例1 设f 为上的可导函数，证明：若方程R 0)(=′x f 没有实根，则方程至多只有一个实根.0)(=x f 2．拉格朗日定理：设函数在区间满足：f ],[b a i）在区间上连续f ],[b a ii）在区间上可导f ),(b a 则在内至少存在一点),(b a ξ，使得ab a f b f f −−=′)()()(ξ （拉格朗日公式） 注：几何意义：在满足条件的曲线上至少存在一点，曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.拉格朗日公式的几种等价表示：))(()()(a b f a f b f −′=−ξ)))((()()(a b a b a f a f b f −−+′=−θ ， 10<<θh h a f a f h a f )()()(θ+′=−+ ， 10<<θ推论 （1）若函数在区间f I 上可导，且0≡′)(x f ，则为区间f I 上的常值函数.（2）若函数和f g 均在区间I 上可导，且)()(x g x f ′≡′，则在区间I 上和f g 只相差一个常数，即c x g x f +=)()(（3）导数的极限定理：设函数在点的某邻域连续，在内可导，且存在，则在可导，且 f 0x )(0x U )(0x U o )(lim 0x f x x ′→f 0x )(0x f ′＝ )(lim x f x x ′→0注：这个定理给出的是充分条件，即当)(lim x f x x ′→0不存在的时候，也可能存在．例如 )(0x f ′⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00012x x x x y ,,sin ．但是也要注意的是如果的左右极限都存在当不相等，则一定不存在．这一点也说明了若在区间)(lim x f x x ′→0)(0x f ′f I 上可导，那么要么连续，要么只可能有第二类间断点．)(x f ′3．拉格朗日定理的一些应用：（证明不等式）例 证明对一切0,1≠−>h h ，下列不等式成立h h hh <+<+)ln(11 （根的存在及个数的估计） 例 设为多项式，)(x p α为0)(=x p 的r 重根，证明α为0)(=′x p 的1−r 重根． (利用导数的极限定理求分段函数的导数)例 求分段函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(0,sin )(2x x x x x x f 的导数．（关于函数的单调性的讨论）定理 设函数在区间f I 上可导，则在区间f I 上递增（减）的充要条件是： ))(()(00≤′≥′x f x f例 讨论的单调区间．x x x f −=3)(定理 若函数在上可导，则在上严格递增（减）的充要条件是：f ),(b a f ),(b a i)对一切，有),(b a x ∈))(()(00≤′≥′x f x fii)在内的任何子区间上),(b a 0≠′)(x f .推论 若函数在上可导，且f ),(b a 0>′)(x f (0<′)(x f )，则在上严格递f ),(b a增（减）．注：若函数在上（严格）递增（减）且在点a 右连续，则在上（严格）递增（减），对右端点的讨论类似.（利用单调性证明不等式） f ),(b a f ),[b a 例 证明，0,1≠+>x x e x )2,0(,sin 2ππ∈<<x x x x 二 、柯西中值定理和不定式的极限1．定理（柯西中值）设函数和f g 满足：1)在区间上连续，],[b a 2)在区间上都可导，),(b a 3)与不同时为0，)(x f ′)(x g ′4)，)()(b g a g ≠则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得：)()()()()()(b g a g a f b f g f −−=′′ξξ 几何意义：与拉格朗日的类似．例 设函数在()上连续,在内可导，则至少存在一点f ],[b a 0>a ),(b a ),(b a ∈ξ，使得ab f a f b f ln )()()(ξξ′=− 2．不定式的极限0型的不定式 定理 若函数和f g 满足：1) ． =→)(lim x f x x 000=→)(lim x g x x 2)在点的某空心邻域内二者都可导，且0x )(0x U o 0)(≠′x g ．3) A x g x f x x =′′→)()(lim 0(A 可为实数，也可为无穷大)． 则)()(lim0x g x f x x →＝A x g x f x x =′′→)()(lim 0 例 求xx x 21tan cos lim +→π )1ln()21(lim 2210x x e x x ++−→ x x e x −+→1lim 0∞∞型的不定式 定理 若函数和f g 满足：1) ． =→)(lim x f x x 0∞=→)(lim x g x x 02)在点的某空心邻域内二者都可导，且0x )(0x U o 0≠′)(x g ．3) A x g x f x x =′′→)()(lim 0(A 可为实数，也可为无穷大)． 则 )()(lim x g x f x x 0→＝A x g x f x x =′′→)()(lim 0 例 x x x ln lim+∞→ (αx x x ln lim +∞→，只要0>α) 3lim x e xx +∞→注：在)()(lim x g x f x x ′′→0不存在的时候，并不能说明)()(lim x g x f x x 0→不存在. 