复变函数：洛朗级数
复变函数第四章复函数项级数第四节洛朗级数
n = −∞ ∞
cn z n , ∑
eζ 1 1 f (ζ ) 其中 cn = ∫C (ζ − z0 )n+1dζ = 2πi ∫C ζ n+3dζ 2πi
C : z = ρ (0 < ρ < ∞ ) , ( n = 0 , ± 1, ± 2L)
17
当 n ≤ −3 时,
常见的特殊圆环域: 常见的特殊圆环域:
R2
. z0
R1 . z0
. z0
0 < z − z0 < R2 R1 < z − z0 < ∞
0 < z − z0 < ∞
4
2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开 问题: 成级数? 成级数? 1 在z = 0及z = 1 都不解析 都不解析, 例如， 例如， f ( z ) = z (1 − z ) 但在圆环域 0 < z < 1及 0 < z − 1 < 1内都是解析的 内都是解析的.
由 z >2 此时
2 <1 z
o
2
x
1 1 1 =− ⋅ 2− z z 1− 2 z
23
1 2 4 = − 1 + + 2 + L z z z
1 2 此时 < < 1, z z
1 1 1 1 1 1 = − 1 + + 2 + L =− ⋅ 仍有 z z z 1− z z 1− 1 z 1 2 4 − 1 1 + 1 + 1 + L 故 f ( z ) = 1 + + 2 + L 2 z z z z z z
复变函数(4.4.5)--洛朗级数
-
1 )z4 3ﾥ5!
+L
故
1 1- cos
z
=
2 z2
+
1 3!
+
1 z2 5!
+L; a2
=
51!.
ﾥ 7. 解
选（C）.
若
|
z
|<
1
，则
cos3 z 1+z z
=
cos3
z
(1- z
2z2
+ L)
，这时
|z
|=1
cos3 z 1+z z
dz
ﾥ0，
故 an ﾥ 0 .
ﾥ 若 | z |> 1，则
9. 解
z(z
1 - 1)( z
- 2)
=
-1 z(z -1)
+
1 z(z - 2)
� � � =
1 z
�1 -1
z
-
1 2z(1- z / 2)
=
ﾥ n=0
z n-1
ﾥ
-
n=0
z n-1 2n+1
=
ﾥ
(1 -
n=0
1 2n-1
)
z
n
-1.
10. 解
1 z(z -1)2
=
1 (z -1)2
1 1+ (z -1)
=
11
z
1-
k z
=
1 z
(1
+
k z
k2 + z2
+ L)
ﾥ 令 z = eiq
得
cos 1-
q -k -i 2k cosq
复变函数的洛朗级数及其应用
复变函数的洛朗级数及其应用复变函数在数学中扮演了重要角色，它们有许多特殊的性质和应用。
其中一项特殊性质是洛朗级数。
本文将介绍什么是洛朗级数以及它在复变函数中的应用。
1. 什么是洛朗级数？在单独的圆内的函数可以用洛朗级数表示。
洛朗级数是一种幂级数的扩展，包括负幂次的项。
一个圆内的任何解析函数$f(z)$可以写成以下形式的级数：$$f(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k(z-a)^k$$其中$c_k$是复系数，$a$是圆内的点。
这个级数包含无穷多项。
正幂次的项都是幂函数，而负幂次的项就是幂函数的倒数。
负幂次的系数$c_k$被称为洛朗系数。
2. 洛朗级数的收敛对于一个解析函数$f(z)$，洛朗级数收敛于圆内的每一点，包括圆周上的点。
洛朗级数的收敛域可以是单独的圆或者由圆组成的无穷多个区域。
