数学人教版八年级上册将军饮马之最值问题

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部编数学八年级上册专题13.2将军饮马(最值模型)专项讲练(解析版)含答案

专题13.2 将军饮马（最值模型）专项讲练三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

【解题技巧】题型1: 求两条线段和最小值例1．（2022·广东新丰·八年级期末）如图所示，在ABC V 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC V 的面积为12，4BC =，则BDM V 周长的最小值是______．【答案】8【分析】连接AD ，AM ，由EF 是线段AB 的垂直平分线，得到AM =BM ，则△BDM 的周长=BD +BM +DM =AM +DM +BD ，要想△BDM 的周长最小，即要使AM +DM 的值最小，故当A 、M 、D 三点共线时，AM+DM最小，即为AD，由此再根据三线合一定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AD，AM，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△BDM的周长=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周长最小，即要使AM+DM的值最小，∴当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，122BD BC==，∴1122ABCS AD BC=×=△，∴AD=6，∴△BDM的周长最小值=AD+BD=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．变式1．（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________．【答案】6【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中垂线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC 是等边三角形，E 是AC 边的中点，∴F 是AB 的中点，∴CF =AD =6，即EP +CP 的最小值为6，故答案为6．【点睛】本题考查等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．变式2．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC 沿AD 折叠使得顶点C 恰好落在AB 边上的点M 处，D 在BC 上，点P 在线段AD 上移动，若AC ＝6，CD ＝3，BD ＝7，则△PMB 周长的最小值为 ___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB 周长最小，即使得PM +PB 最小，再根据翻折的性质可知PM =PC ，从而可得满足PC +PB 最小即可，根据两点之间线段最短确定BC 即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM =AC ，PM =PC ，∴M 点为AB 上一个固定点，则BM 长度固定，∵△PMB 周长=PM +PB +BM ，∴要使得△PMB 周长最小，即使得PM +PB 最小，∵PM =PC ，∴满足PC +PB 最小即可，显然，当P 、B 、C 三点共线时，满足PC +PB 最小，如图所示，此时，P 点与D 点重合，PC +PB =BC ，∴△PMB 周长最小值即为BC +BM ，此时，作DS ⊥AB 于S 点，DT ⊥AC 延长线于T 点，AQ ⊥BC 延长线于Q 点，由题意，AD 为∠BAC 的角平分线，∴DS =DT ，∵1122ACD S AC DT CD AQ ==V g g ，1122ABD S AB DS BD AQ ==V g g ，∴11221122ABDACD AB DS BD AQ S S AC DT CD AQ ==V V g g g g ，即：AB BD AC CD =，∴763AB =，解得：AB =14，∵AM =AC =6，∴BM =14-6=8，∴△PMB 周长最小值为BC +BM =3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．变式3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形ABC 的边长为5，A 、B 、1A 三点在一条直线上，且11ABC A BC V V ≌．若D 为线段1BC 上一动点，则AD CD +的最小值是________．【答案】10【分析】连接CA 1交BC 1于点E ，C 、A 1关于直线BC 1对称，推出当点D 与B 重合时，AD +CD 的值最小，最小值为线段AA 1的长＝10．【详解】解：连接CA 1交BC 1于点E ，过点B 作直线l ⊥AB ，如图，∵△ABC 是等边三角形，11ABC A BC V V ≌∴11A BC V 是等边三角形，AB =A 1B =5∵A 、B 、1A 三点在一条直线上，∴ △ABC 与△A 1BC 1关于直线l 对称，∵∠ABC ＝∠A 1BC 1＝60°，∴∠CBC 1＝60°，∴∠C 1BA 1＝∠C 1BC ，∵BA 1＝BC ，∴BD ⊥CA 1，CD ＝DA 1，∴C 、A 1关于直线BC 1对称，∴当点D 与B 重合时，AD +CD 的值最小，最小值为线段AA 1的长＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，属于中考常考题型．变式4．（2022•西湖区月考）如图直线l 1，l 2表示一条河的两岸，且l 1∥l 2，现要在这条河上建一座桥．桥建在何处才能使从村庄A 经过河到村庄B 的路线最短？画出示意图，并说明理由．【分析】先确定AA ′与河等宽，且AA ′⊥河岸，连接BA ′，与河岸的交点就是点C ，过点C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点D ，即可得出答案．【答案】解：如图，先确定AA ′与河等宽，且AA ′⊥河岸，连接BA ′，与河岸的交点就是点C ，过点C 作CD 垂直河岸，交另一河岸于点D ，CD 就是所求的桥的位置．理由：由作图过程可知，四边形ACDA ′为平行四边形，AD 平移至A ′C 即可得到线段A ′B ，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD 即为桥．【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换以及利用轴对称解决最短路径问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．