七年级数学书第六章知识点
七年级数学书第六章知识点七年级数学书的第六章是关于“比例”的，这个章节的内容对于初中生来说是非常重要的，因为它涉及到了我们在生活中处理各种问题的能力。
在学习比例的知识点之前，我们需要先了解一下这个概念的概述。
一、概述
比例是指两个或两个以上的数之间的等比关系，即一个数是另一个数的若干倍，或者是另一个数的若干分之一。
在数学中，我们用“:”或“/”来表示比例，比如说2:3或2/3。
二、比例的性质
比例有以下几个基本性质：
1.比例的比值是一定的，即两个相等的比例是等价的，比如说3:5和6:10就是等价的。
2.如果比例的两个数成比例，那么这个比例就是简单比例，比如说2:4和5:10就是简单比例，因为它们的比值是相等的。
3.比例的两个数必须同向，即它们要么同时增加，要么同时减小，比如说2:5和4:10就是同向比例，而2:5和10:4就不是。
4.如果两个比例相等，那么它们对应的两个数也是成比例的，
比如说2:3=4:6，那么2和3就是成比例的，4和6也是成比例的。
三、比例的应用
比例在生活中有着广泛的应用，比如说平面图、比例尺、比例
分配、利润分配等等。
以下是一些比例应用的例子：
1.利润分配问题：甲、乙、丙三人合伙经营某项生意，甲出资
3万元，乙出资5万元，丙出资2万元。
若合作一年后所得金额为12万元，则甲、乙、丙三人应分得多少利润？
解：根据题意可以列出甲：乙：丙的投资比例为3:5:2，所以它们分配利润的比例也是3:5:2。
因此，甲应得3/10*12万元=3.6万元，乙应得5/10*12万元=6万元，丙应得2/10*12万元=2.4万元。
2.比例尺问题：一栋房子的实际长度是20米，若在1：1000的
比例下绘制平面图，则该房子在平面图上的长度是多少？
解：根据题意得出比例尺为1：1000，所以平面图上的长度应
该是实际长度的1/1000，即20/1000=0.02米，也就是20毫米。
3.饮料配方问题：某饮料的成分为果汁和水，数量比为5:3。
若需要制作20升这种饮料，则需要多少果汁和水？
解：根据题意得出果汁和水的比例为5:3，所以20升这种饮料所需果汁和水的数量比为5:3，即果汁为5/8*20=12.5升，水为
3/8*20=7.5升。
以上就是七年级数学书第六章“比例”的知识点，希望读者能够认真学习并掌握这些知识，以便在实际生活中能够灵活应用。
七年级上册第6章知识点
七年级上册第6章知识点七年级上册第6章是数学教材中一个重要的章节，主要讲解了有关代数式的知识。
在这一章节中，我们将深入了解代数式及其相关概念，进一步了解数学，为未来学习打下坚实的基础。
一、代数式的定义代数式是用字母和数表示的含有算术运算符号（如加、减、乘、除等）的式子。
使用代数式可以用简单的形式表示复杂的数学问题，有助于简化数学运算。
例如，代数式“3x+2y”表示一个由x和y组成的数学式子，其中x的系数是3，y的系数是2。
二、代数式的构成代数式的构成是由数字、常数、变量和运算符组成。
其中，变量是可以代表任何数字的符号，如x、y等。
代数式的运算符包括加、减、乘、除等。
运算顺序遵循有关运算符的规则，如乘除优先于加减。
例如，代数式“3x+2y”中，“3”和“2”是常数，“x”和“y”是变量，“+”为运算符。
三、代数式的化简与展开化简是将代数式重新排列，以便更简单地表示相同的数学问题。
展开则是将代数式进行拆分，以便更好地理解代数式。
化简和展开有多种方法，可以根据不同的情况选择适当的方法进行处理。
例如，可以使用合并同类项、分配律、消去法等等来化简和展开代数式。
四、代数式的应用代数式在数学中有广泛的应用，涉及到各个领域，如代数、几何、物理等等。
在代数方面，代数式可以用来解决各种数学问题，如方程、不等式等等。
在几何方面，代数式可以用来表示图形的性质和特征，如面积、周长等等。
在物理方面，代数式则可以用来描述物体的运动状态、速度、加速度等等。
总之，代数式是数学中非常重要的概念，对学习和实践都有重要的意义。
