2019高考(押题)数学二轮复习专题四数列 2.4.2 数列的通项与求和学案理

合集下载

2021-2022年高考数学二轮复习难点2.4 数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案文

2021年高考数学二轮复习难点2.4 数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案文数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等.数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．一、数列的通项公式数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列这部分内容的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题、选择题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点.1.由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式（1）-1,7，-13,19，…；（2）0.8,0.88,0.888，…；（3）－；思路分析：归纳通项公式应从以下四个方面着手：(1)观察项与项之间的关系；(2)符号与绝对值分别考虑；(3)规律不明显，适当变形．－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴ a n ＝(－1)n ·2n－32n . 点评：求数列的通项时，要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2.由数列的递推关系求通项若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1，(n >1)，则这个关系式称为数列的递推公式．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法：(1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法．(2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法． (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0，p ≠1)型，转化为等比数列解决．例2.对于数列 ()11111,1,32,n n n n a b a n a n b b n N *++==-+=+=+∈. （1）求数列、的通项公式；（2）令，求数列的前项和.思路分析：（1）由化简得，利用累加法求得，对利用配凑法求得通项公式为；（2）化简，这是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求得前项和为.（2）()21101221212341,...23333333n n n n n n n n n n n c T n ----+++==∴=+++++, ① 则00132233413...33333n n n n n T --+=+++++，② ②-①得12211111111111152515253261...613333322344313n n n n n n n n n n n n T T -------++++⎛⎫=+++++-=+-=-∴=- ⎪⎝⎭-. 点评：本题主要考查递推数列求通项的方法，考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法.对于来说，化简题目给定的含有的表达式后，得到，这个是累加法的标准形式，故用累加法求其通项公式，对于来说，由于，则采用配凑法求其通项公式，对于来说，由于它是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求和.3.由与的关系求通项数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．S n 与a n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n （n ＝1），S n －S n －1 （n≥2）. 例3. 【安徽省淮南市xx 届第四次联考】已已知数列为数列的前项和，且满足()()32*11n n nb n b n n n N +-+=+∈.（1）求数列的通项公式；（2）求的通项公式思路分析：（1）由的关系得11222n n n S a --≥=-当时，相减得检验时，适合上式即得数列的通项公式（2）()2311n n nb n b n n +-+=+，两边同时除以得累加法即得解.点评：已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.注意：利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n ≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n ≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示4.等差数列前n 项和的最值等差数列的单调性与的最大或最小的关系.（1）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递增；当时，有，所以的最小值为.当时，有则一定存在某一自然数，使12310k k na a a a a a +<<<<<≤<<或12310k k na a a a a a +<<<<≤<<<，则的最小值为. （2）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递减；当时，有则一定存在某一自然数，使12310k k na a a a a a +>>>>>≥>>或 12310k k na a a a a a +>>>>≥>>>，则的最大值为. 当时，有，所以的最大值为.例4.数列的前项和为，，（）．（1）为何值时，数列是等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，等比数列，求．思路分析：（1）先由求出.再利用数列为等比数列，可得，就可以求出的值；（2）先利用求出，再利用公差把和表示出来，代人成等比数列，求出公差即可求.点评：求等差数列前n 项和的最值常用的方法;(1)先求a n ，再利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．二数列的求和数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和．常见类型及方法(1)a n ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解；(2)a n ＝a ·q n －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；(3)a n ＝b n ±c n ，数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{a n }的前n 项和．(4) a n ＝b n ·c n ，数列{b n }，{c n }分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和1．公式求法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和．(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝； (2)等比数列的前n 项和公式：111,(1)(1), 1.11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩例5. 【四川省内江市xx 届高三第一次模拟】设是数列的前项和.已知， .（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.思路分析：（Ⅰ）由可得时，，两式相减，即可得出是等比数列，从而求出数列的通项公式；（Ⅱ）写出数列的通项公式，得出数列是等比数列，进而用等比数列求和公式求出数列的前项和.点评：本题考查等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式，利用方程组思想求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.应用基本量法是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握.根据等差,等比数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算.2．分组求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．例6.【四川省内江市xx 届高三第一次模拟】设数列满足1123242n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+=.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.思路分析：根据题意求出当时， 212312421n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-，求出的表达式，然后验证当时是否成立(2)先给出通项，运用分组求和法求前项和点评：分组求和的解题策略：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前项和的数列求和，即将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用这种方法的关键是通项变形．3.裂项相消求和法利用通项变形，把数列的通项分裂成两项或几项的差，在求和过程中，中间的一些项可以相互抵消，最后只剩下有限项的和，从而求得数列的和.这种求数列和的方法叫做裂项相消求和法.常见拆项：；1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+11n n n n =+++1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++；n ·n !=(n +1)!－n !；； l og a （1＋1n）＝l og a (n ＋1)－l og a n ；等等例7.已知等差数列的前项和为，，且成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前项和.思路分析：(1)由等差数列性质，，所以，设公差为，则()()()21113d d -+=-⋅-+，解得或，由此即可求出通项公式； (2)①当时，；②当时，()()212311111212122121n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，然后再根据裂项相消即可求出结果.点评：裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．从而达到求和的目的．要注意的是裂项相消法的前提:数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后相互抵消.4. 错位相减求和法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．例8.已知等差数列满足:，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.（1）求数列,的通项公式；（2）求数列的前项和.思路分析：(1) 用基本量法，即用为等差数列的公差与表示已知条件，列出方程，解出，即可求数列的通项公式；由可得，即可求出数列的通项公式；(2)因为，所以用错位相减法求即可.点评：本题考查等差数列的定义与性质、对数的性质、错位相减法求和，属中档题；错位相减法适合于一个由等差数列及一个等比数列对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列．三. 数列的探索性问题处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．例9. 【江西省南昌市xx 届复习训练题】在数列中， ()*1123111232n n n a a a a na a n N +++++⋅⋅⋅+∈＝，＝．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）若存在()*13n n n N a n λ∈≥，使得＋成立，求实数的最大值．思路分析：(Ⅰ)由12311232n n n a a a na a ++++⋅⋅⋅+=＋可得()()123123122n n n a a a n a a n -+++⋅⋅⋅+-=≥，两式相减整理得到，故数列为等比数列，求得通项后再验证是否满足即可得到所求．(Ⅱ)由条件可得存在()*13n n a n N n λ∈≤+，使得成立，设，则．然后根据的单调性求出最值即可．（Ⅱ）∵存在()*13n n n N a n λ∈≥，使得＋成立，∴存在()*13n n a n N n λ∈≤+，使得成立．令，则．由（Ⅰ）可知当()()111136n n a n f n ===+时，，当()()()221391n n a n f n n n n ≥==++时，，则()()()()()()()2241091291912f n f n n n n n n n n -+-=-=<+++++，所以当时，数列是递减数列，∴当时，．∴当时，．∴．故所求实数的最大值为．点评：数列中的恒成立或能成立的问题是函数问题在数列中的具体体现，解决此类问题时仍要转化为最值问题处理．解题中通过分离参数在不等式的一端得到关于正整数n 的函数，然后通过判断函数的单调性得到函数的最值，从而可求得参数的值或其范围．解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．从上面三方面可以看出，解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．。

