最新人教版高中数学选修4-5《比较法》课前导引 (1)

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高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-5：不等式选讲 1.5.1 比较法》1

不等式证明的基本方法-----比较法【教学目标】（一）知识目标（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地应用作差法证明不等式（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。

（二）能力目标（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标（1）激发学习的内在动机；（2）养成良好的学习习惯。

【教材分析】教学重点：理解并掌握作差比较法证明不等式；教学难点：求差后对“差式”进行适当变形，并判断其符号。

【教学过程】课堂教学设计说明1．本节课是不等式证明的第一节课，因此需要了解不等式证明的含义，在这里是通过具体例题说明的并不需要研究不等式证明的一般定义．2．例1与跟踪训练是比较大小的题，学生会很自然地使用求差．这时教师引导学生深入思考这种方法正确性的依据以及这种方法中所蕴含的数学思想方法，提高学生对求差比较法的认识，同时使学生感受到浅显、平淡知识中仍有一些值得思索和注意的地方，逐渐培养学生良好思维品质，有利于学生能力提高．3．例2，例3，题是不等式证明题，主要目的在于让学生归纳、总结，求差后对差式变形，并判断符号的方法，以及求差比较法的步骤．在这里如何对差式变形是难点，应着重解决．首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破．加强学生对求差比较法认识和掌握，并考查对分类讨论思想的认识，例题设计目的在于突出重点，突破难点．4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，教师通过设疑、暗示，课堂讨论等多种教学形式和方法，启发诱导学生深入思考问题，培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．。

(教师用书)高中数学 2.1 比较法配套课件新人教A版选修4-5

作差比较法证明不等式
已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
【思路探究】此不等式作差后是含有两个字母的二次
式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．【自主解答】
法一 ∵a2＋b2－ab－a－b＋1
1 ＝2[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， ∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
a b 已知a＞0，b＞0，求证＋ ≥ a＋ b. b a
【思路探究】使用差值比较法，下一步将是变形，显
然需要通分，是统一通分，还是局部通分？从题目结构特点看，应局部通分．
【自主解答】
a b ∵( ＋ )－( a＋ b) b a
a b ＝( － b)＋( － a) b a a－b b－a ＝＋ b a a－b a－ b ＝ ab a＋ b a－ b2 ＝ ≥0. ab ∴原不等式成立． ① ②
a (1)当a＞b＞0时，＞1，m－n＞0. b a m－n ∴( ) ＞1，∴ambn＞anbm. b a (2)当b＞a＞0时，0＜b＜1，m－n＜0. a m－n ∴(b) ＞1， ∴ambn＞anbm. 综上，a，b∈(0，＋∞)时均有ambn＞anbm.
比较法的实际应用
甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果 m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【思路探究】设从出发地点至指定地点的路程是s，
一
比较法
1.理解比较法证明不等式的依据． 2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．课标解读 3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用.
1．作差比较法 (1)理论依据：①a＞b⇔ a－b＞0 ；②a＝b⇔a－b＝0； ③a＜b⇔ a－b＜0 . (2)定义：要证明a＞b，转化为证明 a－b＞0 ，这种方法称为作差比较法． (3)步骤：① 作差；②变形；③判断符号；④下结论．

