高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何空间距离

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间

的距离

直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条

直线上任意一点到平面的距离

叫做这个点到这个平面的距离

E、

32 2 1 * 1 2 2

例 2 题

3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离

题型二：两条异面直线间的距离

【例 3】如图（1）,正四面体 ABCD 的棱长为 1，求： A 到平面 BCD 的距离；过 A 作AO ⊥平面 BCD 于 O ，连 BO 并延长与 CD 相交于 E ，连 AE.

∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴ O 是△ BCD 的中心，∴ BO=2BE=2 3 3.

3 2 3

解法 2：（ I ）

又 AB ＝ 1，且∠ AOB =90° ,∴AO= AB 2 BO 2

.∴A 到平面例 3 题6图 BCD 的距离是 .

【例 4】在梯形 ABCD 中,AD ∥BC,∠ABC= ,AB=a,AD=3a 且 sin ∠ ADC = ,又 PA ⊥平面

ABCD ,PA=a,

求： (1)二面角 P — CD —A 的大小 ; (2)点 A 到平面 PBC 的距离 . 【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F,连结 PF, ∵ AP ⊥平面 ABCD,AF ⊥DC,∴ PF ⊥DC, 在△ ADF 中,∠AFD =90

,∠ADF

=arcsin 5 3a

,AD =3a,∴ AF= ,

在 Rt △PAF 中 tan ∠PFA= PA a 5

5 ,∴∠ PFA=arc tan 5 .

AF 3a 3 3

(2)∵PA ⊥平面 ABCD ,∴PA ⊥ BC,又 BC ⊥ AB, ∴ BC ⊥平面 PAB,作 AH ⊥PB,则 BC ⊥AH,∴ AH ⊥平面 PBC,∵PA ⊥AB,PA=AB=a, ∴PB= 2 a,∴ AH = 2 a .

【例 5】如图，所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1F 所截面而得到的，其中

AB=4 ， BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求 BF 的长；（Ⅱ）求点 C 到平面 AEC 1F 的距离 .

解法 1：（Ⅰ）过 E 作EH//BC 交 CC 1于H ，则 CH=BE=1 ，EH//AD ，且 EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1. ∴ DF=C 1H=2. BF BD 2 DF 2 2 6.

（Ⅱ）延长 C 1E 与 CB 交于 G ，连 AG ，则平面 AEC 1F 与平面 ABCD 相交于 AG.

过 C 作CM ⊥AG ，垂足为 M ，连 C 1M ，由三垂线定理可知 AG ⊥C 1M.由于 AG ⊥面 C 1MC ，且 AG 面 AEC 1F ，所以平面 AEC 1F ⊥面 C 1MC.

在 Rt △C 1CM 中，作 CQ ⊥MC 1，垂足为 Q ，则 CQ 的长即为 C 到面 AEC 1F 的距离 .

由 EB BG 可得,BG 1,从而 AG

AB 2 BG 2 17.

CC 1 CG 由 GAB

MCG 知, CM 3cosMCG D （0，0，0），B （2，4，0），

3cosGAB

CM CC 1 MC 1

4 33 11

建立如图所示的空间直角坐标系，则

A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设 F（0，0，∵AEC1F 为平行四边形，

z）

由AEC 1F 为平行四边形

由AF EC 1得,( 2,0, z) ( 2,0,2), z 2. F (0,0,2). EF ( 2, 4,2).

于是 |BF | 2 6,即BF 的长为 2 6.

（II ）设 n 1 为面 AEC 1F 的法向量，

由 n 1 AE 0, 0 x 4 y 1 0 得 4y 1 即 4y 1 0, x n 1 AF 0, 2 x 0 y 2 0 2x 2 0, y

uuuur u ur 又CC （0,0,3）,设CC 1与n 1 的夹则 cos CC 1 uuu n

u 1u r

|CC 1 | |n 1 | 1,

4 33 33 ∴C 到平面 AEC 1F 的距离为 d |CC 1 |cos

4 33 33 4 33

例 6】正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的底面边长为 8，对角线 B 1C 10，D 是AC 的中

点。 1）求点 B 1到直线 AC 的距离 .（ 2）求直线 AB 1到平面 C 1BD 的距离．解：（1）连结 BD ， B 1D ，由三垂线定理可得： B 1D AC ，所以 B 1D 就是 B 1点到直线 AC 的距离。在 Rt B 1BD 中 BB 1

B 1

C 2 BC 2 102 82 6, B

D 4 3 ． B 1D BD 2 B 1B 2 2 21．（2）因为 AC 与平面 BD C 1 交于ＡＣ的中点Ｄ，设 B 1C BC 1

E ，则 AB 1 //DE ，所以 AB 1 //平面 C 1BD ，所以

AB 1到平面 BD C 1 的距离等于Ａ点到平面 BD C 1 的距离，等于Ｃ点到平面 BD C 1 的距离，也就等于三棱锥

C BDC 1 的高， V C BDC 1 V C 1 BDC ， 1 1 12 13 hS BDC 1 S BDC CC 1 ， h ，即直线 AB 1到平面 B

D C 1 的距离是

3 1 3 13 1 【解后归纳】求空间距离注意三点：

A 1

A B

1213 13

1．常规遵循一作二证三计算的

步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离； 3．体积法是一种很好的求空间距离的

方法．范例 4】如图，在长方体 AC 1中， AD=AA 1=1，AB=2 ，点 E 在棱 AB 上移动. 1）证明： D 1E ⊥A 1D ；

2）当E 为AB 的中点时，求点 E 到面 ACD 1的

距离； 3)AE 等于何值时，二面角 D 1— EC —D 的大小为 . 4 解析：法 1

1)∵AE ⊥面 AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E

2)设点 E 到面 ACD 1的距离为 h ，在△ ACD 1中， AC=CD 1= 5，

1 1 3 1 1 故S AD 1C

2 5

,而

S ACE AE

BC .

