高中数学考点总结10个二级结论高效解题
结论1奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
【例1】设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin x
x2＋1
的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
解析显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝（x＋1）2＋sin x
x2＋1
＝1＋
2x＋sin x
x2＋1
，
设g(x)＝2x＋sin x
x2＋1
，则g(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数，
由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
答案 2
【训练1】对于函数f(x)＝a sin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是()
A.4和6
B.3和1
C.2和4
D.1和2
解析令g(x)＝f(x)－c＝a sin x＋bx，
则g(x)是奇函数.
又g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋f(1)－c＝f(－1)＋f(1)－2c，
而g(－1)＋g(1)＝0，c为整数，
∴f(－1)＋f(1)＝2c为偶数.
选项D中，1＋2＝3是奇数，不可能成立.
答案 D
结论2抽象函数的周期性与对称性
1.函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
2.函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数.
－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【例2】(1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，
3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝()
A.3
B.2
C.1
D.0
(2)(2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.
解析(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(－2 017)＝－f(2 017)，
因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，
所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，
∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，
f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.
故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.
(2)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以f(x)是R上的奇函数，
f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)
＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0， 所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4. 答案 (1)C (2)4
【训练2】 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝???log 2（1－x ），x ≤0，
f （x －1）－f （x －2），x >0，则f (100)＝( )
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 当x >0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，① 则f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，②
①＋②得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x ). 所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，T ＝6.
故f (100)＝f (4)＝－f (1)＝f (－1)－f (0)＝log 22＝1. 答案 C
结论3 两个经典不等式
(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x >0)，当且仅当x ＝1时，等号成立. (2)指数形式：e x ≥x ＋1(x ∈R )，当且仅当x ＝0时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：e x >x ＋1>x >1＋ln x (x >0，且x ≠1).
【例3】 已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝1
2x 2＋x ＋1有唯一公共点. 证明 令g (x )＝f (x )－? ????
12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R .
则g ′(x )＝e x －x －1，
由经典不等式e x ≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )在R 上为单调递增函数，且g (0)＝0.
所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 【训练3】 已知函数f (x )＝
1
ln （x ＋1）－x
，则y ＝f (x )的图象大致为( )
解析 因为f (x )的定义域由???x ＋1>0，
ln （x ＋1）－x ≠0
求得{x |x >－1且x ≠0}，所以排除选项C ，D. 当x >0时，由经典不等式x >1＋ln x (x >0)， 以x ＋1代替x ，得x >ln(x ＋1)(x >－1，且x ≠0). 所以ln(x ＋1)－x <0(x >－1，且x ≠0)，易知B 正确. 答案 B
结论4 三点共线的充要条件
A ，
B ，
C 三点共线?AB →，AC →共线；向量P A →，PB →，PC →中，A ，B ，C 三点共线?存在实数α，β
使得P A →＝αPB
→＋βPC →，且α＋β＝1. 【例4】 已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{－1}
B.?
C.{0}
D.{0，－1}
解析 ∵BC
→＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，
即OC
→＝－x 2OA →＋(1－x )OB →，∴－x 2＋(1－x )＝1， 解得x ＝0或x ＝－1(x ＝0舍去)，∴x ＝－1. 答案 A
【训练4】 在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点.若AB →＝
λAM
→＋μAN →，则λ＋μ＝________. 解析 如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T .
由已知易得AB ＝4
5AT ，
∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →， ∴AT
→＝54λAM →＋54
μAN →， ∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1，∴λ＋μ＝4
5.
答案 4
5
结论5 三角形“四心”向量形式的充要条件
设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则
(2)O 为△ABC 的重心?OA
→＋OB →＋OC →＝0.
(3)O 为△ABC 的垂心?OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.
(4)O 为△ABC 的内心?aOA
→＋bOB →＋cOC →＝0. 【例5】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP
→＝13[(1－λ)OA →＋
(1－λ)OB
→＋(1＋2λ)OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心 D.AB 边的中点
解析 取AB 的中点D ，则2OD
→＝OA →＋OB →，
∵OP
→＝13
[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]， ∴OP
→＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →， 而
2（1－λ）3
＋1＋2λ
3＝1，∴P ，C ，D 三点共线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案 C
【训练5】 (1)P 是△ABC 所在平面内一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →
，则P 是△ABC 的( ) A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
(2)O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OB →＋OC →2＋λAP →，
λ∈[0，
＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
解析 (1)由P A →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，
P A →⊥BC
→.∴P 是△ABC 的垂心. (2)设BC 的中点为M ，则OB →＋OC →
2＝OM
→，则有OP →＝OM →＋λAP →，即MP →＝λAP →.
