导数的概念及其几何意义同步练习题(学生版)
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义(精练)(原卷版)
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义一、选择题1．（2019·全国高三月考（文））已知函数3()2(1)1f x x xf '=+-，则(1)f '=（ ）A ．32B ．3C ．-3D ．32-2．（2019·湖南省株洲二中高三月考（理））曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）. A ．2eB ．eC ．2D ．13．（2019·河北省高三期末（理））曲线()3f x x x =-在点(1,(1))f --处的切线方程为（ ） A ．220x y ++= B ．220x y +-= C ．220x y -+=D ．220x y --=4．（2018·湖南省湖南师大附中高三一模（理））已知直线y ax =是曲线ln y x =的切线，则实数a =（ ） A ．12B ．12eC ．1eD ．21e 5．（2020·全国高三三模（文））函数()3sin 4cos f x x x =+的图象在点T (0， f (0))处的切线l 与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A ．43B ．53C ．73D ．836．（2019·湖南省高三期末（文））曲线()32f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A ．()1,0 B ．()2,8C ．()1,0和()1,4--D ．()2,8和()1,4--7．（2020·全国高三其他（理））曲线cos sin x y x =在点π,14⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为（ ）. A ．π2102x y --+= B ．π2102x y ---= C ．π2102x y +-+=D ．π2102x y +--=8．（2020·黑龙江省哈九中高三三模（文））等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数()()()()128f x x x a x a x a =---，则()0f '=（）A ．122B ．92C ．82D ．629．（2019·汕尾市普宁华美实验学校高三期中（文））已知曲线2()ln x f x x a=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．12-D ．4-10．（2019·广东省普宁市华美实验学校高三开学考试（理））已知过点A （a ，0）作曲线C ：y ＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B ．（0，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）二、多选题11．（2019·山东省高三月考）下列结论中不正确的是（ ） A ．若1cosy x =，则11sin y x x'=- B ．若2sin y x =，则22cos y x x '= C ．若cos5y x =，则sin 5y x '=-D ．若1sin 22y x x =，则sin 2y x x '= 12．（2020·高密市教育科学研究院高三其他）若函数()1xf x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ） A ．2B ．0C ．1D ．1-13．（2020·山东省高三其他）已知曲线()32213f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ） A ．196B ．3C ．103D ．9214．（2020·山东省高三其他）已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）A12= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>三、填空题15．（2020·重庆高三其他（文））曲线32()f x x x =-在1x =处的切线方程为_____．16．（2020·河南省高三二模（理））已知函数()()2ln f x x x =-．则函数()f x 在1x =处的切线方程为___________．17．（2020·辽宁省大连二十四中高三一模（理））已知函数f （x ）=axlnx ﹣bx （a ，b ∈R ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y =3x ﹣e ，则a +b =_____. 18．（2020·天津高三二模）曲线1xy e x=-在点(1,(1))f 处的切线的斜率为_______，在该点处的切线方程为______.19．（2017·浙江省高三其他）已知函数3()f x x ax b =++的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为250x y --=，则a =_______；b =_________.20．（2018·浙江省高三其他）已知曲线xy e -=，则其图像上各点处的切线斜率的取值范围为 __________；该曲线在点(0,1)处的切线方程为__________．21．（2017·北京高三期中（理））已知函数21()(2)1ax bx c x f x f x x ⎧++≥=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1))f 处的切线方程为__________，则它在点(3,(3))f --处的切线方程为__________． 四、解答题22．（2020·安徽省蚌埠二中高二月考（理））已知曲线32()2f x x x x =-+.(Ⅰ) 求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； (Ⅱ) 求曲线()y f x =过原点O 的切线方程.23．（2020·山东省高二期中）（1）函数()()1sin f x x x =+的导数为()f x '，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关． 24．（2020·安徽省怀宁县第二中学高二期中（理））已知函数()32f x x x =-及()y f x =上一点()1,1P -，过点P 作直线l ，使直线l 和()y f x =相切.求直线l 的方程.25．（2020·洮南市第一中学高二月考（理））已知函数()1ln 1xf x x+=-． （1）求函数()y f x =的定义域；（2）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程.26．（2020·湖北省高二月考）设点M 是幂函数()f x 图象上任意一点，点M 在x 轴和y 轴上的射影分别为P 、Q ，且四边形OPMQ 的面积为常数．（1）求()f x 的表达式；（2）证明：函数()f x 在点M 处的切线与坐标轴围成的面积为定值．27．（2020·河南省高二期末（理））已知函数3()16f x x x =+-（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.。
高中数学导数及其几何意义精选题
