动点最值问题期末题压轴题2021-2022学年人教版九年级上册数学

人教版九年级上册数学动点最值问题期末题压轴题1．在△ABC中．AB＝10，AC＝83．∠ACB＝30°，将△ABC绕A按逆时针方向旋转．得到△ADE．（1）如图1，点F为BC与DE的交点，连接AF．求证：F A平分∠DFC；（2）如图2，点P为线段AB中点，点G是线段BC上的动点，在△ABC绕A按逆时针方向旋转的过程中，点G的对应点是点G1，求线段PG1长度的最大值与最小值．2．如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，连接DE、BE．（1）求证：DE BE=；（2）如图②，过点E作EF DEAB=，求AF的⊥交AB于点F，当BE BF=时，若2长；△，连接AE'，（3）如图③，在（2）的条件下，将BEF绕点B逆时针旋转得到BE F''N为AE'的中点，连接CN，则旋转过程中线段CN的最大值为_______；最小值为_______．3．如图，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点A ，B 重合），连接DA ，DB ，DC ． （1）求证：DC 是∠ADB 的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（3）若点M ，N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．4．如图，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动（不与点2A B 重合），连接DA ，DB ，DC ． （1）求证：DC 是∠ADB 的平分线；（2）若点,M N 分别在线段CA ，CB 上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，△DMN 的周长有最小值t ，随着点D 的运动，t 的值会发生变化，求所有t 值中的最大值．5．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ∆的重叠部分的面积为()2S cm ．（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ∆重叠部分的面积S ； （3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ∆的边所在的直线相切？7．如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A (－3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D ，使得△ABD 的面积等于△ABC 的面积的53倍？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．8．如图1，两块直角三角纸板（Rt△ABC和Rt△BDE）按如图所示的方式摆放（重合点为B），其中∠BDE＝∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BD＝DE＝AC＝2．将△BDE绕着点B顺时针旋转．（1）当点D在BC上时，求CD的长；（2）当△BDE旋转到A，D，E三点共线时，画出相应的草图并求△CDE的面积（3）如图2，连接CD，点G是CD的中点，连接AG，求AG的最大值和最小值．9．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，CD＝12cm，点E在边AD上，EF与CD所在直线垂直，垂足为点F，半圆的圆心为点O，直径EF＝6cm，P为弧EF的中点，Q是弧EF上的动点．发现：DQ的最小值是cm；DQ的最大值为cm；探究：沿直线CD向左平移半圆．（1）当P落在▱ABCD的边上时，区域半圆与其重合部分的面积；（2）半圆向左以每秒3cm的速度平移，以图所在位置开始平移，运动时间为ts，当其与▱ABCD的边（CD边除外）相切时，求t的值．10．如图，已知AB 为半圆O 的直径，P 为半圆上的一个动点（不含端点），以OP OB 、为一组邻边作POBQ ，连接OQ AP 、，设OQ AP 、的中点分别为M N 、，连接PM ON 、． （1）试判断四边形OMPN 的形状，并说明理由．（2）若点P 从点B 出发，以每秒15︒的速度，绕点O 在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为s t ．①是否存在这样的t ，使得点Q 落在半圆O 内？若存在，请求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．②试求：当t 为何值时，四边形OMPN 的面积取得最大值？并判断此时直线PQ 与半圆O 的位置关系（需说明理由）．11．在O 中，直径12AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 在BC 上，点Q 在O 上，且OP PQ ⊥．