解析几何中定比分点

浅谈解析几何中的定比分点

解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的计算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简化较多的计算。

定比分点用法较多，大体分为：直接与间接。直接用法有三种： 1、定义直接用：AP PB λ= （采用向量来解决）

例如 在∆OAB 中，,OA a OB b ==，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于 （ ） A

2

()a b a b a

⋅-- B

2

()a a b a b

⋅-- C

()a b a b a

⋅-- D

()a a b a b

⋅--

本题直接采用向量来解答：

AD AB λ= ⇒ ()OD OA OB OA λ-=- ⇒ (1)OD OB OA λλ=+- 0OD AB = ⇒ 2

()a a b a b

λ⋅-=

-

2、直接用公式

1A

B

p

x

x x

λλ

+=+

1A

B

p

y y

y

λλ

+=

+；

3、直接用向量相等 ,

(

)(,)P

A B P P

A

B

P

y y

y y x x x x λ--=--。

直接用定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比较多，大致有以下几种：

一、 将线段比转化为定比分点

例如：已知 1(4,3)P -,2(2,6)P -，且 122PP PP =，求适合条件的点P 坐标。

分析：这你种题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。

二、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。

例如：设椭圆E ：2

211

x y m +=+ 的两个焦点是1(,0)F c -与2(,0)F c （0c >），且椭圆上存在一

点P ，使得直线PF 1与直线PF 2垂直，（1） 求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应焦点2F 的准线，直线PF 2与l 相交于点Q ，若22(23)QF F P =-，求直线PF 2方程。

解：（1） 1m ≥；（2）设 00(,)P x y 点P 在椭圆上得

2

20011

x y m +=+……㈠ 因为直线PF 1与直线PF 2垂直 所以

0001y y

x c x c

⨯=-+-

（c = 由㈠ ㈡

得0x =由22(23)QF F P =-知

2222

2Q Q x c

QF Q F PF P F c x '-===='-

（1）0x = 时 无解。

（2） 0x =时， 得 m=2 02x =- 。此时 2F (22P -

± 所以直线PF 2方程为 2)(y x =±。

本题把 22(23)QF F P =- 转化为相似比来解决，从而使问题化难为易。

三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化，解题思路明确。

例如 （2006南通九校联考）已知椭圆E 的方程为 22221x y a b +=（0a b >>），双曲线H ：22

221

x y a b

-=的两条渐近线为1l ， 2l ，过椭圆E 的右焦点F 的直线1l l ⊥，又l 与2l 交于点P,设与椭圆E 的两个交点由上至下依次为A ，B 。

（1） 当1l ， 2l 与夹角为60o ,且22

4a b +=时，求椭圆E 的方程。（2）求

FA AP

的最大值。

看见这道题很容易想到用第二定义去做，结果发现比值依赖A x 的范围，而A x 的范围需要解方程组，从而使问题复杂化，若使用定比分点则问题变得简洁。 解：（1） 略。（2）不妨设1l ：b y x a =

⇒1l ：()a

y x c b

=-- ()a y x c b b y x

a ⎫

=--⎪⎪⎬⎪=-⎪⎭⇒2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

即P(2,a ab c c -) 设A 分FP 的比为λ，则A(2,11a ab c c c λλ

λλ+++) 代入，并整理 2222(2)32e e λ⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦

而 (0,1)e ∈ 所以

22

31)λ≤-= 即 FA

AP

λ=

1。

四、定比分点与整体代换思想联系在一起。

例如 双曲线 H: 22

213

y x a -=的离心率 e=2，（1） 求双曲线的渐近线方程；（2） 若A 、B 分

别为1l ，2l 上的动点，且1225AB F F =，求线段AB 中点M 的轨迹方程。 略解：（1）

渐近线方程：0x ±=。

（2） 设

,)A A A y

，,)B B B y A ，B 中点M (,)x y

)

22

A B A B y y x y y y ⎧-=⎪⎪⎨

+⎪=⎪⎩ ⇒

210A B

A B

y y x y y y AB ⎧

-=⎪⎨

⎪+=⎩==

所以 中点M 的轨迹方程 2

2

436300x y += 。