导数及其几何意义精选题33道一．选择题（共13小题） 1．已知21()(0)2f x a ln x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是()A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞2．曲线1x yx e-=在点(1,1)处切线的斜率等于()A ．2eB ．eC ．2D ．13．曲线313yx x=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A ．19B ．29C ．13D ．234．设点P是曲线335yx =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A ．2[0,]3πB ．[0，2)[23ππ，)πC ．2(,]23ππ D ．2[,]33ππ5．已知曲线yln x=的切线过原点，则此切线的斜率为()A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-6．设函数()f x 在定义域内可导，()yf x =的图象如图所示，则导函数()yf x ='的图象可能为()A ．B ．C ．D ．7．设()f x 存在导函数且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则曲线()yf x =上的点(1，f（1）)处的切线的斜率为()A ．1-B ．2-C ．1D ．28．设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x→--等于()A ．0()f x 'B ．0()f x '- C ．0()f x -'D ．0()f x --9．曲线31233yx x =-+在点4(1,)3处的切线的倾斜角为()A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π10．如图，函数()y f x =的图象在点(2,)P y 处的切线是L ，则f（2）f +'（2）(=)A ．4-B ．3C ．2-D ．111．曲线2yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则c o s (2)2πα+的值为( )A ．45B ．45-C ．35D ．35-12．已知函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．13．若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:xCy x e=相切，则m 的取值范围是()A ．23(e-，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)ee--二．多选题（共2小题） 14．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()yx f x '=的图象，则下列说法正确的是()A ．函数()f x 的增区间是(2,0)-，(2,)+∞ B ．函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x=是函数的极小值点15．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x R∈，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )A ．2()23f x x =+B ．1()f x x=C ．()xf x e-= D ．()f x ln x=三．填空题（共15小题） 16．函数()f x 的图象在2x=处的切线方程为230xy +-=，则f（2）f '+（2）= ．17．已知点P 在曲线41xy e=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ． 18．设函数()f x 的导数为()f x '，且322()()3f x x f xx=+'-，则f '（1）= ．19．正弦曲线sin yx=上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ．20．曲线1yln x x =-在1x=处的切线的倾斜角为α，则s in 2α=．21．若函数21()2f x xa x ln x=-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．22．定义在区间[a ，]b 上的连续函数()y f x =，如果[aξ∃∈，]b ，使得f（b ）f -（a ）()()f b a ξ='-，则称ξ为区间[a ，]b 上的“中值点”．下列函数： ①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()(1)f x ln x =+； ④31()()2f x x =-，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为 ．（写出所有满足条件的函数的序号） 23．已知曲线2132y xln x=-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 ．24．函数()xf x x e=在0x=处的切线的斜率为 ．25．函数3()(21)f x x x =+的图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率为 ．26．若指数函数(0xy a a =>且1)a≠与三次函数3yx=的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．27．设直线3yx b=-+是曲线323y x x=-的一条切线，则实数b 的值是 ．28．已知函数()y f x =在0xx =处的导数为2-，则0limx →00()()f x x f x x+-=． 29．已知函数()y f x =的图象在点(1，f（1）)处的切线方程是210xy -+=，则f（1）2f +'（1）的值是 ．30．已知函数()f x 的导数()f x '，且满足()2f x f '=（1）ln x +，则f（e ）= ．四．解答题（共3小题） 31．已知曲线3:2Sy x x=-．（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程； （2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．32．已知函数21()22f x xx a ln x=-+，其中0a>．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：123()()2f x f x -<+<-．33．求曲线32312yx x=--+在1x =处的切线的倾斜角．导数及其几何意义精选题33道参考答案与试题解析一．选择题（共13小题） 1．已知21()(0)2f x a ln x x a =+>，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是()A ．(0，1]B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．[1，)+∞【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立”转换成1122()2()2f x x f x x ->-，构造函数()()2h x f x x=-，根据增减性求出导函数，即可求出a 的范围．【解答】解：对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，假设12x x >，1212()()22f x f x x x ->-，即1122()2()2f x x f x x ->-对于任意120x x >>成立，令()()2h x f x x =-，()h x 在(0,)+∞为增函数， ()20a h x x x'∴=+-…在(0,)+∞上恒成立，20a x x+-…，则2(2)1m a x a x x -=…故选：D ．【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题． 2．曲线1x yx e-=在点(1,1)处切线的斜率等于()A ．2eB ．eC ．2D ．1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率． 【解答】解：函数的导数为111()(1)x x x f x ex ex e---'=+=+，当1x=时，f '（1）2=，即曲线1x y x e-=在点(1,1)处切线的斜率k f ='（1）2=，故选：C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． 3．曲线313yx x=+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为() A ．19B ．29C ．13D ．23【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在0(P x ，0)y 处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若313yx x=+，则1|2x y ='=，即曲线313yx x =+在点4(1,)3处的切线方程是42(1)3yx -=-，它与坐标轴的交点是1(3，0)，2(0,)3-，围成的三角形面积为19，故选A ．