复变函数级数泰勒级数和洛朗级数孤立奇点的分类本章讨论
泰勒级数与洛朗级数
zn
z 1 1
1 2 n 1 (1 z ) (1 z ) (1 z ) 1 z 1 1 (1 z ) (1 z ) n 1 1 z
c0 c1 ( z z0 ) cn ( z z0 ) (1)
其中z0及cn (n 0,1,2,)都是常数 ---双边幂级数
正幂项(包括常数项)部分
n c ( z z ) 收敛域： n 0 是一幂级数，设收敛半径为R2 ， n 0 收敛域：z - z0<R2 。
故sin z,cos z在全平面上解析，它们的半径R
例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:
1 1 (1) f ( z ) (2) f ( z ) (3) f ( z) ln(1 z) 2 1 z (1 z )
解： (1)
1 1 z z2 1 z
zn
1 又f ( z ) 2 i
联合(I),(II)
f ( ) k z d
(II)
z0
z
k
D
f ( ) f ( ) n 需证 ( z z ) (*) 0 n 1 z n0 ( z0 ) z z0 q 1, z0
1 1 1 1 , z z0 ( z z 0 ) z 0 1 z z0 z0
函数f ( z)在z0处的Talor级数
f ( z )在解析点z0处的Taylor级数收敛半径至少等于 从z0到D的边界上各点的最短距离.
注： (1)
复变函数：第四节罗朗(Laurent)级数
内 展 开 成Laurent级 数 。
y
y
y
o 1 2x
o 1 2x
o 1 2x
（i) 0 z 1 (ii) 1 z 2
(iii) 2 z
解 f (z) 1 1 1z 2z
(i) 0 z 1 z 1 z 1
2
故
f
(z
)
1
1
z
1 2
1
1
z
2
(1 z z2 zn ) 1 (1 z z2 ) 2 24
1 2
3 4
z
7 8
z2
(1
n0
1 2n1
)zn
(ii)1 z 2 z 1 1 1 又 z 2 z 1
z
2
f (z)
1 1
z
1 2
z
1 z
1 1 1
1 2
1 1
z
z
2
1 z
(1
1 z
1 z2
)
1 2
(1
z 2
z2 4
)
1 zn
1 z n1
1 z
1 2
z 4
z2 8
式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进
行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路
定理可将cn写成统一式子：
cn
1
2i
c (
f (
z0
) )n
1
d
(n
0,1,2,)
f (z) cn (z z0 )n 证毕！ n
级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n (2)
复变函数与积分变换第五章
解 函数 f (z) 除点 z 0, 1, 2 外,
在 z 内解析 . 因(sin z) cos z 在 z 0, 1, 2, 处均不为零.
所以这些点都是 sin z 的一阶零点,
故这些点中除1, -1, 2外, 都是 f (z)的三阶极点.
30
因 z2 1 (z 1)(z 1), 以1与- 1为一阶零点，
展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
公式知: f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
并且
f
(m)(z0 ) m!
c0
0.
（充分性） 由于 f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
f
( m ) ( z0 m!
)
c0
0.
故
邋 f (z) =
ゥ f (n) (z0 ) (z n= m n!
6
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
7
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim e z 1 lim ez 1, 作业2.4.8(洛必达法则)
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
复变函数论文
复变函数的孤立奇点及其应用摘要: 本文讨论了孤立奇点的定义、的判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用. 关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数. Isolated singularities and its application Abstract ：This paper mainly discusses the definition of the singularity of isolation and identification method and isolated singularities application in residue calculation. Keywords: Isolated singularities; Definitions; Identifying method; residue. 引言: 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1.孤立奇点的定义如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是)(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点. 2.孤立奇点的判别方法设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，外处处解析，C C 是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1z f s i dz z f nk a z Ck åò===p 一般来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的洛朗级数中101---）（z z C 项系数1-C 就可以了就可以了..但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利..例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数便的求导数与求极限的方法得到留数.. 函数在极点的留数函数在极点的留数2.1 函数在极点处留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=- 法则2：设)()()(z Q zP z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(¹z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s ¢=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s mm m z z --=---）（.2.2 函数在无穷远点留数设¥为)(z f 的一个孤立奇点，即)(z f 在圆环域+¥<<z R 内解 析，则称析，则称dz z f i Cò)(21p （R z C >=r ：） 为)(z f 在点¥的留数，记为]),([Re ¥z f s ，这里-C 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）然地可以看作是绕无穷远点的正向）. . 