AD1C 2 2 2 ACE 2 2

AD 1= 2 ，

D 1

B 1

A 1

C 1

1 1 1 3

S AEC DD 1 S

AD 1C h, 1 h, h

3 AEC 1 3 AD 1C 2 2

V D 1 AEC

显然n 1不垂直于平面 ADF ,故可设 n 1 （ x, y,1）

3) 过 D 作DH ⊥CE 于H ，连 D 1H 、DE ，则

D 1H ⊥C

E ， ∴∠ DHD 1为二面角 D 1—EC —D 的平面角 .

设 AE= x ，则 BE=2 － x

在 Rt D 1DH 中 ,Q DHD

Q 在Rt ADE 中,DE 在Rt DHE 中,EH 在 Rt

DHC AE

1 x

2 x,

3,在 Rt 中 CH

x 2 4x 5 x

3时 ,二面角

D 1

DH 1.

C 1

CBE 中 CE

x 2 4x 5.

2 3.

法 2： 1)，

D 1(0， (1) (2)

从而 D 1E

以 D 为坐标原点，直线 DA 、DC 、DD 1分

别为 0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0). 因为 DA 1,D 1E (1,0,1),(1,x, 1) 因为 E 为AB 的中点，则 E(1， (1,1, 1),AC ( 1,2,0) ， AD 1 EC D 的大小为 . 4 x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，

设 AE=x ，

则 A 1(1，0，

0,所以DA 1 1，0)， D 1E. ( 1,0,1) ，设平面 ACD 1 的法向量为

n (a, b, c) ，

则

n AC 0,

也即

n AD 1 0,

c 2b 00

，得

a 2b

，

D 1 B 1

A 1

x A

C y 从而 n (2,1,2) ，所以点 E 到平面 A

D 1C 的距离为

| D 1E n| |n|

212 3

3)设平面 ∴ CE

(1,x D

1EC 的法向量 n (a,b,c) ，

2,0), D 1C (0,2, 1),DD 1

(0,0,1),

由

n n

D 1C 0, 2b c0 C

E 0,

b(x 2)

令 b=1, ∴ c=2, a=2 －

x ，

∴n

(2 x,1,2).依题

意 cos

4 |n DD 1|

∴

x 1

3 (不合，舍去) ，

x 2 |n| |DD 1 | 2 3 .

(x 2)2 5 2

∴ AE= 2

时，二面角 D 1—EC —D 的大小为 ?对应训练分阶提升一、基础夯实 1.把边长为 a 的正△ ABC 沿高线 AD 折成 60 °的二面角， 63 B. a C. a 23

2.△ABC 中，AB=9，AC=15，∠ BAC=120 那么点 P 到平面α的距离为 ( ) A.7 B.9 C.11 D.13

3.从平面α外一点 P 向α引两条斜线别是 2cm 和 12cm ,则 P 到α的距离是 A.4cm B.3cm 或 4cm A.a 则点 A 到 BC 的距离是 ( 15 D. a 4 .△ ABC 所在平面外一点 P 到三个顶点 A 、 B 、 C 的距离都是 14 ，

PA,PB.A,B 为斜足 ,它们与α所成角的差是 45° ,它们在α内的射影长分 ( ) C.6cm D.4cm 或 6cm 4.空间四点 A 、 B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于 a ，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上，

则 P 与 Q 的最短距离为 ( )

A.1a

5.在四面

体距离分别为

、

B. a

C. a 22

P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直 .M是面 ABC内一点，且点 M到三个面 PAB、PBC、

PCA的 3、 6，则点 M 到顶点 P的距离是 ( )

D.a

A.7

6.如

图，

)

A. a

B.8

C.9 将锐角为

60 °，边长为

B. 3a

D.10

a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60 °的二面角，则 AC 与 BD 的距

离是

C. 3a

第 6 题图

四棱锥 P— ABCD 的底面为正方

形， PAC 的距离为 d2，则有 (

A.1

b、c、 d，

7.如图，

B 到平

面

A.2d

B.d1

D.d2

同侧有三点那么 a+b+c

等于 (

C.4d

B.3d

、

)

、

第 8 题

图

是

9.如图，菱形 ABCD 边长为 a，AH

HD (CF CG

FB DG )

A.a

二、思维激活

10.二面角

B. a

C 到平面 PAB 的距离为

d1，

D. 6a

C，△ ABC 的重心为 G.如果 A、

B、

C、G 到平面α的距离

分别

D.以上都不

对

∠ A=60 °，

E 、

第 9 题

图

F、

G、

2 ，沿 EH 和 FG 把菱形的两锐角折

起，使

C. 3a

D. 15a

-MN -β等于 60°，平

面α

内一点 A 到平面β的距

离

11.在 60°的二面角α— l—β中， A∈α ,AC⊥l 于 C， B∈β，

H 分别是 AB 、 BC、CD 、DA 上的点且

A、C 重合，这时点 A 到平面 EFGH 的距

离

AB 的长为 4，则点 B 到α的距

离为

BD ⊥ l 于 D，又 AC=BD=a,CD= 2 a，则

A、

B 两点间距离为 .

12.设平面α外两点 A 和 B 到平面α的距离分别为 4cm 和 1cm， AB 与平面α所成的角是 60°，则线段 AB 的长是 .

13.在直角坐标系中 ,已知 A(3,2),B(-3,-2) 沿 y 轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角 A—Oy— B 后,∠

AOB=90 °，则 cosα的值是.