∴P 的轨迹所在直线一定通过△ABC 的重心. 答案 (1)D (2)C
结论6 与等差数列相关的结论
(1)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，
(2)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所
【例6】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.
解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.
又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，
显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.
代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.
(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d . 由已知条件，得???S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得???S 偶＝192，
S 奇＝162.
又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－162
6
＝5. 答案 (1)10 (2)5
【训练6】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A.3
B.4
C.5
D.6
解析 ∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴公差d ＝a m
＋1
－a m ＝1，
由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1
＋n （n －1）
2， 得?????ma 1＋m （m －1）
2＝0， ①（m －1）a 1＋（m －1）（m －2）
2＝－2， ②
由①得a 1＝1－m
2，代入②可得m ＝5. 答案 C
结论7 与等比数列相关的结论
(1)公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).
(2)若等比数列的项数为2n (n ∈N *)，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶＝qS 奇.
(3)已知等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n .则S m ＋n ＝S m ＋q m S n (m ，n ∈N *). 【例7】 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3
＝3，则S 9
S 6
＝( )
A.2
B.73
C.83
D.3
解析 由已知S 6
S 3＝3，得S 6＝3S 3，因为S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也为等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9
－S 6)，则(2S 3)2＝S 3(S 9－3S 3). 化简得S 9＝7S 3，从而S 9S 6＝7S 33S 3＝7
3.
答案 B
(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 3＝72，S 6＝63
2. ①求数列{a n }的通项公式；
②求log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25的值.
解 ①由S 3＝72，S 6＝632，得S 6＝S
3＋q 3S 3＝(1＋q 3)S 3，∴q ＝2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)，得a 1＝1
2. 故通项公式a n ＝1
2×2n －1＝2n －2. ②由(1)及题意可得log 2a n ＝n －2，
所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝25×（－1＋23）
2
＝275.
【训练7】 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列??????
1a n 的
前5项和为________.
解析 设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.
所以数列????
??1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－? ????1251－12
＝
31
16. 答案 31
16
结论8 多面体的外接球和内切球
(1)长方体的对角线长d 与共点的三条棱a ，b ，c 之间的关系为d 2＝a 2＋b 2＋c 2；若长方体外接球的半径为R ，则有(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2.
(2)棱长为a 的正四面体内切球半径r ＝612a ，外接球半径R ＝6
4a .
【例8】 (1)(2018·安徽皖北协作区联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为( )
A.24π
B.29π
C.48π
D.58π
(2)(2018·石家庄教学质量检测)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )
A.6
B.5
C.92
D.94
解析 (1)由三视图知，该几何体为三棱锥，如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A －BCD )，其外接球即为长方体的外接球. 表面积为4πR 2＝π(32＋22＋42)＝29π.
(2)过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题意知，四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点.
设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ， 所以OM FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32
，解得h ＝
9
4.
答案 (1)B (2)D
【训练8】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( ) A.14
B.2 3
C.4 6
D.3
(2)(2018·济南调研)已知球O 的直径P A ＝2r ，B ，C 是该球面上的两点，且BC ＝PB ＝PC ＝r ，三棱锥P －ABC 的体积为322
3，则球O 的表面积为( )
A.64π
B.32π
C.16π
D.8π
解析 (1)由于直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外
接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长2，所以该三棱柱的侧棱长为16－2＝14.
(2)如图，连接OB ，OC ，则几何体O －BCP 是棱长为r 的正四面体，所以V O －BCP ＝2
12r 3，于是V P －ABC ＝2V O －BCP ＝26r 3，令26r 3＝322
3，得r ＝4.从而S 球＝4π×42＝64π.