题型2: 求两条线段差最大值例2．（2022·绵阳市·八年级专题练习）如图，5AB AC ==，110BAC Ð=°，AD 是∠BAC 内的一条射线，且25BAD Ð=°，P 为AD 上一动点，则PB PC -的最大值是______．作点B 关于射线AD 的对称点B ¢，连接则AB AB ¢=，PB PB ¢=，B AD BAD Ð=Ð¢∵ 5AB AC ==，∴5AB AC ¢==，∴ AB C ¢V 是等边三角形，∴5B C ¢=，在PB C ¢V 中，PB PC B C -¢£¢，变式1．（2022·福建福州·八年级期中）如图，在等边ABC V 中，E 是AC 边的中点，P 是ABC V 的中线AD 上的动点，且6AB =，则BP PE -的最大值是________．【答案】3【分析】连接PC ，则BP =CP ，BP PE -=CP-PE ，当点P 与点A 重合时，CP -PE =CE ，进而即可求解．【详解】解：连接PC ，∵在等边ABC V 中，6AB =，P 是ABC V 的中线AD 上的动点，∴AD 是BC 的中垂线，∴BP =CP ，∴BP PE -=CP-PE ，∵在CPE △中，CP -PE ＜CE ，∴当点P 与点A 重合时，CP -PE =CE ，∵E 是AC 边的中点，∴BP PE -的最大值=6÷2=3．故答案是：3．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形三边长关系，连接CP ，得到BP PE -=CP-PE ，是解题的关键．题型3: 求三条（周长）最小值（双动点问题）【模型图示】要求：点P 位定点，在直线1l ，2l 上分别找点M ，N ，使PMN △周长（即MN PN PM ++）最小操作：分别作点P 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和”P ，连结”’P P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()”’最小值△P P C PMN =求”’P P 长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°）A ，连结’AP ，AP ，”AP ，由对称性可求A AP P Ð=Ð2”’也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），”’AP AP AP ==，可得特殊等腰”’△P AP ，利用三边关系求出”’P P 要求：点P ，Q 为定点，直线1l ，2l 上分别找M ，N ，使PQMN 周长（即MN PN PM PQ +++）小操作：分别作点P ，Q 关于直线1l ，2l 的对称点’P 和’Q ，连结’’Q P 与直线1l ，2l 的交点为M ，N ，()’’最小值四边形Q P PQ C PQMN +=例3．（2022·上虞市初二月考）如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP =6cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值是6 cm ，则∠AOB 的度数是（）A ．15B ．30C ．45D ．60【答案】B 【分析】分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，由对称的性质得出PM=DM ，OP=OC ，∠COA=∠POA ；PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=12∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°，故选：B．【点睛】此题考查轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．变式1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．变式2．（2021·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN ，FM ，DN ，DM ．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．变式3．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，25AOB Ð=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a Ð=，PQN b Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，b a -的大小=__________（度）．【答案】50【分析】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即MP PQ QN M N ¢¢++=，∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，∵MPQ PQN a b Ð=Ð=，，∴11(180)(180)22QPN OQP a b Ð=°-Ð=°-，，∵QPN AOB OQP Ð=Ð+Ð，25AOB Ð=°，∴11(180)25(180)22a b °-=°+°- ，∴50b a -=° ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．课后训练：1．（2022·重庆八中七年级期末）如图，90A C Ð=Ð=°，且4AB AC ==，D ，E 分别为射线AC 和射线CF 上两动点，且AD CE =，当BD BE +有最小值时，则BDE D 的面积为________．【答案】6【分析】延长AC ，以点C 为圆心，AC 为半径，作圆弧交延长线于点G ，得AC CG =．连接AE 、GE 、BG ，ADB CEA CEG D D D @@，得BD AE GE ==，当点B ，E ，G 三点在一条直线，BD BE GE BE+=+距离最短．过点E ¢作E H AC ¢∥交BA 于点H ，得BHE E CG D D ¢¢@，得BH E C AH ¢==，BE E G ¢¢=，D ¢，过点E ¢作E H AC ¢∥交BA 于点H ∴E H AC ¢∥∴BE Ð又∵AC HE CG ¢==，90BHE E CG ¢¢Ð=Ð=°∴BHE E CG D D ¢¢@∴122CE BH AH AB ¢====2．