三、能力提高

14. 在边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠ ABC=60°，PC ⊥平面 ABCD ， E 是PA 的中点，求点 E 到平面 PBC 的距离．

15. 在直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB 为直角，侧面 AB 1与侧面 AC 1所成的二面角为 60°，M 为 AA 1上的点.∠A 1MC 1=30°，∠ BMC 1=90 °， AB=a.

(1) 求 BM 与侧面 AC 1 所成角的正切值 (2) 求顶点 A 到面 BMC 1的距离 .

16. 已知斜三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的侧面 A 1ACC 1 与底面 ABC 垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3 ,且 AA 1⊥ A 1C,AA 1=A 1C.

( 1)求侧棱 A 1A 与底面 ABC 所成角的大小 ;

( 2)求侧面 A 1ABB 1 与底面 ABC 所成二面角的大小 ( 3)求顶点 C 到侧面 A 1ABB 1 的距离 .

17. 如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱 AB 与BC 的中点， EF 与BD 交于 H. (1)求二面角 B 1—EF —B 的大小 .

(2)试在棱 B 1B 上找一点 M ，使 D 1M ⊥面 EFB 1，并证明你的结论 . (3)求点 D 1到面 EFB 1的距离 .

第 17

题图

第 15 题

点 B 到平面 PAC 的距离 d2= 2

11 2 ∵ 3 21,∴ d2

bc d |MM ′ |= b c，又2

2 a b c 2 9.A 设 BD 的中点为 O，空间的距离习题解答

1.D 折后 BC= a,∴点 A 到 BC 的距离为a2

a 2 15a 44

22 2.A BC= 9 15 ∴△ABC 外接圆半径∴点 P 到α的距离为

2 9 15 cos120 21. R= 217

3 ,

2sin 120

142 (7 3)2 7.

3.D 设 PO⊥α垂足为 O,|PO|=xcm ,∠OAP=β,∠OBP=γ,那么β -γ=45

tanβ = ,tanγ = ,tan (β - γ )=tan

展开左边并整理得 :x2-10x+24=0,解得 x1=6,x2=4.

4. B P、Q的最短距离即为异面直线AB与CD间的距离，当 P为

AB的中点， Q为CD的中点时符合题意

222

5.A PM= 2232627.

6.C

7.D 取 BD 的中点 O 连 AO 、

OC，作 OE ⊥AC 于 E，则 OE 为所求，∴ AO=CO=AC= 3a 2 点 C 到平面 PAB 的距离

d1= 2

.∴a+b+c=3d.

8.B

a2 2 a a a EO= 2 cos6

3 2 3 2 7a 点 A 到平面 EFGH 的距离为4a27a2

10.2 作 AC⊥MN 于 C，连 BC，则 BC⊥MN ，∴∠ ACB =60°，又 MN⊥平面 ABC，

∴平面 ABC⊥平面α，作 BD ⊥AC 于 D ，则 BD ⊥α，

∴ BD 的长即为所求，得 BD=2．

12.2 3 cm 或 10 3 cm

3 当点 A 、 B 在α同侧

时，当点 A

、 B 在α异侧

时， 13. 4 如图 ,AB″= OA 2 OB 2 2(22 32 ) 26

9 ∵BC ⊥y 轴,B ′C ⊥y 轴, ∴∠ B ′CB ″为二面角 A — Oy — B 的平面角 . ∠B ′CB ″=α,在△B ′CB ″中 ,B ′C=B ″C=3,

B ′B ″= 26 42 10 ,由余弦定理易知 cos α= 4 .

14. 如图，将点 E 到平面 PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距连 AC 、BD ，设 AC 、BD 交于 O ，则 EO ∥平面 PBC ， ∴ OE 上任一点到平面 PBC 的距离相等． ∵平面 PBC ⊥平面 ABCD ，

过 O 作 OG ⊥平面 PBC ，则 G ∈BC ，又∠ ACB=60 °， AC=BC=AB=a ，

a 3a

∴ OC=

,OG=OC sin60 ° = .

点评：若直接过 E 作平面 PBC 的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果．

15. (1) ∵三棱柱 ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠ BAC 为二面角 B 1—AA 1—C 1的平面角， ∴∠ BAC =60° . 又∵∠ ACB 为直角，∴ BC ⊥侧面 AC 1.

连 MC ，则 MC 是 MB 在侧面 AC 1 上的射影 . ∴∠ BMC 为BM 与侧面 AC 1所成的角 . 且∠ CMC 1=90°，∠ A 1MC 1=30°，所以∠ AMC =60° . 设 BC= m ，则 AC= 3 m ， MC= 2 m ，

33 所以 tan ∠ BMC = 3 . 2

即 BM 与侧面 AC 1所成的角的正切值为 3 .

(2)过A 作AN ⊥MC ，垂足为 N ，则 AN ∥面 MBC 1. ∵面 MBC ⊥面 MBC 1，且过 N 作 NH ⊥MB ，垂足为 H ，则 NH 是 N 到面 MBC 1的距离，也就是 A 到面 MBC 1的距离. ∵AB=a,AC= a ,且∠ ACN=30°，

a3 ∴AN= 且∠AMN=60°，∴ MN= a .

4 12

AB= 3

2 3 ;

sin60

5 10 3 AB=

sin60 3

11. 3a

AB= a 2 a 2 ( 2a)2 2 a a cos60

第 14 题图

∴NH=MNsin∠BMC= 3a× 39a (本题还可用等积法 ).

12 52

16.(1)如图所示 ,作A1D⊥AC,垂足为 D,由面 A1ACC1⊥面 ABC,得A1D⊥面 ABC ∴∠A1AD为 A1A与面 ABC 所成的角

∵AA1⊥A1C,AA1=A1C

∴∠ A1AD=45 °为所求 .

(2)作 DE⊥ AB 垂足为 E,连 A1E,则由 A1D⊥面 ABC,得 A1E⊥AB,

∴∠ A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角 .

