【精品】2015年江苏省无锡市宜兴市培源中学九年级上学期期中数学试卷带解析答案
【精品】2015年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级上学期期中数学试卷带解析答案
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程：2x2﹣=0，x2=0，（x﹣1）（x﹣2）=3，x+2x2+1=0，（x﹣1）（2x+2）=2x2，ax2+x﹣3=0中，一元二次方程有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个2．（3分）已知三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程x2﹣4x+3=0的解，则这个三角形的周长为（）A．7或9 B．19或9 C．9 D．73．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值（）A．都缩小B．都不变C．都扩大3倍D．无法确定4．（3分）已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：55．（3分）下列各组数中，成比例的是（）A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，126．（3分）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，已知D、E分别是ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：3，那么AD：AB等于（）A．B．C．D．8．（3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，9．（3分）如图，已知在△MBC中，AD∥BC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对10．（3分）如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个 B．1个 C．2个 D．0个二、填空题（每空2分，共18分）11．（2分）方程x2=x的根是．12．（2分）若x=0是方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，则m=．13．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1•x2=．14．（2分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（2分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠CPB的值是．16．（2分）已知，关于x的方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，则m=．17．（2分）如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．18．（2分）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=，点D在BC 上，AC=AD=4，将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转到△EFC的位置，若点E落在AD的延长线上，连接BF交AD延长线于点G，那么BG=．二、解答题（共82分）19．（4分）计算：﹣|﹣3|﹣2sin60°+（﹣1+）0．20．（8分）解方程：（1）x（x﹣6）=2 （用配方法）（2）（2x+1）2=3（2x﹣1）21．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．22．（8分）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高不计，结果精确到0.1米）23．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．24．（8分）已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=，E为AB中点，F是BC边上的一动点．（1）如图①，若∠B=90°，作FG⊥CE交AD于点G，作GH⊥BC，垂足为H．求FH的长；（2）如图②，若sinB=，连接FA交CE于M，当BF为多少时，FA⊥CE？25．（8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB 的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？26．（10分）阅读下面的短文，并回答下列问题我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则．（1）下列几何体中，一定属于相似体的是A、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体．（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于．（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元．康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意．27．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA ＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（10分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市利港中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程：2x2﹣=0，x2=0，（x﹣1）（x﹣2）=3，x+2x2+1=0，（x﹣1）（2x+2）=2x2，ax2+x﹣3=0中，一元二次方程有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【解答】解：2x2﹣=0，x2=0，x+2x2+1=0，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；由（x﹣1）（x﹣2）=3得到：x2﹣3x=0，符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程；由（x﹣1）（2x+2）=2x2得到：x﹣2=0，不含二次项，属于一元一次方程；在ax2+x﹣3=0中，当a=0时，它不是一元二次方程．综上所述，一元二次方程的个数是4个．故选：C．2．（3分）已知三角形两边的长分别是2和4，第三边的长是方程x2﹣4x+3=0的解，则这个三角形的周长为（）A．7或9 B．19或9 C．9 D．7【解答】解：x2﹣4x+3=0（x﹣3）（x﹣1）=0，所以x1=3，x2=1，当x=3时，三角形的周长为2+4+3=9；当x=1时，1+2＜4，不符合三角形三边的关系，应舍去．故选：C．3．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值（）A．都缩小B．都不变C．都扩大3倍D．无法确定【解答】解：由题意可知：如果各边长度都扩大3倍，那么锐角A的各个三角函数值不变．故选：B．4．（3分）已知x：y=2：3，则（x+y）：y的值为（）A．2：5 B．5：2 C．5：3 D．3：5【解答】解：设x=2k，y=3k，则（x+y）：y=（2k+3k）：3k=5：3．故选：C．5．（3分）下列各组数中，成比例的是（）A．﹣7，﹣5，14，5 B．﹣6，﹣8，3，4 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12【解答】解：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．故选：B．6．（3分）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，AO⊥BO，AO=AC=5cm，BO=BD=3cm，则tan=tan∠BAO==．故选：A．7．（3分）如图，已知D、E分别是ABC的AB、AC边上一点，DE∥BC，且S△ADE：S四边形DBCE=1：3，那么AD：AB等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵S△ADE ：S四边形DBCE=1：3，∴S△ADE ：S△ABC=1：4，又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，相似比是1：2，∴AD：AB=1：2．故选：C．8．（3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．9．（3分）如图，已知在△MBC中，AD∥BC，图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC，△ADO∽△CBO，共两对．故选：B．10．（3分）如图，△ACD∽△ABC，则下列式子：①CD2=AD•DB；②AC2=AD•AB；③=．其中一定成立的有（）A．3个 B．1个 C．2个 D．0个【解答】解：∵△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC=CD：BC，∴AC2=AD•AB，只有②正确．故选：B．二、填空题（每空2分，共18分）11．（2分）方程x2=x的根是x1=0，x2=1．【解答】解：x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，∴x=0或x﹣1=0，∴x1=0，x2=1．故答案为x1=0，x2=1．12．（2分）若x=0是方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，则m=2或﹣4．【解答】解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0，可得m2+2m﹣8=0，解得m=2或﹣4，当m=2时，方程为3x=0，当m=﹣4时，方程为﹣6x2+3x=0，满足条件，故答案为：2或﹣4．13．（4分）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根，则x1+x2=3，x1•x2=﹣2．【解答】解：根据题意得则x1+x2=3，x1•x2=﹣2．故答案为3，﹣2．14．（2分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜且k≠0．【解答】解：∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4k＞0，且k≠0，解得，k＜且k≠0；故答案是：k＜且k≠0．15．（2分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则cos∠CPB的值是．【解答】解：如图，连接AE，交CD于点F，∵AC∥BD，且BD=3AC，∴==，又∵四边形ACED为正方形，∴AE⊥CD，DF=CF，∴=，∴=，在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x，由勾股定理可求得AP=x，∴==，∴cos∠APF=，又∵∠CPB=∠APF，∴cos∠CPB=．故答案为：．16．（2分）已知，关于x的方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，则m=1或4．【解答】解：∵方程x2+2（m+2）x+9m=0，方程的左边是一个完全平方式，∴（m+2）2=9m，即m2﹣5m+4=0，解得：m=1或4．故答案为：1或417．（2分）如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+42=80，∴BD=，∴PD=．18．（2分）在Rt△BAC中，∠BAC=90°，cos∠ACB=，点D在BC 上，AC=AD=4，将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转到△EFC的位置，若点E落在AD的延长线上，连接BF交AD延长线于点G，那么BG=14．【解答】解：∵△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转得到△EFC，∴AC=CE，BC=CF，∠ACE=∠BCF（为旋转角），∵∠CAD=（180°﹣∠ACE），∠CBF=（180°﹣∠BCF），∴∠CAD=∠CBF，又∵∠ADC=∠BDG，∴△ACD∽△BGD，∴=，∵AC=AD，∴BG=BD，过点A作AH⊥CD于H，则CD=2CH，∵cos∠ACB=，AC=4，∴==，即==，解得CH=1，BC=16，∴CD=2×1=2，BD=BC﹣CD=16﹣2=14，∴BG=14．故答案为：14．二、解答题（共82分）19．（4分）计算：﹣|﹣3|﹣2sin60°+（﹣1+）0．【解答】解：原式=2﹣3﹣+1=﹣2．20．（8分）解方程：（1）x（x﹣6）=2 （用配方法）（2）（2x+1）2=3（2x﹣1）【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣6x﹣2=0，配方得：x2﹣6x+9=11，即（x﹣3）2=11，解得：x1=3+，x2=3﹣；（2）方程整理得：2x2﹣x+4=0，∵△=1﹣32=﹣31＜0，∴方程无解．21．（8分）如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′：TA）=3：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．【解答】解：（1）如图，A′（4，7），B′（10，4）；（2）C′（3a﹣2，3b﹣2）．22．（8分）如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩贵州”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30°，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（小明的身高不计，结果精确到0.1米）【解答】解：∵∠BFC=30°，∠BEC=60°，∠BCF=90°，∴∠EBF=∠EBC=30°．∴BE=EF=20米．在Rt△BCE中，BC=BE•sin60°=20×≈17.3（米）．答：宣传条幅BC的长是17.3米．23．（8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．【解答】解：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．24．（8分）已知平行四边形ABCD中，AB=5，BC=，E为AB中点，F是BC边上的一动点．（1）如图①，若∠B=90°，作FG⊥CE交AD于点G，作GH⊥BC，垂足为H．求FH的长；（2）如图②，若sinB=，连接FA交CE于M，当BF为多少时，FA⊥CE？【解答】解：（1）如图①，∵∠FMC=∠B=90°，∵∠GFH+∠BCE=∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC=∠GFH，∴△BEC∽△HFG，∴=，即=，解得FH=；（2）作AT⊥BC，ER⊥BC．∵∠ERC=∠ATF=90°，∵∠REC+∠RCE=∠AFC+∠FCE=90°，∴∠REC=∠AFC，∴△REC∽△TFA，∴=，∵AT=ABsinB=3，BT=4，ER=1.5，CR=4.5，∴=，解得FT=1，BF=BT﹣FT=3．25．（8分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB 的坡度，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度．（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？【解答】解：（1）过点B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵i==，且BF=10m．∴AF=6m，．答：此大坝迎水坡AB的长是2m；（2）过点E作EG⊥AD于G．在Rt△AEG中，∵，且EG=BF=10m∴AG=12m，∵AF=6m，∴BE=GF=AG﹣AF=6m，如图，延长EC至点M，AD至点N，连接MN，∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．S△ABE=S梯形CMND，∴即BE=MC+ND．DN=BE﹣MC=6﹣2.7=3.3（m）．答：坝底将会沿AD方向加宽3.3m．26．（10分）阅读下面的短文，并回答下列问题我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的立方体，立方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个立方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个立方体的体积，则．（1）下列几何体中，一定属于相似体的是AA、两个球体B、两个圆锥体C、两个圆柱体D、两个长方体．（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长度的比等于相似比；②相似体表面积的比等于相似比平方；③相似体体积的比等于相似比立方．（3）寒假里，康子帮母亲到市场去买鱼，鱼摊上有一种鱼，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如下图所示，鱼长10厘米的每条10元，鱼长13厘米的每条15元．康子不知道买哪种更好些，你能否帮他出出主意．【解答】解：（1）A（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方（3）因为同一种鱼的密度一样，所以它们的质量比等于体积比设这两种鱼的质量分别为m、M，则有而它们的价格比为15：10=1.5，∴买15元一条的鱼更合算．27．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA ＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）x2﹣（+1）x+=0，（x﹣）（x﹣1）=0，解得x1=，x2=1，∵OA＜OB，∴OA=1，OB=，∴A（1，0），B（0，），∴AB=2，又∵AB：AC=1：2，∴AC=4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB=2，AC=4，BC=2，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°，由题意得：CM=t，CB=2．①当点M在CB边上时，S=2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S=t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O=AO=1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3=AB=2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42=AO2+P4O2，即x2=12+（﹣x）2，解得x=，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．28．（10分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E 在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．【解答】解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△ABC．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．所以∠C的度数是20°或40°；（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=α，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2：x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得， 即三分线长分别是和．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
江苏省无锡市九年级上学期期中数学试卷
江苏省无锡市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·沧州模拟) 中国京剧脸谱艺术是广大戏曲爱好者非常喜爱的艺术门类，在国内外流行的范围相当广泛，已经被大家公认为是汉民族传统文化的标识之一. 下列脸谱中，属于轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）关于x的一元二次方程的根的情况是（）A . 方程没有实数根B . 方程有两个相等的实数根C . 方程有两个不相等的实数根D . 以上答案都不对3. （2分）(2019·河池模拟) 如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且A′点在AB上，A′B′交CB于点D，若∠BCB′＝α，则∠CA′B′的度数为（）A . 180°﹣αB . 90°C . 180°D . 90°4. （2分）黄陂木兰旅游产业发展良好，2008年为640万元，2010年为1000万元，2011年增长率与2008至2010年年平均增长率相同，则2011年旅游收入为（）A . 1200万元B . 1250万元C . 1500万元D . 1000万元5. （2分） (2019九上·湖州月考) 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A . 25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB . 线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）C . 5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D . 曲线段AB的函数解析式为s=-3（t-20）2+1200（5≤t≤20）6. （2分）先阅读下列表格：x… 1.1 1.2 1.3 1.4…x2+12x﹣15…﹣0.590.84 2.29 3.76…由表格可知方程x2+12x﹣15=0的正根的十分位是（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）A . 2与3之间B . 3与4之间C . 4与5之间D . 5与6之间8. （2分）设a，b是方程x2+x-2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A . 2006B . 2007C . 2008D . 20099. （2分）(2020·常德) 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc ＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 110. （2分）已知二次函数y＝2x2＋9x+34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变量x取x1＋x2时的函数值与（）A . x＝1时的函数值相等B . x＝0时的函数值相等C . x＝时的函数值相等D . x＝－时的函数值相等二、填一填 (共6题；共6分)11. （1分） (2019九上·番禺期末) 用配方法将变形为，则m=________．12. （1分） (2016九上·东莞期中) 如果点P（﹣2，6）与点P′关于原点对称，那么点P′的坐标是________．13. （1分） (2019八下·南昌期末) 抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为________．14. （1分）某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，则平均每月的增长率为________ ．15. （1分）(2017·宝山模拟) 已知A（2，y1）、B（3，y2）是抛物线y=﹣（x﹣1）2+ 的图像上两点，则y1________y2 ．（填不等号）16. （1分） (2020七下·北京月考) 将三角形、菱形、正方形、圆四种图形（大小不计）组合如下图，观察并思考最后一图对应的数为________．三、用心做一做 (共8题；共70分)17. （10分）解方程（1） x2﹣7x+10=0（2） 3（x﹣2）+x2﹣2x=0．18. （10分）如图，正方形ABCO的边长为4，D为AB上一点，且BD=3，以点C为中心，把△CBD顺时针旋转90°，得到△CB1D1 ．（1）直接写出点D1的坐标；（2）求点D旋转到点D1所经过的路线长．19. （5分）先化简代数式÷ ，再选择方程x2+2x﹣3=0的一个根计算该代数式的值．20. （10分）(2020·黄石) 已知：关于x的一元二次方程有两个实数根.（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值.21. （5分） (2016九上·桑植期中) 梅尼超市服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了举行开业周年“庆典活动，商场决定采取适当的降价措施，扩大销量．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么这种童装应降价多少元？22. （10分）(2017·呼和浩特模拟) 已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k= 时，将这个二次函数的解析式写成顶点式；（2）求证：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．23. （10分）(2019·常熟模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和，是轴正半轴上的一个动点，是线段的中点，将线段绕点顺时针旋转得线段，过点作轴的垂线，过点 A 作轴的垂线，两直线交于点．（1）求、的值；（2）当为何值时，点落在抛物线上．24. （10分）(2018·安顺) 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元.（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填一填 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、用心做一做 (共8题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、22-1、答案：略22-2、23-1、答案：略23-2、答案：略24-1、答案：略24-2、答案：略。