在圆心为$a$，半径为$R_1$的圆内部，洛朗级数收敛于：$$\sum _{k=-\infty}^{\infty}c_k(z-a)^k$$在圆心为$a$，半径为$R_2$的圆外部，洛朗级数收敛于：$$\sum _{k=-\infty}^{-1}c_k(z-a)^k+\sum_{k=0}^{\infty}c_k(z-a)^k$$而在圆心为$a$，半径为$R_1<R<R_2$的环形区域内，洛朗级数收敛于：$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k(z-a)^k$$其中$R_1$和$R_2$是圆的半径。
3. 洛朗级数的应用洛朗级数是复变函数研究中的基本工具之一。
它们可以用于解决许多有趣的问题，例如：（1）分析函数在点$a$处的奇点一个分析函数在点$a$处的奇点可以是极点、本质奇点或者可去奇点。
对于极点和本质奇点，洛朗级数的负幂次项的系数不为零，而对于可去奇点，所有的负幂次项上的系数都为零。
（2）计算残差对于一个函数$f(z)$的极点$a$，残积等于洛朗系数$c_{-1}$。
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
复变函数中泰勒级数和洛朗级数的区别与联系
泰勒级数与洛朗级数是两种常见的复变量函数级数求解方法，它们在日常生活
中有着广泛的应用。
两者之间有着着明显的区别和联系。
首先，从理论上来说，泰勒级数和洛朗级数之间有着显著的区别。
泰勒级数是
基于泰勒展开，可以采用数学递推的方式推出各系数，可以比较准确求出复变量函数的近似值；而洛朗级数则是基于洛朗展开，它以hessenberg行列式的方式利用
级数法进行估算导数，求出复变量函数的近似值。
其次，从实践应用上来说，两者之间也有着一定的联系。
尽管泰勒级数和洛朗
级数有着不同的理论基础，它们都在日常的数学中可以得到实际的应用。
例如，当求解相对较为简单的复变量函数时，通常可以采用泰勒级数，以较快的速度准确求解此函数；当复变量函数本身比较复杂时，可以采用洛朗级数，以较慢的速度求解，但是更精确。
总之，泰勒级数和洛朗级数都在日常的数学应用中占据了重要的地位，它们既
有着明显的区别，又有着紧密的联系，是复变量函数求解的重要方法。
754期【导数】三种函数拟合放缩比较——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数
754期【导数】三种函数拟合放缩比较——泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数为什么不等式恒成立问题是各大模拟题乃至高考题长盛不衰的命题方向？原因之一就是不等式恒成立问题在高等数学下有太多的命题背景，比如现在同学们已经非常熟悉的泰勒展开。
一个初等函数稍微展开几项就是一个极好的不等式，例如e x≥x+1等等。
但是现在模拟题中由泰勒展开为基础的不等式似乎已经用尽了，因为泰勒展开有其局限性——只能在收敛域内将要展开的函数展开成多项式函数，拟合放缩精度有限。
因此现在命题人也着眼于精度更高的函数拟合逼近方法，并以此为命题背景，比如将函数展开成分式函数的帕德逼近、洛朗级数等等这一篇就来关注一下泰勒展开、帕德逼近、洛朗级数这三种函数拟合放缩的比较一、泰勒展开（Taylor Expansion）（一）切线拟合e x≥x+1, lnx≤x−1, e x≥ex⋯ (1)像上面这样的不等式背后有一个共同的特征，具体而言：将具凹凸性的超越函数用其某点处的切线拟合．例如由函数f(x)=e x的凸性及点(0,f(0))，(1,f(1))处的切线，可得第一、第三个不等式；由函数f(x)=lnx的凹性及点(1,f(1))处的切线，可以得到第二个不等式等．像这样的拟合方法，我个人称为切线拟合．这几个不等式就是在切点处对函数的一阶拟合。
