2018-2019学年福建省莆田市第二十四中学高一上学期开学考试数学试题 PDF版
福建省莆田二十四中高一数学上学期期中试题（答案不全）(1)
福建省莆田二十四中2021-2021学年高一数学上学期期中试题（答案不全）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
一、已知集合{}1,0,1-=M ，那么以下关系式正确的选项是A ．{}M ∈0B ．{}M ∉0C ．M ∈0D ．M ⊆0二、已知函数()x x f 2log 1+=，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 的值为A ．21B ．21-C ．0D ．-13、函数x y ln =的单调递增区间是A ．[)+∞,eB ．()+∞,0C ．()+∞∞-,D ．[)+∞,14、以下函数是偶函数，且在()0,∞-上单调递减的是A ．x y 1=B ．21x y -=C ．x y 21-=D ．x y =五、以下式子正确的选项是A ．()03>=a a a aB ．2lg 6lg 2lg 6lg -= C ．()012>=-a a a D ．()()[]()()5lg 3lg 53lg -+-=-⋅-六、函数31-=-x a y 的图象恒过定点坐标是A ．()3,1-B ．()2,1-C ．()3,2-D ．()2,2- 7、以下函数中，与函数x y 1=有相同概念域的是A. x x f ln )(=B. x x f 1)(=C. 3)(x x f =D. x e x f =)( 八、方程042=-+x x 的解所在区间为A ．()0,1-B ．()1,0C ．()2,1D ．()3,2九、已知函数f(x)对任意x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(1)=A ．- 2B ．1C ．0.5D ．210、设)(,,,3.0log ,2,3.023.02的大小关系为则c b a c b a ===A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b << 1一、已知函数)(x f 为概念在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x f x+=2)(，那么(1)f -的值为 A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 1二、已知偶函数()f x 与奇函数()g x 的概念域都是(2,2)-，它们在[0,2)上的图象 如下图，那么使关于x 的不等式f(x)g(x)>0成立的x 的取值范围为A 、(2,1)(1,2)-- f(x) g(x) B 、(1,0)(0,1)- C 、(2,1)(0,1)-- D 、(1,0)(1,2)- 1 2 x O 1 二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分。
福建省莆田市第二十四中学高一数学上学期期中试题(无答案)
莆田二十四中2016-2017学年上学期期中考试高一数学试题（满分150分，考试用时120分钟）第一部分 选择题（共60分）一、选择题(每题5分，共60分)1.已知{}0,1,2,3,4A =,{}1,3,5B =,则A B ⋂为（ ）A.{}0,2B.{}1,3C.{}0,1,3D.{}2 2.已知函数(){2,012,0xx x x f x >+≤=，则()10f -的值是（ ）A.14B.4C.2D.-2 3.函数21y x =-的定义域是（ ）A ． 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4.下列集合不是{}1,2,3的真子集的是A. {}1B. {}2,3C. ∅D. {}1,2,3 5.下列函数是奇函数的是（ ）A.y x =B.22y x = C.2xy = D.[]2,0,1y x x =∈6.化简()1223-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，得（ ）A.33-B.3C.33D.3- 7.指数函数xy a =的图象经过点()2,16，则a 的值是（ ）A.14B.4-C.44-或D.4 8.已知定义域为R 的偶函数()f x 在()0,+∞上为增函数，则（ ）A.()()43f f >B.()()55f f ->C.()()35f f ->-D.()()36f f >- 9.若函数2)()(-=x f x F 在(,0)-∞内有零点，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．10．如图①x a y =，②x b y =，③x c y =，④xd y =，根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为（ ） A ． a ＜b ＜1＜c ＜d B ．b ＜a ＜1＜d ＜c C ． 1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c11.已知函数()[]2481,2f x x kx =--在上具有单调性，则k 的取值范围是（ ）A. (][),816,-∞⋃+∞B. [)8,+∞C. ()(),816,-∞⋃+∞D. []8,16 12.已知()(){21,1,1xa x x a x f x -+<≥=，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，那么a 的取值范围是（ ）A. ()1,2B.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.()1,+∞第二部分 非选择题（90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知{}231,,1a a ∈--，则实数a =_______14. 若函数()()2xf x a a =-•为指数函数，则a =_________15. 满足8244xx -->的x 的取值集合是_________16. 设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <的解集是_____yx25三、解答题（共6道大题，满分70分，其中第17题10分，其余各题12分） 17. 设{}13A x x x =≥≤-或，{}40B x x =-<<，求： （1）A B ⋂ (2)()R A C B ⋃18（12分）．计算下列各值： （1）3log 1213-； （2）131664log 8-+。
福建省莆田市第二十四中学高一数学上学期第一次月考试
2015-2016学年上学期高一第一次月考数学试题卷时间：120分 满分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1.下列各组对象中不能．．形成集合的是（ ） A 高一数学课本中较难的题 B 高一（1）班学生家长全体C 高一年级开设的所有课程D 高一（11）班个子高于1.7m 的学生 2.已知全集{}1,3,5,7,9U =，集合{}3,5,7A =，{}0B =，则B A C U Y )(等于（ ）。
A {}0,1,3,5,7,9 B {}1,9 C {}0,1,9 D ∅ 3.下列集合中表示空集的是（ ） A{}55x x ∈+=R B{}55x x ∈+>R C{}2x x∈=R D{}210x xx ∈++=R4. 集合{1,2}的子集有几个（ ）A 1B 2C 3D 4 5.下列函数中哪个与函数y x =的相同（ ） A ()2y x =B 33y x =C 2y x = D 2x y x=6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ≥2，－x 2＋3xx ＜2，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．47. 设{}{}2|0,|02x M x N y y ≤≤==≤≤，给出的四个图形中能表示集合M 到集合N 的函数关系的是（ ）8.已知函数()1f x ax =+，且()21f =-，则()2f -的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 不确定9．已知函数()y f x =是偶函数，且()25f =，那么()()22f f +-的值为（ ） A 0 B 2 C 5 D 1010.已知函数()y f x =是奇函数，且当12)(0+=>x x f x 时，，则)2(-f =（ ） A -3 B 3 C 5 D -5y123123 B.y123123xy123123x y1 2 31 2 3A.11．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( ) A ．3x ＋2 B ．3x ＋1 C ．3x －1 D ．