希望大家能够在学习代数式的过程中，加强理论知识的掌握，注重实践应用，为将来的数学学习奠定牢固的基础。
七年级下册第六章知识点导图
七年级下册第六章知识点导图本文将为读者提供七年级下册第六章知识点的导图，帮助读者更好地理解和掌握该章节的内容。
一、数学1. 有理数有理数是可以用分数表示的数字，包括正整数、负整数、0、正分数、负分数。
2. 分数的四则运算分数的加减乘除运算，要求先通分再进行计算。
3. 小数小数是带有小数点的数字，可用于表示有理数。
4. 小数与分数的相互转换小数可以化为分数，分数也可以化为小数。
二、语文1. 词语的意思辨析通过分析词语的词义、上下文以及整个文章的逻辑关系，来判断词语的真正意思。
2. 句式的鉴别通过分析句子的结构、语法以及上下文的语境，来判断句子的性质和结构。
3. 识别段落中心思想通过阅读整个段落，找出段落的主题和中心思想，从而更好地理解文章。
三、英语1. 动词时态动词时态分为一般现在时、一般过去时、一般将来时等多种形式，表示不同的动作发生时态。
2. 句型不同的句型结构可以用于表达不同的意思，如疑问句、陈述句、祈使句等。
3. 语音语调英语语音语调对于交流能力的提升至关重要，包括音调、节奏、重音等。
四、物理1. 电流电流是电子在电路中的流动，用安培（A）作为单位来表示。
2. 电压电压是电子通过电路时所承受的电势差，用伏特（V）作为单位来表示。
3. 电阻电阻是电子在通过电路时所遇到的阻力，用欧姆（Ω）作为单位来表示。
五、化学1. 反应方程式反应方程式用于描述化学反应的过程，包括反应物、生成物以及反应过程中的能量变化。
2. 元素周期表元素周期表由一系列元素组成，按照原子序数、化学性质以及电子排布等分类。
3. 化学式化学式用来描述化合物中元素的种类和数量，包括分子式、离子式等多种形式。
以上是七年级下册第六章知识点的导图，希望能对读者有所帮助，更好地掌握该章节的内容。
人教版七年级数学上册各章知识点总结
人教版七年级数学上册各章知识点总结第一章：有理数1. 有理数和整数的关系- 自然数是有理数，因为每个自然数都可以表示为分子为自然数、分母为1的有理数。
- 整数是有理数，因为每个整数都可以表示为分母为1的有理数。
- 分数是有理数，因为每个真分数都可以表示为分母不为0的有理数。
2. 有理数的加减法- 同号两数相加，取相同的符号，并将绝对值相加。
- 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并将绝对值较大的数减去较小的数的绝对值。
3. 有理数的乘除法- 同号两数相乘，积为正数。
- 异号两数相乘，积为负数。
- 有理数相除，分子乘以倒数。
第二章：代数初步1. 代数式的基本概念- 代数式由变量、常数和运算符号组成。
- 代数式可以通过代入变量的具体数值来求得结果。
2. 代数式的计算- 同类项相加或相减，保持字母不变，系数相加或相减。
- 不同类项之间无法进行运算。
3. 代数式的应用- 通过列式子，可以将一个具体问题转化为代数式，从而解决问题。
第三章：小数1. 小数的定义和读法- 小数是有理数的一种表示形式，可以用分数的形式表示。
- 小数读法遵循读整数部分，读小数点，读小数部分的规则。
2. 小数的加减法- 小数相加减时，要保持小数点的位置对齐，然后按照整数加减法的规则进行运算。
3. 小数与分数的相互转化- 将小数转为分数，小数点后的位数作为分母，去掉小数点后的位数作为分子。
- 将分数转为小数，分子除以分母。
第四章：倍数和约数1. 倍数的概念- 如果一个数能被另一个数整除，则这个数是另一个数的倍数。
2. 倍数和公倍数- 两个数的公倍数是能同时整除这两个数的数。
- 两个数的最小公倍数是能整除这两个数的最小正整数。
3. 约数的概念- 如果一个数能整除另一个数，则这个数是另一个数的约数。
4. 因数和公因数- 两个数的公因数是能够同时整除这两个数的数。
- 两个数的最大公因数是能够整除这两个数的最大正整数。
第五章：比例1. 比例的基本概念- 比例是两个数之间的比较关系，可以用两个等比例的分数表示。