【点评】函数()yf x =在0xx =处的导数的几何意义，就是曲线()yf x =在点0(P x ，0)y 处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：000()()y y f x x x -='-4．设点P 是曲线335yx =-+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A ．2[0,]3πB ．[0，2)[23ππ，)π C ．2(,]23ππ D ．2[,]33ππ【分析】先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．【解答】解：23y x'=--ta n α-…，[0α∴∈，2)[23ππ，)π，故选：B ．【点评】本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率． 5．已知曲线yln x=的切线过原点，则此切线的斜率为()A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-【分析】设切点坐标为(,)a ln a ，求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入(0,0)，求切点坐标，切线的斜率．【解答】解：设切点坐标为(,)a ln a ，y ln x=，1y x∴'=，切线的斜率是1a，切线的方程为1()y ln a x a a -=-， 将(0,0)代入可得1ln a=，a e∴=，∴切线的斜率是11ae=；故选：C ．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用切线斜率和导数之间的关系可以切点坐标． 6．设函数()f x 在定义域内可导，()yf x =的图象如图所示，则导函数()yf x ='的图象可能为()A ．B ．C ．D ．【分析】先从()f x 的图象判断出()f x 的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象 【解答】解：由()f x 的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y 轴左侧先增，再减，在y 轴的右侧，函数单调递减，∴导函数()yf x ='的图象可能为区间(,0)-∞内，先有()0f x '>，再有()0f x '<，在(0,)+∞再有()0f x '<．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题 7．设()f x 存在导函数且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则曲线()yf x =上的点(1，f（1）)处的切线的斜率为()A ．1-B ．2-C ．1D ．2【分析】根据极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义即可求出． 【解答】解：()y f x =在点(1，f（1）)处的切线的斜率为f '（1）0(1)(12)lim12x f f x x→--==-，故选：A ．【点评】本题考查极限的定义的应用，曲线在某处切线斜率的意义，属于基础题． 8．设函数()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x→--等于()A ．0()f x 'B ．0()f x '- C ．0()f x -'D ．0()f x --【分析】根据导数的几何意义，以及导数的极限表示形式0000()()()limx f x x f x f x x→+-'=进行化简变形，得到结论．【解答】解：000000()()()()limlim()x x f x x f x f x x f x f x xx→→----=-=-'-，故选：C ．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的极限表示形式，本题属于中档题． 9．曲线31233yx x =-+在点4(1,)3处的切线的倾斜角为()A ．4πB ．3πC ．23πD ．34π【分析】根据题意，设曲线31233yx x =-+在该点处切线的倾斜角为θ，求出曲线方程的导数，进而求出1|x y ='的值，即可得切线的斜率，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设曲线31233y x x =-+在该点处切线的倾斜角为θ，曲线方程为31233yx x =-+，其导数22y x '=-，则有1|121x y ='=-=-，则切线的斜率1k=-；则有ta n 1θ=-，故34πθ=；故选：D ．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题． 10．如图，函数()yf x =的图象在点(2,)P y 处的切线是L ，则f（2）f +'（2）(=)A ．4-B ．3C ．2-D ．1【分析】本题根据导数的基本运算结合函数图象可计算出()f x '的式子，进而可求出()yf x =的式子，即可求得结果．【解答】解：由图象可得：函数()yf x =的图象在点P 处的切线是L 与x 轴交于(4,0)，与y 轴交于(0,4)，则可知:4L x y +=，f∴（2）2=，f '（2）1=-∴代入则可得f（2）f +'（2）1=，故选：D ．【点评】本题考查导数性质的基本应用，结合图形的基本性质即可求得答案． 11．曲线2yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则c o s (2)2πα+的值为( )A ．45B ．45- C ．35D ．35-【分析】曲线在1x =处的切线的倾斜角为α，所以1|ta n x y α='=，所以2222s in c o s 2ta n c o s (2)s in 221s in c o s ta n παααααααα+=-=-=-++，将ta n α代入即可．【解答】解：依题意，212y xx'=+，所以12ta n 311α=+=，所以22222s in c o s 2ta n 233c o s (2)s in 221315s in c o s ta n παααααααα⨯+=-=-=-=-=-+++，故选：D ．【点评】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题． 12．已知函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数()f x 为偶函数求得a 的值，再求出()f x 的导函数()f x '，利用导数判断()f x '的单调性与极值，从而得出函数()f x '的大致图象．【解答】解：函数42()2(1)f x x a x a x=-++-为偶函数，则10a-=，解得1a=，42()2f x x x∴=-+， 3()44f x x x∴'=-+；设()()g x f x ='，则2()124g x x '=-+，令()g x '=，解得3x=±∴当03x <<时，()g x '>，当3x>时，()0g x '<；()g x ∴在3x =34423339g =-⨯+⨯=<，∴导函数()f x '的图象大致为选项A 所示．故选：A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数研究函数的图象和性质的应用问题，是中档题．13．若过点(1,)P m -可以作三条直线与曲线:xCy x e=相切，则m 的取值范围是()A ．23(e-，)+∞ B ．1(,0)e-C ．(0,)+∞D ．231(,)ee--【分析】求指数函数的导数，利用导数的几何意义列出方程． 【解答】解：设切点为0(x ，0)y ，过点P的切线方程为000(1)()x x y x ex x x e=+-+，代入点P坐标化简为200(1)x m x x e=---，即这个方程有三个不等根即可，令200()(1)x f x xx e=---，求导得到()(1)(2)xf x x x e'=--+，函数在(,2)-∞-上单调递减，在(2,1)--上单调递增，在(1,)-+∞ 上单调递减，故得到(2)(1)f m f -<<-，即231(,)ee--故选：D ．【点评】本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键． 二．多选题（共2小题） 14．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()yx f x '=的图象，则下列说法正确的是()A ．函数()f x 的增区间是(2,0)-，(2,)+∞ B ．