江苏省无锡市宜兴市九年级(上)第一次段考数学试卷
江苏省无锡市宜兴市九年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）（2013秋•玄武区期中）使式子有意义的x的范围是（）A．x≥2 B．x≤﹣2 C．x≠2 D．x≤22．（3分）（2017•德州校级自主招生）下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2014春•太和县期末）对甲乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得：甲=乙，S2甲=0.025，S2乙=0.026，下列说法正确的是（）A．甲短跑成绩比乙好 B．乙短跑成绩比甲好C．甲比乙短跑成绩稳定D．乙比甲短跑成绩稳定4．（3分）（2016•河北模拟）已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两根，则△ABC的周长是（）A．10 B．8 C．6 D．8或105．（3分）（2015春•锡山区期中）下列命题中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的平行四边形是矩形C．两边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形6．（3分）（2012•高淳县一模）如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形7．（3分）（2012秋•宜兴市校级期中）如图，半径为10的圆中，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB的长为（）A．5 B． C．10 D．8．（3分）（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠29．（3分）（2015•安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B．C．D．610．（3分）（2011秋•滨湖区期中）如图，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直角∠DFE的顶点F是AB中点，两边FD，FE分别交AC，BC于点D，E两点，当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时（点D不与A，C重合），给出以下个结论：①CD=BE ②四边形CDFE不可能是正方形③△DFE是等腰直角三角形④S四边形CDFE=S△ABC，上述结论中始终正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）（2015•诏安县校级模拟）一组数据1，3，2，5，x的平均数为3，那么这组数据的极差是______．12．（2分）（2012秋•滨海县期末）已知a＜3，则=______．13．（2分）（2013秋•无锡期中）梯形上下底分别是4，6，则中位线长______．14．（2分）（2011秋•扬中市期中）若x=﹣3是方程x2+mx+3=0的一个根，那么m=______，另一根是______．15．（2分）（2011秋•相城区期末）为了减少空气污染对人的伤害以及创建“文明城市”，我市经过两年的连续治理，大气环境有了明显改善，每月每平方米的降尘量，从50t下降到40.5t，则平均每年下降的百分率为______．16．（2分）（2013秋•建湖县期中）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，BC=4cm，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则△ADE 的周长等于______cm．．17．（2分）（2013秋•江阴市期中）如图，等腰△ABC的顶角∠A=40°，以AB为直径的半圆与BC、AC分别交于D、E两点，则∠EBC=______．18．（2分）（2014春•宜宾校级期中）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），按此规律，则B4的坐标是______．三、解答题（本大题共有10小题，共84分．）19．（2015秋•宜兴市校级月考）计算：（1）5﹣9+；（2）（2﹣3）×．20．（2012秋•宜兴市校级期中）解方程：（1）3x2﹣10x+6=0（2）5x（x﹣1）=2﹣2x．21．（2006•宁波）已知x=1+，求代数式的值．22．（2006•北京）已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF ⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．求证：DE=DF．23．（2012秋•宜兴市校级期中）市农科所为了考察甲、乙两种水稻秧苗的长势，从中分别抽取了10株水稻，测得它们的株高如下（单位：cm）甲：9，14，12，16，13，16，10，10，15，15；乙：11，11，15，16，13，10，12，15，13，14．试计算这两个样本的平均数、方差，并估计哪种水稻秧苗的长势比较整齐．24．（2011•淄博）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？25．（2009•庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD 的中点，延长AP交圆于点E．（1）∠E=______度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长．26．（2015秋•宜兴市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE 切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长；（3）若F为CD的中点，连OF，试确定OF与CD的数量关系，并说明理由．27．（2011秋•正安县期末）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？28．（2014秋•江阴市校级期中）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积；（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．江苏省无锡市宜兴市九年级（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）（2013秋•玄武区期中）使式子有意义的x的范围是（）A．x≥2 B．x≤﹣2 C．x≠2 D．x≤2【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子有意义，∴x﹣2≥0，解得x≥2．故选A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．2．（3分）（2017•德州校级自主招生）下列各组二次根式中是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【解答】解：A、=2与被开方数不同，故不是同类二次根式，故A选项错误；B、与被开方数不同，故不是同类二次根式，故B选项错误；C、与被开方数相同，是同类二次根式，故C选项正确；D、与被开方数不同，故不是同类二次根式，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．3．（3分）（2014春•太和县期末）对甲乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得：甲=乙，S2甲=0.025，S2乙=0.026，下列说法正确的是（）A．甲短跑成绩比乙好 B．乙短跑成绩比甲好C．甲比乙短跑成绩稳定D．乙比甲短跑成绩稳定【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察数据可知甲队的方差小，故甲比乙短跑成绩稳定．【解答】解：∵S甲2＜S乙2，∴甲比乙短跑成绩稳定．故选：C．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．4．（3分）（2016•河北模拟）已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x2﹣6x+8=0的两根，则△ABC的周长是（）A．10 B．8 C．6 D．8或10【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是2和4，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长．【解答】解：x2﹣6x+8=0，∴（x﹣2）（x﹣4）=0，∴x1=2，x2=4．由三角形的三边关系可得：（两边之和大于第三边），∴腰长是4，底边是2，所以周长是：4+4+2=10．故选：A．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根据三角形的三边关系求出三角形的周长，此题难度不大，但容易出错，注意三角形三边关系是解决问题的关键．5．（3分）（2015春•锡山区期中）下列命题中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．两条对角线相等的平行四边形是矩形C．两边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【分析】两组对边平行的四边形是平行四边形；两条对角线相等的四边形是矩形；邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形．【解答】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，故本选项错误．B、两条对角线相等的四边形是矩形，故本选项正确．C、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误．D、对角线互相垂直，相等且互相平分的四边形是正方形，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，要熟记这些判定定理．6．（3分）（2012•高淳县一模）如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．正方形【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．【解答】解：在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则形成中位线EG∥AC，FH∥AC，EF∥BD，GH∥BD，又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EG，EG⊥EF，EF⊥FH，FH⊥HG，根据矩形的定义可以判定该四边形为矩形．故选B．【点评】本题考查矩形的判定，根据中位线定理判定邻边垂直，并掌握根据矩形定义判定矩形的方法．7．（3分）（2012秋•宜兴市校级期中）如图，半径为10的圆中，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB的长为（）A．5 B． C．10 D．【分析】连接OA，先根据垂径定理得出AM=AB，再由勾股定理求出AM的长即可．【解答】解：连接OA，∵⊙O的半径是10，弦AB垂直平分半径OC，∴OM=×10=5，AM=AB，在Rt△AOM中，∵OA=10，OM=5，∴AM===5，∴AB=2AM=2×5=10．故选D．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．（3分）（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．（3分）（2015•安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．B．C．D．6【分析】先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵△CEO是△CEB翻折而成，∴BC=OC，BE=OE，∠B=∠COE=90°，∴EO⊥AC，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即62=AB2+32，解得AB=3，在Rt△AOE中，设OE=x，则AE=3﹣x，AE2=AO2+OE2，即（3﹣x）2=32+x2，解得x=，∴AE=EC=3﹣=2．故选：A．【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．10．（3分）（2011秋•滨湖区期中）如图，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直角∠DFE的顶点F是AB中点，两边FD，FE分别交AC，BC于点D，E两点，当∠DFE在△ABC内绕顶点F旋转时（点D不与A，C重合），给出以下个结论：①CD=BE ②四边形CDFE不可能是正方形③△DFE是等腰直角三角形④S四边形CDFE=S△ABC，上述结论中始终正确的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【分析】首先连接CF，由等腰直角三角形的性质可得：∴∠A=∠B=45°，CF⊥AB，∠ACF=∠ACB=45°，CF=AF=BF=AB，则证得∠DCF=∠B，∠DFC=∠EFB，然后可证得：△DCF ≌△EBF，由全等三角形的性质可得CD=BE，DF=EF，也可证得S四边形CDFE=S△ABC，问题得解．【解答】解：连接CF，∵AC=BC，∠ACB=90°，点F是AB中点，∴∠A=∠B=45°，CF⊥AB，∠ACF=∠ACB=45°，CF=AF=BF=AB，∴∠DCF=∠B=45°，∵∠DFE=90°，∴∠DFC+∠CFE=∠CFE+∠EFB=90°，∴∠DFC=∠EFB，∴△DCF≌△EBF，∴CD=BE，故①正确；∴DF=EF，∴△DFE是等腰直角三角形，故③正确；∴S△DCF=S△BEF，∴S四边形CDFE=S△CDF+S△CEF=S△EBF+S△CEF=S△CBF=S△ABC，故④正确．若EF⊥BC时，则可得：四边形CDFE是矩形，∵DF=EF，∴四边形CDFE是正方形，故②错误．∴结论中始终正确的有①③④．故选C．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定等知识．题目综合性很强，但难度不大，注意数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）（2015•诏安县校级模拟）一组数据1，3，2，5，x的平均数为3，那么这组数据的极差是4．【分析】由平均数公式求出x，再根据极差的公式：极差=最大值﹣最小值求解即可．【解答】解：根据题意得：（1+3+2+5+x）÷5=3，解得：x=5，∴极差=5﹣1=4．故答案为4．【点评】考查了平均数和极差公式．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．12．（2分）（2012秋•滨海县期末）已知a＜3，则=3﹣a．【分析】根据二次根式的性质得出|a﹣3|，去掉绝对值符号即可．【解答】解：∵a＜3，∴=|a﹣3|=3﹣a．故答案为：3﹣a．【点评】本题考查了二次根式的性质和绝对值，注意：当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．13．（2分）（2013秋•无锡期中）梯形上下底分别是4，6，则中位线长5．【分析】根据梯形的中位线性质得出EF=（AD+BC），代入求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是梯形AD∥BC，AD=4，BC=6，EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（4+6）=5．故答案为：5．【点评】本题考查了梯形的中位线性质，注意：梯形的中位线平行于两底，并且等于梯形两底和的一半．14．（2分）（2011秋•扬中市期中）若x=﹣3是方程x2+mx+3=0的一个根，那么m=4，另一根是﹣1．【分析】设方程的一个根x1=﹣3，另一根为x2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于x2的方程，解方程即可得到x2的值，再由两根之和得到m的值．【解答】解：方程x2+mx+3=0的一个根为x1=﹣3，设另一根为x2，∴x1•x2=﹣3x2=3，解得：x2=﹣1，又x1+x2=﹣m，∴﹣3﹣1=﹣m，解得m=4．故答案为：4，﹣1．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当方程有解，即b2﹣4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2分）（2011秋•相城区期末）为了减少空气污染对人的伤害以及创建“文明城市”，我市经过两年的连续治理，大气环境有了明显改善，每月每平方米的降尘量，从50t下降到40.5t，则平均每年下降的百分率为10%．【分析】等量关系为：50×（1﹣下降的百分比）2=40.5，把相关数值代入求得符合题意的解即可．【解答】解：设平均每年下降的百分率为x．50×（1﹣x）2=40.5，解得x1=1.9（不合题意，舍去），x2=10%．故答案为：10%．【点评】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．16．（2分）（2013秋•建湖县期中）如图，△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，BC=4cm，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则△ADE 的周长等于11cm．．【分析】由BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，易得△BOD与△COE 是等腰三角形，即可得△ADE的周长等于AB+AC，又由AB=6cm，AC=5cm，BC=4cm，即可求得答案．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠BOD=∠OBC，∠COE=∠OCB，∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠COE，∴BD=OD，CE=OE，∵AB=6cm，AC=5cm，BC=4cm，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=6+5=11（cm）．故答案为：11．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．17．（2分）（2013秋•江阴市期中）如图，等腰△ABC的顶角∠A=40°，以AB为直径的半圆与BC、AC分别交于D、E两点，则∠EBC=20°．【分析】首先，根据等腰三角形是性质、三角形内角和定理求得∠ABC=∠C=70°；然后，由圆周角定理证得△ABE是直角三角形；最后，由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EBC的度数．【解答】解：∵△ABC的顶角∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EBC=90°﹣∠C=90°﹣70°=20°，即∠EBC=20°．故答案是：20°．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质．注意，挖掘出隐含在题中的已知条件：△ABC的内角和是180°．18．（2分）（2014春•宜宾校级期中）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置，点A1，A2，A3…和点C1，C2，C3…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），按此规律，则B4的坐标是（15，8）．【分析】首先求得直线的解析式，分别求得A1，A2，A3…的坐标，可以得到一定的规律，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．【解答】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入y=kx+b得，解得：．则直线的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1，∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1，∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1，据此可以得到A n的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1．∵点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴点B3的坐标为（7，4），∴Bn的横坐标是：2n﹣1，纵坐标是：2n﹣1，即B n的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．∴B4的坐标是（15，8）．故答案是：（15，8）．【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．三、解答题（本大题共有10小题，共84分．）19．（2015秋•宜兴市校级月考）计算：（1）5﹣9+；（2）（2﹣3）×．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．【解答】解：（1）原式=10﹣3+2=9；（2）原式=（4﹣）×=3×=9．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．（2012秋•宜兴市校级期中）解方程：（1）3x2﹣10x+6=0（2）5x（x﹣1）=2﹣2x．【分析】（1）直接利用求根公式计算结果即可；（2）移项后提取公因式即可得到结果．【解答】解：（1）3x2﹣10x+6=0∵a=3 b=﹣10 c=6∴b2﹣4ac=（﹣10）2﹣4×3×6=100﹣72=28＞0，∴x==∴x=或x=（2）5x（x﹣1）=2﹣2x移项得：5x（x﹣1）+2x﹣2=0整理得5x（x﹣1）+2（x﹣1）=0提取公因式得：（x﹣1）（5x+2）=0解得：x=1或x=﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的方法是选择合适的解方程的方法并认真的求解．21．（2006•宁波）已知x=1+，求代数式的值．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式化简，然后再代入求值．分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，是有理式恒等变形的重要内容之一．在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．【解答】解：原式=﹣==，当x=1+时，原式=．【点评】本题的关键是分式的通分与化简，然后把给定的值代入求值．22．（2006•北京）已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF ⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．求证：DE=DF．【分析】可通过证明OE=OF，然后根据垂直平分线性质来得出DE=DF，要证明OE=OF，证明三角形BOF和三角形DOE全等即可．