高二数学人教B版选修4-5讲义：第一章1.51.5.1比较法Word版含解析

1. 5 不等式证明的基本方法1 . 5.1 比较法扭氢问龙索弟葯幻比卅匚诸［对应学生用书P16］［读教材填要点］1. 定义要证a>b，只需要证 a —b>0;要证a<b,只需证a —b<0，这种证明不等式的方法，称为比较法.2. 用比较法证明不等式的步骤⑴求差.(2) 变形：可用因式分解、配方、乘法公式等，把差变形为乘积式平方和的形式.(3) 作出判断.［小问题大思维］作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明. 实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系•:爲爲疋企壮至它-字，hi：…点軌迪［对应学生用书P16］比较法证明不等式4 3 2［例1］求证：⑴当x€ R时，1 + 2x >2x + x ;a ba b ----(2)当a, b € (0,+s )时，a b > (ab) 2 .［思路点拨］(1)利用作差比较法，注意变形分解 :(2)利用作商比较法，注意判断底数大小决定商的大小.［精解详析］⑴法一：(1 + 2x4) —(2x3+ x2)3=2x (x—1)—(x+ 1)(x—1)=(x—1)(2x3—x—1)=(x—1)(2x3—2x+ x—1)1. 5 不等式证明的基本方法=(x—1)［2x(/ —1) + (x—1)］11(x 1)2(2X 22x 1)(x 1)2 2 x 122 1101 2x 4 2x 3x 2.(1 2x 4 )(2 x 3 x 2) x 4 2x 3 x 2 x 4 2x 2 1 (x 1)2x 2 (x 2 1)2 01 2x 4 2x 3 x 2.⑵一a ab ba-baa bb _aPa 竽 babPa b a 竽 b1a>b>0 a >Ia b |1■ x a ba jb>a>00<a <1a b 2 <0b>1.a “ba b(0 )a ab b (ab)—规』l 沁姑（i 2）x> 11 x>0 ■\/iX >0.x2.=-2【(x+ 1) - 2 x+ 1 + 1]-2( .x+ 1- 1)2w 0,•••寸1+x w 1+ 2.［例2］甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果m^ n, 问甲、乙二人谁先到达指定地点？［思路点拨］本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s,甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间如t2,然后利用作差法比较t1, t2的大小即可.［精解详析］设从出发地点至指定地点的路程为s,甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为如t2，依题意有：t1 t1^m+ 尹=s,2m+影t2mn m+ n '其中s, m, n都是正数，且m^ n,• •屯—t2< 0,即t r V t2.从而知甲比乙先到达指定地点.应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论.2 .某人乘出租车从A地到B地，有两种方案.第一种方案：乘起步价为10元，超过规定里程后每千米 1.2元的出租车；第二种方案：乘起步价为8元，超过规定里程后每千米1.4元的出租车.按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？解：设A 地到B 地的距离为m 千米.起步价内行驶的路程为 a 千米.显然当m w a 时，选起步价为 8元的出租车比较合适.当m>a 时，设m = a + x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为 P(x)元.乘坐起步价为8元的出租车费用为 Q(x)元，贝U P(x)= 10+ 1.2x , Q(x) = 8+ 1.4x. •/ P(x) — Q(x) = 2 — 0.2x = 0.2(10 — x)•••当x>10时，P(x)<Q(x)，此时选择起步价为 10元的出租车较为合适. 当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选择起步价为 8元的出租车较为合适. 