函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x=是函数的极小值点【分析】根据题意，由函数()y x f x ='的图象分析导函数的符号，进而可得()f x 的单调区间以及单调性，据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，由函数()y x f x ='的图象可知：当2x<-时，()0x f x '<，()0f x '>，此时()f x 为增函数， 当20x -<<时，()0x f x '>，()0f x '<，此时()f x 为减函数，当02x <<时，()0x f x '<，()0f x '<，此时()f x 为减函数，当2x>时，()0x f x '>，()0f x '>，此时()f x 为增函数；据此分析选项：函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞，则B 正确，A 错误；2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，则D 正确，C 错误；故选：B D ．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题． 15．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x R∈，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是( )A ．2()23f x x =+B ．1()f x x=C ．()xf x e-= D ．()f x ln x=【分析】通过解方程00()()f x f x '=，看是否有解即可解决此题． 【解答】选项A 中，由00()()f x f x '=得：200234x x +=，△80=-<，无解，∴函数无巧值点，故不选A ；选项B 中，由00()()f x f x '=得：211x x =-，解得：01x =-，函数有巧值点1-，故选B ；选项C 中，由00()()f x f x '=得：0xx e e--=-，无解，∴函数无巧值点，故不选C ；选项D 中，由00()()f x f x '=得：01ln x x =，函数0y ln x =与01yx =在第一象限有一个交点，∴方程01ln x x =有一个解，∴函数有巧值点，故选D ； 故选：B D ．【点评】本题考查导数运算、方程思想、数形结合思想，考查数学运算能力，属于中档题． 三．填空题（共15小题） 16．函数()f x 的图象在2x=处的切线方程为230xy +-=，则f（2）f '+（2）=3- ．【分析】先将2x =代入切线方程可求出f （2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f '（2）的值，最后相加即可． 【解答】解：由已知切点在切线上， 所以f（2）1=-，切点处的导数为切线斜率， 所以f '（2）2=-，所以f（2）f +'（2）3=-．故答案为：3-．【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率． 17．已知点P 在曲线41xye=+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是3[,)4ππ ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k 的范围，再根据ta n k α=，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得24()21x xxe f x ee '=-++，4411222xxk e e=--=-+++…，且0k<则曲线()yf x =上切点处的切线的斜率1k -…，又ta n k α=，结合正切函数的图象由图可得3[,)4παπ∈，故答案为：3[,)4ππ．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 18．设函数()f x 的导数为()f x '，且322()()3f x x f x x=+'-，则f '（1）= 0 ．【分析】根据题意，求出函数的导数22()32()13f x x f x '=+'-，令23x=可得：2222()3()2()1333f f x '=+'-，解可得2()3f '的值，即可得()f x '的解析式，将1x=代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，322()()3f x x f xx=+'-，其导数22()32()13f x xf x '=+'-，令23x =可得：22222()3()2()13333f f '=+'-，解可得2()13f '=-，则2()321f x x x '=--，故f '（1）3210=--=，故答案为：0．【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 19．正弦曲线sin yx=上一点P ，正弦曲线的以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是[0，3][44ππ，)π ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k 的范围，再根据ta n k α=，结合正切函数的图象求出角α的范围．，再根据导数的几何意义可知ta n kα=-…，结合正切函数的图象求出角α的范围．【解答】解：根据题意得()c o s f x x'=，1co s 1x -剟，则曲线()y f x =上切点处的切线的斜率11k -剟，又ta n k α=，结合正切函数的图象由图可得[0α∈，3][44ππ，)π，故答案为：[0，3][44ππ，)π．【点评】本题考查了导数的几何意义、正弦函数的导数、余弦函数的值域等基本知识，以及利用正切函数的图象求倾斜角，考查运算求解能力，考查数形结合思想． 20．曲线1yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，则s in 2α=45．【分析】先求出曲线1yln x x=-的导数，得到曲线在1x=处的斜率，再根据切线的倾斜角为α，得到ta n α的值，进一步求出s in 2α的值． 【解答】解：由1yln x x=-，得211y xx'=+， ∴曲线1y ln x x =-在1x =处的切线斜率2k=，曲线1yln x x=-在1x=处的切线的倾斜角为α，ta n 2α∴=，22ta n 4s in 22s in c o s 1ta n 5ααααα∴===+．故答案为：45．【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，三角恒等变换，二倍角公式和直线的斜率与倾斜角之间的关系，考查了转化思想，属基础题． 21．若函数21()2f x xa x ln x=-+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是[2，)+∞ ．【分析】先对函数()f x 求导，然后令导函数等于0得到关于a ，x 的关系式，再由基本不等式可求出a 的范围．【解答】解：211()()2f x xa x ln x f x x a x'=-+∴=-+由题意可知存在实数0x>使得1()0f x x a x'=-+=，即1a x x=+成立12a x x ∴=+…（当且仅当1x x=，即1x=时等号取到）故答案为：[2，)+∞【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率． 22．定义在区间[a ，]b 上的连续函数()yf x =，如果[aξ∃∈，]b ，使得f（b ）f -（a ）()()f b a ξ='-，则称ξ为区间[a ，]b 上的“中值点”．下列函数： ①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()(1)f x ln x =+； ④31()()2f x x =-，在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为 ①④ ．（写出所有满足条件的函数的序号）【分析】根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．分别画出四个函数的图象，如图．