比如以下几个不能使用罗比达法则的例子：x x x x sin lim +∞→ xx x x x sin sin lim −+∞→ 其他类型的不定式极限：型 ∞⋅0x x x ln lim +→0型 ∞121x x x )(cos lim → 型 00x k x x ln )(sin lim +→+10型 0∞x x x x ln )(lim 121+++∞→型 ∞−∞)ln 111(lim 1xx x −−→ 对于数列的极限也可以用罗比达法则来求．例 n n n n )(lim 2111+++∞→ → x x xx )(lim 2111+++∞→ 三、泰勒公式多项式是各种函数中最简单的一种，本节是考虑如何用多项式去逼近函数，因此是近似计算的重要内容.1.带有皮亚诺型余项的泰勒公式考察下列多项式n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010−++−+−+=L则不难发现，)(00x p a n =!)(101x p a n ′=， !2)("01x p a n = ，… , !)()(n x p a n n n 0= 那么对于一般函数，设它在点具有直到阶的导数，由这些导数可以构造一个多项式f 0x n n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L 称其为在的泰勒多项式，系数为泰勒系数．不难发现f 0x )()()()(00x T x f k n k = ),,,(n k L 10=定理 函数在点存在直到阶的导数，则有，即f 0x n ))(()()(n n x x o x T x f 0−+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L ……… 带有皮亚诺型余项的泰勒公式))((n x x o 0−+当时,称00=x )(!)(!)(!)()()()(n n n x o x n f x f x f f x f +++′′+′+=0201002L 为带有皮 亚诺型余项的麦克劳林公式．以下是几个常用函数的麦克劳林公式：)(!!n n x x o x n x x e +++++=12112L )()!()(!!sin !222531215131++++−+++−=m m m x o x m x x x x L)()!()(!!cos 122422141211++−+++−=m m mx o x m x x x L )()()ln(n n n x o x n x x x x +−+++−=+−132131211L )(n n x o x x x x+++++=−L 2111 利用上述麦克劳林公式，可间接求得一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式以及求某种类型的函数极限．例 写出22x e x f −=)(的麦克劳林公式，并求，．)()(098f )()(099f 例 求在处的泰勒公式．x ln 2=x 例 求4202x e x x x −→−cos lim ． 2.带有拉格朗日型余项的泰勒公式 定理 若函数f 在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶的导数，则对任给的，至少存在一点],[b a n ),(b a 1+n ],[,b a x x ∈0),(b a ∈ξ，使得n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!)()(!)()()()(0020000021−++−′′+−′+=L 1011++−++n n x x n f )()!()()(ξ ………………带有拉格朗日型余项的泰勒公式 当时,称00=x n n x n f x f x f f x f !)(!)(!)()()()(0201002++′′+′+=L 111++++n n x n x f )!()()(θ 为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.1211211+++++++=n xn xx n e x n x x e )!(!!θL 3212533211215131++++−++−+++−=m m m m x m x x m x x x x )!(cos )()!()(!!sin !θL 2212422212141211+++−+−+++−=m m m mx m x x m x x x )!(cos )()!()(!!cos θL 11132111131211++−++−+−+++−=+n n n n n x x n x n x x x x ))(()()()ln(θL12211111++−+++++=−n n n x x x x x x )(θL 3．在近似计算中的应用例 计算e 的值，使其误差不超过，并且证明e 为无理数．610−例 用泰勒多项式逼近正弦函数，要求误差不超过，试以一次和二次的多项式逼近，分别讨论x sin 310−x 的范围． 四、函数的极值与最大（小）值1.极值的判别函数的极值是函数局部的又一性质．定理（极值的第一充分条件） 设在点连续，在某内可导． f 0x )(0x U o i) 若当),(00x x x δ−∈时0≤′)(x f ，当),(δ+∈00x x x 时0≥′)(x f ，则在点取得极小值.f 0x ii) 若当),(00x x x δ−∈时0≥′)(x f ，当),(δ+∈00x x x 时0≤′)(x f ，则在点取得极大值.f 0x 例 求3252x x x f )()(−=的极值点与极值定理（极值的第二充分条件） 设在某内一阶可导，在处二阶可导，且，，f );(δ0x U o 0x x =00=′)(x f 00≠′′)(x f i)若，则在点取得极大值.00<′′)(x f f 0x ii）若，则在点取得极小值.00>′′)(x f f 0x 例 求xx x f 4322+=)( 的极值与极值点 定理（极值的第三充分条件） 设在某内存在直到阶导函数，在处阶可导，且 f );(δ0x U o 1−n 0x n 00=)()(x f k ),,,121−=n k L ，，则 00≠)()(x f n i)当为偶数时，在点取得极值，且当时取极大值，时取极小值．