如果)(z f 在+¥<<z R 的洛朗展开式为å¥-¥==n nn z C z f )(，则有1],[Re --==¥C f s . 这里，我们要注意，¥=z 即使是)(z f 的可去奇点，)(z f 在¥=z 的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方这是同有限点的留数不一致的地方. .如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇（点（包包括无穷远点在内），设为¥,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零在各点的留数总和为零. . 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则((z 1其中其中 ÷÷øöççèæ++-++-=+ )!12()1(!71!516)(1266n z z z nn j 在+¥<z 内解析，0560¹=！）（j .故0=z 是函数)6(sin 6633-+z z z 的15阶零点阶零点..例2 2 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的..即若不恒为零的函数)(z f 在R a z <-内解析，0)(=a f ，则必有a 的一个领域，使得)(z f 在其中无异于a 的零点（解析函数零点的孤立性）数零点的孤立性）. .分析分析 由于解析函数由于解析函数)(z f 不恒为零且0)(=a f ，所以利用)(z f 在点a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1³m ，使0)()()()1(===¢=-a f a f a f m ，0)()(¹a fm（否则独所有m ，0)()(=a fm，由泰勒定理0)(!)()(0)(º-=å¥=m m m a z m a f z f 矛盾）.于是可设a 为)(z f 的m 阶零点，然后由零点的特征来讨论阶零点，然后由零点的特征来讨论. .证（不妨设）证（不妨设）a a 为)(z f 的m 阶零点)()()(z a z z f m j -=Û，其中R a z z <-在)(j 内解析，0)(¹a j .因)(z j 在a a 处解析，则有处解析，则有0)()(lim¹=®a z a z j j ，可取)(a j e =，存在着0>d ，当d <-a z 时，)()()(a a z j e j j =<-，由三角不等式，由三角不等式)()()(z a a z j j j j -³-）（ 便知当d <-a z 时)()()()(a a z z a j e j j j j =<-£-）（ 即有0>）（z j ，故在a 的d 邻域内使0)(¹z j .例3 3 确定函数确定函数[])1(/1)(33-=ze z zf 的孤立奇点的类型的孤立奇点的类型.. 解解 因为úûùêëé-+++=-1!2)(1)1(233333z z z e z z+++=1296!31!21z z z ，所以所以 0=z 是分母的六阶零点，从而是函数)(z f 的六阶极点的六阶极点. .例4 4 判别函数判别函数11sin)(-=z z f 的有限奇点的类型的有限奇点的类型. . 解 因为)(z f 在1=z 没有定义，更不解析，所以1=z 是)(z f 的奇点，在+¥<-<10z 内，展开)(z f 为洛朗级数：为洛朗级数：+-+---=-53)1(!51)1(!311111sinz z z z å¥=+-+-=012)1()!12(1)1(n n nz n ，， 有无穷多负幂项，故1=z 是)(z f 的本性奇点的本性奇点. . 例5 5 考察函数考察函数11sec)(-=z z f 在点1=z 的特性的特性. . 解 因为)(2/11,11cos111sec是整数k k z z z k p p ++=-=-是分母11cos -z 的零点，所以这些点是11sec -z 的极点的极点......从而知从而知1=z 是这些极点的极限点)(¥®n ，不是孤立奇点孤立奇点. .例6 6 求出函数求出函数)1/()(44z z z f +=的全部奇点，并确定其类型的全部奇点，并确定其类型. .解 分母41z +有四个一阶零点)3,2,1,0(4)2(=+k e k i p p ，它们不是分子的零，它们不是分子的零因此是函数)(z f 的一阶极点的一阶极点. .又11lim 44=+¥®z z z ，所以¥=z 是)(z f 的可去奇点的可去奇点..例7 7 求出函数求出函数z z z f 1cot )(-=的全部奇点，并确定其类型的全部奇点，并确定其类型. .解解 容易求得)(为整数k k z p =是z cot 的一阶极点，这是因为()0)1(c o s si n ¹-==¢=kk z kz p p.当00==z k ，时，而，而z 1z1sin 在!31,1sin ,!31,1sin =-=z z .。
复变函数教案
复变函数教案 5.1(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学课题：第一节 解析函数的洛朗展式教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。
教学过程： 1、双边幂级数在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。
首先考虑级数...)(...)()(0202010+-++-+-+------nn n z z z z z z ββββ其中,...,...,,,100n z --βββ是复常数。
此级数可以看成变量1z z -的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R 。
如果+∞<<R o ，那么不难看出，此级数在Rz z 1||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛，在Rz z 1||0<-内发散。
同样，如果+∞=R ，那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。
在上列情形下，此级数在0z z =没有意义。
于是根据定理，按照不同情形，此级数分别在0||)0(1||010>-+∞<<=>-z z R R Rz z 及内收敛于一个解析函数。
2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数,)(0∑+∞-∞=-n n nz z β这里,...)2,1,0(,0±±=n z n β是复常数。
当级数,)()(1000∑∑-∞-=+∞=--n n n n nnz z z z ββ及都收敛时，我们说原级数∑+∞-∞=-n n nz z )(0β收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。
复变函数
两边相乘
u v v u u v v u , 0 x x y y x x y y u u u v i y x v v j i y x j
u v, u( x, y) c1 和 v( x, y) c2 互相正交。
虚实部正交 虚实部转换方法
第二章 复变函数的积分
第一节 复变函数的积分
F(x)
x 实变函数的积分
f ( )(x
k 1
k
xk 1 )
f ( )(z
k 1
k
zk 1 )
当
zk 0, f ( )( zk zk 1 ) f ( z)dz
k 1
复变函数的积分性质
1 z
基本式
t t2 t3 e 1 , | t | 1! 2! 3!