由此定义再结合函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确； 对于③，()(1)f x ln x =+在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；对于④，根据对称性，函数31()()2f x x =-在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了导数及其几何意义等知识点，属于中档题． 23．已知曲线2132yxln x=-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 3 ．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为0(x ，0)y 曲线2132yxln x=-的一条切线的斜率为20032y x x ∴'=-=解得：03x =或1-x > 03x ∴=故答案为：3【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域． 24．函数()xf x x e=在0x=处的切线的斜率为 1 ．【分析】利用导数的几何意义即可得出． 【解答】解：()x xf x e x e'=+，(0)1f ∴'=． ()f x ∴在0x=处的切线斜率为1．故答案为：1．【点评】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 25．函数3()(21)f x x x =+的图象在点(1，f（1）)处的切线的斜率为 81 ．【分析】利用导数的求导法则先求出()f x '，然后由导数的几何意义求解f '（1）即可．【解答】解：函数3()(21)f x x x =+， 所以32()(21)3(21)2f x x x x '=+++⨯，故f '（1）275481=+=．故答案为：81．【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了导数几何意义的理解，考查了运算能力，属于基础题． 26．若指数函数(0xy a a =>且1)a≠与三次函数3y x=的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是3(1,)e e ．【分析】先分析函数3y x=单调性，值域；再分两种情况当01a <<时，当1a>时，讨论xya=在(,)-∞+∞上单调性，值域，发现当1a>时，只能是在(0,)+∞上函数xya=与3yx=有两个交点⇒在(0,)+∞上，方程3xx a=有两个不等实数根，⇒在(0,)+∞上，方程3ln x ln a x=有两个不等实数根，令3()ln x g x x=，(0)x>，求导，分析单调性，最值，进而得出答案．【解答】解：函数3y x=在(,)-∞+∞上单调递增，在(,0)-∞上0y<，在(0,)+∞上0y>，当01a <<时，xya=在(,)-∞+∞上单调递减，且0y >所以两个函数图象只有一个交点，不符合题意， 当1a>时，xy a=在(,)-∞+∞上单调递增，且0y>，所以只能是在(0,)+∞上函数xy a=与3yx=有两个交点，即在(0,)+∞上，方程3xx a=有两个不等实数根，所以在(0,)+∞上，方程3ln x ln a x=有两个不等实数根，令3()ln x g x x=，(0)x>23(1)()ln x g x x-'=，在(0,)e 上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(,)e +∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()m a x g x g=（e ）33eln e ln e e==，所以3eln a ln e <<，所以31ea e <<．故答案为：3(1,)e e【点评】本题考查函数图象交点，方程的根，以及利用导数求最值，属于中档题． 27．设直线3yx b=-+是曲线323yx x=-的一条切线，则实数b 的值是 1 ．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，结合方程组求出常数b 和c 即可． 【解答】解：236y x x'=-，2363kx x ∴=-=-，1x ∴=，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标(1,2)-它也在切线上，∴代入3yx b=-+，得1b=．∴常数b 为：1．故答案为：1．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线的斜率的概念等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 28．已知函数()yf x =在0xx =处的导数为2-，则0limx →00()()f x x f x x+-=2- ．【分析】根据题意，由导数的定义可得0limx →000()()()f x x f x f x x+-='，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =在0xx =处的导数为2-，即0()2f x '=-，而0limx →000()()()2f x x f x f x x+-='=-，故答案为：2-【点评】本题考查导数的几何意义，涉及极限的计算，属于基础题． 29．已知函数()yf x =的图象在点(1，f （1）)处的切线方程是210xy -+=，则f（1）2f +'（1）的值是 2 ．【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f（1）的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f '（1）的值，把f（1）和f '（1）代入f （1）2f '+（1）即可．【解答】解：点(1，f （1）)是切点，∴在切线上， 12f∴-（1）10+=，f（1）1=函数()y f x =的图象在点(1，f（1）)处的切线方程是210xy -+=，∴切线斜率是12即f '（1）12=f∴（1）2f '+（1）11222=+⨯=故答案为2【点评】本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系，属于导数的几何意义的应用． 30．已知函数()f x 的导数()f x '，且满足()2f x f '=（1）ln x +，则f（e ）= 3 ．【分析】先对()f x 求导数，再求f '（1）可解决此题．【解答】解：()2f x f '=（1）ln x +，1()f x x∴'=，f ∴'（1）1=，()2f x ln x∴=+，f∴（e ）3=．故答案为：3．【点评】本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题． 四．解答题（共3小题） 31．已知曲线3:2Sy x x=-．（1）求曲线S 在点(1,1)A 处的切线方程； （2）求过点(2,0)B 并与曲线S 相切的直线方程．【分析】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A 处的值为切线方程的斜率可得答案． （2）先设切点坐标，然后得出斜率的表达式求出斜率，最后根据直线的点斜式方程可得答案． 【解答】解：（1）32232y x x y x '=-∴=-+当1x=时，1y '=-∴点(1,1)A 处的切线方程为：1(1)(1)yx -=--即：20xy +-=（2）设切点坐标为3(,2)m m m -则直线斜率322m m k m -=-，而223y m'=-，整理得到：32320m m-+=3222(1)0mmm---=2(1)2(1)(1)0m m m m --+-=2(1)(22)0m mm ---=解得11m =，21m =+31m =-当1m =时：2231k m=-=-，直线方程为(2)2yx x=--=-；当1m =+22310k m=-=--，直线方程为(102)y x =---当1m=-时，22310km=-=-+，直线方程为(102)yx =-+-【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于过该点的曲线的切线的斜率． 32．已知函数21()22f x xx a ln x=-+，其中0a>．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：123()()2f x f x -<+<-．【分析】（1）由利用导数研究函数的单调性得：当1a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(0,1-上单调递增，在(1-+上单调递减，在(1)++∞上单调递增．