当x = 10时，P(x)= Q(x)，两种出租车任选，费用相同.、选择题 1.下列关系中对任意 a v b v 0的实数都成立的是(2 .2A . a v b b C . a>1解析：■/ a v b v 0, •— a> — b>0.2 2 (—a) >( — b) >0. 即 a 2>b 2>0. b 2 • a2v 1.b 2又 lg b 2— Ig a 2= Ig^v Ig 1 = 0. a• lg b 2v Ig a 2答案：B1 o2.已知P =?++!，Q= a 2— a +1，那么P 、Q的大小关系是()A . P>Q C . P >Q解析：2 21 — (a — a + 1 f a + a + 1 } P — Q = 24 i 2—++T ，YING YONG课下训练经撫化.贵在鮭类旁通P18][对应学生用书)2 2B . lgb <ig aB . P<QD .>3 (A C A D4 A C56a 2 a 1 0a 4 a 2 0P Q 0. QP.m主彩石⑴w p wm n>p B m>n p n> m>pD n m>pB C.n.D.(ab k a k b) (a k 1 b k 1)(k N )(ab k a "b) b k (a b) a k (b a) b k 1a>0 b>0 a>b (a b)(b k a k ) a k >b k(a b)(b k a k )<0 a<ba k 0 M N>0. M>N. M>N0<x<1a换b 1 X c 匕得c>b，知c最大.答案：c17.如果a>0, b>0，则下列两式的大小关系为lg(1 + Vab) _______ 艮lg(1 + a) + lg(1 +b)].(填不等关系符号)解析：T (1 + a)(b+ 1) = 1 + a+ b+ ab,1•- 2[lg(1 + a) + lg(1 + b)]=lg 1 + a+ b+ ab.T (1 + ：.；ab)2 —(-；”；1 + a+ b + ab)?= 2 ■'ab —(a + b),又 a + b》2、.；ab,.°. 2・..；ab —(a + b)w 0.1•- lg(1 + ■.ab)w 2【lg(1 + a) + lg(1 + b)].答案：w&一个个体户有一种商品，其成本低于^■器元.如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%,如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应_______________________ 出售(填“月初”或“月末”).解析：设这种商品的成本费为a元.月初售出的利润为L1= 100+ (a+ 100) X 2.5% ,月末售出的利润为L2= 120-2%a,则L1-L2= 100 + 0.025a+ 2.5- 120 + 0.02a=0.045 a-...av3器，•. L1<L2，月末出售好.答案：月末三、解答题9.已知a> 1,求证.a+ 1 - '.a< ,a- .a —1,证明：•/ ( a + 1 - .a) —( a —a- 1)= 1 -1.a+ 1 + \ a .a + a- 1m 0/什昇1 ) 0 f(a) f(b)a 3b 3 剧（a 2 b 2）a p a &a 並）b 乐（伍翻（帝佝［（佝5（W ）5］a by/a y/b（回5（W ）5（击承）［（W ）5 （W ）5］ 0 a ＜b 羽＜训（诉）5＜（托）5b a<0.a 1b 1m b a (a1 • 1<0f (a)<f(b )m•— >0 f(a)>f(b) a 1 b 12 2 2 2a 22x b 2 1 x 2 2x>a 2 a>0 b>0a 3b 3 何a 211m R a>b>1 mxf(x)'丿x 1f(a)f(a) f(b) ma 1a 1mb m b ab 1(a1 b1.a>b>1b a<0 a 1>0 b 1>0（⑴ 佝（何（何］＞0.f(b)m>0m<0b>a.c b — x) 5^)产>01 x 1 x 1 xI -a + 1 + \a+ \; a—1 i,a+ 1 - .a<, a —, a- 1.10.设a, b是非负实数，求证：a3+ b3> ab(a I 2+ b2).什昇1) 0 f(a) f(b)m 0 /。