答案 (1)A (2)A
结论9 圆锥曲线的切线问题
(1)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝R 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝R 2. (2)若点M (x 0，y 0)在曲线x 2a 2±y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，则过M 的切线方程为x 0x a 2±y 0y
b 2＝1. (3)①抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是y 0y ＝p (x ＋x 0).
②过抛物线y 2＝2px (p >0)外一点P (x 0，y 0)所引两条切线的切点弦方程是y 0y ＝p (x ＋x 0). 【例9】 已知抛物线C ：x 2＝4y ，直线l ：x －y －2＝0，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程.
解 联立方程得???x 2＝4y ，x －y －2＝0，消去y ，
整理得x 2－4x ＋8＝0，
Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l 与抛物线C 相离.
由结论知，P 在抛物线外，故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x ＝2(y ＋y 0)，即y ＝1
2x 0x －y 0. 【训练9】 (1)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 2x －y －3＝0 C.4x －y －3＝0
4x ＋y －3＝0
(2)设椭圆C
：
x2
4＋
y2
3＝1，点P?
?
?
?
?
1，
3
2，则椭圆C在点P处的切线方程为________________.
解析(1)如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1).
又k AB·k PC＝－1，且k PC＝
1－0
3－1
＝
1
2，∴k AB＝－2.
故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.
(2)由于点P?
?
?
?
?
1，
3
2在椭圆
x2
4＋
y2
3＝1上，
故切线方程为
x
4＋
3
2y
3＝1，即x＋2y－4＝0.
答案(1)A(2)x＋2y－4＝0
结论10过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦
过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦AB有：
(1)x A·x B＝
p2
4.
(2)y A·y B＝－p2.
(3)|AB|＝x A＋x B＋p＝
2p
sin2α(α是直线AB的倾斜角).
【例10】过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()
A.4
B.
9
2 C.5 D.6
解析由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD 于E，
设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知
|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，
所以cos θ＝AE AB ＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝8
9.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝9
2. 答案 B
【训练10】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334
B.938
C.6332
D.9
4
解析 法一 由已知得焦点坐标为F ? ????
34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33? ??
??x －34，即4x －43y －3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝9
4. 法二 由2p ＝3，及|AB |＝
2p
sin 2α
得|AB |＝2p sin 2α＝3
sin 230°＝12.
原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D
高中数学常用二级结论
精心整理 高中数学常用二级结论 记住这些超有用的常用二级结论，帮你理清数学套路，节约做题时间，数学轻松120+. 1.任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.3.4. 5.6.7.推程为 0(x -22b a 002020 b a 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x
③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ② 件是 2a A 10.),BD k 分11.21F 中 ∠12.)公式 2,1r 13.则1k ， 2k 3221k =312 1214.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为 r y by x ax n n =+--1111 15.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a x x f x =∝ +→) (lim ，b ax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 3 4 =
(完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、
高考数学常用公式及结论200条(一)【天利】
高考数学常用公式及结论200条（一） 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学常用结论集锦
1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 7.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1 m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a a M M N N -=(0.1,0,0)a a M N >≠>>
高中数学二级结论贴吧整理
高中数学二级结论 1．任意的简单n面体内切球半径为3V/S表V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积， 2．在任意三角形内都有tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，至于有什么用，，，:三个tan加起来如果是负的那就是钝角三角形了 3．矩阵和矩阵逆的行列式，特征值都互为倒数， 4．斜二测画法画出的图形面积变小了，为原来的√2/4倍 5．过椭圆准线上一点作椭圆切线，两切点所在直线必过椭圆相应焦点，椭圆准线广义称极线，那个是极线的性质之一 6．在做导数题的时候要熟练以下不等式便于放缩等。。。e^x≥x+1 lnx≤x-1 泰勒基数展开，这个常用，一般前一问有提示 7．球的体积：V(r)=(4/3pi)r^3 求导：V'R=4pir^2=表面积，，，神奇！:这个我们老师的解释是，球的体积可以看成无穷个表面积的积分，所以体积的微分就应该是表面积 8．椭圆的面积S=派ab 应该很难用上，直接换元，转换成圆，再换回去就行了 9．圆锥曲线切线，隐函数求导高考不让用:用于秒杀选择填空，大题找思路以及验证等x 不用处理 10．来个非常有用的，。