（1）如图1，当//PQ AB 时，求PQ 的长度； （2）如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 的最大值12．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)、(3,0)，(0,6)三点，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上．（1）求抛物线解析式，并求出当14x -≤≤时，y 的最大值与最小值．（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h：①当点C首次落在抛物线上时，求h的值；②当抛物线落在正方形内的部分满足y随x的增大而减小时，请求出h的取值范围．13．如图1，已知抛物线2=++经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点，其y ax bx c顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①试求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求线段BC 的长；（2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作CE //BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求△BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：∠ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ．①求DE +BF 的最大值；②点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y＝﹣23x+2．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标．参考答案1．解：（1）如图1，作AM⊥BC，AN⊥DE于点M，N，根据旋转的性质可知：△ABC≌△ADE，∴△ABC的面积=△ADE的面积，即1122BC AM CE AN⨯=⨯，∴AM=AN，∴AF平分∠DFC，∴∠AFD=∠AFC；（2）线段PG1长度的最大值为5+83，PG1长度的最小值为43-5．解题过程如下：①如图a，过点A作AF⊥BC，F为垂足，在Rt△ACF中，AC3∠ACB=30°，∴AF=12AC3∵AB=10，点P为线段AB中点，∴AP=12AB=5，当G在BC上运动，AG与BC垂直时，即点F与点G重合时，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段AB上时，PG1最小，最小值为：PG1=AG1-AP=AF-AP3；②如图b，当G在BC上运动至点C，△ABC绕点A旋转，使点G的对应点G1在线段BA延长线上时，PG1最大，最大值为：PG1=AP+AG1=AP+AC=5+83．综上所述，线段PG1长度的最大值为5+83，EP1长度的最小值为43-5．2．解：（1）证明：如图①中，四边形ABCD是正方形，∠=∠，∴=，DCE BCECD CB=，CE CE∴∆≅∆，DCE BCE SAS()∴=．DE BE（2）如图②，过E作EM BF⊥，由（1）知，DCE BCE ∆≅∆，CDE CBE ∴∠=∠，90ADC ABC ︒∠=∠=，ADE ABE ∴∠=∠，DE EF ⊥，90DEF ∴∠=︒，在四边形ADEF 中，90DAF ∠=︒，180ADE AFE ∴∠+∠=︒，180AFE BFE ∠+∠=︒，BFE EBF ∴∠=∠，BE EF ∴=，BE BF =，BEF ∴∆是等边三角形，60EBF ∴∠=︒，设BM x =，则MF BM x ==，3EM x =，四边形ABCD 是正方形，1452BAE BAD ∴∠=∠=︒， 3AM EM x ∴=，2AM BM AB +==，32x x ∴=， 解得，31x =，22(31)43AF AB BF ∴=-=-=-（3）如图3中，取AB 的中点R ，连接NR ，CR ．四边形ABCD 是正方形，2AB BC ∴==，90ABC ∠=︒，1AR RB ==，2222125CR BR BC ∴++AR BR =，AN NE ='，1312RN BE ∴='， 5(31)5(31)CN ≤≤， 531531CN ≤，CN ∴531531， 531531．3．【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°．∵∠ADC =∠ABC =60°，∠BDC =∠BAC =60°，∴∠ADC =∠BDC ，∴DC 是∠ADB 的平分线；（2）四边形ADBC 的面积S 是线段DC 的长x 的函数，理由如下：如图1，将△ADC 绕点逆时针旋转60°，得到△BHC ，∴CD =CH ，∠DAC =∠HBC ．∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC=180°，∴∠DBC+∠HBC=180°，∴点D，点B，点H三点共线．∵DC=CH，∠CDH=60°，∴△DCH是等边三角形．∵四边形ADBC的面积S=S△ADC+S△BDC=S△CDH34=CD2，∴S34=x2；（3）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D，点E关于直线AC对称，∴EM=DM，同理DN=NF．∵△DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN，∴当点E，点M，点N，点F四点共线时，△DMN的周长有最小值，则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，∴△DMN 的周长最小值为EF=t．∵点D，点E关于直线AC对称，∴CE=CD，∠ACE=∠ACD．∵点D，点F关于直线BC对称，∴CF=CD，∠DCB=∠FCB，∴CD=CE=CF，∠ECF=∠ACE+∠ACD+∠DCB+∠FCB=2∠ACB=120°．∵CP⊥EF，CE=CF，∠ECF=120°，∴EP=PF，∠CEP=30°，∴PC12=EC，PE3=PC32=EC，∴EF=2PE3=EC3=CD=t，∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值．∵CD为⊙O的弦，∴CD为直径时，CD有最大值4，∴t的最大值为43．4．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADC＝∠BDC，∴DC是∠ADB的平分线；（2）如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F，∵点D，点E关于直线AC对称，∴EM＝DM，同理DN ＝NF ，∵△DMN 的周长＝DM +DN +MN ＝FN +EM +MN ，∴当点E ，点M ，点N ，点F 四点共线时，△DMN 的周长有最小值，则连接EF ，交AC 于M ，交BC 于N ，连接CE ，CF ，DE ，DF ，作CP ⊥EF 于P ， ∴△DMN 的周长最小值为EF ＝t ，∵点D ，点E 关于直线AC 对称，∴CE ＝CD ，∠ACE ＝∠ACD ，∵点D ，点F 关于直线BC 对称，∴CF ＝CD ，∠DCB ＝∠FCB ，∴CD ＝CE ＝CF ，∠ECF ＝∠ACE +∠ACD +∠DCB +∠FCB ＝2∠ACB ＝120°， ∵CP ⊥EF ，CE ＝CF ，∠ECF ＝120°，∴EP ＝PF ，∠CEP ＝30°，∴PC 12=EC ，PE ==，∴EF ＝2PE ==＝t ，∴当CD 有最大值时，EF 有最大值，即t 有最大值，∵CD 为⊙O 的弦，∴CD 为直径时，CD 有最大值4，∴t 的最大值为5．（1）AB =AC ，AD =DE ，∴BD =EC ，M 、P 分别是DE 、BE 的中点，∴MP =12BD ，MP //BD ，∴EPM EBD ∠=∠，同理可证：NP =12CE ，NP //CE ，∴MP = NP ，∴NPE PEA ∠=∠，∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=EBD ∠+PEA ∠=180°－α．（2）由旋转可得：CAB EAD ∠=∠，AD =AE ，∴CAE BAD ∠=，在CAE 与BAD 中，AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴CAE ≌BAD ，∴CE =BD ，由（1）同理可证MP =12BD ，MP //BD ，NP =12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，∴PMN 是等腰三角形，EPM ∠=EBD ∠=ABD ∠+ABE ∠，NPE ∠=PBN ∠+PNB ∠=PBN ∠+ECB ∠，∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=ABD ∠+ABE ∠+PBN ∠+ECB ∠=180°－120°=60°， ∴PMN 是等边三角形．（3）等腰直角ADE 中，AD =3，∴DE，M 是DE 的中点，∴AM， ∴M 的运动轨迹是以点A为半径的一个圆， 如图，连接NA 并延长分别交⊙A 于点M 1、M 2，等腰直角ABC 中，AB =7，∴BC，N 是BC 的中点，∴AN，AN ⊥BC ， 当点M 旋转至M 1位置时，MN 最大，MN= 当点M 旋转至M 2位置时，MN 最小，MN－2=6．