中考数学圆的综合综合题含答案解析

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形

（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系

猜想结论：（要求用文字语言叙述）

写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）

（性质应用）

①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）

A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形

②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．

③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据切线长定理即可得出结论；

（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；

②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；

③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．

【详解】

性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：

如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．

求证：AD+BC=AB+CD．

证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，

∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．

故答案为：圆外切四边形的对边和相等；

性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．

∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．

故答案为：B，D；

②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．

∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．

故答案为：40；

③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．

∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为

4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．

2．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）3

【解析】

试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出

∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.

试题解析：（1）连接CD,如图,

∵AD是⊙O的直径,

∴∠ACD=90°,

∴∠CAD+∠D=90°，

∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，

∴∠CAD+∠PAC=90°，

即∠PAD=90°，

∴PA⊥AD，

∴PA是⊙O的切线；

（2）∵CF⊥AD，

∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，

∴∠ACF=∠D，

∴∠ACF=∠B，

而∠CAG=∠BAC，

∴△ACG∽△ABC，

∴AC：AB=AG：AC，

∴AC2=AG?AB=12，

∴AC=23．

3．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为AB，P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点，连接PQ.

发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；

思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求BQ的长；

（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；

探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．

【答案】发现： 90°，2；思考：（1）

10

3

π

=；（2）2+100；（3）点O

到折痕PQ30【解析】

分析：发现：先判断出当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，即可得出结论；

思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；

（2）先在Rt △B'OP 中，OP 2+(102?10)2=（10-OP ）2，解得OP=102?10，最后用面积的和差即可得出结论．

探究：先找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，证明四边形OCO′B 是矩形，由勾股定理求O′B ，从而求出OO′的长，则OM=12

OO′=30． 详解：发现：∵P 是半径OB 上一动点，Q 是AB 上的一动点，

∴当PQ 取最大时，点Q 与点A 重合，点P 与点B 重合，

此时，∠POQ=90°，PQ=22OA OB +=102；

思考：（1）如图，连接OQ ，

∵点P 是OB 的中点，

∴OP=

12OB=12

OQ ． ∵QP ⊥OB ， ∴∠OPQ=90° 在Rt △OPQ 中，cos ∠QOP=

12OP OQ =， ∴∠QOP=60°，

∴l BQ =6010101803

ππ?=； （2）由折叠的性质可得，BP ＝B ′P ，AB ′＝AB ＝2，

在Rt △B'OP 中，OP 22?10)2=（10-OP ）2

解得2?10，

S 阴影=S 扇形AOB -2S △AOP =290101210(10210)3602

π?-??? ＝2+100；

探究：如图2，找点O 关于PQ 的对称点O′，连接OO′、O′B 、O′C 、O′P ，

则OM=O′M ，OO′⊥PQ ，O′P=OP=3，点O′是B Q '所在圆的圆心，

∴O′C=OB=10，

∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA 相切于C 点，

∴O′C ⊥AO ，

∴O′C ∥OB ，

∴四边形OCO′B 是矩形，

在Rt △O′BP 中，O′B=226425-=， 在Rt △OBO′K ，OO′=2210(25)=230-，

∴OM=12OO′=12

×230=30， 即O 到折痕PQ 的距离为30．

点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=180

n R π（n 为圆心角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．

4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ， DF ．

（1）求证：DF 是⊙O 的切线；

（2）若DB 平分∠ADC ，AB =52AD ，∶DE =4∶1，求DE 的长．

【答案】(1)见解析5

【解析】

分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF =CF =EF ，再求出∠FDO =∠FCO =90°，得出答案即可；

（2）首先得出AB =BC 即可得出它们的长，再利用△ADC ～△ACE ，得出AC 2=AD ?AE ，进而得出答案．

详解：（1）连接OD．

∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．

∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．

∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．

（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．

∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB=52．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．

又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，

∴△ADC～△ACE，∴AC

AD =

AE

AC

，∴AC2=AD?AE．

设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，

∴100=4x?5x，∴x=5，∴DE=5．

点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD?AE是解题的关键．

5．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .

（1）求证：直线PD是⊙A的切线；

（2）若PC=25，sin∠P=2

3

，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．

【答案】（1）见解析；（2）20-4π.

【解析】

分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又PD=BC，∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，

∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，

∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，

∴PD是⊙A的切线.

（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=

2

3

CD

PD

，PC=25，

令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(25)2，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，

∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为1

2

×4×2=4，

扇形ABE的面积为1

2

π×42=4π，

∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.

点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.

6．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，

（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．

（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．

【答案】（1）作图见解析；（2）3π

【解析】

（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．

（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．

【详解】

解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．

（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，

∴∠ABP=30°，

∵∠A=90°，

∴BP=2AP

Rt△ABP中,AB=3，

由勾股定理可得：AP=3，∴S⊙P=3π

7．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．

（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；

（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．

【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为

﹣2．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;

（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A ＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,

（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2

为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.