人教版高中数学选修4-5教案【第08课时】不等式的证明方法：比较法

课题：第08课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：要点难点：教课过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只需观察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a b a b0a b a b0a b a b0二、典型例题：例 1、设a b ，求证：a23 2 2 (a b)。

b b例 2、若实数x 1 ，求证：3(1x2x 4 )(1x x 2 ) 2 .证明：采纳差值比较法：3(1x2x4 )(1x x2 )2= 3 3x23x 4 1 x2x 42x 2x 22x3= 2( x4x3x1)= 2( x1) 2 ( x 2x1)= 2( x1) 2 [( x 1 )23 ].241 )23x 1,进而 (x1) 20,且( x0,1)23] 0,24∴ 2( x 1) 2 [( x24∴ 3(1x 2x4 )(1x x 2 ) 2 .议论：若题设中去掉x 1 这一限制条件，要求证的结论怎样变换？例 3、已知a,b R ,求证a a b b a b b a .此题能够试试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明： 1) 差值比较法：注意到要证的不等式对于a, b 对称，不如设 a b 0.a b0，进而原不等式得证。

a ab b a b b a a b b b (a a b b a b ) 02）商值比较法：设 a b0,a1, a b 0, a a b b( a )a b 1. 故原不等式得证。

b a b b a b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地址。

甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半行程以速度m 行走，另一半行程以速度n 行走。

假如m n ，问甲、乙两人谁先抵达指定地址。

剖析：设从出发地址至指定地址的行程是S ，甲、乙两人走完这段行程所用的时间分别为 t1 ,t2。

高中数学教案选修4-5教案第二讲证明不等式的基本方法一比较法

一比较法目的要求：掌握证明不等式的基本的解法之----比较法。

重点难点：掌握作差比较和作商比较各自的使用情景教学设计：目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：一、复习：不等式的一个等价命题：二、作差法：1． 2.已知a , b , m 都是正数，并且a ++ 证：)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：ba mb m a >++ 变式：若a > b ，结果会怎样？若没有“a < b ”这个条件，应如何判断？3.甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲乙两人走完全程所需时间分别是t 1, t 2，则21122,22t nS m S S n t m t =+=+ .0,.0,的大小比较差与转化为即把不等式两边相减本的方法就是证明基最要证明>->b a b a .,,,12233ab b a b a b a b a +>+≠求证且都是正数已知例.,,,.,.2并给出证明问题将这个事实抽象为数学此时浓液的浓度增加到白糖加若在上述溶液中再添则其浓度为糖溶液白糖制出如果用例m b m a kg m b a kg b kg a ++.,,定正负的代数式转化为一个能够明确确通过适当的恒等变形可以把不等式两边相减分析可得：mnn m S t n m S t 2)(,221+=+= ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=- ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴t 1 - t 2 < 0 即：t 1 < t 2从而：甲先到到达指定地点。

人教版高中数学选修4-5第二讲第一节比较法教案1(4)

课题：6.3.3不等式的证明——比较法()3教学目标：作商比较法教学重点：作商比较法教学过程：一、作业引入抽生板演作业17P 第8题：证明函数()f x =在其定义域上是减函数。

教师点评。

设问：试证明函数243()2x x f x -+=在),2[+∞是增函数。

无法对差式作进一步变形。

比较两个指数式的大小，一般可用作商比较法。

二、讲授新课：1、作商比较法由于当0>b 时，1>⇔>ba b a ，因此，证明b a >()0>b 可以转化为证明与之等价的1>ba ()0>b ．这种证法就是求商比较法，使用求商比较法证明不等式b a >时，一定要注意()0>b 的前提条件．作商比较法的基本步骤是：作商——变形——判断商式与1的大小关系适用题型：一般适用于当不等式两边是指数式时。

例1．证明：3422+-=x x y 在),2[+∞是增函数。

证：设122x x ?，则)4)((4434342121121212222221212222-+-+--+-+-===x x x x x x x x x x x x y y ∵210x x ->，1240x x +->，∴12021=>y y 又∵10y >，∴12y y >，∴3422+-=x x y 在),2[+∞是增函数例2．设0>>b a ，求证：.a b b a b a b a >分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明：b a a b b a a b b a b a b a ba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a ba ∴1)(>-b a b a . ∴a b ba ba b a .1> 又∵0>a b b a ，∴.a b b a b a b a .说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法)。

新人教A版高中数学(选修4-5)2.1.1《讲明不等式的基本方法一比较法》word教案

选修4-5学案 §2.1.1不等式的的证明(1)比较法姓名☆学习目标： 1. 理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法; 2. 了解琴生不等式的及其背景☻知识情景：1．绝对值三角不等式：定理1 如果,a b R ∈, 那么||||||a b a b ++. 当且仅当时, 等号成立.定理2 如果,,a b c R ∈, 那么||||||a c a b b c --+-. 当且仅当时, 等号成立.2. 含绝对值不等式的解法：设a 为正数, 则 10.()f x a <⇔; 20.()f x a >⇔;30. 设0b a >>, 则()a f x b ≤<⇔.3．实数大小必较法则：0ba b a -⇔>b a b a -⇔=0ba b a -⇔<☆案例学习：例1 设b a ≠，求证：)(2322b a b b a +>+.例2 若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++例3已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。

