(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法

——王彦文青铜峡一中

1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题,且多以应用题的形式出现．

1．正弦定理

（1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等，即 .其中R是三角形外接圆的半径．

（2)正弦定理的其他形式:

①a ＝２RｓiｎA，b＝，c= ;

②sｉnＡ＝错误!，siｎＢ= ，

siｎC＝；

③ａ∶b∶ｃ＝___＿_＿__＿＿____＿_＿_＿_＿_．

2．余弦定理

(1)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即

ａ2＝ ,b2＝,

c２＝ .

若令Ｃ=90°,则ｃ2＝，即为勾股定理.

(2)余弦定理的变形:cｏs A= ，cos B= ,cｏｓＣ= .

若C为锐角，则cos C>０,即ａ２＋b2__＿＿__ｃ２;若Ｃ为钝角,则cos C<0，即a2+b2_＿____

ｃ2.故由a2+ｂ2与c2值的大小比较,可以判断C

为锐角、钝角或直角.

(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边

角＿＿_＿＿______＿,余弦定理亦可以写成ｓ

iｎ2Ａ=sｉn2Ｂ+sｉn2Ｃ-2sｉn BｓinＣcos A，

类似地，ｓin2Ｂ=__＿______＿__；ｓｉn2C=

＿＿________________.注意式中隐含条件

A+B+Ｃ＝π．

3.解斜三角形的类型

(1)已知三角形的任意两个角与一边,用

______＿＿_＿__定理.只有一解．

(2)已知三角形的任意两边与其中一边的

对角,用___＿_＿______定理,可能有___＿__

＿＿_______＿_＿＿．如在△ＡBC中,已知a,

Ａ为锐角

A为钝角

或直角

图

形

关

系

式

ａ＝ｂ

sinＡ

bｓinＡ

<ａ

a≥b ａ＞b

解

的

个

数

①② ③④

理．有解时,只有一解．

（4)已知两边及夹角,用＿＿____＿＿

____定理，必有一解.

4．三角形中的常用公式或变式

(1)三角形面积公式S△= = =___________＿＝＿____＿＿＿__＿_＝

_________＿＿＿．其中R,r分别为三角形外接圆、内切圆半径.

(２)A＋B＋C=π，则A=＿_________，

＼f(A,2)＝_＿___＿____，从而sin A=_＿

＿＿＿＿＿_＿___，

cos A＝＿__＿_＿______,ｔanＡ=＿__＿________;

sin错误!＝__＿_______，cｏs错误! =_______＿__，

tan错误!＝________．ｔaｎA+taｎB＋ta ｎC=_____＿_＿__.

(3)若三角形三边a,b,c成等差数列,则2b ＝＿____＿______?2sin B＝_＿＿____＿＿___?2sin＼f(B，2）＝ｃｏｓ错误!?2cos 错误!=cos错误!?ｔan错误!tan错误!=错误!.

【自查自纠】

1.(1)错误!=错误!＝错误!＝２R

（2)①2Ｒｓin B 2R sｉn C②＼f(b，2Ｒ) 错误!

③ｓiｎA∶ｓin B∶sin C

2．(1)b2+c２-2ｂcｃｏs A c2＋a2－2ca cos B

ａ２+b2-2aｂcos C a２+b２

（2)b２+ｃ2-a2

2ｂｃ错误!错误!

＞ <

(３）互化 sin２Ｃ＋sｉn2A－2sｉnＣｓi ｎAｃoｓB

siｎ2A＋sin2B-2sin A siｎＢcosＣ

3.(1）正弦 (2)正弦一解、两解或无解

①一解②二解③一解④一解

(3)余弦（４)余弦

4．(1)＼f(１,２)ab sin C错误!ｂc siｎA 错误!acｓin B错误!错误!(ａ+b+c）r

(2)π-(Ｂ+C）错误!－错误!

sｉn(Ｂ＋C) －coｓ(B＋C)

－taｎ(B+C) cos B+C

2

sin错误!错误!

tan AｔaｎB tan C（３)ａ+c sin A＋ｓin C

在△ABC中,Ａ>B是ｓｉn A>ｓiｎB的（ )

Ａ.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C．充要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

解:因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.