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，ABC D 中，AB AC =，3BC =，6ABC S D =，AD BC ^于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5【答案】B【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，∴AD=4，∵EF 垂直平分AB ，∴点A ，B 关于直线EF 对称，∴EF 与AD 的交点P 即为所求，如图，连接PB ，此时PA=PB ，PB+PD=PA+PD=AD ，AD=PB+PD 的最小值，即PB+PD 的最小值为4，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（2022·山东八年级期末）如图，在ABC V 中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC V 中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC △的周长的最小值为_________．【答案】10【分析】根据题意知点C 关于直线m 的对称点为点B ，故当点P 与点D 重合时，AP ＋CP 值的最小，求出AB 长度即可得到结论．【详解】解：∵直线m 垂直平分BC ，∴B 、C 关于直线m 对称，设直线m 交AB 于D ，∴当P 和D 重合时，AP ＋CP 的值最小，最小值等于AB 的长，∴△APC 周长的最小值是6＋4＝10．故答案为：10．【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．4．（2022·陕西安康·八年级期末）如图，ABC V 的面积为24，AB 的长为8，AD 平分BAC Ð，E 、F 分别是AD 和AC 上的动点，则CE EF +的最小值为____________．【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求CH 的长是解题的关键．5．（2022·山东临沂·八年级期中）如图，ABC D 中，AB AC =，3BC =，6ABC S D =，AD BC ^于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（）A ．3.5B ．4C ．4.5D ．5【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，∴AD=4，∵EF 垂直平分AB ，∴点A ，B 关于直线EF 对称，∴EF 与AD 的交点P 即为所求，如图，连接PB ，此时PA=PB ，PB+PD=PA+PD=AD ，AD=PB+PD 的最小值，即PB+PD 的最小值为4，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．6．（2022·河南·安阳市殷都区教科培中心八年级期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，边AC 的垂直平分线MN 分别交AB ，AC 于点M ，N ，点D 是边BC 的中点，点P 是MN 上任意一点，连接PD ，PC ，若A a Ð=，CPD b Ð=，PCD V 周长最小时，a ，b 之间的关系是（）A ．a b>B ．a b <C ．a b =D ．90a b=°-故选C ．【点睛】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质．根据题意理解当A 、P 、D 在同一直线上时PCD L V 最小是解题关键．7．（2022·全国·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，ACB 90Ð=°，AC 9=，BC 12=，15AB =，AD 是BAC Ð的平分线，若点P 、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是______．CO=PC+PO=PC+PQ ，此时PC+PQ 有可能取得最小值，∵当CO 垂直于AB 即CO 移到CM 位置时，CO ∴PC+PQ 的最小值即为CM 的长度，8．（2022·清远市八年级期中）如图，点D 是锐角AOB Ð内一点，DE OA ^于点E ，点F 是线段OE 的一个动点，点G 是射线OB 的一个动点，连接DF 、FG 、GD ，当DFG V 的周长最小时，FDG Ð与AOB Ð的数量关系式是________．【答案】2180FDG AOB Ð+Ð=°【分析】作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，根据轴对称的性质得出△GOD ≌△GOD ″，△FOD ≌△FOD ′，即可得出∠BOD =∠BOD ′，∠ODG =∠OD ″G ，∠DOA =∠AOD ′，∠ODF =∠ODF ′，由∠D ′OD ″=2∠AOB ，∠GDF =∠ODF ′+∠ODG ″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB +∠GDF =180°．【详解】解：作D 关于OA 的对称点D ′，作D 关于OB 的对称得D ″，连接D ′D ″，交OA 、OB 于F 、G ，此时△DFG 的周长最小，最小值为D ′D ″，连OD 、OD ′、OD ″，由轴对称的性质可知，△GOD ≌△GOD ″，△FOD ≌△FOD ′，∴∠BOD =∠BOD ″，∠ODG =∠OD ″G ，∠DOA =∠AOD ′，∠ODF =∠OD ′F ，∴∠D ′OD ″=2∠AOB ，∠GDF =∠OD ′F +∠OD ″G ，∵∠D ′OD ″+∠OD ′F +∠OD ″G =180°，∴2∠AOB +∠GDF =180°，故答案为2∠AOB +∠GDF =180°．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．9．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，点A 在y 轴上，G 、B 两点在x 轴上，且G （﹣3，0），B （﹣2，0），HC 与GB 关于y 轴对称，∠GAH ＝60°，P 、Q 分别是AG 、AH 上的动点，则BP ＋PQ ＋CQ 的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【分析】分别作B 、C 关于AG 和AH 对称的点B ¢、C ¢，连接BP 、CQ 、B C ¢、C Q ¢，PQ ，得出BP ＋PQ ＋CQ 的最小值为B C ¢¢，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得B P PN ¢+和C Q QN ¢+即可求得．【详解】解：分别作B 、C 关于AG 和AH 对称的点B ¢、C ¢，连接BP 、CQ 、B C ¢、C Q ¢，PQ∵HC 与GB 关于y 轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x 轴⊥y 轴，∴AG=AH ，B ¢、C ¢关于y 轴对称，∴当B ¢、C ¢，P 、Q 在同一条直线上时，BP PQ CQ B P PQ C Q B C ¢¢¢¢==＋＋＋＋最小，此时//B C x ¢¢轴，∵∠GAH ＝60°，∴△AGH 为等边三角形，∴∠AGO=60°，∵//B C x ¢¢轴，B 、B ¢关于AG 对称，∴60BPG B PG PGB ¢Ð=Ð=Ð=°,B P BP ¢=，∴△BPG 为等边三角形，过作PM ⊥GO 交x 轴与M ，∵G （﹣3，0），B （﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴111,22PB PB BG BM BG ¢=====，∴171222B P PN BP MB BO ¢+=++=++=，同理可得72C Q QN ¢+=,即7B C ¢¢=．