（2）由利用导数研究函数的极值得：令()2h x x ln x x =--，01x <<，则只需证明3()2h x -<<-，由于()h x ln x '=<，故()h x 在(0,1)上单调递减，所以()h x h>（1）3=-．又当01x <<时，11ln x-<-，(1)0x ln x-<，故()2(1)22h x x l n x x x l n x =--=--<-，所以对任意的01x <<，3()2h x -<<-．得解．【解答】解：（1）由题得22()2a xx a f x x x x -+'=-+=，其中0x>，考察2()2g x x x a=-+，0x>，其中对称轴为1x =，△44a=-．①若1a …，则△0…，此时()0g x …，则()0f x '…，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；②若01a <<，则△0>，此时220x x a -+=在R 上有两个根11x =-21x =+121x x <<<，所以当1(0,)x x ∈时，()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增；当1(x x ∈，2)x 时，()0g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减； 当2(x x ∈，)+∞时，()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增，综上，当1a …时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()fx 在(0,1-上单调递增，在(1-+上单调递减，在(1)++∞上单调递增．（2）证明：由（1）知，当01a <<时，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且122x x +=，12x x a=，所以11111()()22()2()()[()2]2()()(22)4222222f x f x x x a ln x x x a ln x x x x x a ln x ln x x x x x x x a ln x x a a ln a a ln a a +=-++-+=+-+++=+--++=--+=--．令()2h x x ln x x =--，01x <<，则只需证明3()2h x -<<-，由于()h x ln x '=<，故()h x 在(0,1)上单调递减， 所以()h x h>（1）3=-．又当01x <<时，11ln x -<-，(1)0x ln x -<，故()2(1)22h x xln x x x ln x =--=--<-， 所以对任意的01x <<，3()2h x -<<-．综上，可得123()()2f x f x -<+<-，故命题得证．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性及极值，属综合性较强的题型．33．求曲线32312yx x=--+在1x =处的切线的倾斜角．【分析】求出函数在1x =出的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系，即可解出．【解答】解：233y x x '=--所以函数在1x=处的导数为：故该直线的斜率k =，设直线的倾斜角为α，则ta n α=[0α∈，)π，∴23πα=．【点评】本题考查了导数的应用，直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题．。
(完整版)导数的几何意义(基础练习题)
导数的几何意义（1）1.设f(x)＝1x，则limx→af x－f ax－a等于( )A．－1aB.2aC．－1a2D.1a22．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B.1 2C．－12D．－14．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.146．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________．7．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.8．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________．9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．10．求双曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．导数的几何意义（2）1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在2．函数在处的切线斜率为（ ） A ．0 B 。
1 C 。
2 D 。
33．曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4 C.54πD ．－π44．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－26．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x轴斜交7．函数在点处的导数的几何意义是__________________________________________________;曲线在点P处的切线方程为是_____________________________________________.8．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________________________9．求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程10．若曲线f(x)=ax3+3x2+2在x=-1处的切线斜率为4，求a的值。
高二人教A版数学选修1-1同步练习3-1-2导数的几何意义 Word版含答案
3.1.2导数的几何意义一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )A ．9B ．6C ．－3D ．－1 [答案] A[解析] Δy ＝(2＋Δx )3－3(2＋Δx )－23＋6＝9Δx ＋6Δx 2＋Δx 3，Δy Δx＝9＋6Δx ＋Δx 2， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(9＋6Δx ＋Δx 2)＝9， 由导数的几何意可知，曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是9.2．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －Δx 2＋13Δx 3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13Δx 2， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13Δx 2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 3．函数y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程是( ) A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x ＋4 [答案] B[解析] Δy ＝2Δx Δx ＋12，Δy Δx ＝2Δx ＋12，lim Δx →0 2Δx ＋12＝4， ∴切线的斜率为4.∴切线方程为y ＝4⎝⎛⎭⎫x －12－2＝4x －4. 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在[答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B. 5．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线[答案] C[解析] 由于对导数在某点处的概念及导数的几何意义理解不透彻，不能认真分析题中所给选项，事实上A 、B 是一样的．它们互为逆否命题，讨论的是“f ′(x 0)存在与否”与切线存在与否的关系，而在导数的几何意义中讨论的是“切线的斜率”与“f ′(x 0)”，得C 是正确的，而A 、B 、D 都是不正确的，可一一举例说明．