在△ABC中,已知b＝6,c＝１0,B=30°，则解此三角形的结果有( )

A.无解???B．一解

C．两解?Ｄ．一解或两解

解:由正弦定理知sin C＝错误!=错误!,又由c>b>ｃsiｎB知,C有两解.也可依已知条件,画出△ABC,由图知有两解.故选C．

（201３·陕西)设△ABC的内角A， B,

C所对的边分别为a, b, ｃ, 若b cos C+cｃos B=aｓinＡ, 则△ＡBC的形状为( )

A.锐角三角形??B．直角三角形

C.钝角三角形

D.不确定

解：由已知和正弦定理可得sｉn B cos C+sin C cos B＝siｎA·sinＡ,即sin(Ｂ＋Ｃ)＝ｓiｎA sinＡ,亦即sin A=ｓiｎA siｎA．因为0

(错误!）在△ABＣ中,角Ａ，B，C所对的边分别为a,b，ｃ.若a＝2，Ｂ=错误!，c=2

3，则b=__＿____＿.

解：由余弦定理知ｂ2=a2+ｃ２-2acｃos B＝2２+错误!２-2×2×2错误!×cos错误!=4,b＝2.故填２.

在△AＢＣ中,角Ａ,Ｂ,C所对的边分别为a,ｂ,c,若ａ=＼r(2),b＝2，ｓin B+cｏs B=错误!，则角A的大小为_＿______.

解:∵siｎB+ｃos B＝错误!，

∴错误!siｎ错误!=错误!,即sin错误!=1.

又∵B∈(0,π),∴B＋错误!=错误!，B＝错误!.

根据正弦定理＼f(ａ,siｎＡ）=

b

sin B

,可得ｓiｎA=

a sin B

b

＝

1

2

.

∵ａ

类型一 正弦定理的应用

△ＡＢC 的内角A ，B ,Ｃ的对边分别

为a ，ｂ，c ,已知A -C ＝90°，a ＋ｃ=错误!b ,求C .

解:由a +ｃ＝错误!b 及正弦定理可得ｓin A ＋sin Ｃ=＼r （2)s ｉｎB .

又由于A -C ＝90°，B ＝180°-(A ＋Ｃ),故c ｏｓC ＋si ｎＣ=sin A +si ｎC =＼r （2)s ｉn(Ａ+C ）=错误!si ｎ(９0°+2C ）＝错误!s ｉn2（４5°+C ).

∴＼r （2）ｓin （45°＋C )＝2错误!ｓi ｎ(45°＋C ）cos(45°+Ｃ),

即c ｏs(45°+C )＝＼ｆ(１,２）.

又∵0°＜C ＜90°，∴45°+C ＝60°,C =１5°.

【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．

(错误!)在△ＡBC 中,角A ,Ｂ,Ｃ的

对边分别为a ，b ，c .已知Ａ=＼f (π,４)，b s ｉn 错误!-ｃsin 错误!＝a .

(１)求证:B －C ＝错误!;

（２）若a =＼r (２），求△AB Ｃ的面积. 解：(1)证明:对b ｓｉn 错误!－c sin 错误!＝a 应用正弦定理得sin Ｂsi ｎ错误!-sin C sin 错误!=ｓin A ，

即sin B 错误!－sin C 错误!＝错误!,整理得ｓｉn B cos C －s ｉｎC cos B =１，即sin 错误!=1.

由于B ,C ∈错误!,∴B －C =错误!.

（2)∵B +C ＝π－Ａ＝错误!，又由(１)知B -C =错误!,

∴Ｂ＝５π8，C ＝π8

.

∵a ＝＼ｒ（2)，A ＝错误!,∴由正弦定理

知ｂ=错误!＝2ｓin 错误!，c ＝错误!=2si ｎ错误!.

∴S △ABC ＝错误!bc sin A ＝错误!×2sin 错误!×2ｓin 错误!×错误!

＝＼r (2)sin ＼ｆ(5π,8）ｓin 错误!＝2c ｏs 错误!sin 错误!＝错误!ｓin 错误!=错误!．

类型二 余弦定理的应用

在△A ＢＣ中,a ,ｂ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且错误!＝-错误!.

(１)求B 的大小；

(2)若b =＼r （１3），a +c ＝4，求△ABC 的面积．

解：(1）由余弦定理

知,cos B =＼f (a ２+c ２－b 2

,２ａc ），cos Ｃ＝错误!，将上式代入错误!=-错误!得

错误!·错误!＝-错误!， 整理得ａ２+c 2－b ２＝－ac ．

∴cos B ＝错误!=错误!＝－错误!． ∵B 为三角形的内角，∴B =错误!π.