3x ＋412．已知函数()f x 是偶函数，且在(],1-∞-上是增函数，则 （ ） A ．()()12f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭3-2 B ．()()322f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭-1 C ．()()312f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭2 D ．()()312f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭2二、填空题（每小题4分，共16分）13、.函数()f x 的定义域为 （提示：用区间表示）14、设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝__________. 15．如图所示，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则))3((f f ＝__________.16．已知函数f (x )＝3x 2＋mx ＋2在区间[1，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________．三、解答题（共70分，请写出解题的过程）。
莆田第二十四中学2018-2019年11月高考数学模拟题
莆田第二十四中学2018-2019年11月高考数学模拟题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若AD →＝2DB →，则|CD →|为（ ）A ．1 B.43C.53D ．2 2． 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 3． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．4． 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-5342y x y x x y ，若目标函数mx y z -=取得最大值时有唯一的最优解)3,1(，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-<mB ．10<<mC ．1>mD ．1≥m【命题意图】本题考查了线性规划知识，突出了对线性目标函数在给定可行域上最值的探讨，该题属于逆向问题，重点把握好作图的准确性及几何意义的转化，难度中等.5． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34 B.38 C. 14D. 18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.6．sin 15°sin 5°－2sin 80°的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．－27． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．8． 在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.9． S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3a 8－2a 7＝4，则下列结论正确的是（ ） A ．S 18＝72 B ．S 19＝76 C ．S 20＝80D ．S 21＝8410．底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．48π C ．60πD ．72π二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上）11．如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．12．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．13．已知抛物线1C ：x y 42=的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且3||=PF ，双曲线2C ：12222=-by a x（0>a ，0>b ）的渐近线恰好过P 点，则双曲线2C 的离心率为 .【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，双曲线的渐近线，抛物线的定义，突出了基本运算和知识交汇，难度中等.14．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．15．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．三、解答题（本大共6小题，共75分。
2019-2020学年福建省莆田市第二十四中学高一上学期期中考试数学
2019-2020学年福建省莆田市第二十四中学高一上学期期中考试数学(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。
2.每小题选出答案后，填入答案卷中。
3.考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分，每小题只有一个正确答案）1.设集合}4,2,1{=A ，}6,2{=B ，则B A 等于A.｛２｝B.｛１，２，４，６｝C.｛１，２，４｝D.｛２，６｝ 2.设集合}5,4,3,2,1{=U ，}3,2,1{=A ，}4,2{=B ，则图中阴影 部分所表示的集合是 A.}4{B.}4,2{C.}5,4{D.}4,3,1{3．若()x x f 2=，则()=-2fA ． 4B ． 2C ．21 D ．41 4．下列函数是偶函数的是 A. 322-=x y B. 3x y = C. ]1,0[,2∈=x x y D. x y = 5. 函数xx f 1)(=的定义域是A.ＲB.}0|{≥x xC.}0|{>x xD.}0|{≠x x 6．下列四组函数中，f (x )与g (x )是同一函数的一组是 A ．()()2,x x g x x f ==B ．()()()2,x x g x x f ==C ．()()1,112+=--=x x g x x x f D ．()()0,x x g x x f == 7．下列对应法则f 中，构成从集合A 到集合的映射是A ．B ．B 2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>=2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-=C ．D ．8. 设5.123.0)21(,3.0,2-===c b a ，则的大小关系是A ．B ．C ．D ．c a b <<9．已知函数f(x)对任意x,y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,则f(1)= A ． -2 B ．0.5 C ．2 D ．1 10．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若()()2f a f ≥-，则a 的取值范围是 A.2a ≤ B.2a ≥C.22a a ≤-≥或D.22a -≤≤11.已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,4)13()(x a x a x a x f x 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是A.(0,1) B ．1(0,)3 C. )31,61[ D. [)1,6112．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,23}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为A ．9B ． 14C ．18D ． 21第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数()f x =的定义域是 .14． 已知集合{}{}2|4,|2A x x B x ax ====，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为_____.15．已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)2f -=，若()()2gx f x =+，则(1)g =_______. 16．