6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] B[解析] lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0 f (1－2x )－f (1)－2x＝lim －2x →0 f [1＋(－2x )]－f (1)－2x＝f ′(1)＝－1.7．在曲线y ＝x 2上的点________处的倾斜角为π4( ) A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116) D ．(12，14) [答案] D[解析] 倾斜角的正切值即为斜率，设点(x 0，y 0)则k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →02x 0Δx ＋Δx 2Δx ＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0＝1， ∴x 0＝12，y 0＝x 20＝14，∴点坐标(12，14)． 8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角 [答案] C[解析] 函数图像在点(4，f (4))处的切线斜率为f ′(4)＝－sin4>0，所以函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为锐角．9．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(－1，－5)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1) [答案] C[解析] k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3＋(x 0＋Δx )－x 30－x 0Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2＋1] ＝3x 20＋1＝4，∴3x 20＝3，即x 0＝±1， ∴点P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．10．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B.12 C ．－12D ．－1[答案] A[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →1a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →02a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.二、填空题11．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________.[答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0(2＋Δx )3＋2－23－2Δx ＝lim Δx →0(2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx ＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 12．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．[答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx ＝lim Δx →02x 0Δx －3Δx Δx ＝2x 0－3＝1＝k ， 故x 0＝2，y 0＝x 20＝4，故切点坐标为(2,4)．13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．[答案] 83[解析] y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2，所以k ＝y ′|x ＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切线方程为y ＝3x －2，它与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23，0，与x ＝2的交点为(2,4)，所以S ＝12×⎝⎛⎭⎫2－23×4＝83. 14．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________．[答案] 4x －y －1＝0[解析] 因为y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )＋1－(x 3＋x ＋1)Δx ＝3x 2＋1， 所以k ＝y ′|x ＝1＝3＋1＝4，所以切线的方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.三、解答题15．求曲线y ＝x 2＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．[分析] 点是曲线上的点→求切线的斜率k →得切线方程[解析] y ′|x ＝1＝lim Δx →0(1＋Δx )2＋3(1＋Δx )＋1－(12＋3×1＋1)Δx ＝lim Δx →05Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(5＋Δx )＝5， 即切线的斜率k ＝5，∴曲线在点(1,5)处的切线方程为y －5＝5(x －1)即5x －y ＝0.16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．[解析] 设直线l 与曲线C 相切于P (x 0，y 0)点．f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)．当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，a ＝0(舍去)．∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)． [点评] 利用曲线在一点处的导数等于在这一点的切线的斜率，确定出切点．17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程． [解析] 易知(2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0. 又y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－1x 2， 所以y ′|x ＝x 0＝－1x 20， 即切线方程为y ＝－1x 20(x －2)① 而y 0x 0－2＝－1x 20② 由①②可得x 0＝1，故切线方程为y ＋x －2＝0.18．曲线y ＝x 2－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．[解析] 设P (x 0，y 0)，Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x )＝2x ·Δx ＋(Δx )2－3Δx ，Δy Δx ＝2x ·Δx ＋(Δx )2－3Δx Δx＝2x ＋Δx －3. lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx －3)＝2x －3， ∴y ′|x ＝x 0＝2x 0－3，令2x 0－3＝0得x 0＝32， 代入曲线方程得y 0＝－94， ∴P ⎝⎛⎭⎫32，－94.。
高中数学3.2导数的概念及其几何意义同步精练北师大版选修1-1
答案： 135°
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9. 解析： 设温度的增量为 100a2( Δ t ) 2，
Δ t ，则铁板面积
S 的增量 Δ S＝ 200( a＋ a2t ) Δ t ＋
因此
ΔＳ Δｔ＝
200(
a＋
a2t
)
＋
100a2Δ
t
，
令 Δ t →0，则 S′（t ) ＝ 200( a＋ a2 t ) ． 即铁板面积对温度 t 的瞬时膨胀率为 200( a＋a2t ) ． 答案： 200( a＋ a2t )
答案： A 6. 解析： 令 f ( x) ＝ y＝ ax2，则曲线在点 (1 ， a) 处的切线斜率 k＝ f ′(1) ，即 2＝ k＝
f(1 ＋Δｘ) － f(1)
f ′(1) ＝ Δlixm→０
Δｘ
＝ 2a，故 a＝ 1.