高三数学第二轮复习专题数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关：数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案：数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -．所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-．点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

(全国通用版)2019高考数学二轮复习-专题二数列第2讲数列的求和问题课件

1 anan＋2
(其中{an}为等差数
列)等形式的数列求和.
例3 (2018·天津市十二校模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝ a(Sn－an＋1) (n∈N*)(a为常数，a≠0，a≠1). (1)求{an}的通项公式；
解答
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)设bn＝an＋Sn，若数列{bn}为等比数列，求a的值；解由bn＝an＋Sn得，b1＝2a， b2＝2a2＋a， b3＝2a3＋a2＋a. ∵数列{bn}为等比数列， ∴b22＝b1b3，(2a2＋a)2＝2a(2a3＋a2＋a)，解得 a＝12.
13Sn＝332＋353＋…＋23nn＋＋11， ①－②得，23Sn＝1＋2312＋313＋…＋31n－23nn＋＋11， ∴Sn＝2－n＋3n 2(n∈N*).
① ②
解答
热点三裂项相消法求和
裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵
消从而求和的方法，主要适用于ana1n＋1或
跟踪演练2 (2018·安庆模拟)在等差数列{an}中a4＝9，前三项的和为15. (1)求数列{an}的通项公式；解由题意得3aa1＋1＋33dd＝＝91，5，解得ad1＝＝23，， ∴an＝2n＋1(n∈N*).
解答
(2)求数列a3nn的前 n 项和 Sn. 解 Sn＝a31＋a322＋…＋a3nn＝33＋352＋373＋…＋2n3＋n 1，
1－2n n1＋2n－1
＝ 1－2 －
2
＝2n－1－n2，
所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*).
解答
思维升华
在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.