过椭圆x2/a2+y2/b2上任意一点(x0,y0)的切线方程为xx0/a2+yy0/b2既用xx0替换x2用yy0替换y2。双曲线也一样这个椭圆切线的结论可以用的，同理圆、双曲线、抛物线的切线方程都可以直接用 11．来个比较少用，但是选择填空一考到你可以捞大把时间的⊙▽⊙。。。。过椭圆外一点(x0,y0)作椭圆的两条切线，过两切点的直线方程为xx0/a2+yy0/b2=1 这个叫做切点弦方程 12．分享个最最有用的。。椭圆x2/a2+y2/b2=1与直线Ax+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=C2至于椭圆焦点在y轴上的情况，，。欢迎讨论把a、b换个位置就行了个最屌，双曲线的话上面的+号变-号，秒出答案 13．设双曲线方程x^2/a^2-y^2/b^2=1,双曲线焦点到渐近线距离为b 14．托密勒定理有道证明题用过这个 15．椭圆焦点三角形设顶角为A.焦点三角形面积为b平方tanA/2，双曲线是cot 16． 1.函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c的充要条件是函数关于((a+b)/2,c/2)中心对称 2.函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是函数关于x=(a+b)/2轴对称 3.L*Hospital*s rule 4.三角形中射影定理：a=bcosC+ccosB 5.任意三角形内切圆半径r=2S/(a+b+c) 6.任意三角形外切圆半径R=abc/4S=a/2sinA 7.Euler不等式：R>2r 8.海伦公式的变式：设三角形内切圆分三角形三边为不相邻的线段x,y,z则 S=sqrt(xyz(x+y+z))=1/4*sqrt(∑a∏(a+b-c)) 9.边角边面积公式：S=a^2sinBsinC/2sin(B+C) 10.各种三角恒等式 11.各种三角不等式： 1）在锐角三角形中成立不等式:∑sinA>∑cosA 2)嵌入不等式：x^2+y^2+z^2>=∑2yzcosA,x,y,z为实数 12.权方和不等式
高一数学必修一常用公式及常用结论
高中数学必修一、二常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 3．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2- =处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2?- =，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 6.一元二次方程的实根分布（画抛物线帮助理解） 依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则 （1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402 p q p m ?-≥? ?->??； （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()040 2 f m f n p q p m n >??>?? ?-≥? ?<-?或()0()0f n af m =??>? ；
高中数学常用公式及知识点总结
高中数学常用公式及知识 点总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
高中数学常用公式及知识点总结 一、集合 1、N 表示N+(或N*)表示Z 表示 R 表示Q 表示C 表示 2、含有n 个元素的集合，其子集有个，真子集有个，非空子集 有个，非空真子集有个。 二、基本初等函数 1、指数幂的运算法则 m n a a =m n a a ÷=()m n a =()m a b = n m a =m a -=()m ab = 2、对数运算法则及换底公式（01a a >≠且，M>0,N>0） log log a a M N +=log log a a M N -=log n a M = log a N a =log a b =log a a = log log a a a b =1log a = 3、对数与指数互化：log a M N =? 4、基本初等函数图像
（3）幂函数的图像和性质 三、函数的性质 1、奇偶性 （1）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=，则()f x 为函数，图像关于对称； （2）对于定义域内任意的x ，都有()()f x f x -=-，则()f x 为函数，图像关于对称； 2、单调性 设1122,[,],x a b x x x <∈，那么 12()()0()[,]f f f x x a b x --） 12()()0()[,]f f f x x a b x ->?在上是函数。（即 1212 ()() 0f x f x x x -<-） 3、周期性 对于定义域内任意的x ，都有()()f x T f x +=，则()f x 的周期为； 对于定义域内任意的x ，都有1 () ()()()f x f x T f x +=-或 ，则()f x 的周期为； 四、函数的导数及其应用 1、函数()y f x = 在点0x 处的导数的几何意义
新课标高中数学常用公式及常用结论大全
1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集 有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学常用公式及常用结论
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
高中数学二级结论
1高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ④抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、
高考数学常用结论集锦
高考数学常用结论集锦 湖北省黄冈市团风中学 胡建平 1.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 2.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. 1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >） 4. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠） 5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，* N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。如下图所示： k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为 '12-n S ， 则 ' 1212--=n n n n S S b a 。等比数列{}n a 的通项公式1* 11()n n n a a a q q n N q -==?∈； 等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -=
高中数学公式及结论总结(完整版)
高中数学常用公式及结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2. 包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 3. 容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ 4. 德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <-
? 11 ()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