答案： A
7. 解析： ∵ f (1 ＋Δ x) － f (1) ＝ 1＋Δ x－ 1，
1 (
Δ
x)
2，
Δｘ
Δｘ
3
Δｙ
1
∴ Δlxim→０Δｘ＝Δlxim→０
4＋2Δx＋
( 3
Δｘ)2
＝4. ∴ k＝ 4.
∴曲线在点 P(2,4) 处的切线方程为 y－ 4＝4( x－ 2) ，
即 4x－ y－ 4＝ 0.
(2) 由题意联立方程组，得
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y＝ 4x－ 4， 14
y＝3x3 ＋ 3，
即 ( x－2) 2( x＋ 4) ＝ 0，
(2)(1) 中的切线与曲线 C是否还有其他的公共点？
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参考答案 1. 解析： 当切线斜率不存在时，其切线方程为
x＝ x0.
高中数学1.1.3-1.2.1导数的几何意义及计算精品课堂同步练习试题
1.1.3-1.2.1 导数的几何意义及计算一、选择题1、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ）A 、430x y --=B 、450x y +-=C 、430x y -+=D 、430x y ++= 2、下列结论中不正确的是（ ）A 、若4()f x x =，则(2)32f '=B 、若()f x=(2)f '=C 、若()f x =，则5(1)2f '=-D 、若5()f x x -=，则(1)5f '-=-3、对于任意x ，有3()4f x x '=，(1)1f =-，则此函数为（ ） A 、4()f x x =B 、4()2f x x =-C 、4()1f x x =+D 、4()2f x x =+4、抛物线2y x bx c =++在点(1,2)处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（ ）AB C D 二、填空题5、曲线3y x =在点P 处切线斜率为k ，当3k =时，P 点的坐标为________________6、曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是________________7、若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p 的值为________________8、已知曲线3:3S y x x =-及(2,2)P ，则过P 可向S 引切线的条数是________________三、解答题9、求抛物线2y x =过点5(,6)2的切线方程。
10、设()f x 是定义在R 上的函数，且对任何12,x x R ∈都有1212()()()f x x f x f x +=⋅，若(0)0f ≠，(0)1f '=。
（1）求(0)f 的值；（2）证明：对任何x R ∈，都有()()f x f x '=。
高中数学《导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习与同步检测试卷及答案解析
选择性必修二《5.1导数的概念及其意义、导数的运算》同步练习 （基础篇） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．甲、乙两厂污水的排放量W与时间的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ）
A．甲厂 B．乙厂 C．两厂一样 D．不确定 2．若（m为常数），则等于（ ）
A． B．1 C．m D． 3．某质点的运动规律为，则在时间内，质点的位移增量等于（ ）
A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D．
5．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ） A． B． C． D．
6．已知函数在处的导数为1，则（ ）
t00
0lim1xfxmxfxx
0fx
m1m
23st
(3,3)t
26()tt96tt23()tt9t
2xfxxe
0f
0421
022lim2xfxfxx
yfx22f,
43342
3
yfx
0xx
00
0lim2xfxxfxx
A．0 B． C．1 D．2 7．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（ ）
A．e B． C．1 D． 8．曲线在点处切线的斜率为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．下列导数运算正确的是（ ） A． B．
C． D． 10．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ） A． B．6 C．12 D． 二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分） 11．曲线在点（1，2）处的切线方程为_________. 12．曲线在点处的切线方程为_____. 13．已知，则等于__________.（用数字作答） 14．已知曲线y＝x2－1上两点A(2,3)，B(2＋Δx,3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是________；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是________． 15．函数的导数_________，_______. 16．已知函数，则__________，设，则_________． 17．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．