t
3.6 孤立奇点的分类
孤立奇点：函数f(z)在某点z0不可导，而在z0的领域内除z0外处处可导，
z0为f(z)的孤立奇点。若在z0的无论多么小的邻域内总可以找到除z0 以外的不可导的点， 便称z0为f(z)的非孤立奇点.
计算一个重要积分
积分结果为
2.4 柯西公式
α在积分内部时
柯西公式的意义：
柯西公式将解析函数在任何一内点α的值f(α)用沿边界线l 的回路积分表示了出来.这是因为解析函数在各点的值通 过柯西-黎曼方程相互联系着. 从物理上说，解析函数紧密 联系于平面标量场，而平面场的边界条件决定着区 域内 部的场.
当研究的区域存在函数奇点时，如何展开？
双边幂级数
收敛环
定理
例题
sin z , z0 0 z 1 ,1 | z | 2 z 1 1 , z0 1 2 z 1
复变函数第四章
∑c
n=0
∞
n
( z − z0 ) n
(0 < z − z 0 < R )
z → z0
lim f ( z ) = c 0
(有 限 值 )
所以不论 f(z) 原来在 z0 是否有定义, 只要令 f(z0)=c0, 则 函数的展开式就变成在 z0 的邻域（圆域）上的泰勒级 数 f ( z ) = ∑ c ( z − z ) ( z − z < R ) ，从而函数f(z)在 z0 就成 为解析的了， 这也意味着在圆域 |z−z0|<R内函数处处 解析， z0 点不再是奇点， 因此称为“可去奇点”。
例1 判断函数
( z 2 − 1)( z − 2)3 f ( z) = (sin π z )3
在扩充平面内有些什么
类型的奇点? 如果是极点, 指出它的阶数。 [解] 首先考虑分母为零的点：
sin π z = 0 ⇒ z = 0, ±1, ±2,...
显然函数f(z)除这些使分母为零的点外, 在全平面解析。 由于(sinπz)' = πcosπz在z=0, ±1, ±2, …处均不为零, 因 此这些点都是sinπz的一阶零点, 从而是(sinπz)3的三阶 零点. 所以这些点中除去1,−1,2（因为它们同时是分子 的零点）外都是f(z)的三阶极点.
1 d m −1 Res[ f ( z ), z0 ] = lim m −1 {( z − z0 ) m f ( z )} (m − 1)! z → z0 d z
f ( z) = 如果f(z)可以表示为有理函数的形式： P( z ) Q( z )
规则3 并且P(z)及Q(z)在z0都解析, P(z0)≠0, Q(z0)=0, Q'(z0)≠0, 即z0为f(z)的一阶极点, 则
泰勒定理与洛朗定理的联系与区别
泰勒定理与洛朗定理的联系与区别1 引言泰勒定理和洛朗定理是复变函数中极其重要的定理．泰勒定理给出了解析函数在解析点邻域内的具体展式，而洛朗定理是研究解析函数在其孤立奇点去心邻域内性质的重要工具．它们既有相同点又有不同点．因此，研究它们的联系和区别是很有必要的．在此之前，许多数学工作者对这方面的研究已经取得很好的成果．本文的论述是在前人成果的基础上对已有的知识进行有效的归纳和总结．2 泰勒定理与洛朗定理的介绍2.1 泰勒定理 定理１（泰勒定理）()162159]1[-P设) ( z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z <-K ：含于D ，则) ( z f 在K 内能展成幂级数nn n a z c z f )() ( 0-=∑∞= ， (1)其中系数 ()!)()()(211n a f d a f i c n n n =-=⎰Γ+ζζζπρ ． (2)（积分形式） （微分形式）() 2100，，，，：=<<=-Γn R a ρρζρ且展式是惟一的．定义1()162]1[P(1)称为) ( z f 在点a 的泰勒展式，（2）称为其泰勒系数，而(1)等号右边的级数，则称为泰勒级数．2.2 洛朗定理 定理２（洛朗定理）()188185]1[-P在圆环()∞≤≥H ＋，＜－＜：R r R a z r 0内解析的函数) ( z f 必可展成双边幂级数nn na z c z f )() ( -=∑∞-∞= ， （3）其中() ,2,1,0)()(211±±=-=⎰Γ+n d a f i c n n ζζζπ， (4)Γ为圆周()R r a <<=-ρρζ，并且展式是惟一的（即) ( z f 及圆环H 惟一地决定了系数n c -）． 定义２()188]1[P (3)称为) ( z f 在点a 的洛朗展式，(4)称为其洛朗系数，而(3)等号右边的级数则称为洛朗级数．3 泰勒定理与洛朗定理的比较3.1 泰勒定理与洛朗定理的联系先就定理要求的可展区域来讨论它们的联系．函数在圆内展成泰勒级数，在圆环内展成洛朗级数．假设当已给函数) ( z f 在点a 处解析时，中心在点a ，半径等于由点a 到函数) ( z f 的最近奇点的距离的那个圆可以看成圆环的特殊情形，在那个圆中就可以作出洛朗级数展开式．根据柯西积分定理，由公式(4)可以看出，这个展式的所有系数n c -() ,2,1=n 都等于零．