解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-，45ABC ∠=︒，45NOB ∴∠=︒，在Rt ONB ∆中，61218()OB OC CB cm =+=+= 292()2ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，故答案为24cm ，(926)cm -；（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．BC 为直径，90CHB ∴∠=︒，45ABC ∠=︒45HCB ∴∠=︒，HC HB ∴=，OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，29016669183602BOH HOC S S S ππ∆=+=⋅+⨯⨯=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12， 0x ∴=（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =45B ∠=︒，90OHB ∠=︒，262OB OH ∴=，1262OC BC OB =-=- 移动的距离为61221862()cm +--，运动时间为1862932x --)， 综上所述，当x 为0或6或932-O 与ABC ∆的边所在的直线相切． 7． 解：（1）将点A (－3,0)、B (1,0)代入y ＝ax 2＋bx －2中，得932020a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴224x 233y x =+- （2）若D 在x 轴的下方，当D 为抛物线顶点（－1，83-）时，02C （，-）， ∴△ABD 的面积是△ABC 面积的43倍，4533<，所以D 点一定在x 轴上方． 设D (m ,n ),△ABD 的面积是△ABC 面积的53倍， ∴n ＝103 ∴224233m m +-＝103∴m ＝－4或m ＝2 ∴D (－4,103)或（2，103） （3）设E(x,y),∵点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点，∴22(2)1x y ++=,∴y=212x , ∴E 2(,12)x x ,∵F 是AE 的中点,∴F 的坐标2312(,)22x x ,设F(m,n),∴m=32x -,n=2122x , ∴x=2m+3,∴n=21(23)22m , ∴2n+2=21(23)m , ∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,∴4(n+1)2+4(32m)2=1, ∴22231(1)()()22n m , ∴F 点的轨迹是以3(,1)2--为圆心，以12为半径的圆， ∴2231131(0)12222， 2231131(0)12222最大值13122+； 最小值13122- 8． 解：（1）如图1中，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝2，∠ABC ＝30°，∴BC ＝AC ÷tan30°＝23，∵BD ＝2，∴CD ＝BC ﹣BD ＝23﹣2．（2）如图2中，当A 、D 、E 共线时，易证四边形ACBD 是矩形，∴S △CDE ＝12×DE ×CA ＝12×2×2＝2． 如图3中，当A 、E 、D 共线时，作CH ⊥AD 于H ．在Rt △ADB 中，∵AB ＝2BD ，∴∠BAD＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠CAH＝30°，∴CH＝12AC＝1，∴S△CDE＝12×DE×CH＝12×2×1＝1．（3）如图4中，取BC的中点H，连接GH．∵CG＝GD，CH＝HB，∴HG＝12BD＝1，∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆，在Rt△ACH中，AH22AC CH+43+7∴AG的最小值＝AH﹣GH71，AG的最大值＝AH+GH79．解：当Q与F重合时，DQ的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDF＝∠A＝45°，∵EF⊥直线CD，∴∠EFD＝90°，△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝EF＝6cm，即DQ的最小值为6cm；连接DO并延长交半圆O于点Q，如图1所示：此时DQ的值最大＝OD+半径，在Rt△ODF中，OF＝12EF＝3cm，由勾股定理得：OD＝2222DF0F6335+=+=，∴DQ的最大值＝35+3（cm）；故答案为6，35+3；探究：解：（1）分两种情况：①当P落在▱ABCD的边AD上时，此时F与D重合，如图2所示：区域半圆与其重合部分的面积S＝14S圆O+S△POF＝14×π×32+12×3×3＝9942π+；②当P落在▱ABCD的边BC上时，此时F与C重合，如图3所示：区域半圆与其重合部分的面积S＝14S圆O﹣S△POF＝14×π×32﹣12×3×3＝9942π+；（2）分两种情况：①半圆与边AD相切时，如图4所示：设切点为H，连接OH、OD，则OH⊥AD，∵EF⊥CD，OF是半径，∴FD是半圆的切线，∠FOH＝360°﹣90°﹣90°﹣135°＝45°，由切线长定理得：DF＝DH，∠DOF＝12∠FOH＝22.5°，在OF上截取OM＝DM，则∠MDO＝∠DOF＝22.5°，∴∠DMF＝45°，∴△DMF是等腰直角三角形，∴MF＝DF，设MF＝DF＝x，则PM＝DM＝2x，∵OM＝OF﹣MF，∴2x＝3﹣x，解得：x＝32﹣3，∵平移的距离为6+32﹣3＝3+32，半圆向左以每秒3cm的速度平移，∴平移的时间t＝3323+＝1+2（秒）；②半圆与边BC相切时，如图5所示：同理CF＝DF＝2﹣3，∵平移的距离为2﹣3＝2，半圆向左以每秒3cm的速度平移，∴平移的时间t 