故选：B ．【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．10．（2022·河南·九年级专题练习）如图，在ABC D 中，AB AC =，AC 的垂直平分线交AC 于点N ，交AB 于点M ，12AB cm =，BMC D 的周长是20cm ，若点P 在直线MN 上，则PA PB -的最大值为（）A ．12cmB ．8cmC ．6cmD ．2cm 【答案】B 【分析】根据已知条件MN 垂直平分AC ，可知MA MC =，即可将BMC D 的周长转换为AB+BC ，即可求出8BC cm =，再通过作辅助线（见详解），可得到PA PB PC PB -=-，则PBC D 中PC PB BC -<，当P B C 、、共线时（PC PB -）有最大值即可得到PA PB -最大值，得到答案．【详解】解：∵MN 垂直平分AC ∴MA MC=又∵20BMC C BM MC BC cmD =++=∴20BM MA BC cm++=12BM MA AB cm +== 8BC cm=在MN 上取点P 1∵MN 垂直平分AC连接1P A 、1PB 、1PC ∴11P A PC = ∴PA PB PC PB-=-在1PBC D 中11PC PB BC -<当1P 运动2P 位置时，即P B C 、、共线时（PC PB -）有最大值，此时8PC PB BC cm -==.即PA PB -最大值是8cm,故答案选B.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等11．（2021·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M 、N 分别在AD 、AC 上，且AM ＝CN ，连BM 、BN ，当BM +BN 最小时，∠MBN 的度数为（）A ．15°B ．22.5°C ．30°D ．47.5°【答案】C 【分析】如图1中，作CH ⊥BC ，使得CH ＝BC ，连接NH ，BH ．证明△ABM ≌△CHN （SAS ），推出BM ＝HN ，由BN +HN ≥BH ，可知B ，N ，H 共线时，BM +BN ＝NH +BN 的值最小，求出此时∠MBN 即可解决问题．【详解】解：如图1中，作CH ⊥BC ，使得CH ＝BC ，连接NH ，BH ．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故选：C．【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，以BC 为边向左作等边△BCE ，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点．（1）求证：△ADC 为等边三角形；（2）求PD +PQ +QE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得60,BAC AD CD Ð=°=，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接,PA QB ，先根据等边三角形的性质可得12ACE ACD Ð=Ð，再根据等腰三角形的三线合一可得CE 垂直平分AD ，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA PD =，同样的方法可得QB QE =，从而可得PD PQ QE PA PQ QB ++=++，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】证明：（1）Q 在Rt ABC V 中，90,30,2ACB ABC AC Ð=°Ð=°=，60,24BAC AB AC Ð\=°==，Q 点D 是Rt ABC V 斜边AB 的中点，2AD AC \==，ADC \V 是等边三角形；（2）如图，连接,PA QB ，BCE QV 和ADC V 都是等边三角形，60BCE \Ð=°，60ACD Ð=°，1302ACE ACB BCE ACD \Ð=Ð-Ð=°=Ð，CE \垂直平分AD ，PA PD \=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE \=，PD PQ QE PA PQ QB \++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．13．（2022·福建·莆田二中八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为_____．【答案】15°##15度【分析】作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，先证明△BCD是等边三角形，从而得到AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，进而求得∠CDP＝15°，据轴对称性可得∠CBP的度数．【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．14．（2022·湖北·武汉市六中位育中学八年级）如图，//AB DP ，E 为DP 上一动点，AB CB CD ==，过A 作AN EC ^交直线EC 于N ，过D 作DM EC ^交直线EC 于点M ，若114B Ð=°，当AN DM -的值最大时，则ACE Ð= ________ ．【答案】123°【分析】当DM 与DP 重合，AN 与AB 重合时，|AN -DM |的值最大，此时|AN -DM |=AB ，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果．【详解】解：当DM 与DP 重合，AN 与AB 重合时，|AN -DM |的值最大，此时|AN -DM |=AB ，∵∠ABC =114°，∴∠CDE =180°-114°=66°，∴∠MCD =90°-66°=24°，又∵AB =BC ，∴∠ACB =（180°-114°）÷2=33°，∴∠ACE =180°-∠ACB -∠DCM =180°-33°-24°=123°，故答案为：123°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、直角三角形、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出相应图形是解决问题的关键．。