方程230x x m -++=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________.21:},0|{,x y x f y y B R A =→>==2:},1,0{},2,0{x y x f B A =→==,,a b c a b c <<a c b <<c b a <<三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)计算（Ⅰ）7log 23log lg25lg47+-；（Ⅱ）110232710.20.064(2)()92-⨯+--．18．（本小题满分12分）已知集合11{|232},{|24}4x A x a x a B x -=-<<+=<<．（Ⅰ）求R Bð；（Ⅱ）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分12分）已知函数()()()log 1log 101a a f x x x a a =+-->≠（且）．（Ⅰ）若()y f x =的图象经过点1(,2)2,求实数a 的值；（Ⅱ）若()0f x >，求x 的取值范围． 20．（本小题满分12分）某市出租车收费标准如下：起价费10元（即里程不超过5公里，按10元收费），超过5 公里，但不超过20公里的部分，每公里按1.5元收费，超过20公里的部分，每公里按1.8元收费．（Ⅰ）请建立某市出租车收费总价y 关于行驶里程x 的函数关系式； （Ⅱ）某人租车行驶了30公里，应付多少钱？21．（本小题满分12分）已知函数2()1px q f x x +=+（,p q 为常数）是定义在[]1,1-上的奇函数，且1(1)2f =. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用定义证明；（Ⅲ）解关于x 的不等式(1)()0f x f x -+<．22．（本小题满分12分）已知函数(0)my x m x =+>有如下性质：该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数．（Ⅰ）已知[]225(),0,31x x f x x x ++=∈+，利用上述性质，求函数()f x 的单调区间和值域；（Ⅱ）对于(1)中的函数()f x 和函数()2g x x a =+，若对任意[]10,3x ∈，总存在[]20,3x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．2019-2020学年福建省莆田市第二十四中学高一上学期期中考试数学 参考答案及评分标准（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．（2）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （3）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分BADAC ADDCD CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. {}10x x x ≥-≠且 14. {1,0,1}- 15. -2 16. 11(3,)4-- 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（本小题满分10分）3433log 3lg100222343441+-=+-==分（注：每算对一个给一分）解：（）原式分5l 0.44322810915=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⨯+-=⋯⋯⋯⋯-（）原式分分18．（本小题满分12分）解：（1）由11244x -<<可得212x -<-<， ·················· 1分解得13x -<<，所以{|13}B x x =-<< ··················· 3分所以. {|31}R B x x x =≥≤-或ð ························ 5分(2)A B A B A ⋃=∴⊆ ·························· 6分则21323322a a a a -≤-⎧⎪+≥⎨⎪+>-⎩ ····························· 10分解得113a ≤≤ ······························ 12分19．（本小题满分12分）211()2231log log 2122log 3233034a a a f x a a a ∴-=∴=∴=>∴=解（）的图象过点（，）分分分()()2()0()log 1log 1a a f x f x x x >∴=+>-（），1+x 100110110107xx a x x x x <-⎧<⎧⎪<<+>⇒⎨⎨>-⎩⎪->⎩∴-<<当时分1+x>101101100110xx a x x x x -⎧>⎧⎪>+>⇒⎨⎨<⎩⎪->⎩∴<<当时分 {{01|10}1|01}12a x x a x x <<-<<><<综上所述：当时当时分20．（本小题满分12分） 解：（1）由题意得，当0<x ≤5时，y=10； ·················· 2分当5＜x ≤20时，y=10+（x ﹣5）×1.5=2.5+1.5x ； ·············· 4分当x ＞20时，y=10+15×1.5+（x ﹣20）×1.8=1.8x ﹣3.5， ··········· 6分10,052.5 1.552081.8 3.520x xx x x <≤⎧⎪+<≤⎨⎪->⎩化简得y=分（2）x=30，y=54﹣3.5=50.5元 ······················ 11分 答：租车行驶了30公里，应付50.5元． ·················· 12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）依题意，(0)0,1(1),2f f =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1,0p q ==，所以2()1x f x x =+. ········· 2分 （Ⅱ）函数()f x 在[1,1]-上单调递增，证明如下： ·············· 3分 任取1211x x -≤<≤，则12120,11x x x x -<-≤<，从而 ·············· 4分12122212221221221212122212()()11(1)(1)5(1)(1)()(1)6(1)(1)0x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x -=-+++-+=++--=++<分分所以12()()f x f x <，所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增. ············ 7分（Ⅲ）原不等式可化为：(1)()f x f x -<-，即(1)()f x f x -<- ········· 8分由（Ⅱ）可得，函数()f x 在[]1,1-上单调递增，所以111,11,1,x x x x -≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-<-⎩ ······························ 10分解得102x ≤<，即原不等式解集为1|02x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. ··············· 12分22. 解: (1) 2254()111x x f x x x x ++==++++················· 2分设u ＝x ＋1，x ∈[0,3]，1≤u ≤4，则y ＝u ＋4u ，u ∈[1,4]． ······················· 3分由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤1时，f(x)单调递减；所以减区间为[0，1]；…………………………………………………….4分 当2≤u ≤4，即1≤x ≤3时，f(x)单调递增；所以增区间为[1，3] ;……………………………………………………. 5分 由f(1)＝4，f(0)＝f(3)＝5，得f(x)的值域为[4，5]．………………………………………………… 6分 (2)g(x)＝2x+a 为增函数，故g(x)∈[a ，a+6]，x ∈[0,3]．……………………………………….. 7分 由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，……………………………… 9分∴654a a +≥⎧⎨≤⎩ ······························ 11分 ∴14a -≤≤ ······························ 12分。
福建省莆田市第二十四中学2019届高三数学上学期第二次月考试题文(PDF)
cos 1 ,sin 2
3 ，所以 tan 2
2 3, tan 2
1
3
2
3
3.