1532+2（秒）；综上所述，半圆向左以每秒3cm的速度平移，当其与▱ABCD的边（CD边除外）相切时，t的值为（2210．解：（1）四边形OMPN为矩形，理由如下：∵四边形POBQ为平行四边形，∴PQ//OB，PQ＝OB，又∵OB＝OA，∴PQ＝AO，又∵PQ//OA，∴四边形PQOA为平行四边形，∴P A//QO，P A＝QO．又∵M、N分别为OQ、AP的中点，∴OM＝12OQ，PN＝12AP，∴OM＝PN，∴四边形OMPN为平行四边形，∵OP＝OA，N是AP的中点，∴ON⊥AP，即∠ONP＝90°，∴四边形OMPN为矩形；（2）①如图，当点Q落在半圆O上时，∵四边形POBQ是平行四边形，∴PQ＝OB，PO＝BQ，又∵OB＝OP＝OQ，∴OP＝OQ＝PQ＝BO＝BQ，∴△POQ是等边三角形，△BQO是等边三角形，∴∠POQ＝∠BOQ＝60°，∴∠BOP＝120°，∴t＝12015＝8s，∴当t＝8s时，点Q落在半圆O上，∵当点P 与点A 重合时，t ＝18015＝12s ， ∴当8＜t ＜12时，点Q 落在半圆O 内；②∵四边形OMPN 为矩形，∴S 矩形OMPN ＝ON •NP ＝12AP •ON ，∴S 矩形OMPN ＝S △AOP ，∵△AOP 的底AO 为定值，∴当P 旋转运动90°（运动至最高点）时，高取得最大值，此时△AOP 的面积取得最大值． ∴t ＝90÷15＝6秒．∴当t ＝6s 时，四边形OMPN 面积最大，此时，PQ 与半圆O 相切．理由如下：∵∠POB ＝90°，PQ //OB ，∴∠OPQ ＝90°，∴PQ 与半圆O 相切．11．（1）连接OQ ，如图所示：∵AB=12，∴OQ=OB=6，∵OP ⊥PQ ，∴∠QPO=90°，∵PQ ∥AB ，∴∠POB=∠QPO=90°，在Rt △POB 中，∠POB=90°，∴PB 2=OB 2+OP 2，又∵30ABC ∠=︒，∴BP=2OP ，∴（2OP ）2=62+OP 2，∴OP=23， 在Rt △QPO 中，()222262326PQ OQ OP =-=-=； （2）连接OQ ，如图所示：由（1）得：OQ=OB=6，∴在Rt △QPO 中，22PQ OQ OP =-∴当OP 的长最小时，PQ 的长为最大，根据垂线段最短可得当OP ⊥BC 时最短，∵∠ABC=30°，∴132OP OB ==， ∴2233PQ OQ OP =-= ∴PQ 的最大值为3312．解：（1）由题意得：09306ab c a b c c ，解得286a b c ， 故抛物线的表达式为2286y x x =-+，由抛物线的表达式知，其顶点坐标为(2,2)-，当1x =-时，228616y x x ，故当14x -时，1x =-时，y 取得最大值16，而在顶点处取得最小值2-；（2）①当点C 首次落在抛物线上，则22286C y x x ==-+，解得22x =因为点C 首次落在抛物线上，22x =则22h x ==②当点C首次落在抛物线上，2h =2h >满足y 随x 的增大而减小，当3h =时，即正方形运动到点(3,0)处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y 随x 的增大而减小，当3h >时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，不满足y 随x 的增大而减小，故3h ；故23h ．13．解：（1）由题意得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴该抛物线的表达式为223y x x =+-（2）∵△PBC 的周长为：PB ＋PC ＋BC又∵BC 是定值 ∴当PB ＋PC 最小时，△PBC 的周长最小．∵点A ，点B 关于对称轴l 对称．∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求点．∴AP ＝BP∴△PBC 的周长最小值是：PB ＋PC ＋BC ＝AC ＋BC∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)∴AC＝BC故△PBC的周长最小值为（3）①∵抛物线的表达式为223y x x =+-＝2(1)4x +-∴点D 的坐标为(－1，－4)设直线AD 的表达式为y kx n =+，把点A(－3，0)，D(－1，－4)代入得304k n k n -+=⎧⎨-+=-⎩ ，解得 26k n =-⎧⎨=-⎩∴直线AD 的表达式为26y x =--∵点E 的横坐标为m ．