七年级数学下册每章知识点
七年级数学下册每章知识点七年级数学下册共十一章，每一章都有其独特的知识点和重点难点。
在这篇文章中，将会为大家总结每一章的主要知识点和重点难点，帮助大家更好地掌握数学知识。
第一章：小数小数是在计数法中表示数值大小的一种方式，它是分数的一种特殊形式。
小数的大小关系可以用数轴表示，小数的计算可以直接利用它与分数和整数的等价关系进行计算。
重点难点：小数加减乘除运算的应用。
第二章：有理数有理数包括整数、分数和小数，它们均可以表示为数轴上的点。
有理数的加减乘除运算可以直接利用它们的等价关系转化为整数的运算，从而进行计算。
重点难点：有理数的化简、约分和通分。
第三章：代数式代数式是用数字、字母和运算符号表示的算式，代数式中的字母表示未知数或变量。
代数式的加减乘除和化简运算可以直接利用它与数的等价关系进行计算。
重点难点：代数式的应用，如代数式化简后的实际意义。
第四章：方程与不等式方程和不等式是表示两个式子相等或不等的式子，通过代数式的加减乘除和变形运算可以求解未知数的值。
解方程和不等式也可以通过图像解法和工程实践应用解法等方式进行求解。
重点难点：方程和不等式的图像解法和工程实践应用解法。
第五章：平面图形平面图形包括三角形、四边形、圆形等，它们有各自的特点和计算公式。
计算平面图形的面积和周长可以通过直接应用公式或者分解成一些简单图形的面积和周长进行计算。
重点难点：平面图形的面积和周长的应用。
第六章：立体图形立体图形包括正方体、长方体、棱锥、棱柱和圆椎等，它们有各自的特点和计算公式。
计算立体图形的体积和表面积可以通过直接应用公式或者分解成一些简单图形的体积和表面积进行计算。
重点难点：立体图形的体积和表面积的应用。
第七章：数据和统计数据和统计是对现实生活中数据进行收集、整理、描述、图形化和分析的一种数学方法。
数据和统计的方法包括频数和频率的统计、统计图表和图形表示等。
重点难点：统计方法的应用及其在实际生活中的意义。
第八章：函数函数是将自变量映射到因变量的一种数学方法。
人教版七年级数学下册精品教学课件 第六章 实数 立方根
学习目标：
1.了解立方根的概念，会用开立方运算求一个数的立方根. 2.了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立 方根的近似值.
重点难点：
1.掌握立方根的概念． 2.了解立方根与平方根的区别与联系.
情景导入
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现 在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来 体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？
（2）因为 ( 3 3)3 = 3
( 3)3 27 28
所以 3 < 27
8
所以 3 3
<
3 2
5.若 3 x =2，y2 =4，求 x 2y 的值.
解：∵ 3 x =2， y2 =4. ∴x = 23，y2 = 16, ∴x = 8，y = ±4. ∴x + 2y = 8 + 2×4 = 16 或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. ∴ x 2 y = 16 = 4 或 x 2 y = 0 = 0.
课堂小结
定义 正数的立方根是正数，
立
负数的立方根是负数；
方
性质 0的立方根是0.
根
3 -a 3 a
用计算 被开方数的小数点向左或向右移动 器计算
3n位时立方根的小数点就相应的向
左或向右移动n位（n为正整数）.
知识精讲
知识点一 立方根的概念及性质 问题：要制作一种容积为 27 m³的正方体形状的包装箱， 这种包装箱的棱长应该是多少? 设这种包装箱的棱长为 x m，则 x³= 27. 这就是要求一个数，使它的立方等于 27. 因为 3³= 27，所以 x = 3. 因此这种包装箱的棱长应为 3 m.