【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠OBF=∠ODE∵O为BD的中点∴OB=OD在△BOF和△DOE中，∵∴△BOF≌△DOE∴OF=OE∵EF⊥BD于点O∴DE=DF．【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，证明简单的线段相等，一般是通过全等三角形来证明的．23．（2012秋•宜兴市校级期中）市农科所为了考察甲、乙两种水稻秧苗的长势，从中分别抽取了10株水稻，测得它们的株高如下（单位：cm）甲：9，14，12，16，13，16，10，10，15，15；乙：11，11，15，16，13，10，12，15，13，14．试计算这两个样本的平均数、方差，并估计哪种水稻秧苗的长势比较整齐．【分析】首先求出甲，乙的平均数，然后根据求方差公式S 2=[（x1﹣）2+[（x2﹣）2+…+[（x n﹣）2]代入求出即可．【解答】解：∵甲：9，14，12，16，13，16，10，10，15，15；∴甲的平均数是：（9+14+12+16+13+16+10+10+15+15）÷10=13；∵乙：11，11，15，16，13，10，12，15，13，14．∴乙的平均数是：（11+11+15+16+13+10+12+15+13+14）÷10=13；甲的方差是：S2=[（x1﹣）2+[（x2﹣）2+…+[（x n﹣）2]，=[（9﹣13）2+（14﹣13）2+…+（15﹣13）2]，=（16+1+1+9+0+9+9+9+4+4），=6.2；乙的方差是：S2=[（x1﹣）2+[（x2﹣）2+…+[（x n﹣）2]，=[（11﹣13）2+（11﹣13）2+…+（14﹣13）2]，=（4+4+4+9+0+9+1+4+0+1）=3.6；∴乙的方差小于甲的方差，∴乙水稻秧苗的长势比较整齐．【点评】此题主要考查了平均数的求法，以及方差的求值，正确的求出方差解决问题的关键．24．（2011•淄博）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【分析】（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．【点评】综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．25．（2009•庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD 的中点，延长AP交圆于点E．（1）∠E=45度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE的长．【分析】由“同弧所对的圆周角相等”可知∠E=∠ACD=45°，∠CAE=∠EDC，所以△ACP∽△DEP；求弦DE的长有两种方法：一，利用△ACP∽△DEP的相似比求DE的长；二、过点D作DF⊥AE于点F，利用Rt△DFE中的勾股定理求得DE的长．【解答】解：（1）∵∠ACD=45°，∠ACD=∠E，∴∠E=45°．（2分）（2）△ACP∽△DEP，（4分）理由：∵∠AED=∠ACD，∠APC=∠DPE，∴△ACP∽△DEP．（6分）（3）方法一：∵△ACP∽△DEP，∴．（7分）∵P为CD边中点，∴DP=CP=1∵AP=，AC=，（9分）∴DE=．（10分）方法二：如图2，过点D作DF⊥AE于点F，在Rt△ADP中，AP=．（7分）又∵S△ADP=AD•DP=AP•DF，（8分）∴DF=．（9分）∴DE=DF=．（10分）【点评】此题主要考查相似三角形的判定及圆周角定理的运用．26．（2015秋•宜兴市校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE 切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，（1）求证：OD∥BE；（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的长；（3）若F为CD的中点，连OF，试确定OF与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）首先连接OE，由AM和DE是它的两条切线，易得∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，由切线长定理，可得∠AOD=∠EOD=∠AOE，∠AOD=∠ABE，根据同位角相等，两直线平行，即可证得OD∥BE；（2）由（1），易证得∠EOD+∠EOC=90°，然后利用勾股定理，即可求得CD的长；（3）由（2）知△DOC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出OF=CD．【解答】（1）证明：连接OE，∵AM、DE是⊙O的切线，OA、OE是⊙O的半径，∴∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE；（2）解：由（1）得：∠AOD=∠EOD=∠AOE，同理，有：∠BOC=∠EOC=∠BOE，∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°，∴∠EOD+∠EOC=90°，∴△DOC是直角三角形，∴CD==10（cm）；（3）解：∵F为CD的中点，∠DOC=90°，∴OF=CD．【点评】此题考查了切线的性质、切线长定理、平行线的判定以及勾股定理、直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．27．（2011秋•正安县期末）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？【分析】（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；（2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可．【解答】解：（1）当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元，即55﹣50=5（元），（1分）则每天可销售商品450件，即500﹣5×10=450（件），（2分）商场可获日盈利为（55﹣40）×450=6750（元）．（3分）答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；（2）设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元．则每件商品比50元高出（x﹣50）元，每件可盈利（x﹣40）元，（4分）每日销售商品为500﹣10×（x﹣50）=1000﹣10x（件）．（5分）依题意得方程（1000﹣10x）（x﹣40）=8000，（6分）整理，得x2﹣140x+4800=0，（7分）解得x=60或80．（9分）答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元．（10分）【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列出方程是关键．28．（2014秋•江阴市校级期中）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积；（2）动点P从点B出发，以2个单位/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以2个单位/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过D作DH∥AB交BC于点H，根据已知得出ABHD是平行四边形，求出DH=AB=8，BH=AD=2，再根据勾股定理求出HC，最后根据梯形的面积公式即可得出答案；（2）分三种情况讨论，当0≤t≤4时，过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E，H，根据勾股定理表示出PD和PQ，再分两种情况讨论，求出t的值；第二种情况：当4≤t＜5时，得出DP=DQ=10﹣2t，从而得出以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立，第三种情况：5＜t≤6时，得出DP=DQ=2t﹣10，从而得出以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．【解答】解：（1）如图（1）过D作DH∥AB交BC于点H，∵AD∥BC，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形，∴DH=AB=8，BH=AD=2，∵CD=10，∴HC==6，∴BC=BH+CH=8，∴S ABCD=（AD+BC）•AB=×（2+8）×8=40；（2）①∵BP=CQ=2t，∴AP=8﹣2t，DQ=10﹣2t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣2t+2+10﹣2t=2t+8+2t，∴t=＜4，∴当t=秒时，PQ将梯形ABCD周长平分，QC=3，PB=3，∵QE∥DH，∴==，∴==，∴QE=，EC=，BE=8﹣=，。
江苏省无锡市锡中实验学校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷
江苏省无锡市锡中实验学校2024-2025学年九年级上学期期中测试数学试卷一、单选题1．sin 30︒的值等于（）A ．12B ．2C D ．12．某种零件在设计图上的长是2厘米，它的实际长是4米，则这幅设计图的比例尺是（）A ．200：1B ．2000：1C ．1：2000D ．1：2003．已知O 的半径为5，6OA =，则点A 在（）A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．无法确定4．在ABC V 中，90C ∠=︒，2BC =，3AB =，则cos A 的值为（）A ．3B ．23C ．12D ．325．下列说法中正确的是（）A ．三个点确定一个圆B ．长度相等的弧是等弧C ．直径所对的圆周角是直角D ．正五边形是中心对称图形6．如图，在ABCD 中，E 为AD 上一点，23AE BC =，BE 与AC 交于点F ．若12AC =，则AF 的长为（）A ．6B ．4C ．5.2D ．4.87．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（）A ．B ．C ．D ．8．如图在⊙O 中，弦AB 与CD 交于点M ，∠C =45°，∠AMD =75°，则∠D 的度数是（）A ．15°B ．25°C ．30°D ．75°9．如图，ABC V 中，90C ∠=︒，6AC =，10AB =，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB 、BC 均相切，则O 的半径为（）A ．127B ．137C ．135D ．12510．已知O 的半径为4，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且AC BD ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为E 、F ，关于下列四个命题：①BD 的最大值是8；②AE EC BE ED ⋅=⋅；③若3CD =，则1OF =；④若2OF =，则30DBC ∠=︒．其中正确的命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题11．若32a b =，则ab=．12．小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了米．13．以O 为位似中心，将ABC V 按相似比1：2扩大得到DEF ，若ABC V 的周长为3，则DEF的周长为．14．请写出一个锐角α的值，使得sin 2α>，你写出的α的值为．15．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若95BAD ∠=︒，则DCE ∠的大小是．16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m ．17．已知：在△ABC 中，AB=6，AC=8，点D 是AB 的中点，E 是AC 边上的一点，若以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE 的长为．18．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数443y x =+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，记点(,1)(1)M m m >-关于直线AB 的对称点为N ，若以N 为圆心，MN 为半径的N e 与x 轴相切，则AOB V 外接圆的半径为；m 的值为．三、解答题19．计算：(1)11(π2)tan 452-︒⎛⎫--+ ⎪⎝⎭；(2)21cos 602-+︒-．20．如图，BAD CAE ∠=∠，B D ∠=∠．(1)求证：ABC ADE △△∽；(2)如果2AB AD =，6BC =，求DE 的长．21．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c ，根据下列条件解直角三角形．(1)=60B ∠︒，8c =；(2)a =4c =．22．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD >，点E ，F 分别在线段AC ，BC 上，且=FAC ADE ∠∠，AC AD =．(1)求证：AF DE =；(2)若2AF BF CE =⋅，求证：ABC CDE ∠=∠．23．如图，已知AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，点P 是O 外的一点，PC AB ⊥，垂足为点C ，PC 与BD 相交于点E ，连接PD ，且PD PE =，延长PD 交BA 的延长线于点F ．(1)求证：PD 是O 的切线；(2)若4DF =，72PE =，4cos 5PFC ∠=，求OC 的长．24．在矩形ABCD 中，AD AB >．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD 上确定点E ，使BE BC =．再在CD 上确定点F ，使以F 为圆心的圆经过点E 和点C ；(2)在（1）的条件下，若6AB =，且4sin 5DEF ∠=，则AE 的长为____________．（如需要画草图请使用图2）25．如图，一艘海警船在海上巡逻，航行到A 处测得南偏东60°的方向上有一灯塔B ，海警船以20海里每小时的速度向正东方向航行2小时到达C 处，测得此时灯塔B 在C 处南偏东15°的方向上．(1)求A 处与灯塔B 相距多少海里？(2)海警船从点C 出发继续向正东方向航行，还需要航行多少小时，使得海警船与灯塔的距离最小．（结果保留根号）26．“谁言寸草心，报得三春晖”表达的是儿女的孝心像小草一样，无法报答得了母亲如同春晖一般的恩情．在数学中，三角形也有“心”，现在已经发现的三角形的心已经超过4万多个，其中有4个心对它们熟悉的人比较多，这4个心分别是垂心、重心、外心和内心．在苏科版的初中数学教材中对三角形的“内心”给出的定义是“三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心”，其实三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，而“重心”就是三角形三条中线的交点，如图1中，三条中线AD 、BE 、CF 的交点G 就是ABC V 的重心，且2AG BG CGGD GE GF===．请你解决以下问题：(1)三角形的重心在三角形的__________部；三角形的内心在三角形的__________部；（选填“内”或“外”）(2)在图1中，若ABC V 的面积为6，则CDG 的面积为__________；(3)如图2，I 是ABC V 的内心，60C ∠=︒，AI 的延长线分别与BC 和ABC V 的外接圆交于D 、E 两点，若24BD DE ==，求IE 的长．27．如图，ABC V 的顶点B C 、在直线l 上，90ACB ∠=︒，2BC =，1tan 2A ∠=，点D 是直线上位于点C 右侧的一点，且6CD =，点O 是直线l 上的一个动点，以点O 为圆心，2为半径的圆记作O ．(1)若点M 是O 上的任意一点，当O 与AC 边相切时，AM 的最大值是__________；(2)当1OC =时，设O 与AC 边的交点为N ，求BON △的面积；(3)当O 与ABC V 的边恰有两个交点时，请直接写出OD 的取值范围．28．如图，8AE =，D 为线段AE 上一点（异于点AE 、），分别以AD 与DE 为边长在AE 同侧作正方形ABCD 和正方形DEFG ，连接GE BE 、，连接AG 交BE 于点O ，设AD x =．(1)当3x =时：①tan BEA ∠=__________；②tan BEG ∠=__________；(2)设OEG 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．。
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案
2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）3的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±D．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=23．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等4．（3分）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或155．（3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×1007．（3分）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°8．（3分）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O 的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA 的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（2分）方程x（x﹣1）=2（x﹣1）的解是．13．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两个根，则x1•x2=．14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a 为．15．（2分）一个底面直径为10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是度．16．（2分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=50°，则∠BAE=°．17．（2分）如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过秒后，点P在⊙O上．18．（2分）如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．）19．（8分）解下列方程（1）2x2﹣2x﹣5=0（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2=0．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2=0．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．22．（6分）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．23．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．24．（8分）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．25．（10分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，宁波六区限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55%，新楼盘成交量比限购前减少52%．（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水．某楼盘限购前均价为12000元/m2，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设宁波平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．27．（12分）在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．28．（12分）如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．2014-2015学年江苏省无锡市江阴市暨阳中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）3的算术平方根是（）A．3 B．﹣3 C．±D．【解答】解：∵（）2=3，∴3的算术平方根是．故选：D．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选：D．3．（3分）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选：B．4．（3分）等腰△ABC的两边长分别是一元二次方程x2﹣9x+18=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或15【解答】解：x2﹣9x+18=0，（x﹣3）（x﹣6）=0，所以x1=3，x2=6，当腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边的关系，故舍去；当腰为6，底为3，则三角形周长=6+6=3=15．故选：C．5．（3分）如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1，∴BC=ACtan60°=1×=，AB=2∴S△ABC=AC•BC=．根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′．∴S阴影=S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC==．故选：A．6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（）A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2 C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2，桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．故选：B．7．（3分）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选：C．8．（3分）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O 的位置关系是（）A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交【解答】解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l 相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：D．9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=20°．动点P、Q分别在直线BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100°．设BP=x，CQ=y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=20°∴∠ACB=80°又∵∠PAQ=∠PAB+∠BAC+∠CAQ=100°∴∠PAB+∠CAQ=80°△ABC中：∠ACB=∠CAQ+∠AQC=80°∴∠AQC=∠PAB同理：∠P=∠CAQ∴△APB∽△QAC∴，即=．则函数解析式是y=．故选：A．10．（3分）如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA 的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵点A坐标为（﹣1，1），∴k=﹣1×1=﹣1，∴反比例函数解析式为y=﹣，∵OB=AB=1，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y轴，∴点B′的坐标为（﹣，t），∵PB=PB′，∴t﹣1=|﹣|=，整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），∴t的值为．