高考数学(理科)二轮复习课件：2.4数列2.2

-10 -
考向一
考向二
考向三
-11 -
考向一
考向二
考向三
求数列的通项及分项求和
例3 (2018 山东济宁一模,理17)已知{an}是等比数列,满足a1= 2, 且a2,a3+ 2,a4成等差数列,数列{b n}满足
(1)求{an}和{b n}的通项公式; (2)设cn= (-1)n(an-b n),求数列{cn}的前2 n 项和S2n.
把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求
得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.
-9-
考向一
考向二
考向三
对点训练 2 (2018 江西南昌一模,理17)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn,满足S4= 2 a4-1,S3= 2 a3-1 .
(1)求{an}的通项公式及数列{an}的前n 项和; (2)记b n= log2(an·an+ 1),数列{b n}的前n 项和为T n,
4.2.2 求数列的通项及前n 项和
考向一
考向二
考向三
求数列的通项及错位相减求和
例1 (2018 湖南衡阳二模,理17)等差数列{an}中,a3= 1,a7= 9,Sn 为等比数列{b n}的前n 项和,且b 1= 2,若4 S1,3S2,2S3成等差数列.
(1)求数列{a n },b{ n }的通项公式; (2)设cn=|a n|·b n,求数列{cn}的前n 项和T n.
{an}的前n 项和为Sn,已知S4= 10,且a1,a3,a9成等比数列. (1)求{a n }的通项公式;
-5-
考向一
考向二
考向三
-6-
考向一
考向二
考向三

2019年高考数学二轮复习专题4数列2.1数列大题课件理

4.2.1 等差、等比数列的综合问题
-8考向一考向二考向三考向四考向五
等差(比)数列的判断与证明
例 1 已知数列{an},其前 n 项和为
3 2 7 Sn=2n +2n(n∈N*).
(1)求a1,a2; (2)求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是等差数列; (3)如果数列{bn}满足an=log2bn,试证明数列{bn}是等比数列,并求其前n项和Tn.
32 (1-8�� ) 1-8
(8n-1).
-10考向一考向二考向三考向四考向五
解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法. ��+1 (1)定义法:对于n≥1的任意自然数,验证an+1-an 或 �� 为同一常 �� 数. (2)通项公式法:若an=kn+b(n∈N*),则{an}为等差数列;若 an=pqkn+b(n∈N*),则{an}为等比数列. (3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列; 2 若 �� =an-1· an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列. 2.对已知数列an与Sn的关系,证明{an}为等差或等比数列的问题, 解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.
-5-
1.由递推关系式求数列的通项公式 (1)形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项. (2)形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项. �� (3)形如an+1=pan+q,等式两边同时加转化为等比数列求通项. ��−1