甲有一半时间以速度1v 行走，另一半时间以速度2v 行走；乙有一半路程以速度1v 行走，另一半路程以速度2v 行走. 如果12v v ≠，问甲、乙两人谁先到达指定地点.例5 设.1,0,12)(2=+>+=q p pq x x f求证；对任意实数b a ,，恒有).()()(qb pa f b qf a pf +≥+“欲穷千里目,更上一层楼.”10. 在例5中, 0,10,0.pq p q p q >+=⇒>>特别地, 令11,22p q == , 则得()22f ≤再结合函数的图象, 这数和形20.琴生在1905年给出了一个定义：设函数)(x f 定义域为[,]a b ，如果12,[,]x x a b ∀∈，都有()22f ≤（1）则称)(x f 为[,]a b 上的下凸函数. 若把(1)式的不等号反向，则称)(x f 为[,]a b 上的函数.30. 其推广形式是：若函数)(x f 的是[,]a b 上的下凸函数，则12,,,[,]n x x x a b ∀∈，都有()f nn≤（2）当且仅当n x x x === 21时等号成立. 一般称（2）式为琴生不等式.40.琴生不等式推广形式：设1,,,,2121=+++∈+n n q q q R q q q ，)(x f 是[,]a b 上的下凸函数，则 12,,,[,]n x x x a b ∀∈都有：1122()n n f q x q x q x +++≤，当且仅当n x x x === 21时 .若)(x f 是上凹函数，则上述不等式反向.把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式.选修4-5练习 §2.1.1不等式的的证明(1)比较法姓名1、比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）2x 与12+-x x ；（2）12++x x 与2)1(+x .2、已知.1≠a 求证：（1）;122->a a （2）.1122<+aa3、若0>≥≥c b a ，求证.)(3cb a cb aabc c b a ++≥4、已知a ≠0，比较()()121222+-++a a a a 与()()1122+-++a a a a 的大小．5、（06上海）已知函数y ＝x ＋xa有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．（1）如果函数y ＝x ＋xb2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；（2）研究函数y ＝2x ＋2x c（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2x ＋2xa （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n xx )1(2+＋nx x )1(2+（n是正整数）在区间[21，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．6、（08山东）已知函数1()ln(1)(1)nf x a x x =+--，其中*x ∈N ，a 为常数．（Ⅰ）当2n =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2n ≥时，有()1f x x -≤．参考答案:例3本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

高中数学(人教版选修4-5)配套课件第二讲 2.1 比较法

第二讲
证明不等式的基本方法 2.1 比较法
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1．了解用作差比较法证明不等式．
2．了解用作商比较法证明不等式．
3．提高综合应用知识解决问题的能力．
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要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即
可，即利用不等式的性质：
＞ a＞b⇔a－b________0 ＝ a＝b⇔a－b________0 ＜ a＜b⇔a－b________0 思考1 比较两个代数式值的大小： x2与x2－x＋1.
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变式训练
2．已知 a≥1，利用作商比较法求证： a＋1－ a＜ a－ a－1.
左边 a＋1－ a a＋ a－1 证明：＝＝＜1，右边 a－ a－1 a＋1＋ a 又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0. ∴原不等式成立．点评：根据左、右两边都含无理号的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于 0 时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号．
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变式训练 1．已知a，b∈R＋，求证： (a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N*)．证明：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝an(b－a)＋bn(a－b)＝(a－b)(bn－an)，又∵a，b∈R＋，n∈N*，
题型二
作商比较法证明不等式
＋

a＋b 例 3 已知 a，b∈R ，求证：a b ≥(ab) . 2
a b
aabb a－b b－a aa－b 证明：＝a ·b ＝ . b a＋b 2 2 2 ab
2 aa－b 当 a＝b 时，＝1 ； b 2 aa－b a a －b 当 a>b 时， >1， >0，由指数函数的性质知＞1， b b 2 2 aa－b a a －b 当 a1. b b 2 2 a＋b a b ∴a b ≥(ab) . 2

高二数学(人教版)选修4-5教案：第08课时不等式的证明方法之——比较法

课题：第08课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔+。

例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++证明：采用差值比较法： 2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++=)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x=].43)21[()1(222++-x x ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a ba .1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。

甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。

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2.1 比较法
课前导引
情景导入
甲,乙两村之间有一信鸽飞来飞去.问无风的天气信鸽飞一个来回用的时间多,还是来回
一个顶风,一个顺风用的时间多,还是一样多?
因为顺风时信鸽飞行的速度,是无风时信鸽飞行的速度加上风速,同理,顶风的速度是无风时
的速度减去风速.这样,直觉上,似乎用的时间一样多.其实不然,用代数方法论证是比较容易的.
请同学们思考.
知识预览

1.比较法证明不等式的原理是A>BA-B>0.有时也可利用BA>1(B>0)A>B(B>0).这两种
方法分别称为作差比较法和作商比较法.
2.这两种方法的一般步骤可以归纳为:(1)作差(商);(2)变形;(3)判断符号.