n f 0x 00>)()(x f n 00<)()(x f n ii) 当为奇数时，在点不取得极值．n f 0x例 试求函数的极值.（可以利用第一充分和第三充分条件）)()(4−=x x x f 12．最大值与最小值若函数在上连续，则在上连续上一定有最大，最小值.我们只要比较在所有稳定点，不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在上的最大，最小值．f ],[b a f ],[b a f f ],[b a 例 求函数x x x x f 129223+−=)(在],[2541−上的最大与最小值. 例 设f 在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点，证明：若是的极大（小）值点，则必是在0x 0x f 0x f I 上的最大（小）值. 五、函数的凸性与拐点根据函数图像的特点研究函数的凸凹性．1.定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点和任意实数21x x ,),(10∈λ总有)()()())((212111x f x f x x f λλλλ−+≤−+则称为f I 上的凸函数.反之，如果总有)()()())((212111x f x f x x f λλλλ−+≥−+则称为f I 上的凹函数.通过图形来解释．引理 为f I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点，总有 321x x x <<≤−−1212x x x f x f )()(2323x x x f x f −−)()( 还可以证明≤−−1212x x x f x f )()(≤−−1313x x x f x f )()(2323x x x f x f −−)()( 定理 设f 为区间I 上的可导函数，则下述结论等价：1) 为区间f I 上的凸函数2)f 为′I 上的增函数3)对I 上的任意两点，有21x x , ))(()()(12112x x x f x f x f −′+≥(结论3的几何意义是：可导的凸函数其切线总在曲线的下方．)定理 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上为凸函数的充要条件是：.f 0>′′)(x f 例 讨论函数的凸凹区间.x x f arctan )(=例 证明若函数为定义在内的可导的凸（凹）函数，则为的极小（大）值点的充要条件是为的稳定点，即f ),(b a 0x ),(b a ∈f 0x f 00=′)(x f .（说明：尽管可导的极值点未必是稳定点.但为可导的凸（凹）函数时，则极值点必为稳定点） f 例（Jesson 不等式） 若为上的凸函数，则对任意f ],[b a ],[b a x i ∈，0>i λ，),,,,(n i L 21=11=∑=ni i λ，有)()(i ni i n i i i x f x f ∑∑==≤11λλ例 设为区间f I 内的凸（凹）函数，证明在f I 内任一点都都存在左右导数.0x 2.拐点设曲线在点处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点.)(x f y =))(,(00x f x ))(,(00x f x )(x f y =定理 若f 在点二阶可导，则为曲线0x ))(,(00x f x )(x f y =的拐点的必要条件是 00=′′)(x f .定理 设f 在点可导，在某邻域内二阶可导.若在和上的符号相反，则为曲线0x );(δ0x U o )(0x U o +)(0x U o −f ′′))(,(00x f x )(x f y =的拐点.。
第六章微分中值定理及应用(1-3)
而已知f ( x )在x 0可导,则 f ' ( x0 )= f +' ( x0 )=f -' ( x0 ) f ' ( x0 )=0
二、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b] ( 2) ( 3) 上连续,在开区间(a , b ) 内可导,且在区间端点的函数 值相等，即 f (a ) f (b ) ,那末在(a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得函数 f ( x ) 在该点的导数等于零，
既然是极大点,所以在x0的小领域内U(x0 )内 x U(x0 ), 有f ( x ) f ( x0 ) (若是极小值点,则f ( x ) f ( x0 ))
那么
(1)当x>x 0时, f ( x ) f ( x0 ) 0, x x0 由极限保号性, f +' ( x0 ) 0 (2)当x<x 0时, f ( x ) f ( x0 ) 0, x x0 同理有 f -' ( x0 ) 0
第六章:
微分中值定理及其应用
定义:
极值: 设函数 f(x)在区间 I 上有定义，并且存在一个 点 x0 的一个领域U ( x0 ) I ，对于 x U ( x0 ) ，有
f ( x ) f ( x0 ), ( f ( x ) f ( x0 ))
则称 x0 是函数 f （x） 的极大值点 （极小值点）f ( x0 ) 是 函数 f(x)的极大(小)值. 极大值或极小值点统称为极值点. 请思考:极 大(小)值和 最大(小)值 相同么?