考点：三角恒等变形．
16、 9 2
三、解答题
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17
、
18.解：（1） 80 90 分数段频率为 p1 (0.04 0.03) 5 0.35 ,此分数段的学员总数为 21 人所以毕业生 的总人数 N 为 N 21 60
1 b) x2
k 2x1x2
(1 b)k(x1 x2 ) (1 b) 2 x1x2
3
＝．
2
将韦达定理代入，并整理得 2k 2 (b 1) 4k 2b (1 2k 2 )(b 1) 3 ，解得 b 2 ． b 1
∴直线 l 与 y 轴相交于定点（0，2）．
B1B2 , B1B3 , B1B4 ; B2B3; B2B4 ; B3B4 ; 共15 种组合方式,每种组合发生的可能性是相同的其中, 至少有一名
男生的种数为 A1A2 ; A1B1; A1B2 ; A1B3; A1B4 ; A2B1; A2B2 ; A2B3; A2B4 ;
共 9 种，
所以, P( A) 9 15
(2)求证直线 l 与 y 轴相交于定点，并求出定点坐标．
页
3第
21．已知函数 f(x)=xex﹣alnx，曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴． (1)求 f(x)的单调区间； (2)证明：b≤e 时，f(x)≥b(x 2﹣2 x +2)．
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程
福建省莆田第二十四中学2019-2020学年高一下学期返校测试数学试题 Word版含解析
莆田第二十四中学2019-2020学年高一数学下学期返校测试卷一､单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若cos 0θ<且tan 0θ<，则2θ终边在( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第一或第三象限D. 第三或第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】分别写出满足cos 0θ<与tan 0θ<的角θ的集合，进一步得到2θ的范围，取交集得答案． 【详解】解：cos 0θ<．∴32222k k πππθπ+<<+，k Z ∈ ∴3424k k πθπππ+<<+，k Z ∈ 即3|,424A x k k k Z πθπππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭， tan 0θ<．∴2k k ππθππ+<<+，k Z ∈∴24222k k ππθππ+<<+，k Z ∈ 即tan 0θ<的解集为|,24222k k B x k Z ππθππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭， 则3|,|,|,24222424422k k AB x k Z x k k k Z x k k k Z ππθπππθππθπππππ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=+<<+∈+<<+∈=+<<+∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭可得2θ终边在第一或第三象限． 故选：C ．【点睛】本题考查象限角与等分角，考查交集及其运算，属于基础题． 2.圆224x y +=被直线2y x =+截得的劣弧所对的圆心角的大小为（ ） A. 30 B. 45︒C. 90°D. 120︒【答案】C 【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，解三角形即得解.【详解】设直线和圆相交于A,B两点，圆心为O, 作OC AB⊥,垂足为C.由题得圆心到直线的距离为2221(1)d==+-，因为R=2,所以45AOC∠=，290AOB AOC∠=∠=.故选：C【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知向量(2,23)a =，若163a b ⋅=-，则b在a上的投影是（）A.34B.34- C.43D.43-【答案】D【解析】【分析】由b在a上的投影为a ba⋅，代入求解即可得解.【详解】由题意b在a上的投影为()2216433223a ba-⋅==-+. 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，属于基础题. 4.“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过：“数学家的造型，同画家和诗人一样，也应当是美丽的”；古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美；我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则sin2α等于（）A.35B.45C.725D.2425【答案】D【解析】【分析】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a,较长的边为b.根据两个正方形的面积,结合勾股定理求得a与b的关系,进而求得sinα和cosα, 再由正弦的二倍角公式即可求得sin2α. 【详解】设直角三角形的两条直角边中较短的边为a,较长的边为b,即a b<因为大正方形的面积为25,小正方形的面积为1所以大正方形的边长为5由勾股定理可知2225a b+=每个直角三角形的面积为()125164⨯-=所以162ab=则2225162a bab⎧+=⎪⎨=⎪⎩解方程组可得34ab=⎧⎨=⎩所以34sin,cos55αα由正弦的二倍角公式可知3424sin22sin cos25525ααα==⨯⨯=故选:D【点睛】本题考查了三角形中三角函数值的求法,正弦的二倍角公式应用,属于基础题.5.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，EBC 中点，则AE = （ ）A.1122AB AD + B.34AB AD + C.3142AB AD + D.3122AB AD + 【答案】C 【解析】 【分析】设F 为AB 的中点，连接DF ，则四边形BFCD 为平行四边形，则FD BC =，再根据平面向量的线性运算即可得出答案．【详解】解：设F 为AB 的中点，连接DF ，∵//AB CD ，2AB CD =， ∴//BF CD ，且=BF CD ， ∴四边形BFCD 为平行四边形， ∴FD BC =，∴AE AB BE =+12AB BC =+12AB FD =+()12AB FA AD =++1122AB AB AD ⎛⎫=+⋅-+ ⎪⎝⎭3142AB AD =+，故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．6.在△ABC 中，已知AB =3，AC =5，△ABC 的外接圆圆心为O ，则AO BC ⋅=（ ） A. 4 B. 8C. 10D. 16【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，并将O 和AC 中点D ，O 和AB 中点E 连接，从而得到OD AC ⊥，OE AB ⊥，根据数量积的计算公式以及条件即可得出252AO AC ⋅=，92AO AB ⋅=，从而()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-，从而可得到AO BC ⋅的值.【详解】如图，取AC 中点D ，AB 中点E ，并连接OD ，OE ， 则OD AC ⊥，OE AB ⊥，∴212522AO AC AC ⋅==， 21922AO AB AB ⋅==，()259822AO BC AO AC AB AO AC AO AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=. 故选：B【点睛】本题主要考查了数量积的定义、向量的运算法则以及三角形的外心，属于基础题. 7.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，2π0,ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1f x =-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解，则ω的取值范围是（ ）A. 410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 4,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 10,203⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 4,203⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得6π=ϕ，可得()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()1f x =-，可得423,+=∈πk πx k Z ω，所以()1f x =-的所有正解从小到大为41016333,,⋅⋅⋅πππωωω，()1f x =-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解，可列出关于ω的不等式组，可得答案.【详解】解：因为()()sin f x x ωϕ=+的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1sin 20==f φ， 又因为0,2πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6π=ϕ， 所以由()sin 16⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭f πωx x ，得3262+=+ππωx k π，即423,+=∈πk πx k Z ω， 所以()1f x =-的所有正解从小到大为41016333,,⋅⋅⋅πππωωω，因为关于x 的方程()1f x =-在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个实数解， 所以5266>-=ππT π，即512>πT ，其中T 为()f x 的最小正周期， 所以2512>ππω，所以1524>ω，所以161651033249>⨯=>ππππω， 所以410336≤≤<ππππωω或101643336<≤≤<πππππωωω.