切线拟合的一大优势在于对切点附近的拟合程度相当好．这不仅是因为切点在原来的函数上，更是因为它拟合了函数在切点处的变化趋势，即拟合了函数在切点处的导数值．正是这一点，切线拟合及切线放缩在高中范围研究函数中有较广泛的应用.当然，结合图象可以看出，这种拟合方式是很粗糙．为此，还需要找到一种更精确的拟合方法．而切线拟合的拟合方法给了启示我们：既然用一阶导数逼近就可以在切点附近达到一定的精度，那多导几次，让拟合函数在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等，精度可能会更高．这正是泰勒展开的思想：构造一个各项系数待定的多项式，并使它在某点处的任意阶导数与原函数的同阶导数相等．为什么泰勒选择的是多项式函数，而不是分式函数，原因之一就是多项式求导相对容易，便于操作，并没有考虑精度问题。
复变函数和积分变换第二版本-4.4 洛朗级数-PPT文档资料
8
§4.4 洛朗级数 第 二、洛朗(Laurent)定理 四 章 注 (1) 展开式中的系数 a n 可以用下面得方法直接给出。 解 析 函 数 的 级 数 表 示
n 1 n n 1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) a ( z z ) n 10 n0 n 10
则其收敛域为：R | z z | . 0 上述两类收敛域被看作是一种特殊的环域。 6
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 an(z z0)n 的收敛特性 章 2. 级数
n 解 an(z z0)n 收敛， 结论 (1) 如果级数 析 n 函 R | z z | R . 则其收敛域“一定”为环域： 1 0 2 数 的 n 级 a ( z z ) (2) 级数 n 在收敛域内其和函数是解析的, 0 n 数 表 而且具有与幂级数同样的运算性质和分析性质。 示
1 1 1 1 ,( | z | 1 ) . 2 3 1 z z z z
3
§4.4 洛朗级数
第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 章 1. 问题分析 启示 如果不限制一定要展开为只含正幂次项的幂级数的话， 解 析 即如果引入负幂次项，那么就有可能将一个函数在整个 函 数 复平面上展开(除了奇点所在的圆周上)。 的 级 下面将讨论下列形式的级数: 数 表 n 2 1 a ( z z ) a ( z z ) a ( z z ) n 0 2 0 1 0 示 n 2 a a ( z z ) a ( z z ) . 0 1 0 2 0 在引入了负幂次项以后，“幂级数”的收敛特性如何呢？ 4
§4.4 洛朗级数 第 一、含有负幂次项的“幂级数” 四 an(z z0)n 的收敛特性 章 2. 级数
复变函数洛朗级数
4.14证明中的相应部分,就得
1
2i
2
f
( )d
z
cn (z a)n ,
n0
(5.7)
c
n
1 2πi
f (ξ) dξ (n 0,1, 2,)
2 (ξ a)n1
(5.8)
类似地,对(5.6)的第二2个积分
Hale Waihona Puke f ( )d ,2i 1 z
我们有
f ( ) z
f ( ) (z a) (
若 (1) r R : 两收敛域无公共部分,
(2) r R :
两收敛域有 公共部分H:
r z z0 R.
这时,级数(5.3)在圆环H:r<|z-a|<R 收敛于和 函数f(z)=f1(z)+ f2(z)
定理5.1 设双边幂级数(5.3)的收敛圆环为
H:r<|z-a|<R(r≥0,R≤+∞) 则(1) (5.3)在H内绝对收敛 且内闭一致收敛于:
4.4.3最大(小)模原理
定理4.23(最大模 原理) 设f(z)在区域D内解析,则 |f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内 f(z)恒等于常数.
证 :如果用M表|f(z)|在D内的最小上界, 则必0<M<+∞.(反证法) 假定在D内有一点z0, 函数f(z)的模在z0达到它的最大值,
为圆周| a | (r R),并且展式是
唯一的(即f (z)及圆环H唯一地决定了系数cn ).