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．12．（2分）方程x（x﹣1）=2（x﹣1）的解是x1=1，x2=2．【解答】解：x（x﹣1）=2（x﹣1），x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，x﹣1=0，x﹣2=0，x1=1，x2=2，故答案为：x1=1，x2=2．13．（2分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5=0的两个根，则x1•x2=﹣5．【解答】解：根据题意得x1x2=﹣5．故答案为﹣5．14．（2分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a 为2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，∴a2﹣4=0且a+2≠0．解得a=2．故答案是：2．15．（2分）一个底面直径为10cm，母线长为15cm的圆锥，它的侧面展开图圆心角是120度．【解答】解：∵底面直径为10cm，∴底面周长为10π，根据题意得10π=，解得n=120．故答案为：120．16．（2分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若∠C=50°，则∠BAE=50°．【解答】解：根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，得∠BAE=∠C=50°．故答案是：50．17．（2分）如图，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，经过2或秒后，点P在⊙O上．【解答】解：设x秒后点P在圆O上，∵原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动，同时，距原点右边7个单位有一点P以每秒2个单位的速度向左运动，∴当第一次点P在圆上时，（2+1）x=7﹣1=6解得：x=2；当第二次点P在圆上时，（2+1）x=7+1=8解得：x=答案为：2或；18．（2分）如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为2，，．【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵直线AB的解析式分别与x轴、y轴相交于B、A两点，OA=6，∠ABO=30°，∴OB=6．∵在Rt△AOB中，∠ABO=30°．∴在Rt△BCD中，BC=2CD．如图1，直线l与⊙C第一次相切，由题意得：OP=2t，BC=3t，∴CD=2t﹣1．∴3t=2（2t﹣1），解得：t=2．如图2，直线l与⊙C第二次相切，由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，∴CD=12﹣2t﹣1．∴3t=2（12﹣2t﹣1），解得：t=．如图3，直线l与⊙C第三次相切，由题意得：OP=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BC=3t，∴CD=12﹣2t+1．∴3t=2（12﹣2t+1），解得：t=．综上所述：直线l与⊙C相切时t的值为：2，，．故答案为：2，，．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．）19．（8分）解下列方程（1）2x2﹣2x﹣5=0（2）9（x+1）2﹣（x﹣2）2=0．【解答】解：（1）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=44，x==所以x1=，x2=；（2）[3（x+1）﹣（x﹣2）][3（x+1）+（x﹣2）]=0，3（x+1）﹣（x﹣2）=0或3（x+1）+（x﹣2）=0，所以x1=，x2=．20．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x满足x2+x﹣2=0．【解答】解：（1﹣）÷﹣=（﹣）×﹣=×﹣=，由x2+x﹣2=0，得x1=1，x2=﹣2 （舍去），则原式==．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．【解答】（1）证明：∵b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）=36+4k2＞0因此方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x1+x2=﹣=﹣=6，又∵x1+2x2=14，解方程组解得：将x1=﹣2代入原方程得：（﹣2）2﹣6×（﹣2）﹣k2=0，解得k=±4．22．（6分）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．【解答】证明：连接AD，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SSS），∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE=DF．23．（6分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，3）、B（﹣1，2）、C（﹣3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为π；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并求出D点坐标．【解答】解；（1）如图所示：（2）在旋转过程中，点A经过的路径的长度为：=π；故答案为：π；（3）∵B，B1在y轴两旁，连接BB1交y轴于点D，设D′为y轴上异于D的点，显然D′B+D′B1＞DB+DB1，∴此时DB+DB1最小，设直线BB1解析式为y=kx+b，依据题意得出：，解得：，∴y=﹣x+，∴D（0，）．24．（8分）如图，在直角梯形OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且BD=2AD，双曲线y=（k＞0）经过点D，交BC于点E．（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积．【解答】解：（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图，∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），∴BC=OM=2，BM=OC=6，AM=3，∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴==，即==，∴DN=2，AN=1，∴ON=OA﹣AN=4，∴D点坐标为（4，2），把D（4，2）代入y=得k=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=；（2）S=S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD四边形ODBE=×（2+5）×6﹣×|8|﹣×5×2=12．25．（10分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，宁波六区限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55%，新楼盘成交量比限购前减少52%．（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水．某楼盘限购前均价为12000元/m2，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设宁波平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．【解答】解：（1）设限购前二手房成交x套，新楼盘成交y套，根据题意得：，解得：，4500×（1﹣55%）=2025（套），5000×（1﹣52%）=2400（套），答：限购后二手房和新楼盘各成交2025套和2400套．（2）设每次调价百分比为m，根据题意得：12000（1﹣m）2=7680，解得：m=0.2=20%，m=1.8（舍去），∵90000×6÷80=6750＜7680，∴没有到合理价位．答：平均每次下调的百分率是20%，没有到合理价位．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．（1）求证：∠ACM=∠ABC；（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，又∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥CM，∴∠ACM+∠ACO=90°，∵CO=AO，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACM=∠ABC；（2）解：∵BC=CD，∠ACB=90°，∴∠OAC=∠CAD，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AD，又∵OC⊥CE，∴AD⊥CE，∴△AEC是直角三角形，∴△AEC的外接圆的直径是AC，又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，∴△ABC∽△CDE，∴=，⊙O的半径为3，∴AB=6，∴=，∴BC2=12，∴BC=2，∴AC==2，∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为：．27．（12分）在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，AC=8；（1）如图①，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标；（2）定义：若以不在同一直线上的三点中的一点为圆心的圆恰好过另外两个点，这样的圆叫做黄金圆．如图②，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动；求：当PQC三点恰好构成黄金圆时点P的坐标．【解答】解：（1）如图①，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，又∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4．在Rt△EFG和Rt△EBG中∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL），∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO⋅AG，即36+16=6×AG，AG=，可得：CG=，BG=．∴G的坐标为（8，）；（2）设运动的时间为t秒，当点C为圆心时，则CQ=CP，即：2t=10﹣4t，得到t=，此时CP=，AP=，P点坐标为．当点P为圆心时，则PC=PQ，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10﹣4t，CP=2t，∵EQ∥AO，∴△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=，PE=，则，化简得：36t2﹣140t+125=0，解得：（舍去），此时，AP=，P点坐标为，当点Q为圆心时，则QC=PQ，如备用图，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10﹣4t，CP=2t，∵EQ∥AO，∴△CFQ∽△CAO，∴QF=，PF=．则，整理得，解得：（舍去）．此时，AP=，P点坐标为，综上所述，P点坐标为，，．28．（12分）如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．【解答】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE=6，∵∠EAD+∠BAE=90°，∠BAE=∠BEF，∴∠EAD+∠BEF=90°，∵∠BEF+∠F=90°，∴∠EAD=∠F∵∠ADE=∠FBE∴△ADE∽△FBE，∴，，∴BF=30；（2）①如图1，将矩形ABCD和直角△FBE以CD为轴翻折，则△AMH即为未包裹住的面积，∵Rt△F′HN∽Rt△F′EG，∴=，即解得：HN=3，∴S=•AM•MH=×12×24=144；△AMH②如图2，将矩形ABCD和Rt△ECF以AD为轴翻折，∵Rt△GBE∽Rt△GB′C′，∴，即，解得：GB′=24，=•B′C′•B′G=×12×24=144，∴S△B′C′G∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．。
【精品】2015-2016年江苏省无锡市宜兴市培源中学八年级(上)期中数学试卷带答案
2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市培源中学八年级（上）期中数学试卷一、精心选一选（每小题3分）1．（3分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．4、5、6 B．6、8、10 C．5、9、12 D．3、9、133．（3分）如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（）A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm4．（3分）如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）A．10：05 B．20：01 C．20：10 D．10：025．（3分）在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=100°，则DE与DF的关系为（）A．DE＞DF B．DE＜DFC．DE=DF D．不能确定DE与DF的大小6．（3分）已知（x﹣2）2+=0，求y x的值（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．27．（3分）如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=9cm，AB=11cm，则△EBC的周长为（）A．9cm B．11cm C．20cm D．31cm8．（3分）一个直角三角形三边的长a、b、c都是整数，且满足a＜b＜c，a+c=49．则这个直角三角形的面积为（）A．200 B．210 C．220 D．230二、细心填一填（每空2分）.9．（4分）的立方根是，的平方根是．10．（2分）等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是°．11．（2分）如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是（填上你认为适当的一个条件即可）．12．（2分）已知直角三角形的两边长分别为6和10，则第三边的长为．13．（2分）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为cm．14．（2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=20，AC=16，AD平分∠BAC交BC 于点D，则点D到线段AB的距离为．15．（2分）若一个正数的平方根是2a+1和﹣a﹣4，则这个正数是．16．（2分）直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和7cm，则它的面积是cm2．17．（2分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为．18．（2分）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部且OP=4，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1P2=．19．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB 的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．三、认真答一答．20．（6分）①+﹣（）2②．21．（6分）解方程：①（x+1）2=16②﹣（x﹣3）3=8．22．（5分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BC=EF，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．23．（5分）如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？24．（6分）如图，是6×6的正方形网格，每个小正方形的单位长为1．请在下列三个网格图中各画一个三角形，要求同时满足以下三个条件：（1）三角形的顶点在网格点上；（2）三角形是一个腰长为无理数的等腰三角形；（3）三角形的面积为6．25．（6分）如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．（4分）如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm？（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．（直接填空）27．（6分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．28．（8分）已知：如图，△ABC中，AB=AC=10m，BC=16m，现点P从B点出发，沿BC向点C运动，运动速度为m/s．问P点经过几秒后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形？2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市培源中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（每小题3分）1．（3分）下列四个图案中，轴对称图形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据图象，以及轴对称图形的定义可得，第1，2，4个图形是轴对称图形，第3个是中心对称图形，故选：C．2．（3分）下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．4、5、6 B．6、8、10 C．5、9、12 D．3、9、13【解答】解：A、42+52≠62，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；B、62+82=102，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确；C、52+92≠122，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；D、32+92≠132，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误．故选：B．3．（3分）如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（）A．20cm B．16cm C．20cm或16cm D．12cm【解答】解：当腰长为8cm时，则三角形的三边长分别为8cm、8cm、4cm，满足三角形的三边关系，此时周长为20cm；当腰长为4cm时，则三角形的三边长分别为4cm、4cm、8cm，此时4+4=8，不满足三角形的三边关系，不符合题意；故选：A．4．（3分）如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）A．10：05 B．20：01 C．20：10 D．10：02【解答】解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．故选：B．5．（3分）在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，F为AC上一点，且∠DFA=100°，则DE与DF的关系为（）A．DE＞DF B．DE＜DFC．DE=DF D．不能确定DE与DF的大小【解答】解：如图，点D作DG⊥AC于G，∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DG，∵∠DFA=100°，∴DG＜DF，∴DE＜DF．故选：B．6．（3分）已知（x﹣2）2+=0，求y x的值（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：∵（x﹣2）2+=0，∴x﹣2=0，y+1=0，∴x=2，y=﹣1，∴y x=（﹣1）2=1．故选：C．7．（3分）如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=9cm，AB=11cm，则△EBC的周长为（）A．9cm B．11cm C．20cm D．31cm【解答】解：∵DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，BC=9cm，AB=11cm，∴AE=CE，∴AB=AE+BE=CE+BE=11cm，∴△EBC的周长=BC+（CE+BE）=BC+AB=9+11=20cm．故选：C．8．（3分）一个直角三角形三边的长a、b、c都是整数，且满足a＜b＜c，a+c=49．则这个直角三角形的面积为（）A．200 B．210 C．220 D．230【解答】解：三边分别为a、b、c，且a＜b＜c，∴c为斜边，且满足c2=a2+b2，c=49﹣a，故b2=492﹣98a=49（49﹣2a），其中a＜b＜c，∴a＜24，b=7，由题意知a，b为整数，则a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29，∵a2+b2=c2，所以a=12，b=35，c=37或a=20，b=21，c=29均符合题意，这个直角三角形的面积为×12×35=210或×20×21=210．故选：B．二、细心填一填（每空2分）.9．（4分）的立方根是﹣1.5，的平方根是±2．【解答】解：﹣3=﹣，而﹣的立方根为﹣；=4，4的平方根为±2．故答案为﹣，±2．10．（2分）等腰三角形一个角等于100°，则它的一个底角是40°．【解答】解：∵该角为100°，∴这个角只能是等腰三角形的顶角，∴该等腰三角形的顶角为100°，∴底角为=40°，故答案为：40．11．（2分）如图，∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是∠B=∠C（填上你认为适当的一个条件即可）．【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC，又AE公共，∴当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．12．（2分）已知直角三角形的两边长分别为6和10，则第三边的长为2或8．【解答】解：设第三边长为a，当a为斜边时，a==2；当10为斜边时，10=，解得a=8．综上所述，第三边的长为2或8．故答案为：2或8．13．（2分）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为cm．【解答】解：设CD=x，则易证得BD=AD=10﹣x．在Rt△ACD中，（10﹣x）2=x2+52，100+x 2﹣20x=x2+52，∴20x=75，解得：．14．（2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=20，AC=16，AD平分∠BAC交BC 于点D，则点D到线段AB的距离为3．【解答】解：∵∠C=90°，AB=20，AC=16，∴BC===12，∵BD：CD=3：1，∴CD=12×=3，∵AD平分∠BAC，∴DE=CD=3，即点D到线段AB的距离为3．故答案为：3．15．（2分）若一个正数的平方根是2a+1和﹣a﹣4，则这个正数是49．【解答】解：∵一个正数的平方根是2a+1和﹣a﹣4，∴2a+1﹣a﹣4=0，a=3，2a+1=7，∴这个正数为72=49，故答案为：49．16．（2分）直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和7cm，则它的面积是35 cm2．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线7cm，∴斜边=2×7=14cm，∴它的面积=×14×5=35cm2．故答案为：35．17．（2分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为25．【解答】解：∵大正方形的面积是13，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，∵直角三角形的面积是=3，又∵直角三角形的面积是ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25．故答案是：25．18．（2分）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部且OP=4，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1P2=4．