2018届湖北省襄阳市高三1月调研统一测试数学(文)试题(含答案)

2018届湖北省襄阳市高三1月调研统一测试
数学（文）试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1. 已知集合22{|1}94xyMx，{|1}32xyNy，则M∩N = （ ）
A． B．{(3，0)，(2，0)}
C．{3，2} D．[－3，3]

2. 已知i与j为互相垂直的单位向量，2，aijbij，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值
范围是（ ）
A．22(2)()33，， B．1()2，

C．1(2)(2)2，， D．1()2，
3. 已知倾斜角为的直线l与直线230xy垂直，则cos2的值为（ ）
A．35 B．35 C．15 D．15
4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重
二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4
斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若 金杖由粗
到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（ ）
A．9斤 B．9.5斤 C．6斤 D．12斤

5. 6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，
则其侧视图不可能为（ ）
6. 已知点P(1，2)和圆C：22220xykxyk，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是（ ）
A．R B．23()3，
C．2323()33， D．23(0)3，
7. 已知F1、F2是双曲线M：22214yxm的焦点，255yx是双曲线M的一条渐近线，离心率等于34的椭
圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，设|PF1|·|PF2| = n，则（ ）
A．n = 12 B．n = 24
C．n = 36 D．12n且24n且36n

8. 已知函数2017sin01()log1xxfxxx，，≤≤，若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则abc 的
取值范围是（ ）
A．(1，2 017) B．(1，2 018)
C．[2，2 018] D．(2，2 018)

9. 设双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右
支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则2e（ ）
A．322 B．522 C．122 D．422

10. 如图，半径为2的圆内有两条半圆弧，一质点M自点A开始沿弧A－B－C－O－A－D－C做匀速运动，
则其在水平方向(向右为正)的速度()vgt的图像大致为（ ）
11. 已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为()yfx，满足()()fxfx，f (0) = 1，则不等式
()xfxe

的解集为（ ）
A．(0)， B．(1)， C．(2)， D．(4)，

12. 已知定义在R的函数()yfx对任意的x满足(1)()fxfx，当11x≤，3()fxx．函数
|log|0()10axxgxxx，
，
，若函数()()()hxfxgx在[6)，上有6个零点，则实数a的取值范围是

（ ）
A．1(0)(7)7，， B．
11(][79)97，， C．11
[)(79]

97
，，
D．1[1)(19]9，，

第Ⅱ卷
第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。第13－21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22－23题
为选考题，考生按要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上。答错位置，
书写不清，模棱两可均不得分。

13. 等比数列{an}各项均为正数，384718aaaa，则1210333logloglogaaa ．

14. 已知实数x、y满足2035000xyxyxy≤≥，则2zxy的最大值为 ．
15. 两个不共线向量OAOB、的夹角为，M、N分别为线段OA、OB的中点，点C在直线MN上，且
()OCxOAyOBxyR，
，则22xy的最小值为 ．

16. 若函数()yfx对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得12()()1fxfx成立，则称f (x)
为“自倒函数”．给出下列命题：
①()sin2([])22fxxx，是自倒函数；
②自倒函数f (x)可以是奇函数；
③自倒函数f (x)的值域可以是R；
④若()()yfxygx，都是自倒函数，且定义域相同，则()()yfxgx也是自倒函数．
则以上命题正确的是 (写出所有正确命题的序号)．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 已知{an}的前n项和24nSnn．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)求数列7{}2nna的前n项和Tn．

18. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，已知sincosaBbA，3cos5B．
(Ⅰ)求cosC的值；
(Ⅱ)若a = 15，D为AB边上的点，且2AD = BD，求CD的长．
19. 如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，
1
2
AECD
，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(Ⅰ)求证：EM∥平面ABC；
(Ⅱ)求出该几何体的体积．

20. 动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线2y的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线
交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)求证：0ABMF；
(Ⅲ)求△ABM的面积的最小值．
21. 已知函数ln()xmxnfxe(m、n为常数，e = 2.718 28„是自然对数的底数)，曲线y = f (x)在点(1，

f (1))处的切线方程是2ye．
(Ⅰ)求m、n的值；
(Ⅱ)求f (x)的最大值；

(Ⅲ)设ln(1)()()2xexgxfx(其中()fx为f (x)的导函数)，证明：对任意x > 0，都有2()1gxe．

(注：1[ln(1)]1xx)
请考生在22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，
做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：
2
sin2cos(0)aa
，过点(24)P，的直线l的参数方程为：222242xtyt (t为参数)，直线l

与曲线C分别交于M、N两点．
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(Ⅱ)若| PM |，| MN |，| PN |成等比数列，求a的值．
23. 已知函数()|32|fxx．
(Ⅰ)解不等式()4|1|fxx；

(Ⅱ)已知1mn(m，n > 0)，若11||()(0)xafxamn≤恒成立，求实数a的取值范围．

数学(文史类)参考答案及评分标准
一．选择题：DCBAD CADBB AC

二．填空题：13．20 14．4 15．18 16．①②
三．解答题：
17．(Ⅰ)解：当n≥2时，2214[4(1)(1)]52nnnaSSnnnnn 2分
当n = 1时，113aS，适合上式
∴52nan 4分

(Ⅱ)解：令17122nnnnanb
23213451222222nnnnnT


6分

23112341222222nnnnnT


8分