所以843103ωωω⎧⎪≤⎪⎪≥⎨⎪⎪<⎪⎩或820103163ωωωω>⎧⎪≤⎪⎪⎨≥⎪⎪<⎪⎩，所以41033≤<ω，故选:A.【点睛】本题主要考查三角函数的图形与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题. 8.定义a b c d=ad ﹣bc ，已知函数f （x ）22sin x m cosx=（x ∈[0，π]），若f （x ）的最大值与最小值的和为1，则实数m 的值是（ ）或﹣4﹣B. 4﹣或﹣C. 4﹣D. ﹣【答案】B 【解析】 【分析】先根据定义化简函数，再根据三角函数关系转化为二次函数，根据二次函数性质求最值,最后根据最值和为1求结果. 【详解】2222sin ()2sin cos 22cos cos ,()22,cos cos 2x mf x x m x x m xg t t mt t x x ==-=--=--+=因为[0,]x π∈，所以[1,1]t ∈- ①当14m-≤-时，max min ()(1),()(1),f x g f x g =-= 因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以(1)(1)101g g -+=∴=，舍去②当14m-≥时，max min ()(1),()(1),f x g f x g ==- 因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以(1)(1)101g g -+=∴=，舍去③当104m -<-≤时，max min ()(),()(1),4mf xg f x g =-=因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以2()(1)121448m m g g m m -+=∴-+=∴=±，因为104m-<-≤，所以4m =-④当014m <-<时，max min ()(),()(1),4mf xg f x g =-=-因为f （x ）的最大值与最小值的和为1，所以2()(1)121448m m g g m m -+-=∴++=∴=-±因为014m<-<，所以4m =-+综上：4m =-+4m =-故选：B【点睛】本题考查函数新定义以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.9.函数()2sin cos2f x x x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为（ ）A. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式将函数化为()22sin 2sin 1f x x x =-++，进而可得()2132sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，根据,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】()22132sin cos 22sin 2sin 12sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝⎭，令sin t x = ，由,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]0,1t ∈所以213222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减又sin t x =在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； sin t x =在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，此时10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用复合函数的单调性可得函数()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减； 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的性质以及复合函数的单调性，需熟记正弦三角函数的性质以及复合函数的单调性“同增异减”的特征，此题属于中档题. 10.如果函数3sin(2)6y x πϕ=++的图象关于直线x π=对称,那么ϕ取最小值时ϕ的值为（ ） A.6πB. 3π-C.3π D. 6π-【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性可得262k πππϕπ++=+,整理得162k πϕπ-=+,结合ϕ取最小值时,即可得出ϕ的值.【详解】解: 函数3sin(2)6y x πϕ=++的图象关于直线x π=对称,所以262k πππϕπ++=+,即162k πϕπ-=+, ϕ取最小值时6π=ϕ.故选:A【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的对称性是解决本题的关键. 11.如图所示为函数()()(0,)2f x Asin x πωϕωϕ=+>≤的部分图象，点M ､N 分别为图象的最高点和最低点，点P 为该图象一个对称中心，点(0,1)A 与点B 关于点P 对称，且向量NB 在x 轴上的投影恰为1，29AP =，则()f x 的解析式为（ ）A. ()2363f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B. ()236f x sin x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()266f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()2236f x sin x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出OP ，即可得到点P 的坐标，再根据点(0,1)A 与点B 关于点P 对称可得点B 的坐标， 由NB 在x 轴上的投影恰为1可求出函数的周期，由2T πω=求出ω；再将点P 代入解析式求出ϕ，将点(0,1)A 代入解析式求出A 即可. 【详解】在APO △中，1AO = 由勾股定理可得2252OP AP AO =-=，即5,02P ⎛⎫⎪⎝⎭，又点(0,1)A 与点B 关于点P 对称，所以()5,1B -，NB 在x 轴上的投影恰为1，则点N 的横坐标为4，点M 的横坐标为1，()2416T ∴=⨯-=，∴26T πω==，解得3πω=，当52x =时，55sin 0232f A πϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()26k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ≤，则6π=ϕ， 将点(0,1)A 代入解析式，()0sin 016f A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得2A =， 所以()f x 的解析式为()236f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质、投影的概念，考查考生的用图能力以及运算求解能力，属于中档题.12.已知正三角形ABC 的边长为ABC 内的动点P ，M 满足1AP =，PM MC =，则2BP BM BC ++的最大值是（ ）A.4414B.494D.【答案】A 【解析】 【分析】229||BP BM BC BM ++=，取AC 中点N ，12MN =，得到M 轨迹为圆，转化为求点M 到圆上点距离最大值即可.【详解】解法一：取AC 中点N ，12MN =， 从而M 轨迹为以N 为圆心，12为半径的圆， 229BP BM BC BM ++=B ，N ，M 三点共线时，BM 为最大值.所以BM 最大值为17322+=，2BP BM BC ++的最大值为4414.解法二：如图所示，建立直角坐标系.()0,0B ，()23,0C ，()3,3A，∵点P 满足1AP =，令3cos x θ=+，3sin y θ=+，[)0,2θ∈π.又PM MC =，则33131cos ,sin 2222M θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，∴229BP BM BC BM++=2233131373339[cos sin 9[cos sin ]222242]2θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭ 37499[3sin ]9434πθ⎛⎫=++≤⨯ ⎪⎝⎭. 2BP BM BC ++的最大值是4414.故选:A.【点睛】本题考查向量线性运算和模长的几何意义，用几何法求模长的最值，考查数形结合思想，属于中档题.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.函数()3tan(2)f x x =-的最小正周期为_________. 【答案】π2【解析】 【分析】首先化简()3tan(2)3tan 2f x x x =-=-.再根据公式T πω=即可求出最小正周期. 【详解】因为函数()3tan(2)3tan2f x x x =-=-.所以最小正周期为：π2T =. 故答案为：π2. 【点睛】本题主要考查了正切函数的最小正周期的求法，属于基础题.14.若将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位后所得的图象与()f x 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为________________.【答案】2π【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得ϕ的最小值.【详解】解：将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，可得()sin 2sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象.