【解答】解：如图，连接OP，∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，∴OP1=OP，OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，∴OP1=OP2，∠P1OP2=∠BOP+∠BOP1+∠AOP+∠AOP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB，∵∠AOB=30°，∴∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等边三角形．∵OP=4，∴P1P2=4，故答案为：4．19．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB 的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是50°．【解答】解：连接BO，∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=∠ABO=25°，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠OBC=65°﹣25°=40°，∵，∴△ABO≌△ACO，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=40°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∠CEF=∠FEO，∴∠CEF=∠FEO==50°，故答案为：50°．三、认真答一答．20．（6分）①+﹣（）2②．【解答】解：①原式=﹣2﹣3=﹣；②原式=﹣1+2﹣1=．21．（6分）解方程：①（x+1）2=16②﹣（x﹣3）3=8．【解答】解：①（x+1）2=16，x+1=±4，x1=3，x2=﹣5．②﹣（x﹣3）3=8，（x﹣3）3=﹣8，x﹣3=﹣2，x=1．22．（5分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，BC=EF，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．【解答】证明：∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠EFD．在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴AC=DF．23．（5分）如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC=CA，设AC为x，则OC=45﹣x，由勾股定理可知OB2+OC2=BC2，又∵OA=45，OB=15，把它代入关系式152+（45﹣x）2=x2，解方程得出x=25（cm）．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是25cm．24．（6分）如图，是6×6的正方形网格，每个小正方形的单位长为1．请在下列三个网格图中各画一个三角形，要求同时满足以下三个条件：（1）三角形的顶点在网格点上；（2）三角形是一个腰长为无理数的等腰三角形；（3）三角形的面积为6．【解答】解：．25．（6分）如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．【解答】证明：∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，∴DM=EC，BM=EC，∴DM=BM，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．26．（4分）如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短需要多少cm？（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．（直接填空）【解答】解：（1）将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB==5cm；（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8和3，根据勾股定理可知所用细线最短需要=cm．故答案为：．27．（6分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且满足PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数．【解答】解：过点C作CD⊥CP，使CD=CP=2，连接CD，PD，AD，∵∠1+∠2=∠ACB=90°=∠DCP=∠3+∠2，∴∠1=∠3，在△CAD和△CBP中，，∴△CAD≌△CBP（SAS），∴DA=PB=1，∠ADC=∠BPC，在等腰Rt△DCP中，∠4=45°，根据勾股定理得：DP2=CD2+CP2=22+22=8，∵DP2+DA2=8+1=9，AP2=32=9，∴DP2+DA2=AP2，∴△ADP为直角三角形，即∠5=90°，则∠BPC=∠ADC=∠4+∠5=45°+90°=135°．28．（8分）已知：如图，△ABC中，AB=AC=10m，BC=16m，现点P从B点出发，沿BC向点C运动，运动速度为m/s．问P点经过几秒后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形？【解答】解：设P点经过t秒后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形此时BP=t，PC=t（1）当∠APC=90°时，AP⊥BC，∵AB=AC，AP⊥BC，∴BP=CP=，∴，∴t=32；（2）当∠PAC=90°时，过A作AD⊥BC∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=，∴PD=BD﹣BP=8﹣，在Rt△ADC中，AD2=AC2﹣CD2，∴AD=6，在Rt△PAC中，AP2=CP2﹣AC2，在Rt△ADP中，AP2=AD2+PD2，∴CP2﹣AC2=AD2+PD2，∴，解得t=14；（3）当∠PAB=90°时，过A作AE⊥BC∵AB=AC，AD⊥BC，∴BE=CE=，∴PE=BP﹣BE=﹣8，在Rt△AEC中，AE2=AC2﹣CE2，∴AE=6，在Rt△PAB中，AP2=BP2﹣AB2，在Rt△AEP中，AP2=AE2+PE2，∴BP2﹣AB2=AE2+PE2，∴，解得t=50．答：P点经过14秒或32秒或50秒后，线段AP把△ABC分割而得的三角形中至少有一个是直角三角形．。
江苏省宜兴外国语学校九年级上期中数学试题有答案(精选)
第一学期初三期中考试试卷（试题卷）说明：本试卷满分130分，请将本卷所有答案写在答卷上 .一、精心选一选（本大题共10小题，每题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个．．．．符合题意）： 1．下列哪个方程是一元二次方程( ) A ．+2y=1 B ．2﹣2+3=0 C 2 +x1=3 D ．2﹣2y=0 2．一元二次方程2+1=的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 3．⊙O 的半径为R ，圆心到点A 的距离为d ，且R 、d 是方程2-6+8=0的两根，则点A 与⊙O 的位置关系是 ( )A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外D ．点A 不在⊙O 上 4．在平面直角坐标系中，以点（2 , l ）为圆心、1为半径的圆必与（ ） A. 轴相交 B.y 轴相交 C. 轴相切 D. y 轴相切5．为了让宜兴市的山更绿、水更清，2016年市委、市政府提出了确保到2018年实现全市绿化覆盖率达到43%的目标，已知2016年绿化覆盖率为40 %，设从2016年起绿化覆盖率的年平均增长率为x ，则可列方程 ( )A ．43)21(40=+x ％B ．43)21(40=+xC ．43)1(402=+x D ．43)1(402=+x ％6．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A =40°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．20 B ．40°C ． 60°D ．807．设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至多有一个公共点，则d 应满足的条件是( ) A ．d=3 B ．d ≥3 C ．d ≤3 D ．d ＞38．如图，,DE BC //且4ADEDBCE S S ∆:=:5, 则:AE EC =（ ）A ．1︰9B ．1︰3C ．1︰8D ．2︰ 19．如图，己知AB ＝8，以AB 为斜边作Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，过点C 作AB 的平行线，再过点A 作AB 的垂线，使两线相交于点D ，设AC ＝，DC ＝y ；则(－y)的最大值是（ ）（第9题）（第10题）DC（第6题）E D CBA（第8题）A ．2B ． 3C ．2.5D ．3.510．在矩形ABCD 中，已知AB =2，BC =4，现有一根长为2的木棒EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF 的中点P 运动路径长为（ ） A ．12 B ．∏+24 C ．∏+4 D ．∏-4 二、仔细填一填 (本大题共8小题，每空2分，共计16分)： 11. 若35=y x ，则=-yx y_________． 12．若1，2是方程2﹣2﹣1=0的两个实数根，则1•2=13．在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的周长是320cm ，那么这块地的实际周长是cm(用科学记数法表示)．14. 若关于的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值为________15.如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B ＝60º，∠C ＝70º，则∠BOD= 度16．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm 、深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为__________cm17．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与y 轴相切于原点O ，平行于轴的直线交⊙M 于P 、Q 两点，点P 在点Q 的右边，若点P 的坐标为(－1，2)，则点Q 的坐标是 ．18．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BC=22，点D 是AC 边上一动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为 ．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．） 19.（本题满分16分）解一元二次方程： ①22﹣32=0 ② 2③（﹣5）=2（﹣5） ④（-1）2-5（-1）+6=020． (本题6分)△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)画出△ABC 关于轴对称的△A 1B 1C 1；（第15题）（第17题）（第18题）(2)以原点O 为位似中心，在y 轴左侧将△A 1B 1C 1放大为原的 2倍，得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2；(3)设P (，y )为△ABC 内任意一点，△A 2B 2C 2内的点P ′是点P 经过上述两次变换后的对应点，请直接写出P ′的坐标．21．（本题满分6分）在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中a=5，若关于的方程2+(b +2)+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．22．（本题满分8分）如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的角平分线，且交AB 于点E ，DB 与CE 相交于点O ，（1）求证 △EBC 是等腰三角形 （2）已知：AB =7，BC =5，求DBOB的值。
【精品】2015年江苏省无锡市玉祁中学九年级上学期期中数学试卷带解析答案
2014-2015学年江苏省无锡市玉祁中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+2x=x2﹣1 B．ax2+bx+c=0C．x（x﹣1）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=02．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．9 B．11 C．13 D．143．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（3分）对于锐角A，sinA的值不可能为（）A．B．C．D．15．（3分）如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为（）A．米 B．40米C．40米D．10米6．（3分）下列命题是真命题的是（）A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线B．经过半径外端的直线是圆的切线C．直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线7．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）A．4 B．4 C．4 D．68．（3分）如图，三个边长均为2cm的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是（）A．1 cm2B．2 cm2C．3 cm2D．4 cm29．（3分）已知m，n是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，设s1=m+n，s2=m2+n2，s3=m3+n3，…，s100=m100+n100，…，则as2010+bs2009+cs2008的值为（）A．0 B．1 C．2010 D．201110．（3分）四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB=90°，E、F分别是AD、BC的中点，分别以AB、CD为直径作半圆，这两个半圆面积的和为8π，则EF的长等于（）A．10 B．8 C．6 D．4二、非选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程）11．（2分）函数中，自变量x的取值范围是．12．（2分）一元二次方程2x2=x的解是．13．（2分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．（2分）已知圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径长为3cm，则此圆锥的侧面积是cm2．15．（2分）△ABC是⊙O的内接三角形，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数等于．16．（2分）如图，是河堤的横断面，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是米．17．（2分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E 是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是．18．（2分）已知A（﹣1，0），B（3，0），点P为y轴上一点，且∠APB=135°，则点P的坐标是．三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）（﹣3）2﹣|﹣2|+（﹣1）0+（2）﹣﹣．20．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1=0（2）x（x﹣3）=10．21．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．22．（6分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，，求OD的长．23．（9分）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）24．（7分）实践操作如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；（2）以O为圆心，OC为半径作圆．综合运用在你所作的图中，（1）AB与⊙O的位置关系是；（直接写出答案）（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．25．（8分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，宁波六区限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55%，新楼盘成交量比限购前减少52%．（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水．某楼盘限购前均价为12000元/m2，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设宁波平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．26．（10分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．27．（10分）如图，Rt△ABC在平面直角坐标系中，BC在x轴上，B（﹣1，0）、A（0，2），AC⊥AB．（1）求线段OC的长．（2）点P从B点出发以每秒4个单位的速度沿x轴正半轴运动，点Q从A点出发沿线段AC以个单位每秒速度向点C运动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ的面积为S，两点同时运动，运动的时间为t秒，求S与t之间关系式，并写出自变量取值范围．（3）Q点沿射线AC按原速度运动，⊙G过A、B、Q三点，是否有这样的t值使点P在⊙G上？如果有求t值，如果没有说明理由．28．（10分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．2014-2015学年江苏省无锡市玉祁中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A．x2+2x=x2﹣1 B．ax2+bx+c=0C．x（x﹣1）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0【解答】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2﹣x﹣1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选：C．2．（3分）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．9 B．11 C．13 D．14【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得，x=2或4，∴第三边长为2或4．边长为2，3，6不能构成三角形；而3，4，6能构成三角形，∴三角形的周长为3+4+6=13，故选：C．3．（3分）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．4．（3分）对于锐角A，sinA的值不可能为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵α是锐角，∴sinA＜1．故选：D．5．（3分）如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为（）A．米 B．40米C．40米D．10米【解答】解：在直角△ABC中，∠A=30°，∴BC=AB=×80=40米．故选：C．6．（3分）下列命题是真命题的是（ ）A ．垂直于圆的半径的直线是圆的切线B ．经过半径外端的直线是圆的切线C ．直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D ．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线【解答】解：A 、应经过此半径的外端，故本选项错误；B 、应该垂直于此半径，故本选项错误．C 、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D 、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选：D ．7．（3分）如图，四边形ABCD 中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．4B ．4C ．4D ．6【解答】解：如图，分别延长CD ，BA 交于点E ．∵∠DAB=135°，∴∠EAD=∠C=∠E=45°，∴BE=BC=2，AD=ED=2，∴四边形ABCD 的面积=S △EBC ﹣S △ADE =BC•BE ﹣AD•DE ，=×2×2﹣×2×2，=6﹣2，=4．故选：C ．8．（3分）如图，三个边长均为2cm的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是（）A．1 cm2B．2 cm2C．3 cm2D．4 cm2【解答】解：如图，作正方形两邻边的垂线O1C、O1D，∵O1是正方形的中心，∴O1C=O1D，∵∠1+∠AO1D=90°，∠2+∠AO1D=90°，∴∠1=∠2，∵在△O1AC和△O1BD中，，∴△O1AC≌△O1BD，，∴阴影部分的面积=S正方形，同理可得：另一阴影部分的面积=S正方形∵正方形的边长为2cm，∴阴影部分的面积=×22×2=2cm2．故选：B．9．（3分）已知m，n是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，设s1=m+n，s2=m2+n2，s3=m3+n3，…，s100=m100+n100，…，则as2010+bs2009+cs2008的值为（）A．0 B．1 C．2010 D．2011【解答】解：根据题意得，as2010+bs2009+cs2008=a（m2010+n2010）+b（m2009+n2009）+c（m2008+n2008）=a•m2010+a•n2010+bm2009+b•n2009+c•m2008+c•n2008=m2008（am2+bm+c）+n2008（an2+bn+c）而m，n是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴am2+bm+c=0，an2+bn+c=0，∴as2010+bs2009+cs2008=0．故选：A．10．（3分）四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB=90°，E、F分别是AD、BC的中点，分别以AB、CD为直径作半圆，这两个半圆面积的和为8π，则EF的长等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，∵∠ABC+∠C=360°﹣270°=90°，∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，∴EM=AB，FM=CD，EM∥AB，FM∥CD，∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，∴∠MNF+∠MFN=90°，∴∠NMF=180°﹣90°=90°，∴∠EMF=90°，由勾股定理得：ME2+FM2=EF2，∴阴影部分的面积是：π（ME2+FM2）=EF2π=8π，∴EF=4，故选：D．二、非选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程）11．（2分）函数中，自变量x的取值范围是x≥﹣3．【解答】解：由题意得，x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．12．（2分）一元二次方程2x2=x的解是x1=0，．【解答】解：2x2=x，2x2﹣x=0，x（2x﹣1）=0，x1=0，x2=．13．（2分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞且k≠1．【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．14．（2分）已知圆锥的母线长为5cm，底面圆的半径长为3cm，则此圆锥的侧面积是15πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积=•5•2π•3=15π（cm2）．故答案为15π．15．（2分）△ABC是⊙O的内接三角形，若∠AOC=100°，则∠ABC的度数等于50°或130°．