七年级初一数学第六章 实数知识点总结附解析
（1） 的整数部分是______，小数部分是_______。
（2）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值。
（3）已知x是 的整数部分，y是其小数部分，直接写出 的值.
23．观察下列两个等式： ， ，给出定义如下：我们称使等式 成立的一对有理数 ， 为“共生有理数对”，记为（ ， ），如：数对（ ， ），（ ， ），都是“共生有理数对”．
【详解】
A. 是无理数；
B. 是无理数；
C. ，是有理数；
D.0.121 121 112…是无理数；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样 Nhomakorabea律的数．
3．C
解析：C
【分析】
观察已知等式，发现末位数字以2，4，8，6进行循环，每4个数一个循环的和位数为0，只要把原式的数的个数除以4得出余数即可求解.
A．2B．0C．－2D．以上都不对
10．在下列实数中，无理数是( )
A． B．πC． D．
二、填空题
11．已知M是满足不等式 的所有整数的和，N是满足不等式x≤ 的最大整数，则M＋N的平方根为________．
12．a是 的整数部分，b的立方根为-2，则a+b的值为________．
13．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为 ，输出的值是_______．
18． ________．
19．已知： ， ，则 （精确到0．01）≈__________．
20．利用计算器，得 ，按此规律，可得 的值约为_____________
三、解答题
21．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN，例如：32=9，则log39=2，其中a=10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(M•N)=logaM+logaN．
七年级上册数学第六单元知识点
七年级上册数学第六单元知识点七年级上册数学第六单元学习的内容是关于欧拉图的知识。
欧拉图起源于18世纪，是图论中的一种基本概念。
在这一单元中，我们将学习欧拉图的基础概念、性质及其应用，并掌握欧拉图的构造方法。
一、欧拉图的基础概念欧拉图是指一种特殊的图，这种图包含了所有节点都能够连通（即是连通图）且每个节点的度数都是偶数的图。
欧拉图有两种形式：欧拉回路和欧拉通路。
欧拉回路：在一张图中，如果从一个节点出发，恰好经过所有的边，且最后回到原始节点，那么这张图就包含欧拉回路。
欧拉通路：在一张图中，如果存在一条路径可以经过所有边，但是不需要回到原始节点，那么这张图就包含欧拉通路。
二、欧拉图的性质欧拉图的性质有如下几点：1、欧拉回路存在的判断条件：该图所有节点的度数都是偶数。
2、欧拉通路存在的判断条件：该图有且仅有两个奇度数节点（度数为奇数的节点）（或者无奇度数节点）。
3、若一张无向图中存在欧拉回路或欧拉通路，则一定是连通图。
三、欧拉图的构造方法1、欧拉回路的构造方法：每次从一个节点出发遍历该节点所连边中没有被遍历过的边。
一直遍历下去，直到回到起点。
2、欧拉通路的构造方法：选择一个奇度数节点作为起点，从该节点开始遍历该节点所连边中没有被遍历过的边。
当无法再走下去的时候，进入另一个未遍历到的奇数度节点继续遍历。
一直遍历下去，直到所有边都被遍历过为止。
四、欧拉图在实际应用中的意义欧拉图的2个重要性质：所有节点的度数都是偶数或者只有2个奇度数节点，意味着欧拉图是很有规律的。
因此，在我们的现实世界中很多事物都可以用欧拉图来表示。
例如，在城市规划中，欧拉回路可以表示为一个完美的环路，有可能在一个城市中形成一个中心广场。
在网络优化方面，欧拉图可以用来控制数据的流动，以实现更好的性能。
在实际应用中，学习欧拉图可以使我们更好地理解和分析问题，从而提高解决问题的能力。
五、总结欧拉图是图论中的基本概念，主要包括欧拉回路和欧拉通路。
人教版七年级数学第六章实数6.1平方根
a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
人教版数学七年级下册第六章实数基础知识点讲解+典型例题讲解.doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a a a 0，a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ≥a 是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a aa =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根． （2116表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ． （43x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________． 【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0， ∴，解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.x a要点诠释：一个数a3a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质33a a -=-33a a =()33a a =要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 【典型例题】 类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（ ） A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B ．一个数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 【思路点拨】根据立方根的定义判断即可. 【答案】D ；【解析】A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B ．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；C ．负数有立方根，故错误；D ．正确.【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义. 举一反三：【变式】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4）23327(3)1-+--- （5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）310227-- （2）3321145⨯+ （3）331864⋅-3642743==33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）23327(3)1-+---=331=1-++（5）310031(2)2(1)4--÷+-3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）30.008-=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】 解：（x ﹣2）3=﹣125， 可得：x ﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 333a b +.