根据图象与()f x 的图象关于x 轴对称，可得si s n in 22323x x πϕπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎭， ∴()221k ϕπ-=+，k Z ∈，即1k =-时，ϕ的最小值为2π. 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.15.已知(1,2)a =，(1,1)b =-，则a 与a b +夹角的余弦值为________. 【答案】25【解析】 【分析】根据题意,利用向量坐标的线性运算求出a b +的坐标,分别求出,a a b +,()a b a +⋅,代入夹角公式求解即可.【详解】由题意知,()0,3a b +=,因为(1,2)a =， 所以()01326a b a +⋅=⨯+⨯=, 由向量模的定义知,2222125,033a a b =+=+=+=,由平面向量数量积的夹角公式可得,()625cos 35a b a a a bθ+⋅===⋅+. 故答案为:255【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算及平面向量数量积的坐标表示和夹角公式;考查运算求解能力;熟练掌握平面向量数量积的坐标表示和夹角公式是求解本题的关键;属于中档题.16.如图，已知AC 8=，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ，B ，C)，且BM BN ⊥，则AM CN ⋅的最大值为______．【答案】4 【解析】 【分析】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，求得A ，B ，C 的坐标，可得以AB 为直径的半圆方程，以AC 为直径的半圆方程，设出M ，N 的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得α2β=，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值．【详解】以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得()A 0,0，()B 4,0，()C 8,0，以AB 为直径的半圆方程为22(x 2)y 4(x 0,y 0)-+=>>， 以AC 为直径的半圆方程为22(x 4)y 16(x 0,y 0)-+=>>， 设()M 22cos α,2sin α+，()N 44cos β,4sin β+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得()()BM BN 22cos α,2sin α4cos β,4sin β0⋅=-+⋅=，即有()8cos β8cos αcos βsin αsin β0-++=， 即为cos βcos αcos βsin αsin β=+， 即有()cos βcos αβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即α2β=， 则()()AM CN 22cos α,2sin α44cos β,4sin β⋅=+⋅-+()88cos α8cos β8cos αcos βsin αsin β=--+++288cos α16cos β16cos β16cos β=--+=-2116(cos β)42=--+，可得1cos β02-=，即πβ3=，2πα3=时，AM CN ⋅的最大值为4．故答案为4．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了圆的方程与应用问题，建立平面直角坐标系，用坐标表示向量是解题的关键．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()fα；(2)若α是第三象限角，且()1sin 5απ-=，求()f α的值. 【答案】(1)()cos f αα=-;(2)5. 【解析】 【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可; (2)由()1sin 5απ-=,可以利用诱导公式计算出sin α,再根据角所在象限确定cos α,进而得出结论.【详解】(1)根据诱导公式()()()()3sin cos 2cos 2cos sin 2f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin sin sin ααααα⋅⋅-=⋅cos α=-,所以()cos f αα=-; (2)由诱导公式可知()sin sin απα-=-,即1sin 5α=-, 又α是第三象限角,所以cos α==,所以()=cos f αα-=【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.18.已知向量2,3,326a b a b ==-=. （1）求向量a ，b 的夹角θ； （2）求()()22a b a b +⋅-的值. 【答案】（1）60θ=；（2）1- 【解析】 【分析】（1）根据题意，将326a b -=平方，利用向量的数量积定义，代入2,3a b ==，计算求解即可.（2）由（1）向量夹角θ的值，可得3a b ⋅=，根据向量数量积运算定律，求解即可. 【详解】（1）因为326a b -=， 所以()22232912436a ba ab b -=-⋅+=，所以361223cos 3636θ-⨯⨯+=， 解得1cos 2θ=， 又因为[]0,θπ∈，所以60θ=.（2）由（1）可得 1cos 2332a b a b θ⋅==⨯⨯=， 所以()()2222232a b a b a a b b +⋅-=+⋅-222233231=⨯+⨯-⨯=-.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、向量数量积的运算，属于基础题. 19.如图，函数2sin()y x πϕ=+，x ∈R 其中02πϕ≤≤的图象与y 轴交于点(0,1)．（1）求ϕ的值；（2）求函数2sin()y=x πϕ+的单调递增区间； （3）求使1y ≥的x 的集合．【答案】（1）6π,（2）2212233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ,（3）2|22,3x k x k k ⎧⎫≤≤+≡⎨⎬⎩⎭Z 【解析】 【分析】（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解； （2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可； （3）由1y ≥，求解不等式1sin 62x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】解：（1）因为函数图象过点(0,1)， 所以2sin 1=ϕ，即1sin 2ϕ=．因为02πϕ≤≤，所以6π=ϕ．（2）由（1）得2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当22262k x k ππππππ-+≤+≤+，k Z ∈，即212233k x k -+≤≤+，k Z ∈时， 2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是增函数，故2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为212,233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（3）由1y ≥，得1sin 62x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 所以522666k x k ππππππ+≤+≤+，k Z ∈，即2223k x k ≤≤+，k Z ∈， 所以1y ≥时，x 的集合为2|22,3x k x k k Z ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.20.已知O 为坐标原点，(2cos OA x =，(sin ,1)OB x x =-，()2f x OA OB =⋅+.（1）求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间；（2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根，求m 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）[2)m ∈- 【解析】 【分析】（1）通过向量的坐标运算求出()2f x OA OB =⋅+，通过三角公式整理化简，然后可求得其单调区间；（2）将方程()0f x m +=有根转化为()f x m =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，求出()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的值域即可.【详解】（1）()2f x OA OB =⋅+22cos sin 2x x x =+-sin 222x x =++2sin 223x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则此函数单调增区间：222()232k x k k πππ-+π++π∈Z ≤≤，()1212k x k k 5ππ-+π+π∈Z ≤≤， 设5,()1212A k k k Z ππππ⎡⎤=-++∈⎢⎥⎣⎦，[0,]B π=，则70,,1212A B πππ⎡⎤⎡⎤⋂=⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以函数()f x 在[0,]π上的单调增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根， 所以()f x m =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得42,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 213x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，则2()4f x -<≤，所以[2)m ∈-.【点睛】本题考查三角函数恒等变形，三角函数的性质，是基础题.21.