则在(a , b)内至少存在一点 , 使得 () 0.
微分中值定理及其应用
（1） f ( x ), g ( x ) 在 (a −δ , a +δ ) 可导且g '( x ) ≠ 0 , 其中 δ > 0; （2）lim
x→a
f ( x) = lim g ( x ) = 0；
x→a
f '( x) lim = A; （3） x → a g '( x )
则
f ( x) =A lim x →a g ( x)
1
1
lim cos +
1
ξ
=0
§2 洛必达法则
前面遇到几种类型的极限：
定理5.6 若 f （1） ( x ) , g ( x) 在（a, a +δ ）可导且 g ′( x ) ≠ 0 ,其中 δ > 0 f '( x) =A lim （2） + f ( x) = lim g ( x) = 0 （3） lim+ + x → a g '( x ) x→a x→a 则 f ( x) lim+ =A x→a g ( x) 0 （ 型）在自变量的某个变化过程中 0 （1）f ( x ), g ( x )都为无穷小，即 xlim+ f ( x ) = 0, xlim+ g ( x ) = 0 →a →a
f '( x) ε | − A |< . g '( X ) 2
有
在(a, a + δ1 )内取定 x0，则对a < x < a + δ1 中任意x ≠ x0
| f ( x) − f ( x0 ) ε f '(ξ ) − A |=| − A |< , 2 g ( x) − g ( x0 ) g '(ξ )
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中值定理及其应用
中值定理是微积分中的重要定理之一，它是高阶微积分的基础，被
广泛应用于物理、经济、工程等领域。
在本文中，我们将介绍中值定
理的概念、证明以及其在实际问题中的应用。
一、中值定理的概念
中值定理是微积分中的一个基本定理，用来分析函数在某个区间上
的平均变化率与瞬时变化率的关系。
它由罗尔定理、拉格朗日中值定
理和柯西中值定理组成。
1. 罗尔定理
罗尔定理是中值定理的基础，它主要用于研究函数在闭区间上连续
且在开区间上可导的情况。
罗尔定理的表述为：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则存在c∈(a,
b)，使得f'(c) = 0。
2. 拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是中值定理的一种形式，它由罗尔定理推导而来。
拉格朗日中值定理的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在
开区间(a, b)上可导，则存在c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
3. 柯西中值定理
柯西中值定理是中值定理的另一种形式，它由拉格朗日中值定理推
导而来。
柯西中值定理的表述为：如果两个函数f(x)和g(x)在闭区间[a,
b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在c∈(a, b)，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
二、中值定理的证明
中值定理的证明相对复杂，需要运用到微积分中的一些基本概念和定理。
在这里，我们将省略中值定理的详细证明过程。
三、中值定理的应用
中值定理在实际问题中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用实例：
1. 平均速度与瞬时速度
根据拉格朗日中值定理，对于一段时间内的平均速度与某一时刻的瞬时速度，它们之间存在一个相等的关系。
这在物理学中有着重要的意义，可以通过计算平均速度来得到瞬时速度的近似值。
2. 函数求导与图像切线
中值定理可以用于求解函数的导数以及函数图像的切线。
通过应用拉格朗日中值定理，我们可以找到函数在某一点处的导数值，从而提供了求解导数的一种方法。
同时，中值定理也可以用于确定函数图像上某一点处的切线方程。
3. 经济学中的应用
中值定理在经济学中也有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们常常需要研究某个商品的价格与数量之间的关系。
通过应用柯西中值
定理，我们可以确定在某一段时间内，某商品的平均价格与平均数量之间存在一个恒定的比值。
四、总结
中值定理是微积分中的核心定理，它在分析函数的平均变化率与瞬时变化率之间的关系时起着重要作用。
无论是在物理学、经济学还是工程学等领域，中值定理都具有广泛的应用。
通过了解中值定理的概念、证明以及应用，我们能够更好地理解微积分的基本原理，从而应用到实际问题中。