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数（基础）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (7)3π-【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73--无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三： 【变式】（2015春•聊城校级月考）在下列语句中： ①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数； ③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数． 其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④ 【答案】C ；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确； ②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的； ④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较2、比较520.5的大小． 【答案与解析】解：作商，得5250.5=51>，即5210.5>50.5>． 【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1ab<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π-- 7___54__2323___32 32 9___0－ 3___10-- |43|___(7)--- 【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、（2015•枣庄）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D ；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ， ∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误； B 、∵a ＜b ， ∴a ﹣b ＜0，∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误； C 、∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误； D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确． 故选：D ．【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－ 【答案与解析】 解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3； 【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三：【变式】已知2(16)|3|30x y z ++++-=，求xyz 的值．【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴xyz ＝(16)(3)312-⨯-⨯=.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】【要点梳理】类型项目平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
黑龙江七年级数学下册第六章【实数】知识点复习(含解析)
一、选择题1．有下列四种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1； ④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．若227(7)0x y z -+++-=，则x y z -+的平方根为（ ） A ．±2B ．4C ．2D ．±43．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．64．下列说法正确的是（ ） A ．2-是4-的平方根 B ．2是()22-的算术平方根 C ．()22-的平方根是2D ．8的平方根是45．下列实数中，是无理数的为（ ） A ．3.14B ．13 C ．5 D ．96．下列实数:32233.14640.010*******-；；；； (相邻两个1之依次多一个0)；52-，其中无理数有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 138．0.31，3π，27-12- 1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．设,A B 均为实数，且A B ==,A B 的大小关系是（ ）A ．AB >B ．A B =C ．A B <D ．A B ≥10．在0，3π，227， 6.1010010001…（相邻两个1之间0的个数在递增）中，无理数有（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ） A ．1或﹣1B ．-5或5C ．11或7D ．-11或﹣7二、填空题12．已知（2m ﹣1）2＝9，（n+1）3＝27．求出2m+n 的算术平方根．13．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9． 问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ． （2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．14．求下列各式中x 的值： （1）()214x -=； （2）3381x =-．15．计算：（1）225--(2)116．0.5325===的值是______________________． 17．计算：（1）﹣12＋327-﹣（﹣2）×9 （2）3（3＋1）＋|3﹣2|18．定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy 4+，则2@6 =____．19．根据如图所示的程序计算，若输出y 的值为16，则输入x 的值为 ______．20．-64的立方根是____，9的平方根是_____，16的算术平方根是_____81_____．21．设a ，b 是两个连续的整数，8若8a b <<，是，则a b ＝____．三、解答题22．（1）求x 的值：2490x -=； （2()2325227-23．计算： （1）3243333225⎛- ⎝； （2381|136463---24．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：1.5-380，134-25．把下列各数填在相应的横线上 1.4，2020，2-，32-，0.31，038-π-，1.3030030003…（每相邻两个3之间0的个数依次加1） （1）整数：______ （2）分数：______ （3）无理数：______一、选择题1．有下列说法：①在1和2之间的无理数有且只有2,3这两个；②实数与数轴上的点一一对应；③两个无理数的积一定是无理数；④2π是分数．其中正确的为（ ） A ．①②③④B ．①②④C ．②④D ．②2．若“！”是一种运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则计算2015!2014!正确的是（ ） A ．2015B ．2014C ．20152014D ．2015×20143．已知实数a 的一个平方根是2-，则此实数的算术平方根是（ ） A ．2±B ．2-C ．2D ．44．85-的整数部分是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．75．