【详解】

解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,

∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,

∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,

由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,

∴△OAA'是等边三角形,

∴α＝∠AOA'＝60°,

∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,

∴B'C＝OB’＝,

∴OC＝3,

∴B'（3,）,

（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',

∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,

∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,

∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,

即AA'⊥BB';

（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：

如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,

∵∠APB＝90°,

∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,

∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．

【点睛】

本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆．

8．如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD＝BC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EF＝BD.

(1)求证：EF∥BC；

(2)若EH＝4，HF＝2，求BE的长.

【答案】(1)见解析；(2) 2

3

3

【解析】

【分析】

（1）根据EF＝BD可得EF＝BD，进而得到BE DF，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.

（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定BE所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.

【详解】

(1)∵EF＝BD，

∴EF＝BD

∴BE DF

∴∠D＝∠DEF

又BD＝BC，

∴∠D＝∠C，

∴∠DEF=∠C

EF∥BC

(2)∵AB是直径，BC为切线，

∴AB⊥BC

又EF∥BC，

∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,

GF＝GE＝1

2

(HF+EH)=3，HG=1

DB平分∠EDF，

又BF∥CD，

∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝∠BFH ∴HB＝HF＝2

∴cos∠BHG＝HG

HB ＝

1

2

，∠BHG＝60°.

∴∠FDB＝∠BDE＝30°

∴∠DFH＝90°，DE为直径，DE＝3BE所对圆心角＝60°.

∴弧BE＝1

63π＝

2

3

3π

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.

9．AB 是⊙O 直径，在AB 的异侧分别有定点C 和动点P ，如图所示，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD ，交PB 的延长线于D ，已知5AB =，BC ∶CA ＝4∶3．

（1）求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；

（2）当点P 运动到AB 弧的中点时，求CD 的长；

（3）当点P 运动到什么位置时，PCD ?的面积最大？请直接写出这个最大面积．

【答案】(1)证明见解析；（2）CD =142；（3）当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=503

. 【解析】

【分析】

（1）由圆周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可证△ABC ∽△PCD ，可得

AC BC CP CD =,即可得证．

（2）由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE 的长，由锐角三角函数可求PE 的长，即可得PC 的长，由AC?CD=PC?BC 可求CD 的值；

（3）当点P 在AB 上运动时，12PCD S PC CD =??，由（1）可得：43

CD PC =，可得2142233

PCD S

PC PC PC =??=，当PC 最大时，△PCD 的面积最大，而PC 为直径时最大，故可求解．

【详解】

证明：（1）

∵AB 为直径，

∴∠ACB =90°

∵PC ⊥CD ，

∴∠PCD =90°

∴∠PCD =∠ACB ，且∠CAB =∠CPB

∴△ABC ∽△PCD ∴AC BC CP CD

= ∴AC ?CD =PC ?BC

（2）∵AB =5，BC ：CA =4：3，∠ACB =90°

∴BC =4，AC =3，

当点P 运动到AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E

∵点P 是AB 的中点， ∴∠PCB =45°，且BC =4

∴CE =BE 2BC 2 ∵∠CAB =∠CPB

∴tan ∠CAB =43=BC AC =tan ∠CAB =BE PE ∴PE =322

∴PC =PE +CE =

322

2=22 ∵AC ?CD =PC ?BC ∴3×CD =

22×4 ∴CD =23

（3）当点P 在AB 上运动时，S △PCD =

12×PC ×CD ， 由（1）可得：CD =43

PC

∴S △PCD =1423PC PC ??=23

PC 2， ∴当PC 最大时，△PCD 的面积最大，

∴当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=

23×52=503

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC 的长是本题的关键．

10．已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）见解析 （2）

33223

π- 【解析】 试题分析：（1）连接DO ，要证明DF 为⊙O 的切线只要证明∠FDP=90°即可；

（2）首先由已知可得到CD ，CF 的长，从而利用勾股定理可求得DF 的长；再连接OE ，求得CF ，EF 的长，从而利用S 直角梯形FDOE ﹣S 扇形OED 求得阴影部分的面积．

试题解析：

（1）证明：连接DO ．

∵△ABC 是等边三角形，

∴∠A=∠C=60°．

∵OA=OD ，

∴△OAD 是等边三角形．

∴∠ADO=60°，

∵DF ⊥BC ，

∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，

∴∠FDO=180°﹣∠ADO ﹣∠CDF=90°，

∴DF 为⊙O 的切线；

（2）∵△OAD 是等边三角形，

∴AD=AO=AB=2．

∴CD=AC ﹣AD=2．

Rt△CDF中，

∵∠CDF=30°，

∴CF=CD=1．

∴DF=，

连接OE，则CE=2．

∴CF=1，

∴EF=1．

∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）?DF=，

∴S扇形OED==，

∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．

【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．