初二数学：最值问题最常考的一种：将军饮马

初二数学：最值问题最常考的一种：将军饮马！一、知识点回顾最值问题其实考察的知识点还是比较简单的：①两点之间直线最短②点到直线的距离垂线段最短③圆外一点到圆上最短距离与最长距离④几何转化为解析式求最大最小值今天我们要讲的是两点之间直线最短类型中最常考的一种：将军饮马！二、模型讲解首先我们来了解一下到底什么是将军饮马模型？传说有一个将军牵着一匹马在A点，他们目标是要去B地，但由于马渴了，要先去L这条河喝一下水，问在哪个点喝水能使得马和将军走的路最少？这个点我们应该怎么找？为什么这么确定的P点到A点和到B点的距离之和是最短？因为点A与A’关于L对称，也就是说L垂直平分AA’。

那在L上任意一点到A与到A’的距离都是相等的，那么A到直线一点的距离转换为A’到直线上的距离，又由两点之间线段最短，可以得到A’B即为最小值。

刚刚我们给的是一条边，两个点，求两点之间的最短距离；现在把条件换一下，换成一个点两条边我们应该怎么办？如图：现题目变成这样，在OA、OB上分别取两点M、N，连接MN，MC，NC，要求这三条线段之和最小。

如何定确定 M、N这两点？总结将军饮马最主要用到的就是中垂线定理，也就是垂直平分线的一点到两端点的距离相等。

下面我们一起来看一看具体的题目。

三、真题演练四、整体总结将军饮马模型是最值问题中出现频率较高的一种，而且在平时的考试中也经常会出现，因此掌握好将军饮马模型对我们解决最值问题还是有很大的帮助。

将军饮马的本质是中垂线上的一点到两端点的距离相等。

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2020中考数学复习最值问题将军饮马问题 51张

03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【假装不存在的正方形】
如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在
边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA
上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）
A．（ 2，2）
B．（
最值问题之“将军饮马”
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
01、什么是“将军饮马” ？
【问题描述】如图，将军在图中点 A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军
营，问：将军怎么走能使得路程最短？
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
01、什么是“将军饮马” ？
? 【问题简化】 ? 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
? 【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关
于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为________．

将军饮马模型-特殊的平行四边形中的最值模型(解析版)

特殊的平行四边形中的最值模型--将军饮马模型“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值(将军饮马模型)【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；(1)点A、B在直线m两侧：(2)点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。

