板材多点反复成形的残余应力分析

板材多点反复成形的残余应力分析* 李明哲 蔡中义 刘纯国 摘要 基于对曲板弹塑性弯曲的理论分析，提出了适于板条反复成形应 力分析的近似方法，给出了残余应力的计算公式，并对板条反复纯弯曲变形过程的残余应力 进行了分析。结果表明，适当选择反复成形的加载路径，可使残余应力明显降低。 叙词：板材多点成形 弹塑性弯曲 反复成形 残余应力 分类号：TG386

ANALYSIS OF RESIDUAL STRESSES IN ALTERNATE MULTIPOINT FORMING OF SHEET METAL

Li Mingzhe Cai Zhongyi Liu Chunguo (Jilin University of Technology)

Abstract An approximate method suitable for the stresses ana lysis in sheet metal alternate forming is presented, based on elastic plastic be nding theory of cure plate. The formulations to calculate residual stresses is g iven and the residual stresses in alternate pure bending of plate strip is analy zed by the presented method. The result shows that if the loading path is chosen properly, the residual stresses will be reduced obviously. Key words：Multipoint forming Elastic plastic bendi ngAlternate forming Residual stresses

0 前言 板材成形件的残余应力产生于板材内部的不均匀变形，在板材成形卸载并解除变形约束后， 塑性变形区的材料因保存残余变形而使零件成形，但弹性变形区材料及塑性变形区材料的弹 性变形部分则弹性回复，由于塑性变形对弹性变形恢复的阻碍作用，使得材料内部重新建立 起内力自平衡，导致板材内部产生了残余应力。 残余应力的计算、预测、测量及降低残余应力方法的研究一直受到关注和重视［1～3］。残余应力的危害很大，首先，对于有后续切边工序的板材成形工艺，切边后由于残余应力的释放，因回弹变形，零件的几何尺寸再次发生变化。另外，残余应力是造成疲劳裂纹、应力腐蚀裂纹的重要因素，残余应力的存在将严重影响零件的疲劳寿命。因此，降低残余应力，改善其分布形式很有实际意义。 多点成形是板材三维曲面成形的一种柔性加工方法［4］，其特点是以离散的基本体代替传统的整体模具，调整各基本体的位置就可自由地构造出基本体群的成形面。这样，在板材成形过程中，通过对各基本体运动的实时控制，便能按最佳变形路径成形板材，从而最大限度地发挥板材的成形潜力。利用多点成形，可通过调整成形面的形状实现板材的反复成 形，从而，较为有效地消除板材成形中的回弹，而且，在适当的加载路径下，能使板材内部 的残余应力降到比较低的水平。 在几次反复成形后，板材内部的残余应力沿厚度方向分布变得比较复杂。而板材成形有限元 分析中广泛使用的单元如HughesLiu单元［5］及BelytschkoTsay单元［6］等，由于受有限元模型自身的限制，不能在板厚方向布置过多的积分点，故无法准确地反映应力沿板厚方向的变化；又由于整个成形过程中要进行反复多次的加载和卸载，因此，采用有限元方法计算反复成形中的残余应力效果并不好。 本文首先对曲板的弯曲变形与应力进行了定量的分析，论证了对于板厚与变形的曲率半径比 值较小板材，即使应用古典的弯曲理论［8］(即横截面上弯曲应力线性分布)来近似计算弯曲变形问题也能获得足够的精度，从而简化了板材反复弯曲问题的分析。在此基础上对板条反复纯弯曲变形过程中的残余应力进行了分析，给出了残余应力计算公式。

1 板材反复多点成形方法

以i表示经i次反复成形卸载后板材的几何形状，目标形状为obj，以kl

表示对从k到l变形量的度量，且以沿正加载方向为正。所以有下面性质

kl＝km+ml 则反复成形方法可表述如下

第一次正向加载， 1obj＞0 第二次反向加载， 2obj＜0，且│2obj│＜│1obj│ 第三次正向加载，3obj＞0，且│3obj│＜│2obj│ 如此反复加载成形。由每次加载成形变形量的关系可以得到

可见在反复成形中随着前后两次成形之间相对变形量的减小，成形后的形状将最终收敛于目标形状即nobj0。 从反复成形的变形过程可以看出，自第二次成形起，开始变形时板条的初始形状都是曲板，这就需要首先对有曲率板条的变形进行分析。 2 曲板弹塑性弯曲变形的应力分析 板条的变形属平面应变问题，取单位宽度的相邻截面如图1所示，假定板材为理想弹塑性材料，其上作用纯弯矩M(M以使原始曲率减小为正)。

图1 曲板微元体 ρ1，ρ2——板条内、外曲率半径 ρn——板条中性面曲率半径 ρ——板条上任意点曲率半径 d——板条上任意点到中性面的距离 dθ，Δdθ——微元体对应的θ角及变化量 σθ——θ方向应力