由已知 AB⊥ BC 得DE∥BC,又 D 是 AC 的中点 ,BC=2,AC=2 3

∴DE=1,AD=A1D= 3 ,tan∠A1ED= A1D = 3 ,故∠A1ED=60°为所求 .

(３)连结 A1B,根据定义 ,点C到面 A1ABB1的距离,即为三棱锥 C—A1AB的高 h.

=V A1-ABC 得 S△AA1B h= S△ABC· A1D

由 V C—A1AB

即12 2 h 12 2 3,∴h= 3 为所求 .

17.(1) 如图连结 B1D1，AC，B1H，∵底面为正方形 ABCD ，∴对角线 AC⊥ BD.

又∵E、F 分别为 AB、 BC的中点∴EF ∥AC.∴EF⊥BD.

又∵棱 B1B⊥底面 ABCD ，EF 面 ABCD ，∴ EF⊥B1B.

又 B1B∩BD=B,BB1 面 BB1D1D，BD 面 BB1D1D.

∴EF ⊥面 BB1D1D.

而 B1Ｈ面 BB1D1D，BH 面 BB 1D 1D ，∴ EF ⊥ B1H ，EF ⊥BH . ∴∠B1HB 为二面角

B1—EF—B 的平面角 .

第 17 题图

在 Rt△B1BH 中， B1B=a,BH = 2a ，

B1B

∴tan∠B1HB= 1 2 2 .

HB=arctan2 2 .

∴∠ B1

∴二面角 B1— EF—B 的大小为 arctan2 2 .

(2) 在棱 B1B 上取中点 M，连 D1M，则 D1M⊥面 EFB1.连结 C1M.

∵EF ⊥面 BB1D1D，D1M 面 BB1D1D.

∴D1M⊥ EF.

又∵ D1C1⊥面 B1BCC 1.

∴C1M 为 D1M 在面 B1BCC1 内的射影 .

在正方形 B1BCC1中，M、F分别为 B1B和 BC的中点，由平面几何知识 B1F ⊥ C1M.

于是，由三垂线定理可知 B1Ｆ⊥D1Ｍ，

而 B1F 面 EFB1，EF 面 EFB1，EF∩ B1F=F，∴D1M⊥面 EFB1.

(3)设D1M与面 EFB 1交于 N点，则 D1N为点 D到面 EFB 1的距离，∵B1Ｎ面 EFB 1,D 1M ⊥面 EFB 1，

∴B 1N ⊥D 1M.

在 Rt △MB 1D 1 中，由射影定理 D 1B 12=D 1N·D 1M ，

2 2 3

而 D 1B 1= 2a,D 1Ｍ= B 1D 12 B 1M 2 23a ，

即点 D 1到面 EFB 1的距离为 a .

高中数学立体几何空间距离的计算(学生版)

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离 .

2. 点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离 . 3. 直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离 .

4. 两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离

题型一：两条异面直线间的距离

如图，在空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，E 、F 分别是 AB 、CD 的中点 . EF

是 AB 和 CD 的公垂线； (2)求 AB 和 CD 间的距离；如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线 AB 、CD 之间的

距离. 例

1题图

∴D 1N= D 1B 12

D 1M 4 a. 3

【例 1】 (1) 求

证：

例 2】

例 2 题

解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法： 1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度 2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离 3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离

题型二：两条异面直线间的距离

【例 7】如图 ,正四面体 ABCD 的棱长为 1，求： A 到平面 BCD 的距离；

例 3 题

【例 8】在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC= ,AB=a,AD=3a 且sin∠ ADC = ,又 PA⊥平面 ABCD ,PA=a, 25 求： (1)二面角 P— CD—A 的大小 ; (2)点 A 到平面 PBC 的距离 .

例 9】如图，所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC 1F 所截面而得到的，其中 AB=4 ，BC=2，CC1=3，BE=1.（Ⅰ）求 BF的长；（Ⅱ）求点 C到平面 AEC 1F的距离 .

例10】正三棱柱 ABC A 1 B 1C 1的底面边长为 8，对角线 B 1C 10，D 是AC 的中点。 1)求点 B 1到直线 AC 的距离 .( 2)求直线 AB 1到平面 C 1BD 的距离．

1 A

C 1

【解后归纳】求空间距离注意三点：

1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2 ．多用转化的思想求线面和面

面距离；

3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

例 11】如图，在长方体 AC 1中， AD=AA 1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动 .

1)证明： D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点 E 到面ACD 1的距离； 3)AE 等于何值时，二面角 D 1— EC —D 的大小为 . 4

?对应训练分阶提升一、基础夯实 1.把边长为 D 1

C 1

(

)

a 的正△ ABC 沿高线 AD 折成 60 °的二面角，则点 A 到 BC 的距离是 63 B. a C. a 23 2.△ABC 中，AB=9，AC=15，∠ BAC=120 那么点 P 到平面α的距离为 ( ) A.7 B.9 C.11 D.13 3.从平面α外一点 P 向α引两条斜线

别是 2cm 和 12cm ,则 P 到α的距离是 A.4cm B.3cm 或 4cm 4.空间四点 A 、 B 、C 、D 中，则 P 与 Q 的最短距离为 2 B. a 2 P — ABC 中， 3、 6，则点 M 到顶点 P 的距离是 B.8 C.9 将锐角为 60 °，边长为 A.a

15 D. a 4 .△ ABC 所在平面外一点 P 到三个顶点 A 、

B 、

C 的距离都是 14 ，

1 A. a

2 5.在四面体距离分别为 2、 PA 、 A.7 6.如图， ( ) 3

A. a 4

B. 3 a

4 PA,PB.A,B 为斜足 ,它们与α所成角的差是 45° ,它们在α内的射影

长分 ( ) C.6cm D.4cm 或 6cm 每两点所连线段的长都等于 a ，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段 CD 上， )