2020高考数学二轮复习难点2-4数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案理

【2019最新】精选高考数学二轮复习难点2-4数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案理数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等.数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．一、数列的通项公式数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列这部分内容的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题、选择题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点.1.由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式（1）-1,7，-13,19，…；（2）0.8,0.88,0.888，…；（3）－；1,215132961,,,,, (4)8163264-- 思路分析：归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)符号与绝对值分别考虑； (3)规律不明显，适当变形．－，原数列化为－，，－，，…，∴ an＝(－1)n·.点评：求数列的通项时，要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2.由数列的递推关系求通项若一个数列首项确定，其余各项用an 与an －1的关系式表示(如an ＝2an －1＋1，(n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法： (1)an ＋1－an ＝f(n)型，采用叠加法． (2)＝f(n)型，采用叠乘法．(3)an ＋1＝pan ＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．例2.对于数列 .{}{},n n a b ()11111,1,32,n n n n a b a n a n b b n N *++==-+=+=+∈（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）令，求数列的前项和.()()21n n n a n c n b +=+{}n c n n T思路分析：（1）由化简得，利用累加法求得，对利用配凑法求得通项公式为；（2）化简，这是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求得前项和为.()11n n n S n S a n +-+=++121n n a a n +=++2n a n =132n n b b +=+1231n n b -=-g ()21121233n n n n n n c n --++==g n 11525443n n n T -+=-g （2）,① ()21101221212341,...23333333n nn n n n n n n n n c T n ----+++==∴=+++++g 则，② 00132233413...33333n n n n n T --+=+++++g ②-①得.12211111111111152515253261 (613333322344313)n n n n n n n n n n n n T T -------++++⎛⎫=+++++-=+-=-∴=- ⎪⎝⎭-g g 点评：本题主要考查递推数列求通项的方法，考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法.对于来说，化简题目给定的含有的表达式后，得到，这个是累加法的标准形式，故用累加法求其通项公式，对于来说，由于，则采用配凑法求其通项公式，对于来说，由于它是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求和.n a n S 121n n a a n +=++n b 132n n b b +=+n c3.由与的关系求通项n S n a n a数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．Sn 与an的关系为：an ＝⎩⎪⎨⎪⎧Sn （n ＝1），Sn －Sn －1 （n≥2）.例3. 【安徽省××市2018届第四次联考】已已知数列为数列的前项和，且满足 .{}{},,n n n a b S {}n a n 214,22,n n a b S a ==-()()32*11n n nb n b n n n N +-+=+∈ （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求的通项公式{}n b思路分析：（1）由的关系得相减得检验时，适合上式即得数列的通项公式（2），两边同时除以得累加法即得解.22n n S a =-11222n n n S a --≥=-当时，12,2.2n n n n a a a n -==≥1n =12a ={}n a ()2311n n nb n b n n +-+=+Q ()1n n +11n nb b n n n+-=+ 点评：已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.注意：利用an ＝Sn －Sn －1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an 应利用分段函数的形式表示．11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩4.等差数列前n 项和的最值等差数列的单调性与的最大或最小的关系.nS（1）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递增；0d >{}n a 10n n a a d --=>1n n a a -> 当时，有，所以的最小值为.10a ≥1(2)n n S S n ->≥n S S当时，有则一定存在某一自然数，使或，则的最小值为.10a <k12310k k n a a a a a a +<<<<<≤<<L L 12310k k na a a a a a +<<<<≤<<<L L n S k S（2）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递减；0d <{}n a 10n n a a d --=<1n n a a -> 当时，有则一定存在某一自然数，使或10a >k12310k k na a a a a a +>>>>>≥>>L L 12310k k na a a a a a +>>>>≥>>>L L ，则的最大值为.nS k S当时，有，所以的最大值为.10a ≤1(2)n n S S n ->≥n S S例4.数列的前项和为，，（）．{}n a n n S 1a t =121n n a S +=+*n N ∈ （1）为何值时，数列是等比数列？t {}n a（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又，，等比数列，求．{}n b n n T 315T =11a b +22a b +33a b +n T思路分析：（1）先由求出.再利用数列为等比数列，可得，就可以求出的值；（2）先利用求出，再利用公差把和表示出来，代人成等比数列，求出公差即可求.121n n a S +=+13n n a a +={}n a 213a a =t 315T =25b =1b 3b 112233,,a b a b a b +++n T点评：求等差数列前n 项和的最值常用的方法;(1)先求an ，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．