2021高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词课时作业(含解析)

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简单逻辑联结词、全称量词与存在量词
课时作业
1．命题“∃x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是( )
A．∃x0∉∁RQ，x30∈Q B．∃x0∈∁RQ，x30∈Q
C．∀x∉∁RQ，x3∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
答案 D
解析 该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．
2．(2019·梅州质检)下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，ex－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，ln x<1 D．∃x∈R，tanx＝2
答案 B
解析 因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B．
3．(2020·河北保定模拟)命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是( )
A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0
B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0
C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0
D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0
答案 D
解析 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”
的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D．
4．下列命题的否定是真命题的是( )
A．有些实数的绝对值是正数
B．所有平行四边形都不是菱形
C．任意两个等边三角形都是相似的
D．3是方程x2－9＝0的一个根
答案 B
解析 若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命
题．故选B．
5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉Q
答案 B
解析 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B．
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6．(2019·山西太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≥0；命题q：若a1b，
则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(¬q)
C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)
答案 B

解析 x2－x＋1＝x－122＋34≥34>0，所以 ∃x0∈R，使x20－x0＋1≥0成立，故p为真命题，
¬p为假命题，又易知命题q为假命题，所以¬q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知
p
∧(¬q)为真命题，故选B．
7．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，log2x＝0 B．∃x∈R，cosx＝1
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0
答案 C
解析 因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，又02＝0，所以选项C为假
命题，故选C．
8．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析 由特称命题的否定为全称命题，可知原命题的否定为对任意实数x，都有x≤1.
9．(2019·南宁模拟)已知命题p：∀x>0，ln (x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下
列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(¬q)
C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)
答案 B
解析 由x>0时x＋1>1，知p是真命题，由－1>－2，(－1)2<(－2)2可知q是假命题，
即p，¬q均是真命题．故选B．
10．(2019·淮北模拟)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若
cosα·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A．p B．¬q
C．p∧q D．p∨q
答案 D
解析 若a，b共线且方向相反时，a·b<0，但a与b夹角为π，故p是假命题．若
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cosα·cosβ＝1，则 cosα＝1，cosβ＝1或 cosα＝－1，cosβ＝－1，∴sinα＝sinβ＝0，∴sin(α＋β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0，故q是真命题，∴p，¬q，p∧q均为假命题，p∨q为真命题，
故选D．
11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p，“乙
得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(¬q)∧r是真命
题，则选拔赛的结果为( )
A．甲第一、乙第二、丙第三
B．甲第二、乙第一、丙第三
C．甲第一、乙第三、丙第二
D．甲第一、乙没得第二名、丙第三
答案 D
解析 (¬q)∧r是真命题意味着¬q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；
p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q
是假命题相吻合；由于还

有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D．

12．(2019·衡水中学模拟)已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝12x－m，若∀x1∈[0,3]，
∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A．14，＋∞ B．－∞，14
C．12，＋∞ D．－∞，－12
答案 A
解析 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由

f(x)min≥ g(x)min，得0≥14－m，所以m
≥14.故选A．

13．已知命题p：∀x∈R,2x<3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(¬p)∧q为真命题，
则x的值为________.
答案 －2

解析 因为¬p：∃x∈R,2x≥3x，要使(¬p)∧q为真，所以¬p与q同时为真．由2x≥3x得




2

3

x
≥1，所以x≤0.由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2.又x≤0，所以x＝－2.

14．(2019·福建三校联考)若命题：“∃x0∈R，使得3x20＋2ax0＋1<0”是假命题，则实
数a的取值范围是________.
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答案 [－3，3]
解析 命题“∃x0∈R，使得3x20＋2ax0＋1<0”是假命题，即“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥ 0”
是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.即实数a的取值范围为[－3，3]．
15．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“¬q”同时为假命题，则x＝
________.
答案 －2
解析 若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“¬q”为假，所以q为真，即x∈Z，又因
为“p∧q”为假，所以p为假，故－316．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若
命题q∨(p∧q)真、¬p真，则实数m的取值范围是________.
答案 (1,2)
解析 由于¬p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当
命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－2－4m<0，解得m>1.所以所求的m的取值范围是117．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：
“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的
取值范围．

解 若p为真，则对称轴x＝－－42a＝2a在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，所以0若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．
所以Δ＝[－16(a－1)]2－4×16<0，

所以12因为命题“p∧q”为真命题，

所以命题p，q都为真，所以 0所以12故实数a的取值范围为12，1.
18．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m 恒成立；命题q：存
在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
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解 (1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即
m
2
－3m≤－2.
解得1≤m≤2.
因此，若p为真命题，则m的取值范围是[1,2]．
(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，
∴m≤x，命题q为真时，m≤1.
∵p且q为假，p或q为真，
∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．

当p真q假时，则 1≤m≤2，m>1，解得1

当p假q真时， m<1或m>2，m≤1，即m<1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．