上图中A'是A关于直线m的对称点。

1(2022·山东德州·统考中考真题)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE=2，点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是()A.62B.35C.213D.413【答案】C【分析】连接AM，AE，根据正方形的对称性可得AM=CM，进而可知EM+CM=EM+AM，再利用A，M，E三点共线时，EM+AM的值最小，将EM+AM转化为AE，最后运用勾股定理即可解答．【详解】如图，连接AM，AE，∵A、C关于BD对称，∴AM=CM，∴EM+CM=EM+AM当A，M，E三点共线时，EM+AM=AE的值最小，即EM+CM的值最小，∵AB=6，BE=BC-CE=4，由勾股定理得：AE=AB2+BE2=62+42=213，即EM+CM的最小值为213，故选C．【点睛】本题考查了运用轴对称解决最短路径问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当A，M，E三点共线时，EM+AM有最小值是解题的关键．2(2022·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A-3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是()A.3B.5C.22D.332【答案】A【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，，∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，点A-3,0，∴∠CDB=60°,∠DAO=30°，OA=3，∴OD=3,AD=DC=CB=23∴△CDB是等边三角形∴BD=23∵点E是CD的中点，∴DE=1CD=3,且BE⊥CD，∴BE=BD2-DE2=3故选：A．2【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．3(2023·湖北鄂州·二模)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在AB上，且BE=1，点M,F分别为边DC,BC上的动点，将△BEF沿直线EF翻折得到△NEF，连接AM,MN，则AM+MN的最小值为()A.5B.35C.35-2D.35-1【答案】D【分析】作A关于CD的对称点H，连接EH，根据条件求出EH的长度，当H、M、N、E四点共线时，HM+MN最小，即可求出答案．【详解】解：作A关于CD的对称点H，连接EH，∵AD=3，∴AH=2AD=6，∵△BEF沿直线EF翻折得到△NEF，∴△BEF≅△NEF，∴BE=NE=1，∵AB=4，BE=1，∴AE=AB-AE=4-1=3，∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB=90°，在Rt△HAE中，HE=AH2+AE2=62+32=35，当H、M、N、E四点共线时，HM+MN最小，最小为HE-NE=35-1，∴AM+MN的最小值为35-1．故选：D．【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答的关键是作出辅助线．4(2023·辽宁抚顺·统考三模)如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上的动点，连接EA，将EA绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接FD，则FD+2FE的最小值是．【答案】35【分析】作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CF并延长，连接AF，首先证明出△ABE≌△EHF AAS，进而得到AB=EH，BE=FH，然后得到△CFH是等腰直角三角形，得到点F在∠DCF的角平分线上运动，作点D关于CF的对称点G，然后得到当点A，F，G三点在一条直线上时，DF+AF有最小值AG，最后利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，作FH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CF并延长，连接AF，∵将EA绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，∴∠AEF=90°，AE=EF，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，又∵∠B=∠EHF，∴△ABE≌△EHF AAS，∴AB=EH，BE=FH，∵AB=BC，∴BC=EH，∴BE=CH，∴CH=FH，又∵FH⊥CG，∴△CFH是等腰直角三角形，∴∠FCH=45°，∴∠DCF=45°，∴点F在∠DCF的角平分线上运动，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=2EF，∴FD+2FE=FD+AF，作点D关于CF的对称点G，∵点F在∠DCF的角平分线上运动，∴点G在BC的延长线上，∴DF=FG，∴DF+AF=GF+AF≥AG，∴当点A，F，G三点在一条直线上时，DF+AF有最小值AG，∵点D和点G关于CF对称，∴CG=CD=3，∴BG=BC+CG=6，∴在Rt△ABG中，AG=AB2+BG2=35．∴FD+2FE的最小值是35．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键．1.(2023·湖南湘西·统考三模)如图所示，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P 在对角线BD上移动，则△PCE周长的最小值是()A.5B.5+1C.25D.25+2【答案】B【分析】作点E关于BD的对称点为E ，连接CE 交BD于点P，可得PE =PE，BE =BE，根据勾股定理求出CE ，可得△PCE周长=PE+PC+CE=PE +PC+CE，即可求解．【解析】解：作点E关于BD的对称点为E ，连接CE 交BD于点P，如图所示，∵E关于BD的对称点为E ，∴PE =PE，BE =BE，∵正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，∴BC=2，BE=EC=1，∴BE =1，∴CE =BE +BC=12+22=5，∵△PCE周长=PE+PC+CE，又∵PE +PC=PE+PC≥E C，∴△PCE周长=PE+PC+CE=PE +PC+CE≥E C+CE=5+1，∴△PCE周长最小值为5+ 1，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．2.(2023春·成都市九年级期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是．【答案】11【分析】作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB，则当点P、M在线段BG上时，GP+PM +BM最小，从而CP+PM最小，在Rt△BCG中由勾股定理即可求得BG的长，从而求得最小值．【解析】如图，作点C关于AD的对称点G，连接PG、GD、BM、GB由对称的性质得：PC=PG，GD=CD∵GP+PM+BM≥BG∴CP+PM=GP+PM≥BG-BM 则当点P、M在线段BG上时，CP+PM最小，且最小值为线段BG-BM∵四边形ABCD是矩形∴CD=AB=6，∠BCD=∠ABC=90° ∴CG=2CD=12EF=2∵M为线段EF的中点，且EF=4∴BM=12在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=CG2+BC2=122+52=13∴GM=BG-BM=13-2=11即CP+PM的最小值为11．【点睛】本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形性质，折叠的性质，直角三角形斜边上中线的性质，两点间线段最短，勾股定理等知识，有一定的综合性，关键是作点C关于AD的对称点及连接BM，GP+ PM+BM的最小值转化为线段CP+PM的最小值．3.(2022·湖南娄底·中考真题)菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．【答案】2【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【解析】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，BC=2∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，∴Rt△BEC中，EC=22∴PQ+QC的最小值为2故答案为：2【点睛】本题考查菱形性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题关键．模型2.平移型将军饮马(将军过桥模型)【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A'位置(图2)．问题化为求A'N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置(图3)．图1图2图3【最值原理】两点之间线段最短。