【解答】解：如图，若点B在优弧上，则∠ABC=∠AOC=100°=50°；若点B在劣弧上，则∠AB′C=180°﹣∠ABC=130°；综上可得：∠ABC=50°或130°．故答案为：50°或130°．16．（2分）如图，是河堤的横断面，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是5米．【解答】解：∵迎水坡AB的坡比1：，∴=，∵堤高BC=5米，∴AC=BC=5（米）．故答案为：5．17．（2分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是4．【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE+PD最小值；∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，圆A的半径为1，∴A′D′=BC=3，DD′=2DC=4，AE′=1，∴A′D=5，∴DE′=5﹣1=4∴PE+PD=PE′+PD=DE′=4，故答案为4．18．（2分）已知A（﹣1，0），B（3，0），点P为y轴上一点，且∠APB=135°，则点P的坐标是（0，2﹣）或（0，﹣2）．【解答】解：设点P的坐标是（0，y），作△ABP的高AC．在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠APC=180°﹣∠APB=180°﹣135°=45°，∴AC=CP=AP=．在Rt△ACB中，∵∠ACb=90°，∴AC2+BC2=AB2，∴+（+）2=16，解得y=2﹣或﹣2．所以点P的坐标是（0，2﹣）或（0，﹣2）．故答案为（0，2﹣）或（0，﹣2）．三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）（﹣3）2﹣|﹣2|+（﹣1）0+（2）﹣﹣．【解答】解：（1）原式=9﹣2+1+1﹣=9﹣；（2）原式=+2﹣3=﹣．20．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣1=0（2）x（x﹣3）=10．【解答】解：（1）由原方程移项，得x2﹣2x=1，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2﹣2x+1=1+1，∴（x﹣1）2=2，∴x﹣1=±，∴x1=1+，x2=1﹣；（2）由原方程，得x2﹣3x﹣10=0，∴（x+2）（x﹣5）=0，∴x+2=0或x﹣5=0，解得，x=﹣2或x=5．21．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．22．（6分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC上一点，∠AOD=∠C．（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，，求OD的长．【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径∴∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，又∵∠AOD=∠C，∴∠AOD+∠A=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC；（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，∴D为AE中点，AE=8，∴，又，∴OD=3．23．（9分）如图1所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732，可使用科学计算器）【解答】解：（1）连接CD（图1）．∵CE=DE，∠CED=60°，∴△CED是等边三角形，∴CD=DE=20cm；（2）根据题意得：AB=BC=CD，当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm，当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H（图2），则∠CEH=60°，CH=HD．在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20•sin60°=20×=10（cm），∴CD=20cm，∴AD=3×20=60≈103.9（cm）．∴103.9﹣60=43.9（cm）．即点A向左移动了约43.9cm；（3）当∠CED=120°时，∠DEG=60°，∵DE=EG，∴△DEG是等边三角形．∴DG=DE=20cm，当∠CED=60°时（图3），则有∠DEG=120°，过点E作EI⊥DG于点I．∵DE=EG，∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，在直角△DIE中，sin∠DEI=，∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm．∴DG=2DI=20≈34.6cm．则x的范围是：20cm≤x≤34.6cm．24．（7分）实践操作如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O；（2）以O为圆心，OC为半径作圆．综合运用在你所作的图中，（1）AB与⊙O的位置关系是相切；（直接写出答案）（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径．【解答】解：实践操作，如图所示：综合运用：（1）AB与⊙O的位置关系是相切．∵AO是∠BAC的平分线，∴DO=CO，∵∠ACB=90°，∴∠ADO=90°，∴AB与⊙O的位置关系是相切；（2）∵AC=5，BC=12，∴AD=5，AB==13，∴DB=AB﹣AD=13﹣5=8，设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12﹣x）x2+82=（12﹣x）2，解得：x=．答：⊙O的半径为．25．（8分）国家限购以来，二手房和新楼盘的成交量迅速下降．据统计，宁波六区限购前某季度二手房和新楼盘成交量为9500套．限购后，同一季度二手房和新楼盘的成交量共4425套．其中二手房成交量比限购前减少55%，新楼盘成交量比限购前减少52%．（1）问限购后二手房和新楼盘各成交多少套？（2）在成交量下跌的同时，房价也大幅跳水．某楼盘限购前均价为12000元/m2，限购后，无人问津，房价进行调整，二次下调后均价为7680元/m2，求平均每次下调的百分率？总理表态：让房价回归合理价位．合理价位为房价是可支配收入的3～6倍，假设宁波平均每户家庭（三口之家）的年可支配收入为9万元，每户家庭的平均住房面积为80m2，问下调后的房价回到合理价位了吗？请说明理由．【解答】解：（1）设限购前二手房成交x套，新楼盘成交y套，根据题意得：，解得：，4500×（1﹣55%）=2025（套），5000×（1﹣52%）=2400（套），答：限购后二手房和新楼盘各成交2025套和2400套．（2）设每次调价百分比为m，根据题意得：12000（1﹣m）2=7680，解得：m=0.2=20%，m=1.8（舍去），∵90000×6÷80=6750＜7680，∴没有到合理价位．答：平均每次下调的百分率是20%，没有到合理价位．26．（10分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为60°；②线段AD，BE之间的数量关系为AD=BE．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．【解答】解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案为：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案为：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）点A到BP的距离为或．理由如下：∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上．∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°．∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB=∠ADB=45°．∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．∴=2AH+1．∴AH=．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．∴=2AH﹣1．∴AH=．综上所述：点A到BP的距离为或．27．（10分）如图，Rt△ABC在平面直角坐标系中，BC在x轴上，B（﹣1，0）、A（0，2），AC⊥AB．（1）求线段OC的长．（2）点P从B点出发以每秒4个单位的速度沿x轴正半轴运动，点Q从A点出发沿线段AC以个单位每秒速度向点C运动，当一点停止运动，另一点也随之停止，设△CPQ的面积为S，两点同时运动，运动的时间为t秒，求S与t之间关系式，并写出自变量取值范围．（3）Q点沿射线AC按原速度运动，⊙G过A、B、Q三点，是否有这样的t值使点P在⊙G上？如果有求t值，如果没有说明理由．【解答】解：（1）∵AC⊥AB，∴∠ABO+∠ACO=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠ACO，∠ABO=∠OAC，∴△AOB∽△COA，∴=∵B（﹣1，0）、A（0，2），∴OA=2，OB=1，∴，∴OC=4；（2）①当P在BC上，Q在线段AC上时，（0＜t＜）过点Q作QD⊥BC于D，如图所示，则CQ=2﹣t，CP=5﹣4t，由△CQD∽△CAO可得QD=2﹣t，所以S=CP•QD=（5﹣4t）（2﹣t），即S=2t2﹣t+5（0＜t＜）；②当P在BC延长线上，Q在线段AC上时（＜t＜2），过点Q作QD⊥BC于D，如图所示，则CQ=2﹣t，CP=4t﹣5，由△CQD∽△CAO可得QD=2﹣t，所以S=CP•QD=（4t﹣5）（2﹣t），即S=﹣2t2+t﹣5（＜t＜2），③当t=或t=2时C、P、Q都在同一直线上，S=0．（3）若点P在圆G上，因为AC⊥AB，所以BQ是直径，所以∠BPQ=90°，即PQ ⊥BC，则BP2+PQ2=BQ2=BA2+AQ2，得，解得，（不合题意，舍去）所以当t=时，点P在圆G上．（也可以在（2）的基础上分类讨论，利用相似求得）28．（10分）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【解答】解：（1）方案一中的最大半径为1．分析如下：因为长方形的长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1；（2）如图1，方案二中连接O1，O2，过O1作O1E⊥AB于E，方案三中，过点O 分别作AB，BF的垂线，交于M，N，此时M，N恰为⊙O与AB，BF的切点．方案二：设半径为r，在Rt△O1O2E中，∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO2﹣CO1=3﹣2r，∴（2r）2=22+（3﹣2r）2，解得r=．方案三：设半径为r，在△AOM和△OFN中，，∴△AOM∽△OFN，∴，∴，解得r=．比较知，方案三半径较大；（3）①∵EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+x．类似（1），所截出圆的直径最大为3﹣x或2+x较小的．a．当3﹣x＜2+x时，即当1＞x＞时，y=（3﹣x）；b．当3﹣x=2+x时，即当x=时，y=（3﹣）=；c．当3﹣x＞2+x时，即当0＜x＜时，y=（2+x）．②当x＞时，y=（3﹣x）＜（3﹣）=；当x=时，y=（3﹣）=；当x＜时，y=（2+x）＜（2+）=，∴方案四中，当x=时，y最大为．∵1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
江苏省无锡市宜兴市官林学区九年级数学上学期期中试题
江苏省无锡市宜兴市官林学区2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是( )A．3x2﹣6x+2 B．x2﹣y+1=0 C．x2=0 D．+x=22．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于( ) A．1 B．2 C．1或2 D．03．三角形两边的长是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12=0的根，则该三角形的周长为( )A．7 B．11 C．7或11 D．以上都不对4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是( ) A．2 B．1 C．0 D．﹣15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交6．如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( )A．（0，5）B．（0，5）C．（0，）D．（0，）7．如图，正方形ABCD的边长为9，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为( )A．4 B．C．4 D．68．如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了( )A．2周B．3周C．4周D．5周二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分））9．已知x=﹣1是方程2x2+x+m=0的一个根，则m=__________．10．方程x2+ax﹣1=0根的情况是__________．11．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积为__________．12．有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，若设这个框的宽为xcm，则可得方程为__________．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=__________．14．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C=130°，则∠ADB的度数为__________．15．若实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，则2a2﹣4a+5=__________．16．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为__________．17．在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是__________．18．如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为__________．三、解答题（本大题共8小题，共56分））19．解下列方程（1）（x﹣2）2﹣16=0；（2）2x2+3x﹣1=0；（3）x2﹣12x﹣4=0；（配方法）（4）3（x﹣1）2=x（x﹣1）．20．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为__________；（2）连接AD、CD，⊙D的半径为__________，∠ADC的度数为__________；（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．21．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．（1）求所在⊙O的半径DO；（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．22．已知等腰△ABC的一边a=2，若另两边b、c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0的两个根，求△ABC的周长．23．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．24．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA 的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）25．某经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家免费提供货源，待货源售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元，请解答下列问题：（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“获利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？26．如图，矩形ABCD，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=45°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点E的坐标；（2）当∠PAE=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市官林学区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列方程是一元二次方程的是( )A．3x2﹣6x+2 B．x2﹣y+1=0 C．x2=0 D．+x=2【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、它不是方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，故本选项错误；C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程是分式方程，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于( ) A．1 B．2 C．1或2 D．0【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，∴，解得：m=2．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．三角形两边的长是2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+12=0的根，则该三角形的周长为( )A．7 B．11 C．7或11 D．以上都不对【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】先求出方程的解，得出两种情况，分类讨论即可．【解答】解：x2﹣8x+12=0，（x﹣2）（x﹣6）=0，x﹣2=0，x﹣6=0，解得：x1=2，x2=6，当三角形的三边长为2，3，2时，符合三角形三边关系定理，则此时三角形的周长为2+3+2=7；当三角形的三边长为2，3，6时，不符合三角形三边关系定理，此时三角形不存在；故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用，能求出符合条件的三角形的边是解此题的关键．4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是( ) A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】根的判别式．【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．【解答】解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，则整数a的最大值为0．故选C．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交【考点】直线与圆的位置关系．【专题】压轴题．【分析】作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．【解答】解：作CD⊥AB于点D．∵∠B=30°，BC=4cm，∴CD=BC=2cm，即CD等于圆的半径．∵CD⊥AB，∴AB与⊙C相切．故选：B．【点评】此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：当R＞d时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当R＜d时，直线与圆相离．6．如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( )A．（0，5）B．（0，5）C．（0，）D．（0，）【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形．【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标．【解答】解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径，即CD=10，∵∠OBC=30°，∴∠ODC=30°，∴OC=CD=5，∴点C的坐标为：（0，5）．故选A．【点评】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．7．如图，正方形ABCD的边长为9，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为( )A．4 B．C．4 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）；切线的性质．【专题】计算题．【分析】连结AC，如图，由正方形的性质得∠ACB=45°，再由折叠的性质得∠ECB=∠ECF，接着根据切线长定理得到AC平分∠ECF，则∠ECF=2∠ECA，所以∠ECB=2∠ECA，则利用∠ECB+∠ECA=45°可计算出∠ECB=30°，然后在Rt△BCE中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CE．【解答】解：连结AC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACB=45°，∵△BCE沿CE折叠至△FCE，∴∠ECB=∠ECF，∵CF，CE与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，∴AC平分∠ECF，∴∠ECF=2∠ECA，∴∠ECB=2∠ECA，而∠ECB+∠ECA=45°，∴∠ECB=30°，在Rt△BEC，BE=BC=3，∴CE=2BE=6．故选D．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了切线长定理．8．如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了( )A．2周B．3周C．4周D．5周【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计算即可得到圆的自传周数．【解答】解：圆在三边运动自转周数：=3，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周；可见，⊙O自转了3+1=4周．故选：C．【点评】本题考查了圆的旋转与三角形的关系，要充分利用等边三角形的性质及圆的周长公式解答．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分））9．已知x=﹣1是方程2x2+x+m=0的一个根，则m=﹣1．【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=﹣1代入已知方程，列出关于m的一元一次方程，通过解方程来求m的值．【解答】解：∵x=﹣1是方程2x2+x+m=0的一个根，∴2×（﹣1）2+（﹣1）+m=0，即1+m=0，解得，m=﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．10．方程x2+ax﹣1=0根的情况是有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式．【分析】表示出已知方程根的判别式，根据完全平方式大于等于0，判断得到根的判别式的值大于0，可得出方程有两个不相等的实数根．【解答】解：x2+ax﹣1=0，∵a2≥0，∴△=a2+4≥4＞0，则方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．11．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积为8π．【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式S=LR即可求出圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的地面圆周长为2π2=4π，则圆锥的侧面积为×4π×4=8π．故答案为8π．【点评】本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式．12．