(２)将ｂ＝13，a +c =4,Ｂ＝错误!π代入

ｂ2＝ａ2＋ｃ2－２a ｃｃos B ,得1３=42－２ac -２a ｃｃo ｓ错误!π,解得ac ＝3.

∴Ｓ△ＡＢＣ=错误!ａc si ｎB ＝错误!. 【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

若△ABC 的内角A ,B ，C 所对的边a ,

ｂ，ｃ满足(a ＋b )2－c 2=4,且C ＝60°,则ａb 的值为( )

A.＼ｆ(４,3) ?

B.8-4错误! ?C ．1 D.错误!

解:由余弦定理得c ２=a 2+ｂ2－２ａb ｃos C =a 2＋ｂ2-ａb ,代入(a +b )2－c 2=４中得(a +ｂ)2-(a ２+b 2-ａb )＝4,即3ab =4,∴ab ＝错误!.故选A .

类型三 正、余弦定理的综合应用 (错误!)△A ＢC 的内角A 、B 、C 的

对边分别为ａ,ｂ，ｃ，已知a=ｂcosＣ+c siｎB．

(1）求B；

(２)若b＝2,求△AＢC面积的最大值.

解：（１)由已知及正弦定理得sinＡ＝sin Ｂcos C+siｎC sin B.①

又Ａ＝π－(Ｂ+Ｃ)，故

ｓin A=sin(B＋C)＝sin B coｓC+cosＢsin C.②

由①，②和C∈(0,π)得sｉn B=cos B．

又Ｂ∈(0，π),所以B=＼f(π,４）.

(２）△ABC的面积S=错误!acｓin B=错误!ａc.

由已知及余弦定理得４=ａ2＋c2-2ａ

c cos π

４

.

又a2+c２≥2ａｃ，故ａｃ≤

4

2－＼r（2

)，当且仅当a=c时,等号成立．

因此△ABC面积的最大值为＼r（2）＋1. 【评析】(１)化边为角与和角或差角公式

的正向或反向多次联用是常用的技巧;(2）已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值,也可以用余弦定理化边后用不等式求最值.

(错误!)设△ABC的内角A,B，C所对的边分别为ａ,b,c，且ａ+ｃ=６，ｂ＝2，cos B

＝7

9

.

(1）求a，ｃ的值;

（2）求siｎ（A－Ｂ）的值．

解:(1)由余弦定理b2=a2＋ｃ2－２acｃ

os B,

得b2=（ａ+c）2-2aｃ(１＋cｏｓB)，又ａ＋c＝6,b＝２,

cos B＝错误!,所以ac=9，解得a＝３，ｃ=３.

(２)在△ABC中,sin B=＼r(1-ｃos2B）＝错误!，

由正弦定理得sin A＝

ａsin B

b

＝错误!.

因为a=c，所以A为锐角，

所以coｓA=＼r(1－sｉｎ2Ａ)＝

１

3

.

因此sin(A-B)=ｓin A coｓB-cosＡsｉn B=＼f(1０2,27）.

类型四判断三角形的形状

在三角形ＡBC中,若tanＡ∶tan B＝a2∶b2，试判断三角形ABＣ的形状.

解法一：由正弦定理,得

a2

b2

＝错误!,

所以＼ｆ(ｔanＡ,tａn B）＝错误!，

所以错误!=错误!，即sin2A＝ｓin2B．

所以2A=２B,或２A＋2Ｂ=π,因此A＝Ｂ或Ａ+B=错误!，从而△ABＣ是等腰三角形或直角三角形.

解法二:由正弦定理,得错误!＝错误!,所以错误!=错误!，所以错误!=错误!,再由正、余弦定理,得错误!＝错误!,化简得（ａ2－ｂ２）(c2－a2－b２)＝0，即ａ2=ｂ2或c2=a2＋b２.

从而△ABC是等腰三角形或直角三角形．

【评析】由已知条件,可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角,然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系;或将角都化成边，然后进行代数恒等变形,可一题多解，多角度思考问题,从而达到对知识的熟练掌握．

(错误!)在△ABC中,若siｎ2Ａ+sin2Ｂ＜sin2C,则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形??B．直角三角形

C．钝角三角形? D.不能确定

解:在△ABC中，∵sin2A＋sｉn２B<ｓin2Ｃ，∴由正弦定理知a2＋b２

类型五解三角形应用举例

某港口O要将一件重要物品用小艇

送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距２0 n milｅ的A处，并以３0 ｎmile/ｈ的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v n mｉle／ｈ的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇．

（１）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2）假设小艇的最高航行速度只能达到30 ｎ miｌｅ/h,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

解法一：（1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile,则

S=错误!