∴E(m ，－2m －6)，F(m ，223m m +-)∴EF ＝226(23)m m m ---+-＝243m m ---∴S ＝EFA EFD S S ∆∆+ ＝1122EF AG EF GH ⋅⋅+⋅⋅ ＝12EF AH ⋅⋅ ＝21(43)22m m ---⨯ ＝243m m ---∴S 与m 的函数表达式为S ＝243m m ---②存在．∵S ＝243m m ---＝22)1m -++（ ∴当m ＝－2时，S 最大，最大值为1．此时点E 的坐标为(－2，－2)．14．解：（1）令y =0，则12x 2+32x -2=0， 解得：x 1=-4，x 2=1，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(-4，0)，令x =0，则y =-2，∴点C 的坐标为(0，-2)，∴OB =4，OC =2，∴BC 2224225OB OC ++=（2）如图，连接OP ，CP ，设P （m ，12m 2+32m -2）． ∵CE ∥PB ，∴S △PBE =S △PBC =S △POC +S △POB -S △OBC∴S △PBE =12×2×(-m )+12×4×（-12m 2-32m +2）-12×2×4=-m 2-4m =-（m +2）2+4， ∵-1<0，∴S △PBE 在m =-2时，取得最大值，最大值为4，此时，点P 的坐标为(-2，-3)．答：△BPE 面积的最大值为4，此时点P 的坐标为(-2，-3)．15．解：（1）令x =0，得4y = (0,4)C ∴令0y =得2134042x x -++= 26160x x(8)(2)0x x -+=(2,0)A ∴-，(8,0)B222210,(02)(40)25,(80)(04)45AB AC BC =++-=-+-22210(25)(45)=+222AB AC BC ∴=+90ACB ∴∠=︒（2）①设直线BC 的解析式为：(0)y kx b k =+≠，代入(8,0)B ，(0,4)C 得 804k b b +=⎧⎨=⎩ 124k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 142y x ∴=-+ 设213(,4)42D x x x -++ 22131184(4)42224BF x D x E x x x x ∴=-=-++-+=-+-， 21+428D x E BF x x ∴=+-+- 2814x x =++- 21()844x x =--+ 21()942x -=-+ 104-< 21()042x -∴-≤ 221()994x ∴-+≤- 9+DE BF ∴≤即DE +BF 的最大值为9；②点G 是AC 的中点， 在Rt AOC △中，12OG AC AG ===即AOG 为等腰三角形，90CAO ACO ACO OCB ∠+∠=∠+∠=︒CAO OCB ∴∠=∠//OC DFOCB DEC ∴∠=∠CAO DEC ∴∠=∠整理得，240x x ∴-=10x ∴=，24x =(0,4)D ∴或(4,6)D ，同理：()0,4D 不合题意，舍去，综上所述，(4,6)D 或25(3,)4D ． 16．解：（1）直线BC 的解析式为y 2x +2，令y ＝0，则x ＝2，令x ＝0，则y ＝2， 故点B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，2）；∵A 20），则y ＝ax 2+bx +2＝a （x 2）（x ﹣2，把（0，2）代入得，﹣6a ＝2，解得：a ＝﹣13， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣13（x 2）（x ﹣2=﹣13x 222x +2①； （2）如图，过点B 、E 分别作y 轴的平行线分别交CD 于点H ，交BC 于点F ，∵AD ∥BC ，直线AD 可以看做由直线BC 向下平移22 ∴直线AD 的表达式为：y 2x 2②， 联立①②并解得：1142103x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，1120x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩D （2103）， 由点C 、D 的坐标得，直线CD 的表达式为：y 22x +2， 当x ＝2时，y CD 22x +2＝﹣2，即点H （22）， 设点E （x ，﹣13x 2+223x +2），则点F （x 2+2）， 则四边形BECD 的面积S ＝S △BCE +S △BCD ＝12×EF ×OB +12×（x D ﹣x C ）×BH ＝12×（﹣13x 222x 2﹣2）×212×2×22x 2+3x 2，即2232252)S x =， ∵﹣22＜0，故S 有最大值，当x ＝322时，S 252E （322，52）．。