证 (如图5.1)对z∈H,总可以找到含于H
内的两个圆周
2
2 :| ξ a | ρ2,
1 :| ξ a | ρ1,
使得z含在圆环 1| z a | 2
洛朗级数的概念
例2
将 f (z) =
对级数 ∑ c n ( z z0 )
n =1
| ξ |<
1 内收敛 , 在该圆域外必散 。 R1
c n ( z z 0 ) n 在 | z z 0 |> R1内收敛 。 ∑
n =1 ∞
洛朗级数
f ( z ) 在该圆环内解析 。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n 在 R1 <| z z 0 |< R2 内收敛 , 且它的和函数 ∑
n = ∞
c n ( z z 0 ) n = L + c n ( z z 0 ) n + L + c 2 ( z z 0 ) 2 + c 1 ( z z 0 ) 1 ∑
∞
+ c0 + c1 ( z z 0 )1 + c 2 ( z z 0 ) 2 + L + c n ( z z 0 ) n + L
第八模块 复变函数
第八节 洛朗级数
一、洛朗级数的概念 二、解析函数的洛朗展开式
一、洛朗级数的概念
正整数次幂的幂级数
∑c
n=0
∞
n
( z z 0 ) n 与负整数次幂的幂级数
∑c
n =0
∞
n ( z z0 )
n
相加得到的级数 :
n = ∞
∑c
∞
( z z 0 ) n 称为 n
洛朗级数。 洛朗级数。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n收敛 ∑
∞
∑ 与 ∑ c n ( z z 0 ) n 都 收敛 。
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x
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
定理 设 f (z)在圆环域 R1< |zz0| < R2内解析, 则
f ( z)
n n c ( z z ) n 0
其中cn
1 2πi
C
f ( ) d . (n 0, 1, 2, ) n 1 ( z0 )
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
n c ( z z ) n 0 n
c n ( z z0 ) n
c1 ( z z0 ) 1 cn ( z z0 ) n ,
c0 c1 ( z z0 )
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
洛朗级数
一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 可以在 该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这 种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在本节中将讨论 在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.
n 1 n 1
因此, 只有在R1<|z-z0|<R2的圆环域, 原级数才收敛.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
R2
n n a z 例如级数 n n n 1 z n 0 b
(a与b为复常数)
n
z0 R1
an a a 中的负幂项级数 n ,当 1, z n 1 z n 1 z zn 即 | z || a | 时收敛, 而正幂项级数 n 则当 n 0 b | z || b | 时收敛. 所以当 | a || b | 时,原级数在 圆环域 | a || z || b | 收敛;当 | a || b | 时,原级 数处处发散.
在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。 例如, 上述级数在收敛环域内其和函数是解析的, 而且可以逐项积 分和逐项求导。 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成 上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
其次,在圆环域:0<|z-1|<1内也可以展开为z-1的幂级数: y
f ( z) 1 1 1 z (1 z ) 1 z 1 (1 z )
O 1
1 [1 (1 z ) (1 z ) 2 (1 z ) n ] 1 z (1 z ) 1 1 (1 z ) (1 z ) 2 (1 z ) n 1
对负幂项, 如果令
t =(z-z0)-1, 可得：
cn ( z z0 )
n 1
n
c nt n c1t c2t数, 设收敛半径为R： t R z z0 R1 R 则当|z-z0|>R1, 即|t|<R 时, c nt n c n ( z z0 ) n 收敛。
1 函数f ( z ) 在z 0及z 1都不解析, 但在圆环域 z (1 z ) 0 | z | 1及0 | z 1| 1内都是解析的先研究 . 0 | z | 1的情形: 1 1 1 1 f ( z) 1 z z2 zn . z (1 z ) z 1 z z 由此可见, f ( z )在0 | z | 1内是可以展开为z的幂级数.
根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可
以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求 得洛朗级数的展开式.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例1 把 f z
z 1 z 2
1
在复平面上展开为z的幂级数。
讨论下列形式的级数:
n n c ( z z ) n 0
c n ( z z0 ) n
c1 ( z z0 ) 1 cn ( z z0 ) n ,
c0 c1 ( z z0 ) 可将其分为两部分考虑:
复变函数与积分变换
n c ( z z ) c0 c1 ( z z0 ) n 0 n 0 n 1 c ( z z ) c ( z z ) n 0 1 0 n 1
C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。
R2
z0 R 1
C
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1<|z-z0|<R2内的 洛朗(Laurent)展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆 环域内的洛朗级数. 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂 项的级数是唯一的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数.
解： 函数f(z)在圆环域 i) 0<|z|<1; ii) 1<|z|< 2;
iii) 2<|z|< + 内是处处解析的, 可把f(z)在这些区域 内展开成洛朗级数.
Complex Analysis and Integral Transform
cn ( z z0 ) n c n ( z z0 ) n
(正幂项部分) (负幂项部分)
只有正幂项和负幂项都收敛时,原级数才收敛于它们的和. z z0 R2 . 正幂项是幂级数, 设其收敛半径为 R2：