(完整word版)高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论 1、任意的简单n 面体内切球半径为表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C 3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。 ①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x ) 4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b| 6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b| 7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 1 1-≤≤-< -x x x x x 、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S =
11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为 200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为 12 20=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ① 圆 022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为 02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ① 二次曲线的切点弦 方 程 为 02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 13、①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0· (0≠=++B A C By Ax 相切的条件是
高中数学常见结论
高中数学常见结论 三角形中的结论 1、三角形中，任意两角的余弦之和大于零， 即cos cos 0,cos cos 0,cos cos 0A B A C B C +>+>+> 2、三角形中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=?? 3、三角形中，sin sin A B A B >?>,其他同理 4、锐角三角形中，任意一个角的正弦值大于另一个角的余弦值， 即sin cos ,sin cos A B A C >>,其他同理 5、钝角三角形中（角C 为钝角），一个锐角的正弦值小于另一个锐角的余弦值。 即 sin cos ,sin cos A B B A <> 6、直角三角形中的结论都有逆定理 7、三角形内切圆的半径：2S r a b c ?= ++，特别地，直角三角形中：2 a b c r +-= 8、三角形中的射影定理：在△ABC 中， A c C a b cos cos ?+?=，… 函数中的结论 1、函数()y f x =在定义域D 上单调递增 ?对任意的12,,x x D ∈若12x x >，都有12()()f x f x >
?对任意的12,, x x D ∈1212()(()())0x x f x f x --> ?对任意的12,, x x D ∈1212 ()() 0f x f x x x ->- ?对任意的, x D ∈/()0f x ≥恒成立 ?对任意的,x D ∈总存在t>0，使 ()()f x t f x +> 2、函数()y f x =在定义域D 上单调递减，对应以上结论是什么？ 3、函数单调递增、递减的运算性质：（加、减、乘、除、开方） （1）增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减， （2）()k f x ?与()f x 的单调性的关系是 （3）1 () f x 与()f x 的单调性的关系是 （4 ()f x 的单调性的关系是 4、对称轴、对称中心、周期之间的结论是： （1）若函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(a-x)?x=a 是y=f(x)的一条对称轴. 函数y=f(x)满足:f(x)=f(2a-x) ? x=a 是y=f(x)的一条对称轴. 函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(b-x) ? x=2 a b +是y=f(x)的一条对称轴. （2）函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(a-x) ?A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心. 函数y=f(x)满足:f(x)=-f(2a-x) ?A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心.
高中数学常用公式汇总及结论
高中数学常用公式汇总及结论 1 、元素与集合的关系 2 、集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非 空的真子集有个. 3 、二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式： (2) 顶点式：（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式） (3)零点式：（当已知抛物线与轴的交点坐标 为时，设为此式） （4）切线式：。（当已知抛物线与直 线相切且切点的横坐标为时， 设为此式） 4、真值表：同真且真，同假或假 5 、常见结论的否定形式; 6 、四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）
充要条件： (1) 则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件； （2）且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且，则P是q的必要不充分条件； （4）p ≠> p ，且则P是q的既不充分又不必要条件。 7、函数单调性: 增函数：(1）文字描述是：y随x的增大而增大。 （2）数学符号表述是：设f（x）在上有定义，若对任意 的，都有成立， 则就叫在上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意 的，都有 成立，则就叫f（x）在上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数； (4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：
等价关系： (1)设，那么 上是增函数； 上是减函数. (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如 果，则为减函数. 8、函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称； （2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 . 偶函数定义：在前提条件下，若有f（—x)=f(x)，则f（x）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称； （2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系： (1)、奇函数·偶函数=奇函数；（2）、奇函数·奇函数=偶函数； (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数；(6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关
高中数学常用公式及常用结论(最全面、最实用)
高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21