在这种情形下，计算洛朗级数的系数公式与泰勒级数的系数公式的积分形式是一致的，所以，洛朗级数就转化成泰勒级数．因此，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形．另一方面，我们从展式的展法和系数上讨论它们的联系．计算洛朗级数的系数公式在形式上和泰勒级数的系数公式（积分形式）是一致的．用直接展开法求级数要计算积分，很麻烦．而圆域内解析函数的泰勒级数展开式是惟一的，在求一些初等函数的泰勒级数时，就不用直接展开法，而可以利用已知的泰勒级数去求所需要的泰勒级数，即间接展开法．同泰勒级数情形一样，圆环域内解析函数的洛朗级数展开式也是惟一的，也可以利用间接展开法去求．在展开函数为洛朗级数时,以泰勒级数为基础．下面，举一个用直接展开法展成泰勒级数的例子． 例１ 将函数z z f 2sin ) ( =展为z 的泰勒级数.解 z z f 2sin ) ( =' )22(sin 2) ( π+=''z z f()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅=-212sin 2) ( 1πn z z fn n 当n 为奇数时, ()0!)0( =n f n当n 为偶数时,令+Z ∈=k k n ,2()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-212sin 2!)2 (1!)2 ( )0 ( 122πk k k f k k 112)1 (2!)2 (1+--⋅=k k k所以 -+-=654322!62!42!22sin z z z z )(∞<z 对于直接展开法，就不再赘述了，这里，我们简单介绍泰勒级数与洛朗级数的间接展开法． 间接展开法是利用已知函数展开式，结合解析函数性质、幂级数运算性质和其他数学技巧，求函数的级数展开式．常用的一些方法有代换法、部分分式法、柯西乘积法等．除了上述方法外，还可以利用组合、搭配等方法把一个解析函数展开为级数．注意，一个函数可以用多种方法展开，但是其展开式是惟一的．在下面讲关于泰勒定理与洛朗定理的区别时，我们再做具体全面的比较．3.2泰勒定理与洛朗定理的区别先介绍一些初等函数在0=z 处的泰勒级数，它们可以用来间接地求函数的级数展开式． （1）+++++=-n z z z z2111)1 (<z （2）()()+-+-+-=!21!4!21cos 242n z z z z nn) (∞<z（3）()()()()++--++-++=+n z n n z z z !11!21112ααααααα)1 (<z（4） +++++=!!212n z z z e nz) (∞<z（5）()() +-+-+-=+-nz z z z z nn 1321321ln )1 (<z 泰勒定理中要求函数) ( z f 在区域D 内解析，D a ∈，圆R a z <-K ：含于D ，则) ( z f 在K 内能展成泰勒级数，就是说泰勒级数的收敛区域为一个圆．泰勒展式仅限于z 在ρΓ的内部时方能成立，而ρΓ又只需在) ( z f 的解析区域D 内就行，其大小并无限制．故展式在以a 为中心，通过与a 最接近的) ( z f 之孤立奇点的圆周内部皆成立．用泰勒定理来表示圆形区域内的解析函数是很方便的，但是，对于有些函数) ( z f ，若点a 为) ( z f 的孤立奇点，在点a 的邻域内就不能展为泰勒级数．洛朗定理建立了（挖去奇点a 的）圆环(0,r z a R r R <-<>≤+∞,当0=r 时为去心圆)R a z <-<0内解析函数的级数表示，即在圆环()+∞≤><-<H R r R a z r ,0：内解析的函数) ( z f 必可展成洛朗级数（即双边幂级数)，例如函数zz f 1) ( =，0=z 为孤立奇点，在0z <<+∞内就可以展开为洛朗级数． 下面举例说明函数在不同区域展为不同级数． 例1 将函数()()211) ( --=z z z f 在如下三个解析区域:(1) 圆1<z ;(2) 圆环21<<z ;(3) 圆环+∞<<z 2内展为级数.解 首先将函数) ( z f 分解成部分分式 1121) ( ---=z z z f (1) 在圆1<z 内,因21<<z ,即12<z,得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212111) ( z z z f()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++= 222221211z z z z+++=2874321z z（函数) ( z f 在圆1<z 内展为泰勒级数）.(2) 在圆环21<<z 内,即有11<z ,12z< z z z z f 111121121) ( -⋅--⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-= 222111122121z z z z z-----------=-n n n z z z z z z z 222211111132223（函数 ( )f z 在圆环21<<z 内展为洛朗级数）.