C. a 2

D.a PB 、PC 两两垂直 .M 是面 ABC 内一点，且点 M 到三个面 PAB 、PBC 、

PCA 的 ( ) D.10

a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60 °的二面角，则 AC 与 BD 的距

离是

C. 3 a

D. 6

7.如图，四棱锥 P —ABCD 的底面为正方形， PD ⊥底面 ABCD ，PD=AD ＝1，设点 C 到平面 PAB 的距离为 d 1，点 B 到平面 PAC 的距离为 d 2 ，则有 ( )

9.如图，菱

形

ABCD 边长为 a ， ∠A=60°，E 、F 、 G 、 H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 上的点且

AE AH CF CG

2沿 EH 和 FG 把菱形的两锐角折起，使 A 、C 重合，这时点 A 到平面 EFGH 的距离 EB HD FB DG

是 ( )

A .

a 2 B. a C. 3 a D. 15 a

2 2 2 6

、思维激活

10.二面角α -MN -β等于 60°，平面α内一点 A 到平面β的距离 AB 的长为 4，则点 B 到α的距离为

11. 在 60°的二面角α— l —β中， A ∈α,AC ⊥l 于 C ，B ∈β， BD ⊥l 于 D ，又 AC=BD=a,CD= 2a ，则 A 、

B 两点间距离为 .

12. 设平面α外两点 A 和 B 到平面α的距离分别为 4cm 和 1cm ， AB 与平面α所成的角是 60°，则线段 AB 的长是 .

13. 在直角坐标系中 ,已知 A(3,2),B(-3,-2) 沿 y 轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角 A —Oy — B 后,∠ AOB=90 °，则 cos α的值是 . 三、能力提高

14. 在边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠ ABC=60°，PC ⊥平面 ABCD ， E 是PA 的中点，求点 E 到平面 PBC 的距离．

15. 在直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB 为直角，侧面 AB 1与侧面 AC 1所成的二面角为 60°，M 为 AA 1上的点.∠A 1MC 1=30°，∠ BMC 1=90 °， AB=a.

(1) 求 BM 与侧面 AC 1 所成角的正切值 . (2) 求顶点 A 到面 BMC 1的距离 .

16. 已知斜三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的侧面 A 1ACC 1 与底面 ABC 垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3 ,且 AA 1⊥

A.1

C. d 1<1

8.如图所示，为 a 、b 、c 、 d ， A.2d

B.d 1

第 9 题

A1C,AA1=A1C.

( 1)求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小 ;

( 2)求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的大小

( 3)求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离 .

17.如图，在棱长为 a的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱 AB与BC的中点， EF与BD交

于 H. (1)求二面角 B1—EF—B 的大小 .

(2)试在棱 B1B 上找一点 M，使 D1M⊥面 EFB1，并证明你的结论

(3)求点 D1到面 EFB1的距离 .

叫做这条直线和平面的距离

4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个

平行平面间的公垂线段的长叫做

第 17 题

这两个平行平面的距离 . 题型一：两条异面直线间的距离【例 1】如图，在空间四

边形 ABCD 中， AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，

(1) 求证： EF 是 AB 和 CD 的公垂线；

(2) 求 AB 和 CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结 AF，BF ，由已知可得 AF=BF. 又因为 AE=BE ，

所以 FE⊥AB 交 AB 于 E. 同理 EF⊥ DC 交 DC 于点 F. 所以 EF 是 AB 和 CD 的公垂线 .

(2)在 Rt△BEF 中，BF= a,BE= a ,

22 所以 EF2=BF2-BE2= 1a2，即 EF= 2a.

2由(1)知 EF 是 AB、CD 的公垂线段，所以 AB 和 CD 间的距离为2a .

【例 2】如图,正四面体 ABCD 的棱长为 1，求异面直线 AB、CD 之间的距离 . 设 AB 中点为 E，连 CE、ED.

∵ AC=BC,AE=EB.∴CD ⊥AB.同理 DE⊥AB.

∴ AB⊥平面 CED.设 CD 的中点为 F,连 EF，则 AB⊥ EF . 同理可证 CD ⊥EF.∴EF 是异面直线 AB、CD 的距离 .

∵CE= 3 ,∴CF =FD = 1,∠EFC=90°,EF=

∴ AB、 CD 的距离是2 .

【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：

1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度

2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离

立体几何空间计算

教学过程一、新课导入我们已经学习了平面向量的内容，本节课就把平面向量及其线性运算推广到空间向量，并运用空间向量解决立体几何问题.

三、知识讲解考点1 空间向量基本知识点及运算 1.向量的直角坐标运算设a ＝ 123(,,) a a a ， b ＝ 123(,,) b b b 则 (1) a ＋b ＝ 112233(,,) a b a b a b +++； (2) a －b ＝ 112233(,,) a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 2.设A 111(,,) x y z ，B 222(,,) x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 3、设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r ，则 a b r r P ?(0)a b b λ=≠r r r r ； a b ⊥r r ?0a b ?=r r ?1212120x x y y z z ++=. 4.夹角公式：设a ＝ 123(,,) a a a ， b ＝ 123(,,) b b b ，则 cos ,a b <>=

5．异面直线所成角： cos |cos ,|a b θ=r r =|| |||| a b a b ?= ?r r r r 6．平面外一点p 到平面α的距离：已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，A 到平面α的距离为：|| || AB n d n ?= . 7．线线夹角θ（共面与异面）[0,90]???两线的方向向量12,n n →→的夹角或夹角的补角，12cos cos ,n n θ→→ =<>. 8．线面夹角θ[0,90]??：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin cos ,AP n θ→→ =<>. 9．面面夹角（二面角）θ[0,180]??：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量12,n n →→ 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 12cos cos ,n n θ→ → =±<>. B A α n