将军饮马模型解读与提分精练(人教版)(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册

将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主。

希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。

要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。

当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ (2)模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） (2)模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） (4)模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） (6)模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） (7) (9)模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）条件：A ，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求AP +BP 的最小值。

模型（1）点A 、B 在直线m 两侧：模型（2）点A 、B 在直线同侧：模型（1）点A 、B 在直线m 两侧：模型（2）点A 、B 在直线同侧：图（1）图（2）模型（1）：如图（1），连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。

专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全

得 MN⊥l1，且 AM＋MN＋NB 连接 AM.点 M、N 即为所求．
最小．
【例 10】在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y 轴正半轴上，且 OA＝6，OC＝4，D 为 OC 中点，点 E、F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF＝2.当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标．
10 3
【例 9】如图，已知直线 l1∥l2，l1、l2 之间的距离为 8，点 P 到直线 l1 的距离为 6，点 Q 到直线 l2 的距离为 4，PQ= 4 30 ，在直线 l1 上有一动点 A，直线 l2 上有一动点 B，满
足 AB⊥l2，且 PA+AB+BQ 最小，此时 PA+BQ=__1_6___．
题型四：两定点一定长
模型
作法
结论
A
B
d
A A′ B
AM ＋MN ＋
l
MN
l
如图，在直线 l 上找 M、N 两点
A"
(M 在左)，使得 AM＋MN＋NB 将 A 向右平移 d 个单位到 A′，作 A′
最
关于 l 的对称点 A" ，连接 A" B 与直线 l
NB 的最小值为 A" B＋d
小，且 MN＝d.
A
A
B'
l
P
l
B
B
PA PB 的最大
当两定点 A、B 在直线 l 异侧时，作点 B 关于直线 I 的对称点 B'，值为 AB'
在直线 l 上找一点 P，使得 PA PB 连接 AB' 并延长交直线 l 于点 P，
最大．

初中数学最值系列之将军饮马

最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．P''A当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

初中最值问题汇总(将军饮马,辅助圆,瓜豆原理,“胡不归”问题,阿氏圆问题,费马点)72页

初中最值问题汇总（将军饮马，辅助圆，瓜豆原理，“胡不归”问题，阿氏圆问题，费马点）最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？军营B将军河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．AP''当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例