(3) 在圆环+∞<<z 2内,这时11<z ,21z<故z z z z z f 11112111) ( -⋅--⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++= 22211112211z z z z z z+++=432731zz z（函数 ( )f z 在圆环2z <<+∞ 内展为洛朗级数）.由此例可以看出，函数在圆内展为泰勒级数，而在圆环内展为洛朗级数．又注意到，只要函数在指定的圆环内解析就能在该圆环内展为洛朗级数．从而，同一个函数在不同的圆环内（只要它在此圆环内解析）都能展为洛朗级数．当然，同一个函数在不同的圆环内展成的洛朗级数可能是不同的．这与洛朗展式的惟一性并不矛盾．下面讲几种展开方法，并列举例子来进行对比．我们可以简单地体会一下它们在展法上的区别． (１) 代换法代换法的关键是将) ( z f 变形为含所需因式的形式，并可以利用已知展开式得到需要的级数.例２ 将函数()221) ( +=z z f 在0=z 和1=z 处展为泰勒级数．解（１）当0z =时，化()()22214121-⎪⎭⎫⎝⎛+=+=z z z f ，并利用已知级数展开式 ()()()() ++--++-++=+n z n n z z z !11!21112ααααααα ()1<z令12<z，当2-=α时，即可得()22214121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅+⋅-= 222!2322!12141z z -+-=1634412z z ()2<z（２）当1=z 时，化函数()()223119121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=z z z f 令131<-z ，即可得()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⋅+-⋅-⋅=+ 2223!213231219121z z z()() --+--=2712712912z z()31<-z例３ 将()11) ( -=z z z f 在10<<z 展为洛朗级数．解 由已知泰勒级数展开式()1,1112<+++++=-z z z z zn故 ()zz z z z f 11111) ( --=-=z z 111---= ()+++--=211z z z-----=211z z z()10<<z由例２看出，函数在解析点0=z 和1=z 的对应圆域内展为泰勒级数，该级数只含有正幂次项，但是对于不同的解析点，其收敛圆域不同，泰勒级数形式也不同，所以，在展为泰勒级数时要注意函数在哪点展开．由例３看出，函数在孤立奇点0=z 的去心邻域（圆环）内展为洛朗级数，该级数不仅仅含有正幂次项，而且含有负幂次项．其中∑∞==-011n n z z 代换()1<z 是函数展为级数时用得最多,也是最为简便的一种代换．即要展为a z -的泰勒级数,先将函数变形,使之出现a z -的形式,但是要注意,由于因式的转变,收敛圆也要改变. 对于洛朗展式，要将函数()0) ( ≠+=a baz cz f 展开,关键在于将) ( z f 变形,使表示式中出现w-11因式,且1<w .这里w 的取定还跟圆环域的中心与半径有关. (2) 部分分式法当) ( z f 为有理分式函数时,一般可先分解为部分分式,然后再利用已知级数展开.例４ 将函数()()321) ( ++=z z z f 在0=z 展为泰勒级数．解 化()()321) ( ++=z z z f 为部分分式3121) ( +-+=z z z f 其中2112121z z +⋅=+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 3322222121z z z +-+-=4332222221z z z ()2<z3113131z z +⋅=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 3322333131z z z +-+-=4332233331z z z ()3<z3121) ( +-+=z z z f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 43322433223333122221z z z z z z-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23322312131213121z z()2<z例５ 将函数()211) ( z z z f -=在其孤立奇点的去心邻域内展为洛朗级数．