巧用平面向量解解析几何问题

巧用平面向量解析几何问题

一：课堂教学设计：

在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整

合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。所以本节课就这一方面做一归纳。

二：教学目标：利用平面向量的加法，减法，数量积的几何意义解决解析几何问题。

三：教学方法：启发式教学

四：重点难点:把解析几何问题转化为向量问题。

五:例题解析

例1、椭圆14

92

2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 。

解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）

21PF F ∠ 为钝角

∴ 1253cos ,2sin )(53cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=

-⋅-（ =9cos

2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5

53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，M 是圆1)1(22=-+y x 上的一动点， MB MA +的最大值和最小值；

②求22MB MA +的最大值和最小值

分析：因为O 为AB 的中点，所以2=+OM 的最值。

解：①2=+

MO MB MA =+如图 当M 运动到1M MO 有最小值1

当M 运动到2M MO 有最大值3

MB MA +的最小值为2，最大值为6 ②MB MA MB MA MB MA MB MA ⋅-+=+=+2)(222 )()(2)2(2-⋅--= )(2224OM MO ++-⋅-=

2+=OM

OM 的最小值为1OM 最大值为9 ∴22MB MA +的最小值为4，最大值为20

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。

例3、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(OA OP ++=λ，

[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）

（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心 分析：因为||||

AB AC AB AC AB AC 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()AB AC OP OA AP AB AC

λ-==+，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。

例4、已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别是Q c 、F c F ),0,()0,(21-是椭圆外的动点，满足Q F P a Q F 11,2是线段点=与该椭圆的交点，点T 在线段Q F 2上，并且满足

.0022≠=⋅TF TF

（1）设x 为点P x a

c a P F +

=1； （2）求点T 的轨迹C 的方程；

（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使21MF F ∆的面积2b S =.若存在，求21MF F ∠

的正切值；若不存在，请说明理由。

（本小题主要考查平面向量的概念, 椭圆的定义，椭圆的方程和性质，求轨迹的方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力.）

解：（1）证明 证法一 设点P 的坐标为),(),(y x P y x 由在椭圆上，得 221)(y c x P F ++= 222

2

2)(x a b b c x -++= 2)(x a

c a += 由0>+-≥+-≥a c x a

c a a ，x 知，所以 x a

c a P F +

=1 证法二 设点P 的坐标为),(y x 2211r P F r P F ==，则

221)(y c x r ++=，

222)(y c x r +-=

由,4,22

22121cx r r a r r =+=+得 x a

c a r P F +==11 （2）设点),(y x T 的坐标为

)0,()0,(0a a ，PT -=和点点时在轨迹上 ，TF ，PT 时且时002≠≠ ,02时=TF PT 2TF PT ⊥

,2PF PQ =

所以T 为线段Q F 2的中点. 在a Q F OT ，F QF ==∆1212

1中,所以有222a y x =+ 综上所述,点T 的轨迹C 的方程是222a y x =+

(3) C 上存在点200),(b S y x M =使的充要条件是 ③

④ 由③得a y ≤0 由④得c

b y 2

0= 所以,当c b a 2≥时,存在点,0

;,2

2时当使c b a b S M <=不存在满足条件的点M 当c

b a 2

≥时, ),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=

由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅

212121MF F MF MF MF MF ∠=⋅

221212

1b MF F MF MF S =∠= 得2tan 21=∠MF F

点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系 例5．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交

于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；

（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明

λ-=.

2

2020a y x =+ 20221b y c =⋅