有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，若设这个框的宽为xcm，则可得方程为（30﹣2x）=200．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】几何图形问题．【分析】设这个框的宽为xcm，先表示出长方形的孔的长是（30﹣2x）cm，宽是cm，再根据长方形的面积公式即可列方程．【解答】解：设这个框的宽为xcm．依题意有（30﹣2x）=200．故答案为：（30﹣2x）=200．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题正确表示出长方形的孔的长和宽是解题的关键．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=9．【考点】根与系数的关系．【分析】根据x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子变形为αβ+3（α+β）+9，最后把α+β和αβ的值代入，计算即可．【解答】解：∵x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=1，αβ=﹣3，∴（α+3）（β+3）=αβ+3α+3β+9=αβ+3（α+β）+9=﹣3+3×1+9=9；故答案为：9．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．14．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，∠C=130°，则∠ADB的度数为40°．【考点】圆周角定理．【分析】由AD是直径，可得∠ABD=90°，又由ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°，可求得∠A的度数，根据三角形内角和定理，即可求得答案．【解答】解：∵AD是直径，∴∠ABD=90°，又∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°，∴∠A=180°﹣130°=50°，∴∠ADB=180°﹣90°﹣50°=40°．故答案为：40°．【点评】此题考查了圆周角定理以及弧、弦与圆心角的关系，圆内接四边形的性质．注意掌握数形结合思想的应用．15．若实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，则2a2﹣4a+5=3．【考点】一元二次方程的解．【分析】首先由已知可得a2﹣2a+1=0，即a2﹣2a=﹣1．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．【解答】解：∵实数a是方程x2﹣2x+1=0的一个根，∴a2﹣2a+1=0，即a2﹣2a=﹣1，∴2a2﹣4a+5=2（a2﹣2a）+5=2×（﹣1）+5=3．故答案为3．【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意解题中的整体代入思想．16．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为20cm．【考点】切线长定理．【分析】利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，∴设E、F分别是⊙O的切点，故DM=MF，FN=EN，AD=AE，∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．故答案是：20cm．【点评】此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN=AD+AE是解题关键．17．在平面直角坐标系中，以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是4＜r＜6．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】根据题意可知，本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围．【解答】解：根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=﹣1，若以点（3，﹣5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，那么该圆与直线y=﹣1必须是相离的关系，与直线y=1必须是相交的关系，所以r的取值范围是|﹣5|﹣|﹣1|＜r＜|﹣5|+1，即4＜r＜6．故答案为：4＜r＜6．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质，解决本题的关键是认真分析题意，理清其中的数量关系．看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y=﹣1之间的位置关系来求得半径r的取值范围．18．如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A、P之间拉一条长为12cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为14π．【考点】弧长的计算．【分析】图中每个扇形的圆心角是60°，利用弧长公式即可求解．【解答】解：图中扇形的圆心角是60°，则点P运动的路径长是：+++++=14π．故答案是：14π．【点评】本题考查了弧长公式，正确理解弧长公式，确定每个弧的半径是关键．三、解答题（本大题共8小题，共56分））19．解下列方程（1）（x﹣2）2﹣16=0；（2）2x2+3x﹣1=0；（3）x2﹣12x﹣4=0；（配方法）（4）3（x﹣1）2=x（x﹣1）．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；（2）直接利用公式法解方程得出答案；（3）利用配方法进行解方程得出答案；（4）利用因式分解法解方程得出答案．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣16=0；（x﹣2）2=16x﹣2=±4解得：x1=6，x2=﹣2；（2）2x2+3x﹣1=0．∵a=2，b=3，c=﹣1∴b2﹣4ac=17＞0，解得：x1=，x2=；（3）x2﹣12x﹣4=0；x2﹣12x=4，配方得：x2﹣12x+62=4+62，（x﹣6）2=40，开方得：x﹣6=±，解得：x1=6+2，x2=6﹣2；（4）3（x﹣1）2=x（x﹣1）．移项得：3（x﹣1）2﹣x（x﹣1）=0，（x﹣1）[3（x﹣1）﹣x]=0，x﹣1=0，2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=1.5．【点评】此题主要考查了公式法、因式分解法、配方法解方程，正确掌握因式分解法解方程是解题关键．20．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为（2，0）；（2）连接AD、CD，⊙D的半径为2，∠ADC的度数为90°；（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D 点坐标；（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC 的度数；（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积=πr•AD，可求得r．【解答】解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，∴D点的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）；（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2，即⊙D的半径为2，且CE=2，DE=4，∴AO=DE，OD=CE，在△AOD和△DEC中，，∴△AOD≌△DEC（SAS），∴∠OAD=∠C DE，∴∠CDE+∠ADO=90°，∴∠ADC=90°，故答案为：2；90°；（3）弧AC的长=π×2=π，设圆锥底面半径为r则有2πr=π，解得：r=，所以圆锥底面半径为．【点评】本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定和性质、扇形和圆锥的有关计算等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出点D的坐标是解题的关键，在求圆锥底面半径时注意圆锥的侧面积计算公式利用．21．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．（1）求所在⊙O的半径DO；（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】（1）利用垂径定理得出EO垂直平分CD，再利用勾股定理求出DO的长即可；（2）利用垂径定理得出EO垂直平分MN，再利用勾股定理求出YO的长即可．【解答】解：（1）∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2（m），在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m；（2）如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿中点O为中心通过，连接MO，∵MN=6m，∴MY=YN=3m，在Rt△MOY中，MO2=YO2+NY2，则52=YO2+32，解得：YO=4，答：船能通过桥洞时的最大高度为4m．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，利用数形结合以及勾股定理求出是解题关键．22．已知等腰△ABC的一边a=2，若另两边b、c恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0的两个根，求△ABC的周长．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】先利用因式分解法解一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0得到x1=3，x2=k，由于等腰△ABC的三边为a、b、c，则b=c，得到k=3；或b=2，c=3或c=2，b=3，则k=2，然后利用三角形的周长公式计算即可．【解答】解：x2﹣（k+3）x+3k=0（x﹣3）（x﹣k）=0，则x1=3，x2=k，当b=c，k=3，∴则△ABC的周长=2+3+3=8，当b=2，c=3或c=2，b=3则k=2，则△ABC的周长=2+2+3=7，故△ABC的周长是7或8．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了解等腰三角形的性质．23．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题．【分析】先把方程整理为一般式得到x2﹣2（m+1）x+m2=0，根据判别式的意义得△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣；由已知条件|x1|=x2得到x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2，利用△=0求m；当x1=﹣x2，利用根与系数的关系得到x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，然后根据（1）中m的取值范围确定m的值．【解答】解：方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2=0，∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，∴△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m≥﹣；∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2，则△=0，所以m=﹣，当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m≥﹣，所以m=﹣1舍去，∴m的值为﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．也考查了本题考查了一元二次方程根的判别式．24．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA 的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】（1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD ﹣S△BOD，即可求得答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．【点评】此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．25．某经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家免费提供货源，待货源售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量会增加7.5吨，综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元，请解答下列问题：（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“获利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元做为等量关系可列出方程求解．【解答】解：（1）当每吨售价是240元时，此时的月销售量为：45+×7.5=60；（2）设当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程（x﹣100）（45+×7.5）=9000．化简得x2﹣420x+44000=0．解得x1=200，x2=220．当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，考查学生理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．26．如图，矩形ABCD，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=45°，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点E的坐标；（2）当∠PAE=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）由A，B的坐标及∠AEO=45°可得出点E的坐标为（3，0）；（2）分为两种情况：①当P在点E的左侧时，②当P在点E的右侧时，分别求出t的值，（3）本小题分三种情况讨论：①当PA⊥AE时，⊙P与AE相切；②当PA⊥AC时，⊙P与AC 相切；③当PB⊥BC时，⊙P与BC相切；分别求出各种情况的t的值．【解答】解：（1）∵A（0，3），B（6，0），∴OA=3，OB=6，∵∠AEO=45°，∴OE=OA=3，∴点E的坐标（3，0）；（2）①当P在点E的左侧时，∵∠AEO=45°，∴∠EAO=45°，∵∠PAE=15°∴∠OAP=∠EAO﹣∠PAE=45°﹣15°=30°，∵AO=3，∴OP=AO=，∵Q（﹣4，0），∴QP=+4，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t=+4，②当P在点B的右侧时，∵∠EAO=45°，∠PAE=15°∴∠OAP=∠EAO+∠PAE=45°+15°=60°，∵AO=3，∴OP=AO=3，∵Q（﹣4，0），∴QP=3+4，∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t=3+4，综上所述当∠PAE=15°时，t的值为+4或3+4；（3）①如图1，当PA⊥AE时，⊙P与AE相切，∵∠EAO=45°，∴∠APE=45°，AP=AE，∵A O=3，∴PO=3，∴QP=QO﹣PO=4﹣3=1，∵点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t=1（秒），②如图2，当PA⊥AC时，⊙P与AC相切，∵QO=4，点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，∴t=4（秒），③如图3，当PB⊥BC时，⊙P与BC相切，设PB=r∵OB=6，OA=3，∴OP2+OA2=PA2，即（6﹣r）2+32=r2，解得：r=，∴QP=4+5﹣=，∵点P从点Q（﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒个单位的速度运动，∴t=，综上所述t1=1秒，t2=4秒，t3=秒．【点评】本题主要考查了圆的综合题，切线的性质，矩形的性质，图形的性质，解题的关键是分类讨论当⊙P与四边形OBCA的边（或边所在直线）相切的三种情况．。
江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A. ax2+bx+c=0B. 1x2+1x=2C. x2+2x=x2−1D. 3(x+1)2=2(x+1)2.用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A. (x+2)2=3B. (x−2)2=3C. (x−2)2=5D. (x+2)2=53.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. a<2B. a>2C. a<2且a≠1D. a<−24.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A. 12.36cmB. 13.6cmC. 32.36cmD. 7.64cm5.如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A. AEAC=DEBCB. ∠B=∠ADEC. AEAD=ACABD. ∠C=∠AED6.有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个7.已知一个点到圆上的点的最大距离是5cm，最小距离是1cm，则这个圆的半径是（）A. 3cmB. 2cmC. 3cm或2cmD. 不能确定8.在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（）A. B. C.D.9.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：2510.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A. 1.5B. 1.2C. 2.4D. 以上都不对二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知线段a=4，b=16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于______．12.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为______米．13.为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______．14.设a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，a2+2a+b的值为______．15.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是点P在______．16.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为______．17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=______．18.把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BC的度数是______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC=FB；（2）若CD=24，BE=8，求⊙O的直径．20.如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？四、解答题（本大题共8小题，共72.0分）21.解方程①（x-2）2-25=0②2x2-4x-1=0（配方法）③3（x-2）2=x（x-2）④（3x+1）（x-2）=10．22.如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，（1）求证：△EBC是等腰三角形；（2）已知：AB=7，BC=5，求OBDB的值．23.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______；（画出图形）（3）△A2B2C2的面积是______平方单位．24.如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．25.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从B点出发沿着BC向C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发沿CD向D移动．（1）几秒时，△PCQ的面积为3？（2）几秒时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？26.某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法，请用两种不同的方法进行说明．如果你不同意，简要说明理由．27.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．28.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，AEBD=______；②当α=180°时，AEBD=______．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、ax2+bx+c=0当a=0时，不是一元二次方程，故A错误；B、+=2不是整式方程，故B错误；C、x2+2x=x2-1是一元一次方程，故C错误；D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D正确；故选：D．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2.【答案】A【解析】解：方程移项得：x2+4x=-1，配方得：x2+4x+4=3，即（x+2）2=3．故选：A．方程常数项移到右边，两边加上4变形后，即可得到结果．此题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边化为非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．3.【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴，解得：a＜2且a≠1．故选：C．根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20=20：x，解得x=12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm．故选：A．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．5.【答案】A【解析】解：（B）∵∠A=∠A，∠B=∠ADE，∴△ABC∽△ADE，故B可以判断，（C）∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE，故C可以判断，（D）∵∠A=∠A，∠C=∠AED，∴△ABC∽△ADE，故D可以判断，故选：A．根据相似三角形的判定即可判断．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．6.【答案】B【解析】解：直径是弦，①正确；经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，②错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，③正确；半径相等的两个半圆是等弧，④正确；同圆中等弦所对的圆周角相等或互补，⑤错误；故选：B．根据圆的概念，过三点的圆，三角形的外心的性质，等弧的概念，圆周角定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，掌握圆的概念，过三点的圆，三角形的外心的性质，等弧的概念，圆周角定理是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：当这点在圆外时，则这个圆的半径是（5-1）÷2=2cm；当点在圆内时，则这个圆的半径是（5+1）÷2=3cm．故选：C．点P可能在圆内．也可能在圆外，因而分两种情况进行讨论．此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是注意此题应分为两种情况来解决．8.