解 0=z ，1=z 为函数的孤立奇点，化为部分分式 在0=z 的（最大）去心邻域10<<z 内()()221111111) ( z z z z z z f -+-+=-=()()222111++++++++=z z z z z ++++=24321z z z()10<<z在1=z 的（最大）去心邻域110<-<z 内()()()22111111111) ( -+---+=-=z z z z z z f ()()()[]()23211111111-+--+---+--=z z z z z ()()()() +---+--+---=32211111111z z z z z ()110<-<z由例４，函数在圆域内展为泰勒级数，该级数只有正幂次项．而由例５看出，函数在孤立奇点的去心邻域内展为洛朗级数，不仅有正幂次项，而且含有负幂次项．注意到，同一个函数对不同的孤立奇点的洛朗展式不同．只要函数在指定的圆环内解析就能在该圆环内展为洛朗级数．从而，同一个函数在不同的圆环内（只要它在此圆环内解析）都能展为洛朗级数．孤立奇点的去心邻域就是圆环的特殊情形，与洛朗定理一致． （３）柯西乘积法当函数可以分解为两个已知展开式的函数的乘积时，我们用柯西乘积法求所求泰勒级数的展开式．一般用对角线法则确定泰勒级数的项，对于求洛朗级数时也可以用此法．例６ 将ze zf z-=1) ( 展为z 的泰勒级数．解 因ze zf z-=1) ( 在1<z 内解析，故展开后的泰勒级数在1<z 内收敛．已知ze z e zf z z -⋅=-=111) (()+++++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=nn z z z n z z z 221!!21 +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=nz n z z !1!21!111!21!111!11112 ()1<z例７ 将()()12ln ) ( --=z z z z f 在10<<z 展为洛朗级数． 解 ()()()112ln 112ln ) ( -⋅-⋅=--=z z z z z z z f⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-⋅-=21ln 2ln 111z z z()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅--⋅++++⋅-=332232232222ln 11z z z z z z z-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅---⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2322231221212ln 221212ln 212ln 2ln z z z ()10<<z由例６，函数在圆域内展为泰勒级数．而由例７看出，函数在孤立奇点0=z 的去心邻域内展为洛朗级数．只要点a 为函数) ( z f 的一个孤立奇点，则必存在正数R ，使得) ( z f 在点a 的去心邻域{}R a z a ＜－＜：0-K 内展为洛朗级数．其它的展法就不一一说明了，可以类似方法加以讨论．从上述讨论可以看出，泰勒级数与洛朗级数是一般与特殊的关系．从级数的结构上看，洛朗级数是泰勒级数的推广，它们的系数公式的积分形式是一致的，不同的是，泰勒级数只含有正幂次项，而洛朗级数既含有正幂次项又含有负幂次项．另一方面，若函数) ( z f 在0z 点解析，那么) ( z f 在以0z 点为中心的解析圆域内可用泰勒级数表示，然而若0z 点为函数的孤立奇点，但函数在0z 点的某个圆环内解析，此时就不能用泰勒级数表示而可用洛朗级数表示．参考文献[1] 钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社，2005 [2] 余家荣.复变函数[M].第三版. 北京：高等教育出版社，2004 [3] 钟玉泉.复变函数论[M].第三版. 北京：高等教育出版社，2004 [4] 方企勤.复变函数教程[M].北京：北京大学出版社，2003 [5] 郑建华.复变函数[M].北京：清华大学出版社，2005[6] 孙清华,赵德修.新编复变函数题解[M].武汉：华中科技大学出版社，2001[7] Robert Everist Greene.Function theory of one complex variable[M].American Mathematical Society ，2006。
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第四章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类本章讨论解析函数的级数性质，先介绍复变函数级数的基本概念特别是幂级数的有关概念；然后讨论解析函数展开为泰勒级数和洛朗级数的问题；最后讨论单值函数孤立奇点的分类这也是为第五章讨论定积分的计算作准备。
§4.1 复变函数级数和解析函数级数复变函数级数的基本概念有很多地方与实变函数级数相同，这里仅作扼要的介绍，其中有关定理将不予证明。