二数列的求和数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和．常见类型及方法(1)an ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)an ＝a·qn－1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；(3)an ＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n 项和．(4) an ＝bn·cn，数列{bn}，{cn}分别是等比数列和等差数列，采用错位相减法求和 1．公式求法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：Sn ＝＝；1(1)2n n na d -+(2)等比数列的前n 项和公式：111,(1)(1), 1.11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩例5. 【四川省××市2018届高三第一次模拟】设是数列的前项和.已知， .n S {}n a n 11a =122n n S a +=- （Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a（Ⅱ）设，求数列的前项和.()1nn n b a =-{}n b n思路分析：（Ⅰ）由可得时，，两式相减，即可得出是等比数列，从而求出数列的通项公式；（Ⅱ）写出数列的通项公式，得出数列是等比数列，进而用等比数列求和公式求出数列的前项和.122n n S a +=-2n ≥122n n S a -=-{}n a {}n a {}n b {}n b {}n b n点评：本题考查等比数列的概念、通项公式及前n 项的求和公式，利用方程组思想求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.应用基本量法是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握.根据等差,等比数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算.2．分组求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．例6.【四川省××市2018届高三第一次模拟】设数列满足.{}n a 1123242n n a a a a n -+++⋅⋅⋅+= （1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和.{}2log n n a a +n思路分析：根据题意求出当时，，求出的表达式，然后验证当时是否成立(2)先给出通项，运用分组求和法求前项和()12n ≥212312421n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-n a 1n =211log 12n n n a a n -+=+-n点评：分组求和的解题策略：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前项和的数列求和，即将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，运用这种方法的关键是通项变形．n 3.裂项相消求和法利用通项变形，把数列的通项分裂成两项或几项的差，在求和过程中，中间的一些项可以相互抵消，最后只剩下有限项的和，从而求得数列的和.这种求数列和的方法叫做裂项相消求和法. 常见拆项：；；111(1)1n n n n =---1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+11n n n n =+++1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++；n·n!=(n+1)!－n!；；11(1)!!(1)!n n n n =-++loga （1＋）＝loga(n ＋1)－logan ；等等例7.已知等差数列的前项和为，，且成等比数列.{}n a n n S 55S =-346,,a a a (Ⅰ)求数列的通项公式；{}n a (Ⅱ)设，求数列的前项和.()*21231n n n b n N a a ++=∈{}n b n n T思路分析：(1)由等差数列性质，，所以，设公差为，则，解得或，由此即可求出通项公式； (2)①当时，；②当时，，然后再根据裂项相消即可求出结果.5355S a =-=31a =-d ()()()21113d d -+=-⋅-+0d =1d =-1n a =-n T n =2n a n=-()()212311111212122121n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭点评：裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．从而达到求和的目的．要注意的是裂项相消法的前提:数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后相互抵消. 4. 错位相减求和法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．例8.已知等差数列满足:，该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列，且.{}n a *11(),1n n a a n N a +>∈=22log 1n n a b +=- （1）求数列,的通项公式；{}n a {}n b （2）求数列的前项和.{}n n a b •n n T思路分析：(1) 用基本量法，即用为等差数列的公差与表示已知条件，列出方程，解出，即可求数列的通项公式；由可得，即可求出数列的通项公式；(2)因为，所以用错位相减法求即可.{}n a d 1a d {}n a 22log 1n n a b =--2log n b n =-{}n b 212n n nn a b -⋅=n T点评：本题考查等差数列的定义与性质、对数的性质、错位相减法求和，属中档题；错位相减法适合于一个由等差数列及一个等比数列对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的项是一个等比数列．}{n a }{n b 1-n 三. 数列的探索性问题处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．例9. 【江西省××市2018届复习训练题】在数列中，{}n a ()*1123111232n n n a a a a na a n N +++++⋅⋅⋅+∈＝，＝．（Ⅰ）求数列的通项；{}n a n a（Ⅱ）若存在成立，求实数的最大值．()*13n n n N a n λ∈≥，使得＋λ思路分析：(Ⅰ)由可得，两式相减整理得到，故数列为等比数列，求得通项后再验证是否满足即可得到所求．(Ⅱ)由条件可得存在成立，设，则．然后根据的单调性求出最值即可．12311232n n n a a a na a ++++⋅⋅⋅+=＋()()123123122n n n a a a n a a n -+++⋅⋅⋅+-=≥()113n nn a na ++＝()2n ≥{}n na ()2n ≥11a ＝()*13n n a n N n λ∈≤+，使得()()13n n a f n n =+()max f n λ≤()f n 点评：数列中的恒成立或能成立的问题是函数问题在数列中的具体体现，解决此类问题时仍要转化为最值问题处理．解题中通过分离参数在不等式的一端得到关于正整数n 的函数，然后通过判断函数的单调性得到函数的最值，从而可求得参数的值或其范围．解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．从上面三方面可以看出，解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．。