【答案】D【解析】解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAH=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴=，∴=，∴y=，∵AB＜AC，∴x＜4，∴图象是D．故选：D．由△DAH∽△CAB，得=，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题．本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【解答】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，∴=，∵DE∥AC，∴==，∴=，∴S△BDE与S△CDE的比是1：4.故选B．10.【答案】B【解析】解：如图所示：当PE∥AB．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，由翻折的性质可知：PF=FC=2，∠FPE=∠C=90°．∵PE∥AB，∴∠PDB=90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴=，即=，解得：DF=3.2．∴PD=DF-FP=3.2-2=1.2．故选：B．先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PF=FC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FP⊥AB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可．本题考查翻折变换，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．11.【答案】8【解析】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2=ab=64，解得：c=±8，又∵线段是正数，∴c=8．故答案为：8．根据线段比例中项的概念a：c=c：b，可得c2=ab=64，即可求出c的值．此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．12.【答案】9.6【解析】解：设树高为x米，∵，∴=，∴x=4.8×2=9.6．答：这棵树的高度为9.6米．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．13.【答案】289（1-x）2=256【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1-x），则第二次降价为289（1-x）2，由题意得：289（1-x）2=256．故答案为：289（1-x）2=256．设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1-x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1-x）2=256．此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．14.【答案】2014【解析】解：∵a是方程x2+x-2015=0的根，∴a2+a-2015=0，即a2=-a+2015=0，∴a2+2a+b=-a+2015+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，∴a+b=-1，∴a2+2a+b=a+b+2015=-1+2015=2014．故答案为2014．先根据一元二次方程的解的定义得到a2=-a+2015=0，则a2+2a+b可化为a+b+2015，然后根据根与系数的关系得到a+b=-1，再利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．15.【答案】圆内【解析】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），∴OP=＜5，因而点P在⊙O内．故答案为：圆内．根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r 时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．16.【答案】23【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴=，∵AB=BC=3，CP=BC-BP=3-1=2，BP=1，即=，解得：CD=，故答案为：．根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出=，代入求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．17.【答案】110°【解析】解：∵∠BOD=140°，∴∠A=∠BOD=70°，∴∠BCD=180°-∠A=110°．故答案为110°．先根据圆周角定理得到∠A=∠BOD=70°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．18.【答案】150°【解析】解：如图，过O作OG⊥AB，交⊙O于G，交AB于H，连接AG、AO，由折叠得：GH=OH，∵AO=OG，∴AO=OG=AG，∴△AGO是等边三角形，∴∠AOG=60°，同理∠BOG=60°，∴∠BOC=90°+60°=150°，则弧的度数是150°；故答案为：150°．作辅助线，证明△AGO是等边三角形，则∠AOG=60°，同理∠BOG=60°，所以∠BOC=90°+60°=150°，根据圆心角的度数等于弧的度数可以得出结论．本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质、翻折变换，明确翻折前后的边相等，熟练掌握垂径定理、等腰三角形的三线合一的性质是关键．19.【答案】（1）证明：∵PD∥CB，∴PC=BD，∴∠FBC=∠FCB，∴FC=FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC=r，OE=r-8，CE=12，∴r2=（r-8）2+122，解方程得：r=13．所以⊙O的直径为26．【解析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到=，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC=FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE=12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．20.【答案】解：（1）A城市受影响．如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，∵AB=300，∠ABC=30°，∴AC=12AB=150＜200，所以A城会受到这次台风的影响；∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，则AD=AE=200，即DE为A城遭受这次台风的距离，CD=AD2−AC2=507，∴DE=1007，则t=sv=1007107=10小时．故A城遭受这次台风影响的时间10小时．【解析】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．本题主要考查了方向角问题以及解直角三角形的简单运用，能够熟练掌握．21.【答案】解：①（x-2）2-25=0，（x-2+5）（x-2-5）=0，x-2+5=0，x-2-5=0，解得：x1=-3，x2=7；②2x2-4x-1=0，2x2-4x=1，x2-2x=12，配方得：x2-2x+1=12+1，（x-1）2=32，开方得：x-1=±32，解得：x1=2+62，x2=2−62；③3（x-2）2=x（x-2）3（x-2）2-x（x-2）=0，（x-2）[3（x-2）-x]=0，x-2=0，3（x-2）-x=0，解得：x1=2，x2=3；④（3x+1）（x-2）=10，3x2-5x-12=0∵b2-4ac=（-5）2-4×3×（-12）=169，∴x=5±1692×3，∴x1=3，x2=-43．【解析】①分解因式得出（x-2+5）（x-2-5）=0，推出x-2+5=0，x-2-5=0，求出方程的解即可；②配方得出（x-1）2=，开方得出x-1=±，求出方程的解即可；③移项后分解因式得出（x-2）[3（x-2）-x]=0，推出x-2=0，3（x-2）-x=0，求出方程的解即可；④整理后求出b2-4ac的值，代入公式x=求出即可．本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．22.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠1=∠2．∵CE平分∠BCD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴BC=BE，∴△EBC是等腰三角形；解：（2）∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴△COD∽△EOB，∴CDEB=ODOB．∵平行四边形ABCD，∴CD=AB=7．∵BE=BC=5，∴CDEB=ODOB=75，∴OBDB=512．【解析】（1）欲证明△EBC是等腰三角形，只需推知BC=BE即可，可以由∠2=∠3得到：BC=BE；（2）通过相似三角形（△COD∽△EOB）的对应边成比例得到==，然后利用分式的性质可以求得=．本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用三角形相似的性质时主要利用相似比计算相应线段的长．23.【答案】（2，-2）（1，0）10【解析】解：（1）在直角坐标系中，图形沿平行于y轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度∴点C1的坐标为（2，-2）故答案为：（2，-2）（2）所求图形如下图所示：即：△A2B2C2为所求作的图形．点C2的坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）（3）S△A 2B2C2的面积=S-S-S△B2NC2=（2+4）×6-×2×4-×2×4=18-4-4=10（平方单位）故答案为：10平方单位（1）在直角坐标系中，图形沿平行于y轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度．（2）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形（3）将△A2B2C2的面积看作是梯形的面积减去两个直角三角形的面积．本题考查了作图-平移变换、作图-位似变换，关键是掌握平移变换与位似变换的特点．24.【答案】解：（1）如图所示：点P就是三个高的交点；（2）如图所示：CT就是AB上的高．【解析】（1）根据圆周角定理：直径所对的圆周角是90°画图即可；（2）与（1）类似，利用圆周角定理画图．此题主要考查了复杂作图，关键是掌握三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是90°．25.【答案】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3，则PB=2t，则PC为8-2t，CQ=t，根据题意得：12（8-2t）t=3解得：t=1或t=3答：1秒或3秒后，△PCQ的面积为3；（2）要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ∴只要ABPC=BCCQ或者ABQC=BCCP∵AB=6，BC=8∴只要PCCQ=68或者QCCP=68设时间为则PC=8-2t，CQ=t∴t=3211或者t=125，∴当t=3211或者t=125时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似；【解析】（1）设t秒后△PCQ的面积为3，首先表示出线段PC和线段CQ，然后利用其面积为3列出有关t的方程求解即可；（2）有两种情况，△ABC∽△PCQ或者△ABC∽△QCP，根据线段的比例关系求解．本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的性质，特别是第二问中分两种情况讨论是解题的关键．26.【答案】解：（1）设将每件商品提价x元，则每天可售出该商品（200-20x）件，根据题意得：（10-8+x）（200-20x）=640，整理得：x2-8x+12=0，解得：x1=2，x2=6，∴10+x=12或16．答：每件售价定为12元或16元．（2）同意小红同学的说法，理由如下：（i）设将每件商品提价y元，则每天可售出该商品（200-20y）件，根据题意得：（10-8+y）（200-20y）=800，整理得：y2-8y+20=0．∵△=（-8）2-4×1×20=-16＜0，∴该方程无解，∴小红同学的说法正确；（ii）设将每件商品提价a元，每天的利润为w元，则每天可售出该商品（200-20a）件，根据题意得：w=（10-8+a）（200-20a）=-20a2+160a+400=-20（a-4）2+720，∵-20＜0，∴当a=4时，w取最大值，最大值为720，∵720＜80，∴小红同学的说法正确．【解析】（1）设将每件商品提价x元，则每天可售出该商品（200-20x）件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）（i）设将每件商品提价y元，则每天可售出该商品（200-20y）件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-16＜0，即可得出该方程无解，进而可得出小红同学的说法正确；（ii）设将每件商品提价a元，每天的利润为w元，则每天可售出该商品（200-20a）件，根据每天的利润=每件商品的利润×每天的销售量，即可得出w 关于a的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出其最大值，由该值小于800，即可得出小红同学的说法正确．本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）（i）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（ii）利用配方法，求出二次函数的最值．27.【答案】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=180°−48°2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x，∴（2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=3-1，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC=BDBC=3−12，∴CD=3−12×2=6-2．【解析】（1）根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．（3）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．28.【答案】5252【解析】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE==2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，∴BD==．综上所述，BD的长为4或．（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．。
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第1页（共26页） 2014-2015学年江苏省无锡市宜兴市培源中学九年级（上）期中数学试卷
一、单项选择题 1．将一元二次方程x2﹣4x﹣5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则b的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD=（ ）
A．160° B．100° C．80° D．20° 3．某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A．300（1+x）=363 B．300（1+x）2=363 C．300（1+2x）=363 D．363（1﹣x）2=300 4．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧BC上不同于点B的任意一点，则∠BPA的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90° 5．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（ ） 第2页（共26页）
A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm 6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C为切点，A、D是⊙O上两点，∠E=46°，∠DCF=33°．求∠A的度数（ ）
A．90° B．100° C．110° D．67° 7．若⊙P的半径长为11，圆心P的坐标为（6，8），则平面直角坐标系的原点O与⊙P位置关系是（ ） A．在圆内 B．在圆外 C．在圆上 D．无法确定 8．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm2，扇形的弧长为10π cm，则圆锥的高是（ ）
A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm 9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为直径，若∠DBC=18°，则∠A的度数是（ ）
A．36° B．72° C．60° D．无法确定 10．已知α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2） 第3页（共26页）
的值（ ） A．2006 B．﹣4 C．4 D．﹣2006
二、填空题： 11．将一元二次方程2x（x﹣3）=1化成一般形式为 ． 12．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ，弧ABC的长为 （结果保留根号及π）
13．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为 ．
14．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD=，则线段BC的长度等于 ．
15．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ． 16．如图，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与地面垂直在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为 ． 第4页（共26页）
17．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，⊙O内切于△ABC，则阴影部分面积为 ．
18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C=38°，点E在⊙O上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是 ．
三、解答题： 19．解方程： （1）x2﹣3x﹣2=0（用公式法） （2）2x2﹣4x=1（用配方法） （3）2（x﹣3）2=x（x﹣3） （4）（x﹣1）2+5（1﹣x）﹣6=0． 20．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CB=2，CE=4，求AE的长． 第5页（共26页）
21．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0． （1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）如果此方程的两个不相等实数根为x1、x2，且满足+=﹣2a，求a的值．
22．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米． （1）求所在⊙O的半径DO； （2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．
23．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元． （1）填表：（不需化简） 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 24．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA边在直线上，AB边在直线上． （1）直接写出O、A、B、C的坐标； （2）在OB上有一动点P，以O为圆心，OP为半径画弧MN，分别交边OA、OC于M、N（M、N可以与A、C重合），作⊙Q与边AB、BC，弧MN都相切，⊙Q 第6页（共26页）
分别与边AB、BC相切于点D、E，设⊙Q的半径为r，OP的长为y，求y与r之间的函数关系式，并写出自变量r的取值范围； （3）以O为圆心、OA为半径做扇形OAC，请问在菱形OABC中，除去扇形OAC后剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC刚好围成一个圆锥．若可以，求出这个圆的面积，若不可以，说明理由．
25．如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒． （1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积； （2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？ （3）当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段PF的长． 第7页（共26页）
2014-2015学年江苏省无锡市宜兴市培源中学九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、单项选择题 1．将一元二次方程x2﹣4x﹣5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则b的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．9 【解答】解：方程移项得：x2﹣4x=5， 配方得：x2﹣4x+4=9，即（x﹣2）2=9， 则b=9， 故选：D．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD=（ ）
A．160° B．100° C．80° D．20° 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD=180°； 又∵∠BAD=∠BOD=80°， ∴∠BCD=180°﹣∠BAD=100°； 故选：B．
3．某市2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ） A．300（1+x）=363 B．300（1+x）2=363 C．300（1+2x）=363 D．363（1 第8页（共26页）
﹣x）2=300 【解答】解：设绿化面积平均每年的增长率为x， 300（1+x）2=363． 故选：B．
4．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧BC上不同于点B的任意一点，则∠BPA的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90° 【解答】解：连接OB，OC， ∵正方形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠BOC=90°， ∴∠BPA=∠BOC=45°． 故选：A．
5．如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm 【解答】解：连接OA， ∵CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD， 第9页（共26页）
∴AB=2AM， ∵CD=5cm， ∴OD=OA=CD=×5=cm， ∵OM：OD=3：5， ∴OM=OD=×=，
∴在Rt△AOM中，AM===2， ∴AB=2AM=2×2=4cm． 故选：C．
6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C为切点，A、D是⊙O上两点，∠E=46°，∠DCF=33°．求∠A的度数（ ）
A．90° B．100° C．110° D．67° 【解答】解：∵EB、EC是⊙O的两条切线， ∴EB=EC， ∵∠E=46°， ∴∠ECB=∠EBC==67°， ∵∠DCF=33°， ∴∠BCD=180°﹣∠BCE﹣∠DCF=80°， ∴∠A=180°﹣∠BCD=100°． 故选：B．