曲板在弯曲变形过程中其中性面将向曲率中心移动［7］，内表面的应力大于外表面 的应力。当外载荷达到弹性极限弯矩M1时，内表面首先开始屈服；随着外载荷的增加，内边界塑性区逐渐扩大，当外载荷达到某一弯矩值M2时，外表面也开始屈服；此后，随着外载荷的增加，内边界塑性区向外扩展，外边界塑性区向内扩展。这样曲板弹塑性弯曲变形将分 为三个阶段：①全弹性阶段(M＜M1)。②内边界进入塑性阶段，外边界仍为弹性阶段(M1 ≤M＜M2)。③内、外边界均进入塑性阶段(M≥M2)。 2.1 弹塑性弯曲应力的理论解 根据前面的讨论，曲梁的理论解［9］推广应用到分析曲板条弹塑性变形过程，可得各变形阶段的ρ方向应力σρ及θ方向应力σθ如下 (1)全弹性阶段

(1) 式中 (2)内边界进入塑性阶段，外边界为弹性阶段采用Tresca屈服准则，由弹性应力分布可知│σθ│ ＞│σρ│，故塑性区的应力应满足方程

(2) 式中 σs——材料的屈服应力 由式(2)中的第二式及式(1)得内表面开始屈服时的弯矩

(3) 式中 K＝(2γ21，2lnγ1，2-γ21，2+1)-1 若弹塑性交界线的曲率半径为ρep，则应力解为塑性区(ρ1≤ρ≤ρep)

(4) 弹性区(ρep≤ρ≤ρ2)

(5) 其中ρep由下式确定

(6) 式中 (3)内、外边界均进入塑性阶段 当外表面开始屈服时，进入该变形阶段，此时的外弯矩M2由下式计算

(7) 设内、外边界附近弹塑性交界线曲率半径分别为ρep,1、ρep,2，塑性区ρ1≤ρ≤ρep,1内的应力由式(4)计算，而塑性区ρ1≤ρ≤ρe p,2内的应力为

(8) 弹性区的应力为

(9) 这时ρep,1、ρep,2由下式计算

(10) 式中 2．2 弹塑性弯曲应力的近似解 根据反复多点成形中板材的变形特点，理论分析中采用如下假定［8］。 (1)平截面假定即弯曲变形后横截面仍保持为平面，且与变形后的中面垂直。 (2)忽略厚度方向的正应力及切应力。 图1中二截面弯曲变形前后的夹角分别为dθ、dθ+Δdθ。并设板条应变中性面曲率半径为ρn。在小变形条件下，根据前述的假设，在弹性变形阶段，半径为ρ处的点弯曲应力为

(11) 式中 E——弹性模量 μ——泊松比

可见截面上的应力、应变是按双曲线规律分布如图1所示。由横截面上分布的弯曲应力合力 为零及单位宽度上正应力之矩等于弯矩M，可得中性面曲率半径及弹性阶段半径ρ处的弯曲 应力为

式中 δ——板的厚度 δ＝ρ2-ρ1 ρobj＝(ρ1+ρ2)/2为截面形心曲率半径，亦即板材成形的目标曲率半径。 (1)内边界进入塑性阶段，外边界为弹性阶段 根据假设B及式(13)可得内表面开始屈服时的弯矩M1为

M1＝-σsδρ1(ρobj-ρn)/(ρ1-ρn) (14) 塑性区(ρ1≤ρ≤ρep,1)的应力 σθ＝-σs (15) 弹性区(ρep,1≤ρ≤ρ2)的应力

(16) 式中弹塑性交界线曲率半径ρep,1由下式确定 (2)内、外边界均进入塑性阶段 由式(16)可得外表面开始屈服时的弯矩M2为

式中 ρep,1＝ρnρ2/(2ρ2-ρn) 塑性区的应力

(19) 弹性区(ρep,1≤ρ≤ρep,2)的应力

式中内、外弹塑性交界线曲率半径ρep,1、ρep,2由下式确定 (21) 2．3 曲板弹塑性弯曲应力的近似计算 式(1)、(4)、(5)、(8)、(9)给出了曲板弹塑性弯曲的精确应力，式(13)、(15)、(16)、(19 )、(20)给出了近似的弯曲应力。这些公式在反复成形应力分析时略显复杂，实际上，在某 些条件下这些公式可进一步简化。将式(12)写成级数的形式，则截面形心与中性层的距离可 表示为

(22) 可以看出，随着板厚δ与目标形状曲率半径ρobj比值的减小，中性层到截面形心的距离也减小。对于小的δ/ρobj，应用古典弯曲理论的线性分布形式计算弯 曲应力也可得到足够的精度。由精确理论及近似理论分析的结果不难发现，由线性分布计算 出的弯曲应力在板的内、外表面误差将是最大的。将前面的应力计算公式表示成δ/ρobj无量纲的形式，可计算出随δ/ρobj变化的应力。图2