（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。

初中数学—最全将军饮马问题（最值问题）

初中数学—最全将军饮马问题（最值问题）（word电⼦资料⽂末领取）唐朝诗⼈李颀的诗《古从军⾏》开头两句说:'⽩⽇登⼭望烽⽕，黄昏饮马傍交河。

'诗中隐含着⼀个有趣的数学问题。

传说亚历⼭⼤城有⼀位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

⼀天，⼀位罗马将军专程去拜访他，向他请教⼀个百思不得其解的问题。

将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样⾛才能使路程最短?从此，这个被称为'将军饮马'的问题⼴泛流传。

这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它。

抽象为数学模型：直线l同侧有两个定点A、B,请在直线l上找⼀点C,使AC+BC最⼩。

假设点A、B在直线l的⼀侧就好了，这样我们就可以利⽤【点到点最值模型：两点之间线段最短】找到点C的位置了。

即连接AB交直线l于点C。

因此，我们可以找点A关于直线l的对称点，再连接A’B交直线l于点C，点C即为所求！如果将军在河边的另外任⼀点C'饮马，所⾛的路程就是AC'+C'B但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB.故在点C处饮马，路程最短。

掌握了这个“将军饮马模型”的原理和结论后，我们来具体挑战⼀下吧！第⼀关：⾓中应⽤1、如图，已知两点P、Q在锐⾓∠AOB内，分别在OA、OB上求点M、N，使PM＋MN＋NQ最短．解析：如图，分别作点P、点Q关于OA、OB的对称点P’,Q’,分别交OA、OB于点M、点N。

PM＋MN＋NQ=P’M+MN+N’Q,当点Q’,P’,M,N共线时，最⼩为P’Q’。

第⼆关：三⾓形中应⽤2、已知，如图△ABC为等边三⾓形，⾼AH=10cm，P为AH上⼀动点，D为AB的中点，则PD+PB的最⼩值为______cm.解析：连接PC，∵△ABC为等边三⾓形，D为AB的中点，∴PD+PB的最⼩值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm.第三关：四边形中应⽤3、如图,正⽅形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上⼀动点,则DN+MN的最⼩值为解析：如图，连接BM，∵点B和点D关于直线AC对称，∴NB=ND，则BM就是DN+MN的最⼩值，∵正⽅形ABCD的边长是8，DM=2，∴CM=6，∴由勾股定理得BM=10，∴DN+MN的最⼩值是10.第四关：圆中应⽤4、如图,MN是O的直径,MN=2,点A在O上,∠AMN=30∘，B为弧AN的中点，P是直径MN上⼀动点，则PA+PB的最⼩值为___.解析：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点。

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《将军饮马中的最小值问题》的教学设计
商南县初级中学孟超
教学目标：
1、会用将军饮马这种模型求两条线段之和或者多条线段和的最小值问题，事实依据是“两点之间，线段最短”。

2、通过例与练提高学生的分析问题、解决问题的能力。

教学重点：掌握核心知识：用将军饮马模型解决最值问题。

教学难点：通过讲解这类问题会让学生将实际背景变化为角、三角形、特殊的四边形、圆、坐标系、抛物线等，明确此类问题的共同特点：利用“轴对称性”化“折”“直”。

教学准备：三角板圆规
教法学法：启发交流练习
课型：复习
教学过程：
（一）复习回顾
1.基本事实：两点之间最短。

2.问题：定点A、B在
直线m的同侧，请在直
线m上找一点P，使AP
与BP的距离之和最小，
并进行证明。

（二）合作交流
问题：在⊙O中，直径CD为4，点A在⊙O上，且∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD
上一动点，则BP+AP的最小值为多少.
（三）教师精讲
问题：在矩形ABCD中AB=4,BC=6,G为边AD的中点，若E,F为边AB上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF=1,当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图中确定E与F的位置，并求出四边CGEF 周长的最小值。

（四）巩固练习
已知∠MON＝45°，P为∠MON内一定点，OP=6，OM上有一点A，ON上有一点B，求△PAB的周长的最小值，并求此时∠APB 的度数。

（五）小结与思考
1、通过本节课你有什么样的收获？
2、你学到了什么样的模型？
3、今后你还害怕求几条线段和的最小值的问题吗？
（六）作业
1.在等边∆ABC中，AB=2，点E是AB的中点AD是高，在AD 上作出点P，使得BP+EP的值最小，并求最小值。

2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(4，0)、B(－2，0)两点，与y 轴交于点C(0，4)．在抛物线的对成轴上是否存在一点P使PA+PC 的值最小，若存在求出。