最新10312数学归纳法与数列的极限(答案)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10312数学归纳法与数列的极限(答案)
第十二讲：数学归纳法与数列的极限
知识小结：
«Skip Record If...»
4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列«Skip Record If...»中的项无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列«Skip Record If...»的极限，或叫做数列«Skip Record If...»收敛于A，记作«Skip Record If...»。
注意点：1）只有无穷数列，当«Skip Record If...»趋近于无穷大时，«Skip Record If...»无限趋近于某一常数；
2）对于数列«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»无穷增大时，«Skip Record If...»无限趋近于某一定值时«Skip Record If...»，是通过«Skip Record If...»无限趋近于零来描述的。这里«Skip Record If...»无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取«Skip Record If...»充分大以后，使«Skip Record If...»充分接近于零，如果这个任意小的正数用«Skip Record If...»来表示，那么当«Skip Record If...»充分大时，总有«Skip Record If...»。
3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。
5.极限的运算性质性质：
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
2）几个重要极限：«Skip Record If...» «Skip Record If...»
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把«Skip Record If...»的无穷等比数列前«Skip Record If...»项和«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»无穷增大时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号«Skip Record If...»表示，即«Skip Record If...»
注意点：1）只有当«Skip Record If...»且«Skip Record If...»时，才能代入上述公式；
2）实际上可推出：«Skip Record If...»；
3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如«Skip Record If...»；«Skip Record If...»；
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例2、求极限：
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例4、定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.
已知无穷等比数列«Skip Record If...»的首项、公比均为«Skip Record If...».
（1）试求无穷等比子数列«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）各项的和；
（2）是否存在数列«Skip Record If...»的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为«Skip Record If...»？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
解：（1）依条件得：«Skip Record If...»则无穷等比数列«Skip Record If...»各项的和为： «Skip Record If...»；
（2）解法一：设此子数列的首项为«Skip Record If...»，公比为«Skip Record If...»，由条件得：
«Skip Record If...»，
则«Skip Record If...»，即 «Skip Record If...» «Skip Record If...»
而 «Skip Record If...»则 «Skip Record If...».
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为«Skip Record If...»，其通项公式为«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
解法二：由条件，可设此子数列的首项为«Skip Record If...»，公比为«Skip Record
If...»«Skip Record If...».
由«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record
If...»«Skip Record If...»…………①
又若«Skip Record If...»，则对每一«Skip Record If...»都有«Skip Record If...»…………②从①、②得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»；
则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»；
因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为«Skip Record If...»无穷等比子数列，通项公式为«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
例5：（1）（03年上海数学高考）已知«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为正整数，设
«Skip Record If...»表示«Skip Record If...»外接圆的面积，则«Skip Record If...»。
解：此题一般地考虑方法是先求出«Skip Record If...»的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得«Skip Record If...»的结果，但整个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。
但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当«Skip Record If...»时这三个点的变化的位置，
«Skip Record If...»趋于原点，«Skip Record If...»点趋于«Skip Record If...»然后看得圆的半径为2，从而所求圆的面积为«Skip Record If...»。