空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题-详细答案

【巩固练习】一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，11 11114 A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（） A ． 1715 B ． 2 1 C ．17 8 D ． 2 3 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=?，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=( ) A ．2 B ．2- C ．2-或 255 D ．2或255 - 5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 2 AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（） A ． 621 B ． 33 8 C ．60 210 D ． 30210 6.（2015秋湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 ==2 AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（）

高中数学空间几何专题练习(供参考)

一、选择题 1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为（） 2 3 + 为（） C 、120；。 3、边长为a 正四面体的表面积是（） A 、34； B 、312a ； C 、24 a ； D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距，下列说法正确的是（） A 、在y 轴上的截距是6； B 、在x 轴上的截距是6； C 、在x 轴上的截距是3； D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//，则直线a 与直线b 的位置关系是（） A 、平行； B 、相交或异面； C 、异面； D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=，且12l l //，则满足条件a 的值为A 、12-； B 、12 ； C 、2-； D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为（） A 2； B 2a ； C 2； D 2。 8、在右图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（） A ．30° B ．45° C ．90° D ． 60° 9、下列叙述中错误的是（） A 、若P αβ∈且l αβ=，则P l ∈； B 、三点,,A B C 确定一个平面； C 、若直线a b A =，则直线a 与b 能够确定一个平面；图（1） 1 A

D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则l α?。 10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（） A 、两条平行直线； B 、一点和一条直线； C 、两条相交直线； D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（） A 、25π； B 、50π； C 、125π； D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直其中正确命题的个数为（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形，则圆柱的体积为； 14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为． 15、过点（1 16、已知,a b （1） a b αβ////,，则a b //；（2） ,a b γγ⊥⊥，则a b //；（3） ,a b b α?//，则a α//；（4） ,a b a α⊥⊥，则b α//； M

立体几何的计算

教案教师姓名授课班级授课形式授课日期年月日第周授课时数授课章节名称立体几何的计算教学目的计算立体几何中的有关角度和距离以及一些体积问题教学重点二面角和几何体的体积教学难点二面角的计算更新、补充、删节内容使用教具三角板课外作业补充课后体会注意立体图形与平面图形的转化

授课主要内容或板书设计

一、复习知识点 1．有关角的计算 ⑴异面直线所成的角 a ．定义：设,a b 是异面直线，过空间任一点o 引'',a a b b ，则'a 与'b 所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 b ．范围(0,90] c ．求法：作平行线，将异面转化成相交 ⑵线面所成的角 a ．定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。 b ．范围：[0,90] c ．求法：作垂线，找射影 ⑶二面角 a ．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，其大小通过二面角的平面角来度量。 b ．二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫二面角的平面角。 c ．范围：[0,]π d ．作法： 1定义法：过棱上任一点o 在两个半平面内分别引棱的两条垂线,OA OB ，则 AOB ∠为二面角的平面角 2三垂线定理法：过二面角的一个半平面内一点A ，作棱l 的垂线，垂足为O ，作另一个面的垂线，垂足为B ，连接OB ，则AOB ∠为二面角的平面角。 β α O B A 3作棱的垂面法：过二面角内任意一点O ，分别向两个平面作垂线，垂足为,A B 则,AO BO 所确定的平面与棱l 交于P ，则APB ∠为二面角的平面角。

立体几何--空间的距离.

、选择题 1.正方形ABCD边长为2, E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果/ MBE= / MBC , MB和平面BCF 1 值为1，那么点M至?线EF的距离为（ 2 D.- 2 2 .三棱柱ABC—A1B1C1 中，AA i=1 , AB =4, BC= 3 , / ABC=90 °，设平面 ABC的交线为I，则A1C1与I的距离为（）二、填空题 4.如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为三、解答题（1）求证：平面A1BC1 //平面ACD1；立体几何--空间的距离 EF折成直二所成角的正切 B.1 A i BC i与平面 A J10 B. TH C.2.6 D.2.4 3.如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为 5.在长方体如图:

(2)求(1)中两个平行平面间的距离; ⑶求点B i到平面A i BC i的距离. 6.已知正四棱柱ABCD —A i B i C i D i，点E在棱D i D上，截面EAC // D i B且面EAC与底面ABCD所成的角为45° ,AB=a,求: (i)截面EAC的面积; ⑵异面直线A i B i与AC之间的距离; ⑶三棱锥B i —EAC的体积. 7?如图，已知三棱柱A i B i C i —ABC的底面是边长为2的正三角形, AC均成45°角，且A i E丄B i B于E, A i F丄CC i于F. (i)求点A到平面B i BCC i的距离; ⑵当AA i多长时，点A i到平面ABC与平面B i BCC i的距离相等. &如图，在梯形ABCD 中，AD // BC,/ ABC = —,AB= 2 2 / ADC=arccos—75 ,PA丄面ABCD 且PA=a. 5 (i)求异面直线AD与PC间的距离; (2)在线段AD上是否存在一点F,使点A到平面PCF的距离为亨【空间的距离参考答案】一、i.解析：过点M作MM '丄EF,则MM '丄平面BCF ?// MBE= / MBC ??? BM '为/ EBC为角平分线, ￡■ 侧棱A i A与AB 、 i -AD=a, 3

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何引言立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略）二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行?两线的方向向量平行线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直线面垂直?线与面的法向量平行面面垂直?两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离 1.点点距离点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为(PQ x =2.点线距离求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，计算平面α的法向量n ，计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角求线面夹角的步骤：