下列实数31,7π-，3.14，38,27,0.2-，1.010010001…（从左到右，每两个1之间依次增加一个0）中，其中无理数有（ ） A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6．下列选项中，属于无理数的是（ ） A ．πB ．227-C ．4D ．07．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且||||b a >，则化简233||()a a b b -++-的结果是（ ）A ．2aB ．2bC ．22a b +D ．0864 ） A ．8B ．8-C ．22D ．22±9．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A ．21n -B ．22n -C ．23n -D ．24n -10．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n11．估计511-的值在（ ） A ．5~6之间B ．6~7之间C ．7~8之间D ．8~9之间二、填空题12．计算（1）121|24|234⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭ （2）1110623⎛⎫÷-⨯ ⎪⎝⎭（3）41(1)(54)3⎛⎫---÷- ⎪⎝⎭（4）2231131227-+-13．计算下列各题（1）38-＋16﹣3﹣2； （2）23＋52﹣100.04（结果保留2位有效数字）． 14．教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）．（1）阅读理解：图1中大正方形的边长为________，图2中点A 表示的数为________； （2）迁移应用：请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形．①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图．②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数－0.5以及 35-+ 的点，并比较它们的大小．15．()22120x y +-=，则xy =_________．16．在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b 时，a*b=b 2，当a<b 时，a*b=a ，则当2时，()()1*-3*=x x x ______ 17．若|2|30a b --=，则a b +=_________．18．若一个正数的平方根是21a -和5a -，则这个正数是______． 19．计算2020318|4-+-=_________．20．一个正数的两个平方根分别是21a -与2a -+，则这个正数是______． 21．已知实数,x y 满足()2380x y -+=，求xy -的平方根．三、解答题22．计算：（1）37|2|27---（2）23115422⎛⎫⎛⎫⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324） （1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．24．对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”． （1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？ （2332x -35x +12x -的值．25．计算：()23143282--⨯--（）一、选择题1．下列各式计算正确的是（ ） A ．31-=-1B ．38= ±2C ．4= ±2D ．±9=32．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．63．数轴上有O 、A 、B 、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d ﹣5|＝|d ﹣c |，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是？（ ）A ．在A 的左边B ．介于O 、B 之间C ．介于C 、O 之间D ．介于A 、C 之间4．481的值（ ） A ．在7和8之间 B ．在6和7之间 C ．在5和6之间D ．在4和5之间 5．81的平方根是（ ） A ．9B ．-9C ．9和9-D ．816．下列说法中，错误的是（） A ．实数与数轴上的点一一对应 B ．1π+是无理数 C 3D 27．和数轴上的点一一对应的数是（ ） A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数8．下列有关叙述错误的是（ ） A 2B 2是2的平方根C ．122<<D ．22是分数 9．30 ） A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和910．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ） A ．1或﹣1B ．-5或5C ．11或7D ．-11或﹣711．下列各组数中都是无理数的为（ ） A ．0.07，23，π； B ．0.7•，π，2； C ．2，6，π；D ．0.1010101……101，π，3二、填空题12．解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数． （2）已知22360c d d -+-=，求d +c 的平方根．13．对两数a ，b 规定一种新运算：2a b ab ⊗=，例如：2422416⊗=⨯⨯=，若不论x 取何值时，总有a x x ⊗=，则a =______．14．如图，A ，B ，C 在数轴上对应的点分别为a ，1-，2，其中1a <-，且AB BC =，则a =_______．15．如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A 点，则A 点表示的数是_____．若点B 表示 3.14-，则点B 在点A 的______边（填“左”或“右”）．16．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，如[4]＝4，3＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82−−−→第一次82＝9−−−→第二次9＝3−−−→第三次3＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是__． 17．比较大小：12π-________1218．将1236按如图方式排列．若规定（m ，n ）表示第m 排从左向右第n 个数，则（15，7）表示的数是____．19．计算：（1）﹣12327-﹣（﹣2）9（2331）＋32|20．－8的立方根是__________；∣12-∣=__________． 21．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--，如果13a =-，2a 是1a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，4a 是5a 的差倒数…依此类推，那么的12342017201820192020a a a a a a a a -+-⋅⋅⋅+-+-值是______．三、解答题22．38642--． 23．计算： （1）132322⎛⎫⨯-⨯-⎪⎝⎭（2）2291|121232⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭24．计算：()23143282--⨯--（） 25．111111133557792017201920192021++++⋯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯。