高考数学压轴题放缩法技巧全总结最强大
高考数学 压轴题 放缩法技巧全总结
k(n
1 +1
−
k)
=
n
1 +1−
k
+
1 k
n
1 +
, 1
n(n
1 +1+
k)
=
k
1 +
1
1 n
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n
1 +1+
k
(10)
(n
n + 1)
!
=
1 n!
−
(n
1 + 1)
!
(11)
1< n
2( 2n +1 −
2n −1) =
22
=
2n +1 + 2n −1
2 n+1 +
2
n−1 2
(11)
2n (2n − 1)2
1 22
+L+
1 )< n2
1 (1 + 1 − 1 )
4
n
(3)先运用
式放缩法
明出
1⋅
3 2
⋅ ⋅
5 ⋅L⋅ (2n −1) 4 ⋅ 6 ⋅L⋅ 2n
<
1 ,再结合
2n +1
1< n+2
n+2−
进
n
裂
,最后就可
得到答案
(4)首先 1 > 2( n +1 −
n
n) =
2 n +1 +
,所
n
容易
过裂
得到 2( n + 1 −1) < 1 + 1 + 1 + L + 1
放缩法技巧全总结
高考数学备考-------放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k .解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk Λ 技巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Trr rn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn Λ(5)nn nn21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n Λ(2)求证:nn412141361161412-<++++Λ(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn ΛΛΛ(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn Λ解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++ΛΛ(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ΛΛ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+Λ再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n nΛ例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n nΛΛ当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++Λ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++Λ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ例4.设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk Λ于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+Λ321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1(Λ所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([Λ故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=Λ212,求证:23321<++++nT T T T Λ.解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=ΛΛ所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T ΛΛ例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ证明: nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+Λ二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++Λ.解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn +++--<++++ΛΛ因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121ΛΛΛ6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---Λ所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nnΛ例9.求证:(1)12ln 3ln 2ln 2≥--<+++≥n n n n ααααααΛ解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n Λ解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n Λ例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n aln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n n n a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。
“三角函数放缩法技巧全总结”
“三角函数放缩法技巧全总结”昨天爱老师在高考数学文章中，承诺过大家今天要具体讲解一下不等式证明技巧——放缩法。
我来履行诺言啦！那为什么要单独挑出“放缩法”来讲呢？那是因为压轴题只要考到不等式证明，一般会用到这个方法，它属于压轴必备技巧哟！快点码起来~ 放缩法其实是在证明不等式成立时，通过放大或缩小，寻找一个中间量而已。
但是说起来简单，真正求解的话还是比较难的，因为中间变量不是直接可以找到的，有时候甚至给了答案我们都看不明白。
所以放缩的一些常见技巧大家还是要熟悉。
一般是裂项放缩，这个方法在数列的裂项相消里是经常用到的。
例如：求下图的值一看就是有分子分母的形式还要累加，对于这种形式我们最熟悉的莫过于数列中的裂项相消的方法。
但是对于这个题目并不是可以直接裂开的，所以我们要先去通过放缩法对其化简成可裂项相消的形式，再去累加求解。
所以本题解法为：其实这只是一个简单的放缩技巧，所以接下来重点来了，一些常见形式的放缩形式的总结如下（部分总结）：对于姐妹不等式我们并不陌生，相反初中我们就已经熟悉这个形式了，只是当时我们是以假分数真分数的形式去记忆去理解，那到了高中我们还是用这个性质记忆口诀”小者小,大者大”。
例如：证明对于这个形式看上去没有好的方法去证明，所以想到放缩法去求解，实质就是根据咱们上边的不等式的基本性质。
一个不等式证明我们求解可能将其分为几部分，分别放缩求解，但是要注意我们放缩的方向是一致的，也就是要不都是放大，要不都是放小，切忌符号混乱。
例如：对于这个不等式，我们有很多项，所以放缩的话可以分别放缩这个方法更适合数列或者函数的形式去放缩，有迭代关系。
例如：对于这个题目，是数列的前n项和的形式，虽然不能转化为等差或者等比数列，但是我们要往这个形式去转化，去求解，去化简，然后又想到三角函数的值他是有范围的，肯定在[-1,1],所以从这可以开始放缩。
这个方法也是更适合数列或函数的形式去放缩。
例如：虽然仅仅只是总结了几个放缩的形式，但其实每个例题都是干货满满，并且需要大家消化和练习。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
高考数学压轴题：缩放法到底怎么用？为什么我一直掌握不了
⾼考数学压轴题：缩放法到底怎么⽤？为什么我⼀直掌握不了
缩放法证明不等式⼀直是⾼考数学压轴题的⼀个重要考点，各⼤出题⼈经常间隔性的考查缩放
法的运⽤。
同学们在使⽤缩放法的时候，经常会出现这样的问题：要么缩放的不够，要么缩放
过头了，往往要经过很多次尝试才能找到合适的缩放⽅式，须知考试的时候，是争[分]夺秒,⼏次
尝试失败，会严重挫败我们的⾃信⼼，影响我们考试的⼼态。
今天我们来探究⼀下到底怎么样
缩放才合理。
为什么缩放到7/8，⽽不是1/2，3/4，5/6等其他数？有同学可能说是凭经验，试出来的。
有没有
⼀个通法找出这个7/8呢？
接下来我们⽤待定系数法来看看如何找出这个7/8。
在本题的解答过程中，我们保留了第⼀项，⽽从第⼆项开始放缩，在实际的解题过程中，我们
往往根据证明的需要，保持⼀项或者⼏项不变，再进⾏缩放。
待定系数来确定放缩的程度，是⼀个很好解决数学不等式证明的⽅法。
但是再好的⽅法，还需
要同学们在⽇常解题中学会运⽤。
加油，少年们！。
高考数学 压轴题 放缩法技巧全总结
k =1
k =1
k =1
∑ ∑ ∑ 故只要
n
n
[k m+1 − (k − 1)m+1] < (m + 1)
km <
n [(k + 1)m+1 − k m+1] ,
k =1
k =1
k =1
即等 于 k m+1 − (k − 1)m+1 < (m + 1)k m < (k + 1)m+1 − k m ,
,
n
=
1 时,
(n
6n + 1)(2n
+ 1)
=
1+
1 4
+
1 9
+L+
1 n2
,
n
=
2
时,Βιβλιοθήκη (n6n + 1)(2n
+ 1)
<
1+
1 4
+
1 9
+L+
1 n2
,
所
综
有 6n
(n + 1)(2n + 1)
≤ 1+
1 4
+
1 9
+L +
1 n2
<
5 3
例 4.(2008 年全国一卷)设函数 f (x) = x − x ln x .数列{an} 满足 0 < a1 . < 1 an+1 = f (an) .
nm+1 < (m + 1)Sn < (n + 1)m+1 − 1只要 :
十种放缩法技巧全总结
十种放缩法技巧全总结
【十种放缩法技巧全总结】
一、放缩法的思考
1.了解放缩法的基础：放缩法是一种常用的解决问题的方法，它强调的是将比较复杂的问题分解成一些更小的问题，这样更容易解决。
2.了解放缩法的原理：放缩法是将一个较大的问题，通过对它的不同部分进行放缩，以此得到不同等级的解决方案，解决各个不同等级的问题。
3.放缩法的优势：放缩法的优点在于可以更好的解决复杂的问题，而且更加容易理解。
二、十种常见的放缩法技巧
1.分解技巧：将复杂的问题分解成一些相互关联、解决全部问题的独立子问题。
2.聚焦技巧：将系统分解成独立的子系统，以便能够更准确地对其中的子系统进行放缩。
3.抽象技巧：通过简单而省时的思考方法，把复杂的细节和系统建模分解成更加简单的抽象系统，这样可以更快更准确地得出答案。
4.递推技巧：通过由小到大的逐步放缩，从上一步得出的结论作为下一步的起点，然后在逐渐放宽的范围内放缩，最终达到目标解决方案。
5.搜索技巧：在一定的范围内，搜索出所有可行的解决方案，然后根据需要对所有方案进行比较和选择。
6.综合技巧：综合应用现有的多种技术技巧，对复杂的放缩问题进行综合的攻关，以高效地解决问题。
7.逐步分解技巧：有些复杂的问题，由于它们的大小，不能一次性完成，而要按照固定的步骤，逐步将问题分解，从而得出最终解决方案。
8.反推技巧：将最终的解决方案一步一步反推出来，以此来求得一个合适的近似解。
9.自发技巧：通过随机或偶然的技术，探索出可能比较好的解决方案，可以帮助我们达到较好的目标。
10.对比技巧：就是将多种解决方案进行比较，从而得出最终的解决方案。
(完整word版)高考数学数列不等式证明题放缩法十种办法技巧总结,推荐文档
1.均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nnnn∈>⋅>++++-Λ.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2211≤1.例5 求证例6 例7 例8 }{n a 满足：1a 再如： 例9 设nnn n 3. 部分放缩例10 设++=a n a 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a 例11 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++n a a a ii Λ.4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(832(++<n n n.例13 设数列}{na 满足).,2,1(1,211Λ=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15（I 例16 例17 设 例18 设例19 例20 （1例21 （Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ. 9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,Λ满足12321=++++n p p p p Λ，求证：10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<-++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N *+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =L ，，；21+<k 则411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++•1(1)()(122f f n ⇒++>-⨯L 211(1)(1)2222n +-++-⨯⨯L 例3 简析 不等式左边123nnn n n C C C C ++++L =12222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，故原结论成立.例4 【解析】使用均值不等式即可：所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结[1]
2011高考数学备考之 放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-n k k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C nn(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--=n n nn n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i ji j i j i j i ji j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni (2))111(41)1211(414136116141222nnn-+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=. 设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列, 故 若存在正整数k m ≤, 使b a m ≥, 则b a a k k ≥>+1,若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=km m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为k,于是b a b a b a k a a =-+≥+>)(|ln |例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m nk m m k k k m k k1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kkm kkm 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知n n n a 24-=,nnna a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3221111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++n n nn n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+ 证明:nn n n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n nn+++--<++++ cause ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.2ααα例10.所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n 解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n aa a n n +==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n n a nn a )2111(1⇒++++≤+n nn a nn a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华)
