函数的零点教案及反思

《函数的零点》教案及反思
1 教材目标 知识与技能：
1、了解函数零点的概念，能够结合具体方程，说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系．
2、理解函数零点存有性定理，了解图象不间断的意义及作用． 过程与方法：
1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括水平．
2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题． 情感、态度与价值观：
1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．
2、体验规律发现的快乐． 2 教材分析
本节内容为苏教版《普通高中课程标准实验教科书》必修1第2章《函数与方程》的2.5.1，主要内容为函数零点概念、函数零点与相对应方程根的关系、函数零点存有性定理，是一节概念课．
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带．所以函数与方程在高一乃至整个高中数学教学中占有非常重要的地位．
本节课不但为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 3 教学重点
函数零点与方程根之间的关系；函数在某区间上存有零点的判定方法． 4 教学难点
发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存有零点的方法． 5 教学结构设计
（一）创设情境，以旧带新 1、你会解吗？
（1）82=x
；（2）x x
=2．
意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、请你填空，探索一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．
问题1：从该表你能够得出什么结论？
意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系. （二）启发引导，形成概念．
问题2：方程的根与函数图象与x 轴交点的横坐标之间有什么关系？ 意图：为引出函数零点的概念做准备．
问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例．
师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场用几何画板展示类似如下函数的图象：1+=x y ，
12-=x y ，)3ln(+=x y ，x x y 33-=．比较函数图象与x 轴的交点和相对应方程的根的关系，从而
得出一般的结论：方程f (x )＝0有几个根，y ＝f (x )的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．
意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．
引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法． 概念：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．
问题4：你能说说方程的根、函数图象与x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？（学生讨论，教师补充归纳）
说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f (x )＝0的根． 即兴练习：函数f (x )=x (x 2－16)的零点为 （ ） A ．(0，0)，(4，0) B ．0，4 C ．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D ．–4，0，4 设计意图：即时矫正“零点是交点”这个误解．
（二）逐层推动，深化概念．
讨论：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？
（1）联系：①数值上相等：求函数的零点能够转化成求对应方程的根；
②存有性一致：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． （2）区别：零点对于函数来说，根对于方程来说．
以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题能够转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．
练习：求下列函数的零点：
（1）43)(2
++-=x x x f ， （2）4lg )(-+=x x x f ．
意图：（1）使学生熟悉零点的求法（即求相对应方程的实数根），（2）产生认知冲突，激发学生求知欲．
引导学生据练习题（2）提出问题：如何判断函数4lg )(++=x x x f 有没有零点？ （三）实例探究，归纳定理． 零点存有性定理的探索．
问题5：在怎样的条件下，函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上一定有零点？
探究：（1）观察二次函数f (x )＝x 2－2x －3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f (-2)=_______，f (1)=_______，f (-2)·f (1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f (2)·f (4)____0（“＜”或“＞”）．
（2）观察函数的图象：
①在区间(a ，b )上___(有/无)零点；f (a )·f (b ) ___ 0（“＜”或“＞”
②在区间(b ，c )上___(有/无)零点；f (b )·f (c ) ___ 0（“＜”或“＞”）③在区间(c ，d )上___(有/无)零点；f (c )·f (d ) ___ 0（“＜”或“＞”）
间有什么关系得出不严密的结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点.
练习：下列函数在相对应区间内是否存有零点？ （1）f (x )=log 2x ，x ∈[12
，2]； （2）f (x )=e x -1+4x -4，x ∈[0，1]；
意图：通过简单的练习适合定理的使用．
（3）]1,1[,1
-∈=
x x
y ． 意图：由该问题发现刚才结论的不严密性.从而培养学生思维的严谨性． 零点存有性定理：
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断一条曲线，且f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点．
（四）正反例证，臧息相辅
例1 求证：函数1)(2
3
++=x x x f 在区间)1,2(--上存有零点． 意图：巩固函数零点存有定理．
思考：判断函数4lg )(-+=x x x f 是否有零点?若有在哪里？有几个？
例2判断下列结论是否准确，若不准确，请使用函数图象举出反例： （1）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上图象是不间断的，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内有且仅有一个零点． （ × ）
（2）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]上图象是不间断的，且f (a )·f (b )≥0，则f (x )在区间(a ，b )内没有零点．
（ × ）
（3）已知函数y=f (x )在区间[a ，b ]满足f (a )·f (b )<0，则f (x )在区间(a ，b )内存有零点． （ × ） 请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：
归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“图象不间断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．
意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促动对定理本身的准确理解．
（四）课堂小结，作业布置
小结：本节课你学到了什么？除此外，你还有什么收获？
作业：书第81页题1、2
教后反思
本节课自始至终都使用了新课标理念，按照创设情境――组织探索――知识应用的基本模式展开教学，整个课堂显得生机勃勃．
1、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式
探究式创造性思维教学法是新课程理念下的一个科研课题．本节课就是以这个理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习．如，函数零点与方程根之间的关系是这节课的一个重点，为了突破这一重点，在教学中利用多媒体教学，调动了学生学习的积极性，几何画板画图象，准确、直观、易于学生理解，符合学生的认知特点，调动了学生主动参与教学的积极性，使他们进行自主探究与合作交流，亲身体验知识的形成过程，变静态教学为动态教学．
2、渗透数学思想方法重在平时
当学生有一天不再学习数学了，我们给他们留下了什么？我想应该是学生遇到具体问题时那种思考问题的方式，和解决问题的方法．本节课始终是注意数学思想方法和数学探索方式的合理渗透，如特殊一般，数形结合，类比归纳等的交叉运用．
3、问题设计合理
通过层层深入，由浅入深，由特殊到一般的阶梯式问题，有效的降解了本课的难点，帮助学生实现了思维的腾飞．
美中不足的是教学重点不是太突出，零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式．高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，应该是本节课必须承载的重要任务．在这一任务的达成度方面，本课还需更加浓墨重彩的予以突出．另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向．。