高中立体几何计算方法总结

高中立体几何计算方法总结 1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直；③证明两条异面直线的方向量相互垂直。（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； ②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。（3）直线和平面垂直证明方法：①证明直线和平面内两条相交直线都垂直，②证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；③证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。（4）平面和平面相互垂直证明方法：①证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；②证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；③证明两个平面的法向量相互垂直。 2．求距离：求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

（1）两条异面直线的距离求法：利用公式法。（2）点到平面的距离求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 ②等体积法。③向量法。 3．求角（1）两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。（2）直线和平面所成的角求法：①“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 ②向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为或。（3）平面与平面所成的角求法：①“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。②向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。

立体几何空间距离问题

空间距离问题 (专注高三数学辅导:) 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q 是PA的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. 。 P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离

●案例探究［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. < 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (2 2 a ,0,0),C (0, 2 2 a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面

立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习

知识点整理 (一)平行与垂直的判断 ⑴平行：设，的法向量分别为U,V ，贝U 直线l,m 的方向向量分别为a,b ，平面线线平行i // m a 〃 b a 诂；线面平行i // a u a u 0 ；面面平行// u // v u J. ⑵ 垂直：设直线l ，m 的方向向量分别为a,b ，平面，的法向量分别为u,v ，则线线垂直I 丄m a 丄b ab 0 ；线面垂直I 丄 a // u a ku 「；面面垂直丄 u 丄v u v 0. (二)夹角与距离的计算注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线l ，m 的方向向量分别为，平面，的法向量分别为u ，v ，则 ①两直线I ，m 所成的角为 (2)空间距离 ②直线I 与平面 ③二面角一I 的大小为(0< < )，cos cos (0< =2)，sin 所成的角为

点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难 ①点到平面的距离h：(定理)如图，设n是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中A 则点P到平面的距离 uuu uu ②h 1 Auur n |(实质是AP在法向量n 方向上的投影的绝对值) |n| uuu ur ③异面直线l i,l2间的距离d： d AB JC』1( 11,12的公垂向量为 |n| ' n, C、D分别是h,l2上任一点). 题型一：非正交基底下的夹角、的计算例1.如图，已知二面角-I - 点 A , B , A C I于点C, 且 AC=CD=DB=1. 求：(1) A、B两点间的距离； (2)求异面直线AB和CD勺所成的角(3) AB与CD勺距离. 解：设AC a,CD b,DB c,则 |a| |b| |c| 1, a,b b,c 900, a,c 60°, 2 ? ? 2 ?? 2 ■■ 2 |AB | a b c . a b c 2a b 2b c 2c a 2 A、B两点间的距离为2. (2)异面直线AB和CD的所成的角为60°

考点17 立体几何中的计算问题(解析版)

考点17 立体几何中的计算问题【知识框图】【自主热身，归纳总结】 1、(2019扬州期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________．【答案】 22π 3 【解析】圆锥的高为h ＝32－12＝22，圆锥的体积V ＝13×π×12 ×22＝22π3 . 2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．【答案】 3π 3 【解析】思路分析先求出圆锥的底面半径和高．设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则?????πr 2 ＝π，πrl ＝2π，解得? ????r ＝1， l ＝2.所以h ＝ 3.圆锥的体积 V ＝13Sh ＝3π 3 . 3、(2019宿迁期末）设圆锥的轴截面是一个边长为2 cm 的正三角形，则该圆锥的体积为________ cm 3 . 【答案】 3 3 π 【解析】圆锥的底面半径R ＝1，高h ＝22－12＝3，故圆锥的体积为V ＝13×π×12 ×3＝33π. 4、(2019南通、泰州、扬州一调）已知正四棱柱的底面长是3 cm ，侧面的对角线长是3 5 cm ，则这个正四棱柱的体积为________cm 3 . 【答案】 54 【解析】由题意知，正四棱柱的高为（35）2 －32 ＝6，所以它的体积V ＝32 ×6＝54，故答案为54. 5、(2019南京学情调研）如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1B 1C 1CB 的体积是________．

【答案】2 3 【解析】如图，取B 1C 1的中点E ，连结A 1E ，易证A 1E ⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1E 为四棱锥A 1B 1C 1CB 的高，所以V 四棱锥A 1B 1C 1CB ＝13S 矩形BB 1C 1C ×A 1E ＝1 3 ×(2×3)×3＝2 3. 6、(2018盐城三模）若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为．【答案】 3 【解析】设圆锥的高为h ，母线为l ，由2 =,=S rl S r ππ侧底得，2 1=31l ππ???，即=3l ，h == 故该圆锥的体积为2 113π???= .

高考数学复习第十一讲立体几何之空间距离

第十一讲立体几何之空间距离一、空间距离包括：点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线）、线与面（线面平行)、面与面(面面平行)的距离。要理解各个距离的概念。二、空间距离的求法重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离（1）线线距离：找公垂线段（2）点面距离 ① 直接法（过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度） ② 等体积法(三棱锥) ③ 向量法：设平面α的法向量为n ，P 为平面α外一点，Q 是平面α内任一点,则点P 到平面α的距离为ｄ等于PQ 在法向量n 上的投影绝对值。d =三、例题讲解 1、下列命题中: ①ABCD PA 矩形⊥所在的平面，则P 、B 间的距离等于P 到BC 的距离； ②若,,,//αα??b a b a 则a 与ｂ的距离等于a 与α的距离； ③直线a 、ｂ是异面直线,,//,ααb a ?则a 、b 之间的距离等于b 与α的距离 ④直线a 、ｂ是异面直线，,//,,βαβα且??b a 则a 、b 之间的距离等于βα、间的距离其中正确的命题个数有（Ｃ ) A ． 1个Ｂ. ２个 C. ３个 D. 4个２、如图所示，正方形的棱长为1，Ｃ、D 为两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点,那么点M 到截面ABCD 的距离是__________＿＿。