已知：①函数1()cos sin()(0)64f x x x πωωω=+->； ②向量(3sin ,cos 2)m x x ωω=，11(cos ,)24n x ω=，且0>ω，()f x m n =⋅；③函数1()sin(2)(0,)22f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点1(,)62π请在上述三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知_________________，且函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若02πθ<<，且1sin 2θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一 【解析】【分析】（1）选择一个条件，转化条件得1()sin(2)26f x x π=+，由题意可得6πθ=，代入即可得解；（2）令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得x 的取值范围后给k 赋值即可得解. 【详解】方案一：选条件① 因为1()cos sin()64f x x x πωω=+-1cos (sin cos cos sin )664x x x ππωωω=+-211cos cos 24x x x ωωω=+-12cos 244x x ωω=+112cos 2)22x x ωω=+1sin(2)26x πω=+，又22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)26f x x π=+.方案二：选条件②因为(3sin ,cos 2)m x x ωω=，11(cos ,)24n x ω=，所以311()sin cos cos 2sin(2)426f x m n x x x x πωωωω=⋅=+=+. 又22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)26f x x π=+.方案三：选条件③由题意可知，22T ππω== ，所以1ω=，所以1()sin(2)2f x x ϕ=+.又因为函数()f x 图象经过点1(,)62π，所以11sin(2)226πϕ=⨯+.因为||2ϕπ<，所以 6π=ϕ，所以1()sin(2)26f x x π=+.（1）因为02πθ<<，1sin 2θ=，所以 6πθ=.所以11()()sin 6222f f ππθ===.（2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤，所以函数()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为2[,]63ππ，75[,]63ππ. 【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示，属于中档题.22.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC =，ABC θ∠=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2.S(1)用θ表示1S 和2S ；(2)当θ变化时，求12S S 的最小值及此时角θ的大小.【答案】（1）2121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，；（2）最小值944πθ=， 【解析】 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS 的长度，从而可得2S .（2）令sin 2t θ=，从而可得(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4,0,1s t t t=+∈的单调性可求12S S 的最小值. 【详解】（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. 而BC 边上的高为sin cos sin cos 1θθθθ=，设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ， 因APSABC ∆∆，所以12sin cos sin cos h PS PSBC h θθθθ-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故222sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. （2）()()212221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭，令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()212214444t t S t t S+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 令(]4,0,1s t t t=+∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()1212121240t t t t s s t t ---=>，故(]4,0,1s t t t=+∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in 94S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时1t =即4πθ=. 【点睛】直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值.。
福建省莆田市第二十四中学2019届九年上学期期中考试数学试题
福建省莆田市第二十四中学2019届九年上学期期中考试数学试题第 2 页第 3 页第 4 页 xyP A O （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22、（10分）关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．23、（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A 绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与A 点重合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ．（1）直接写出点B 和点C 的坐标； （2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．24、（12分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 交BC 于点E ，交⊙O 于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点； （2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积． 25、（14分）如图,已知抛物线y=−21x 2+bx+c 图象经过A(−1,0),B(4,0)两点。
(1)求抛物线的解析式；(2)若C(m,m −1)是抛物线上位于第一象限内的点,D 是线段AB 上的一个动点(不与A. B 重合),过点D 分别作DE ∥BC 交AC 于E,DF ∥AC 交BC 于F.①求C 点坐标②求证：四边形DECF 是矩形；③连接EF ，线段EF 的长是否存在最小值?若存在，求出EF 的最小值；若不存在，请说明理由。
E C DA O B。
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2018-2019学年（上）高二数学期中考试试卷一、选择题（共12小题,每题5分，满分60分）1.函数241xy -=的定义域是( )A.}22|{<<-x xB.}22|{≤≤-x xC.}2,2|{-<>x x x 或D.}2,2|{-≤≥x x x 或 2.在△ABC 中，若,45,2,2︒===B b a 则角A 等于( )A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150° 3. 在△ABC 中，“A ＝π4”是“cos A ＝22”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设,,,,b a R c b a >∈则下列不等式一定正确的是( )A.22bc ac >B.b a 11<C.c b c a ->-D.b a > 5.在△ABC 中，三个内角C B A ,,的对边分别是，c b a ,,若,41cos ,3,2-===C b a 则c等于( )A.1B.2C.3D.4 6．已知正数b a ,满足1=+b a ，则ab ( )A.有最小值41 B.有最小值21 C.有最大值41 D.有最大值217. 命题“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8.在△ABC 中，三个内角C B A ,,的对边分别是，c b a ,,已知,350,150,30==︒=b c B 那么这个三角形是( )A.等腰三角形或直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形9．已知命题p (x )∶x 2＋2x －m ＞0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，8)C ．RD ．[3，8)10.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A.2B.3C.5D.711.设数列{}n a 的通项公式1092--=n n a n ，若使得n S 取得最小值，n =( ） A.8 B. 9、10 C.9 D. 8、912．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为,2300x p -=生产x 件的成本x r 30500+=(元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) A.6055≤≤x B.6560≤≤x C.7065≤≤xD.7570≤≤x二、填空题（共4空,每空5分，满分20分）13. 