(江苏专用)2019高考数学二轮复习专题六第2讲数列的通项与求和课件理

探究提高 (1)形如an＋1－an＝f(n)，其中f(n)＝k或多项式(一般不高于三次)，用累加法即可求得数列的通项公式；
(2)形如an＋1＝an·f(n)，可用累乘法； (3)形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列； (4)形如an＋1＝qan＋qn(q为常数，且q≠0，q≠±1)，解决方法是在递推公式两边同除以qn＋1.
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n，bn＝2n－1. (2)由题意：cn＝bn＋(－1)nan＝2n－1＋(－1)n2n.∴Tn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋[－2＋4－6
＋8－…＋(－1)n·2n]，
①若 n 为偶数：Tn＝11－－22n＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]}＝2n－1＋n2×2
Hale Waihona Puke 解 (1)2Sn＝a2n＋an，① 2Sn＋1＝a2n＋1＋an＋1，② ②－①得 2an＋1＝a2n＋1－a2n＋an＋1－an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0. 因为{an}是正数数列，所以 an＋1－an－1＝0，即 an＋1－an＝1，在 2Sn＝a2n＋an 中，令 n＝1，得 a1＝1，所以{an}是以 a1＝1 为首项，公差为 1 的等差数列.所以 an＝n. 由 2bn＋1＝bn＋bann得nb＋n＋11 ＝12·bnn，所以数列bnn是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以bnn＝12n，即 bn＝2nn.
和为________.
解析 ∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上 n－1 个式子相加得 an－a1＝2＋3＋…＋n＝（2＋n）2（n－1），即 an＝n（n＋ 2 1），令

2019高考数学二轮复习专题二数列第2讲数列的求和问题

解答
(2)设bn＝an＋Sn，若数列{bn}为等比数列，求a的值；解由bn＝an＋Sn得，b1＝2a， b2＝2a2＋a， b3＝2a3＋a2＋a. ∵数列{bn}为等比数列， ∴b22＝b1b3，(2a2＋a)2＝2a(2a3＋a2＋a)，解得 a＝12.
解答
(3)在满足条件(2)的情形下，cn＝an＋1ana＋n＋1 1＋1.若数列cn的前 n 项和为 Tn，且对任意 n∈N*满足 Tn<λ2＋23λ，求实数 λ 的取值范围.
3Tn＝[0＋32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)×3n]lg 3，
两式相减得，－2Tn＝[3＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n]lg 3
31－3n－1lg ＝ 1－3
3－(n－1)·3nlg
3
＝－3l2g 3－n－32·3nlg 3，
所以 Tn＝3l4g 3＋n2－34·3nlg 3(n∈N*).
真题押题精练
真题体验
1.(2017·全国Ⅱ)等差数列{an}的前
n
项和为
n
Sn，a3＝3，S4＝10，则
k＝1
S1k＝
__n_2＋_n_1_(n_∈__N__*)_.
解析答案
2.(2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为 2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式；
解答
热点二错位相减法求和
错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列.
例2 (2018·百校联盟联考)已知等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为

【推荐重点】2019版高考数学二轮复习专题四数列数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题文

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1
2.4.2 数列的通项与求和
1．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列an2n＋1的前n项和．
[解] (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)
a
n
－1

＝2(n－1)．

两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1(n≥2)．

又由题设可得a1＝2也适合上式，从而{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)记an2n＋1的前n项和为Sn.
由(1)知an2n＋1＝2n＋n－＝12n－1－12n＋1，
则Sn＝11－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝2n2n＋1.
2．(2017·天津卷)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等
比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得
b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝2.所以b
n
＝2n.

由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16，②
联立①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，
数列{bn}的通项公式为bn＝2n.
(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，
由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，
有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，故
Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n
－1)×4n，

4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，
上述两式相减，得
2

－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－4n1－4－4－(3n－
1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.
得Tn＝3n－23×4n＋1＋83.

所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为3n－23×4n＋1＋83.

1.高考主要考查两种基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、
错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．
2．若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；
若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，
复习时应引起关注．

2019高考(押题)数学二轮复习 专题四 数列 2.4.2 数列的通项与求和学案 理

2021-2022年高考数学二轮复习 难点2.4 数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案 文

高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

(全国通用版)2019高考数学二轮复习-专题二 数列 第2讲 数列的求和问题课件

最新2019版高考数学二轮复习 专题四 数列 数列与数列不等式的证明及数列中的存在性问题 文