解析：取AB 、C Ｄ中点Ｐ、Q ，易证MPQ ?中,ＰQ 边长的高MH 为所求,423,22== PQ PM 3 2=∴MH 3、在底面是正方形的四棱锥Ａ-B ＣD Ｅ中，BCDE AE 底面⊥且AE=CD ＝a ，Ｇ、Ｈ是BE 、ＥD 的中点,则ＧH 到面ABD 的距离是_____＿＿____＿。解析:连结EC ，交BD 于Ｏ，且交GH 于O '，则有平面ABD AEO 面⊥。过Ｅ作AO EK ⊥于K ，则所求距离等于a AO EO AE EK 6 32121=?= 4、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱ＡB 和B Ｃ的中点，Ｇ为上底面1111D C B A 的中心,则点D 到平面EF B 1的距离＿_＿________。解：方法1:建立如图直角坐标系，

高中数学立体几何空间距离问题

立体几何空间距离问题空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离

●案例探究［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.

立体几何中的计算问题

立体几何中的计算问题 1.求底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积. 2.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm. (1)求三棱台的斜高； (2)求三棱台的侧面积和表面积． 3.(1) 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为___ (2)平行四边形ABCD 满足AD=2，AB=4，60BAD ? ∠=,将平行四边形ABCD 绕边AB 所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是什么？并求出其表面积 4.正三棱锥的棱长为1，侧面等腰三角形的顶角为30度，一只小虫沿从B 出发，沿侧面爬行一周后回到B ，求路径的最短距离. 5.若一个正方体的棱长为a ，则（1）该正方体外接球的体积为；（2）该正方体的内切球的表面积为 . 6. 若一个等边圆柱（轴截面为正方形的圆柱）的侧面积与一个球的表面积相等，则这个圆柱与该球的体积之比是 .

7.已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？ 8．(2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________． 9.已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿 AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 . 10.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，13,2AB AD cm AA cm ===，则四棱锥11A BB D D -的体积为 3cm 11.正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，D 为线段AA 1上的点，则三棱锥B 1－BDC 1的体积为________． 12.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC . (1)求证：PC ⊥AB ； (2)求点C 到平面APB 的距离． 13.若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA =1AB =，2AC =，60BAC ∠=?，则球O 的表面积为______.

立体几何中角度与距离求法

立体几何中角度距离的求法一空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ，则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.

高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)

高中数学立体几何空间距离 1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离【例3】如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =3 2BE =33 2332= ?. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312 22=??? ? ??- =-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 例1题图例2题图例3题图

高中数学专题讲义-空间几何体. 截面与距离问题

棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围．【例2】正四棱锥的斜高为2，侧棱长为5，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例3】正四棱台的高为17，两底面的边长分别是4和16，求这个棱台的侧棱长和斜高．【例4】已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ，b ，c ，则它的高和斜高分别为【例5】已知正三棱锥S ABC -的高SO h =，斜高SM l =，求经过SO 的中点且平行于底面的截面111A B C ?的面积． M O C 1 B 1 A 1 C A 【例6】如图所示的正四棱锥V ABCD -，它的高3VO =，侧棱长为7， ⑴ 求侧面上的斜高与底面面积． ⑵ 'O 是高VO 的中点，求过'O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积．典例分析板块二.截面与距离问题

H O'O D C B A V 【例7】如图，已知棱锥V ABC -的底面积是264cm ，平行于底面的截面面积是24cm ，棱锥顶点V 在截面和底面上的射影分别是1O 、O ，过1O O 的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积． C A 圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14∶，母线长10，求圆锥的母线长．【例9】一圆锥轴截面顶角为120?，母线长为1，求轴截面的面积．【例10】圆台的母线长为2a ，母线和轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面半径的2 倍，求圆台的高与上下两底面面积之和．【例11】圆台两底半径分别是2和5，母线长是，求它的轴截面的面积；【例12】圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30?，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，则两底面半径为．

31知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算

空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算【学习目标】 1. 了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法； 2. 能熟练地将直线与平面之间的距离、两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离. 【要点梳理】要点一：两点之间的距离 1. 定义连接两点的线段的长度叫作两点之间的距离. 如图，已知空间中有任意两点M N ，，那么这两点间的距离d MN =. 2. 向量求法设()()111222M x y z N x y z ，，，，，，则 () ()()2 22 121212d MN x x y y z z == ++ . 要点二：点到直线的距离 1. 定义从直线外一点向直线引垂线，点到垂足之间线段的长度就是该点到直线的距离. 如图，设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外一定点. 过点A 作做垂直于l 的直线，垂足为A '，则AA'即为点A 到直线l 的距离. 要点诠释：因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内的点到直线的距离距离． 2. 向量求法 2 2 d=PA PA s 要点诠释：（1）本公式利用勾股定理推得：点A 到直线l 的距离2 2 AA'=PA PA' ，其中PA'是PA 在s 上的射影，即为0PA s . （2）0cos PA PA =PA APA'=?∠s s s ，0s 为s 的单位向量，其计算公式为0=s s s . 3.计算步骤 ① 在直线l 上取一点P ，计算点P 与已知点A 对应的向量PA ； ② 确定直线l 的方向向量s ，并求其单位向量0= s s s ； ③ 计算PA 在向量s 上的投影0PA s ； ④ 计算点A 到直线l 的距离2 2 0d=PA PA s . 要点诠释：在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择. 4. 算法框图

九章算术中的立体几何

《九章算术》中的立体几何《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（Ⅰ）（文理）第6题,通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?” 其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见例25） A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系. 《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？【注释】穿地：挖地取土. 坚：坚实的土. 壤：松软的土. 【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述. 【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向. 【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，