命题“对任意x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．14．若不等式02<--b ax x 的解集为},32|{<<x x 则=+b a ________.15．在△ABC 中，16,60=︒=∠AC A ，△ABC 的面积3220=S ，则=BC ________. 16. 某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.三、简答题（满分70分）17.(10分)命题：已知a ，b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2－4b ≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．18. (12分)已知}{n a 是等差数列，.14,552==a a(1)求}{n a 的通项公式；(2)设}{n a 的前n 项和,155=n S 求n 的值.19. (12分)在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且.sin 2sin ,3,5A C b a ===(1)求c 的值； (2)求A sin 的值.20. （12分）在△ABC 中，已知b AC ==，a BC ,且b a ,是方程02322=+-x x 的两根，1)(cos 2=+B A .(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.21. （12分）已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．22.（12分）设}{n a 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列， ，且 ，（1） ， 的通项公式；（2）求数列 的前n 项和 ．{}n b 111a b ==3521a b +=5313a b +={}n a {}n b n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S2018-2019学年（上）高二数学期中考试答案选择题：1-5：ABACD 6-10：CCADD 11-12：BC 一、填空题：13. ∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3. 14. 1- 15. 49 16. 512二、解答题：17. 解：逆命题：已知a ，b 为实数，若a 2－4b ≥0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b≤0有非空解集．否命题：已知a ，b 为实数，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0无解，则a 2－4b <0. 逆否命题：已知a ，b 为实数，若a 2－4b <0，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0无解．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋d ＝5，a 1＋4d ＝14，解得a 1＝2，d ＝3．所以数列{a n }的通项为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －1．(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n n a a n n 21232)(21+=+. 由15521232=+n n ，化简得3n 2＋n －310＝0， 即(3n ＋31)(n －10)＝0，所以n ＝10． 19. 解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AaC c sin sin =， 于是c ＝sin C ·522sin ==a Aa. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得5522cos 222=-+=bc a b c A ，于是sin A ＝55cos 12=-A ，20.解：(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10.所以AB ＝10.(3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.21．解：由已知得A ＝{1，2}，因为A 是B 的必要不充分条件，所以B A .根据集合中元素的个数对集合B 进行分类． 讨论：B ＝∅，B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝∅时，方程x 2－mx ＋2＝0无实数解，Δ＝m 2－8<0，解得－22<m <22；当B ＝{1}或B ＝{2}时，⎩⎨⎧Δ＝0，1－m ＋2＝0或4－2m ＋2＝0，无解． 综上所述，m 的取值范围为－22<m <2 2.22.解：。
福建省莆田市第二十四中学2019届九年上学期期中考试数学试题
l2018-2019学年(上)九年级期中考试卷数学(时间:120分钟总分:150分)一. 精心选一选(每小题4分,共32分)1．一元二次方程01632=--xx=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A. 3, 6，1B. 3, 6,-1C. 3,-6, 1D.3,-6, -12．把抛物线2xy=向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为( )A. y=x2+lB. y=x2-lC. y=-x2+l D．y=-x2-l3．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦 B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A B C D5．用配方法解方程x2-4x+2=0,配方正确的是( )A. (x-2)2=2B. (x+2)2=2C. (x-2)2=-2D. (x-2)2=66．风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合,那么n的值可能是( )45 B. 60 C. 90 D. 1207．二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象如图所示,则满足ax2+bx+c>mx+n的x的取值范围是( )A. x<−3B. x<−3或x>0C.−3<x<0D. 0<x<38．如图，AB是⊙O的直径，BC︵＝CD︵＝DE︵，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是( )A．51° B．56° C．68° D．78°9．如图所示，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为(2a，b＋1)，则a与b的数量关系为（）.A．a=b B．2a－b=1 C．2a＋b=－1 D．2a＋b=110．如图1，动点P从格点A出发，在网格平面内运动，设点P走过的路程为s，点P到直线l的距离为d. 已知d与s的关系如图2所示．下列选项中，可能是点P的运动路线的是( )A B C D二. 认真填一填(每小题4分,共32分)11．点P(-1, 2)关于原点的对称点的坐标为_______________.12．写出一个图象开口向上，过点（0, 0)的二次函数的表达式___________ .13．如图,⊙O的半径OA与弦BC交于点D,若OD=3,AD=2,BD=CD，则BC的长为___________． .14．抛物线y=x2-x-l与x轴的公共点的个数是___________．15．如图,在平面直角坐标系xQy中，点A,点B的坐标分别为(0, 2), (-1, 0)，将线段AB绕点0顺时针旋转，若点A的对应点A'的坐标为（2, 0 )，则点B的对应点B'的坐标为___________．16．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是，弦所对的圆心角是．三.细心算一算(共86分)17、（8分）解方程(1)2430x x-+= (2)2x2－7x+5=018、（8分）如图，等边三角形ABC的边长为3，点D是线段BC上的点，CD=2，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．求CE的长．19、（8分）已知m是方程2310x x-+=的一个根，求()()()2322m m m-++-的值．EB D CAMN第9题图sd123451234Ol图1 图2H G FD AB CEx y P A O 20、（8分）如图，在⊙O 中，．求证：∠B=∠C ．DBAO21、（8分）如图，ABCD 是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG 的形状，其中点E 在AB 边上，点G 在AD 的延长线上，DG =2BE ．设BE 的长为x 米，改造后苗圃AEFG 的面积为y 平方米．（1）y 与x 之间的函数关系式为_____________________（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG 的面积与原正方形苗圃ABCD 的面积相等，请问此时BE 的长为多少米？22、（10分）关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．23、（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，0），点P 的横坐标为2，将点A 绕点P 旋转，使它的对应点B 恰好落在x 轴上（不与A 点重合）；再将点B 绕点O 逆时针旋转90°得到点C ．（1）直接写出点B 和点C 的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式．24、（12分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 交BC于点E ，交⊙O 于点D ，CD ∥AB ． （1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB =6，求四边形CAOD 的面积．25、（14分）如图,已知抛物线y=−21x 2+bx+c 图象经过A(−1,0),B(4,0)两点。