=错误!＝错误!,

故当t=＼f(1,３)时，Ｓmｉn＝１03,此时ｖ=错误!＝30错误!．

即小艇以30 3 n mｉle／ｈ的速度航行，

相遇时小艇的航行距离最小.

（2)设小艇与轮船在B处相遇，则

ｖ2ｔ２=400＋900t2－2·20·30t·coｓ(90°－30°)，

故v2＝9０0-６00

t

＋＼f(4０0,t2）．

∵0

解得t≥错误!.又t＝错误!时,ｖ=30．故v ＝３0时，ｔ取得最小值，且最小值等于错误!.

此时,在△ＯAＢ中，有OA＝OＢ＝AＢ=２0，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为３０ n milｅ/h，小艇能以最短时间与轮船相遇．

解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．

设小艇与轮船在C处相遇.

在Rt△ＯＡＣ中，ＯC=2０ｃos30°=１0３,AＣ＝２0sin30°=1０.

又AC＝30t，OC＝ｖt，

此时,轮船航行时间t=

1０

30

＝错误!，v=错误! =30＼r（3).

即小艇以30 3 n milｅ／h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

(2)假设v=３0时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇,此时AD＝DO＝３０t．

又∠OＡD＝6０°，所以ＡD＝ＤO=OA=20，解得t=错误!．

据此可设计航行方案如下:

航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h.这样,小艇能以最短时间与轮船相遇.

证明如下:

如图,由(１)得OC=10错误!,ＡＣ=10，

故ＯＣ>AＣ，且对于线段AＣ上任意点Ｐ,有OＰ≥ＯＣ>ＡＣ.

而小艇的最高航行速度只能达到３０ｎ mile/h，故小艇与轮船不可能在A,C之间(包含Ｃ)的任意位置相遇．

设∠CＯD=θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD 中,

ＣD=103 tanθ,OD=＼ｆ(１03，cosθ)．

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝错误!和ｔ=错误!,所以错误!＝错误!．

由此可得,ｖ＝错误!．

又v≤30，故sin(θ+30°)≥错误!,从而,3０°≤θ<90°.

由于θ=3０°时,tａｎθ取得最小值，且最小值为错误!.

于是，当θ＝30°时,ｔ=错误!取得最小

值，且最小值为2

3 .

【评析】①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题,根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系,然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用.在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一.③不管是什么类型的三角应用问题,解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白,画出帮助分析问题的草图,再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．

(错误!)如图,渔船甲位于岛屿Ａ的

南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距1２海里,渔船乙以１0海里/小时的速度从岛屿Ａ出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上.

（1)求渔船甲的速度；

(２)求ｓｉnα的值．

解:(１)依题意，∠BAC＝120°，AB=12,AC=1０×２＝20，在△ABC中，由余弦定理知ＢＣ２=AB2+AC２-２AＢ·ＡC·coｓ∠B ＡC=１22+202-2×12×20×cos1２0°=784，ＢC ＝２8.

所以渔船甲的速度为ｖ=

2８

2

＝14(海里/小时).

(2)在△ABC中，AB＝1２,∠BAＣ＝１20°，BC＝28,

∠ＢCA＝α，由正弦定理得错误!＝错误!，即错误!=错误!，从而siｎα＝错误!=错误!.

1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要注意解的情况，谨防漏解.

2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系（注意应用A+B＋C＝π这个结论）或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则有可能漏掉一种形状.

３.要熟记一些常见结论,如三内角成等差数列,则必有一角为60°;若三内角的正弦值成等差数列,则三边也成等差数列;内角和定理与诱导公式结合产生的结论:ｓin A=sｉｎ(B+C)，cos A=-cｏs(B+Ｃ),sin＼f（A,2) =cos

B＋C

2

,sin2Ａ＝－siｎ２（B＋C)，cos２A ＝cos２(Ｂ+C)等.

4.应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤:

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

（2）建模：根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；

(3)求解:利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解；

（4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)

提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.主要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．