一个复变函数级数∑∞==++++121)()()()(k k k z u z u z u z u （4.1）如果它的部分和∑∞==1)()(k k n z u z S （4.2）的极限)(lim z S n n ∞→在一点z 存在，则称级数（3.1）在z 点收敛，而这个极限为级数在z 点的和；否则称级数在z 点发散。
由于)(Im )(Re )(z u i z u z u k k k += ),2,1( =k ，所以级数（3.1）的收敛和发散问题就归结为两个实变函数级数∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 的收敛和发散问题；在一点z ，若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 都收敛，则级数（3.1）在此点收敛；若∑∞=1)(Re k k z u 和∑∞=1)(Im k k z u 至少有一个发散，则级数（4.1）在此点发散。
级数（4.1）收敛的必要条件是 0)(lim =∞→z u n n （4.3） （4.1）式收敛的充要条件是：任意给定一个小的数ε＞0，总存在充分大的正整数N ，使当n>N 时,对于任何自然数p ，恒有 1|()()||()|pn p n n k k S z S z u z ε++=-=<∑ （4.4）这称为柯西收敛判据。
如果级数 1|()|k k u z ∞=∑ （4.5）在z 点收敛，则称级数（4.1）在此点绝对收敛。
设()(1,2,3,)k u z k =…定义在区域D(或曲线l)上，如果任意给定0ε>，存在与z 无关的正整数N ，使当n>N 时，对于任何自然数p ，（4.4）式恒成立，则称级数（4.1）在D （或l ）上一致收敛。
现将复变函数级数的一些基本性质列于下，证明从略。
定理一 如果级数1()k k u z ∞=∑是绝对收敛的，则级数收敛。
定理二 如果级数1()()k k u z U z ∞==∑和1()()l l v z V z ∞==∑都是绝对收敛的，则它们的乘积11,11112211322311211()()()()klklk l k l n n n u z z u z z u u u u u u u u u υυυυυυυυυυυ∞∞∞===-==+++++++++++∑∑∑ （4.6）也是绝对收敛的，级数（4.6）的和是u υ，它与（4.6）式中各项的排列次序无关。
定理三 如果()(1,2,3,)k u z k =在区域D 内是连续的，且1()k k u z ∞=∑在D 内一致收敛，则级数的和在D 内也是连续的。
定理四 如果()(1,2,3,)k u z k =在曲线l 上是连续的，且1()k k u z ∞=∑在l 上一致收敛，则级数的和S （z ）在l 上也是连续的，而且有11()()()k k l l l k k S z dz u z dz u z dz ∞∞====∑∑⎰⎰⎰ （4.7）即求和与积分可以交换次序，或者说，原级数可以逐项积分。
定理五 如果在区域D 内满足()k k u z a ≤ (1,2,3,),k =其中(1,2,3,)k a k =是常数，且1k k a ∞=∑收敛，则1()k k u z ∞=∑在D 内绝对收敛且一致收敛。
对于解析函数级数，还有如下的重要性质：魏尔斯特拉斯（Weierstrass ） 如果()(1,2,3,)k u z k =在闭区域D 上是单值解析的，1()k k u z ∞=∑在D 的境界线l 上是一致收敛的，则（i ）1()k k u z ∞=∑在D 上一致收敛；（ii ）级数的和S(z)在D 内是解析的； （iii ）在D 内有()()11()()()n n n k knk k d S z u z uz dz∞∞====∑∑ (1,2,3,)n = （4.8）而且级数（4.8）在D 内的任何闭区域上都一致收敛。
最后给出几个常用的级数绝对收敛性的判别法：（1） 达朗贝尔（d ’Alembert ）判别法： 如果（至少当n 充分大时）11n n u q u +≤<（其中q 是常数），则级数1k k u ∞=∑绝对收敛；如果（至少当n 充分大时）11n n u u +≥，则1k k u ∞=∑发散。
（2） 柯西判别法： 如果（至少当n1q ≤<（其中q 是常数），则级数1k k u ∞=∑绝对收敛；如果（至少当n 充1≥，则1k k u ∞=∑发散。
（3） 高斯判别法： 如果（至少当n 充分大时）111()n n u o u n nμ+=++ （其中μ是常数） （4.9） 则当μ>1时，级数1k k u ∞=∑绝对收敛；而当1μ≤时1k k u ∞=∑发散。
一般来说，柯西判别法比达朗贝尔判别法强，但在计算上前者比后者复杂。
高斯判别法比达朗贝尔判别法更细致些，因而更强些，它是一个很有用的判别法。
§4.2 幂级数的收敛性1.幂级数的收敛性在解析函数级数的范围内再特别讨论形如()kk k a z b ∞=-∑ （4.10）(其中k a 和b 都是复常数)的级数，这称为幂级数.关于它的收敛性有如下更强的定理:阿贝尔(Abel)定理 如果级数0()k k k a z b ∞=-∑在0z z =收敛，则该级数在圆域0||||z b z b -<-内绝对收敛，而且在该圆域内的任何闭圆域上一致收敛。
证 我们要证明，对于任何正数0||z b ρ<-，以C ρ表示以b 点为圆心、以ρ为半径的闭圆域，0()k k k a z b ∞=-∑在C ρ上绝对收敛且一致收敛。
既然按假设 00()k k k a z b ∞=-∑ 是收敛的，由级数收敛的必要条件（4.3）式可知 0lim()0k k k a z b →∞-=因而，存在一个正数M ，使得0|()|k k a z b M -≤ (0,1,2,).k =…于是，当||z b ρ-≤，有000()()kkk kk k z ba zb a z b M z b z b ρ⎛⎫--=-≤ ⎪ ⎪--⎝⎭现在01||z b ρ<-，而几何级数00||kk z b ρ∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑ 是收敛的，故由§4.1定理五可知，0()k k k a z b ∞=-∑在C ρ上绝对收敛且一致收敛。
推论一 如果()kk k a z b ∞=-∑在1z z =发散，则该级数在圆1||||z b z b -=-外处处发散。
这容易用反证法证明（试自证之）。
推论二 对于幂函数0()k k k a z b ∞=-∑，必存在一个数0R ≥，使在圆||z b R -=内级数处处收敛，同时在||z b R -=外级数处处发散。
证 从b 点出发任作一条射线（见图4.1），在这条射线上各点级数的收敛性有三种可能：（1）除z=b 外，在射线上各点级数都发散。
由推论一可知，级数除z=b 外在平面上处处发散，此时R=0。
（2）在射线上各点级数都收敛。
由阿贝尔定理可知，级数在平面上处处收敛，此时R=∞。
（3）在射线上有两点1A 和1B ，在1A 点级数收敛而在1B 点级数发散，由阿贝尔定理显然可知，1B 点比1A 点离z=b 远。
考虑1A 和1B 的中点，级数在这点可能收敛或发散，设为收敛，记这点为2A 。
再考虑2A 和1B 的中点，级数在这点可能收敛或发散，设为发散，记这点为2B 。
再考虑2A 和2B 的中点，若级数收敛，记这点为3A ；否则记这点为3B ……这样，在线段m n A B 上必存在唯一的极限点P ，在P 点靠近z=b 的一侧各点级数都收敛，另一侧各点级数都发散。
最后，由阿贝尔定理和推论一可知，在以z=b 为圆心、以P 点到z=b 的距离为半径的圆内级数处处收敛，而在这圆外级数处处发散。
因此，R 等于此圆的半径。
2. 幂函数的收敛圆圆 ||z b R -=称为幂级数0()k k k a z b ∞=-∑的收敛圆，而半径R 称为它的收敛半径。
注意，对于在收敛圆周上的收敛性，上述阿贝尔定理及其推论没有给出任何信息.定理 在收敛圆内，幂级数0()k k k a z b ∞=-∑可以逐项积分或求导任意次，而收敛半径不变.证 由于幂级数的每一项都是解析函数，由§4.1定理四和魏尔斯特拉斯定理可知，此级数在收敛圆||z b R -=内的任意一条曲线上可以逐项积分，同时在任意一点可以逐项求导，而且积分或求导后的级数也是收敛的.设100()()1z kk kk bk k a a b d z b k ζζ∞∞+==-=-+∑∑⎰（4.11） 的收敛半径为i R ；同时101()()kk k k k k d a z b ka z b dz ∞∞-==-=-∑∑ （4.12）的收敛半径为d R ，则有 i R R ≥ （4.13）和 d R R ≥ （4.14）将结论（4.14）式用于幂级数（4.11）（注意，它的收敛半径是i R ），有 ()i d i R R ≥ （4.15） 然而（4.11）式求导后就是幂级数()0kk k a z b ∞=-∑本身，所以()i d R R =。
因而（4.15）式等价于 i R R ≥ （4.16） 综合(4.13)和( 4.16)式，即得 i R R =类似可证d R R =。
应当指出，虽然幂级数经逐项积分或逐项求导后其收敛半径保持不变，但幂级数在收敛圆上的收敛性可能因此而改变。
一般地说，逐项积分后收敛性将加强，而逐项求导后收敛性将减弱。
例如幂级数kk z ∞=∑，其收敛半径显然是1。
在圆||1z =上级数是处处发散的[这是因为lim||10n n z →∞=≠，不满足级数收敛的必要条件(3.3)式]，而逐项积分后的级数1011k k z k ∞+=+∑在1z =-处是收敛的。
由级数收敛性的达朗贝尔判别法和柯西判别法可以得出求幂级数0k k k a z ∞=∑收敛半径R 的两个公式(为书写方便，已取b=0)：(1)设1lim ||n n n a a →∞+存在，则 1lim ||n n n a R a →∞+= (4.17) (2)设lim n →∞lim n R →∞= (4.18)§4.3 解析函数的泰勒级数展开如上节所述，就幂级数来说，它的每一项都是解析函数，而且在收敛圆内的任何闭区域上都是一致收敛的，因此由§4.1魏尔斯特拉斯定理可知，幂级数在其收敛圆内是一个解析函数。