放缩法技巧全总结(非常精辟,是尖子生解决高考数学最后一题之瓶颈之精华!!)2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以奇巧积累:(1) (2)(3)(4)(5) (6)(7) (8)(9)(10) (11)(11)(12)(13)(14) (15)(15)例2.(1)求证:(2)求证:(3)求证:(4) 求证：解析:(1)因为,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析:一方面:因为,所以另一方面:当时,,当时,,当时,,所以综上有例4.(20XX年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:.解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则,否则若,则由知,,因为,于是例5.已知,求证: .解析:首先可以证明:所以要证只要证:故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知,,求证:.解析:所以从而例7.已知,,求证:证明: ,因为,所以所以二、函数放缩例8.求证：.解析:先构造函数有,从而因为所以例9.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式:当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,...,,,相加后可以得到:另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证:解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题)例13.证明:解析:构造函数,求导,可以得到:,令有,令有,所以,所以,令有,所以,所以例14. 已知证明.解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。
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放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩 例1.(1)求nkk12142的值; (2)求证:35112nkk. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422nnnnn,所以122121114212nnnknk (2)因为12112121444111222nnnnn,所以35321121121513121112nnknk
奇巧积累 : (1)1211212144441222nnnnn (2))1(1)1(1)1()1(21211nnnnnnnCCnn (3))2(111)1(1!11)!(!!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr (4)25)1(123112111)11(nnnn (5)nnnn21121)12(21 (6) nnn221 (7))1(21)1(2nnnnn (8)
nnnnnnn2)32(12)12(1213211221 (9)knnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1
(10) !)1(1!1!)1(nnnn (11)21212121222)1212(21nnnnnnn
(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112nnnnnnnnnnnnnn (12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123nnnnnnnnnnnn (13) 3212132122)12(332)13(2221nnnnnnnnn (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2kkkkkk (15)
)2(1)1(1nnnnn
(15) 111)11)((1122222222jijijijijijiji
例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222nnn (2)求证:nn412141361161412 (3)求证:1122642)12(531642531423121nnn (4) 求证：)112(2131211)11(2nnn 解析:(1)因为12112121)12)(12(1)12(12nnnnn,所以 )12131(211)12131(211)12(112nnini (2))111(41)1211(414136116141222nnn (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531nnn,再结合nnn221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先nnnnn12)1(21,所以容易经过裂项得到nn131211)11(2 再证21212121222)1212(21nnnnnnn而由均值不等式知道这是显然成立的，
所以)112(2131211nn 例3.求证:35191411)12)(1(62nnnn 解析: 一方面: 因为12112121444111222nnnnn,所以
35321121121513121112nnknk
另一方面: 1111)1(143132111914112nnnnnn
当3n时,)12)(1(61nnnnn,当1n时,2191411)12)(1(6nnnn, 当2n时,2191411)12)(1(6nnnn, 所以综上有35191411)12)(1(62nnnn
例4.(2008年全国一卷)设函数()lnfxxxx.数列na满足101a.1()nnafa.设1(1)ba，，整数11lnabkab≥.证明:1kab. 解析: 由数学归纳法可以证明na是递增数列, 故 若存在正整数km, 使bam, 则baakk1, 若)(kmbam,则由101baam知0lnlnln11baaaaammm,kmmmkkkkaaaaaaa111lnln, 因为)ln(ln11bakaakmmm,于是bababakaak)(|ln|11111 例5.已知mmmmmnSxNmn321,1,,,求证: 1)1()1(11mnmnSmn. 解析:首先可以证明:nxxn1)1( nkmmmmmmmmkknnnnn111111111])1([01)2()1()1(所以要证
1)1()1(11mnmnSmn只要证: nkmmmmmmmmmnkmnkmmkknnnnnkmkk111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([
故只要证nkmmnkmnkmmkkkmkk1111111])1[()1(])1([, 即等价于mmmmmkkkmkk111)1()1()1(, 即等价于11)11(11,)11(11mmkkmkkm 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知nnna24,nnnaaaT212,求证:23321nTTTT. 解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321nnnnnnnT 所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111nnnnnnnnnnnnnnnnT
从而231211217131311231321nnnTTTT 例7.已知11x,),2(1),12(ZkknnZkknnxn,求证:*))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn 证明: nnnnnnxxnn222141141)12)(12(11424244122, 因为 12nnn,所以 )1(2122214122nnnnnxxnn 所以*))(11(21114122454432Nnnxxxxxxnn 二、函数放缩 例8.求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.
解析:先构造函数有xxxxx11ln1ln,从而)313121(1333ln44ln33ln22lnnnnn cause
nnnn31121219181716151413121313121
6533323279189936365111nnnnn
所以6653651333ln44ln33ln22lnnnnnnn 例9.求证:(1))2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn 解析:构造函数xxxfln)(,得到22lnlnnnnn,再进行裂项)1(1111ln222nnnnn,求和后可以得到答案 函数构造形式: 1lnxx,)2(1lnnn 例10.求证:nnn1211)1ln(113121 解析:提示:2ln1ln1ln1211ln)1ln(nnnnnnnnn 函数构造形式: xxxx11ln,ln 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数xxf1)(, 首先:ninABCFxS1,从而,)ln(ln|ln11innxxinninnin 取1i有,)1ln(ln1nnn, 所以有2ln21,2ln3ln31,…,)1ln(ln1nnn,nnnln)1ln(11,相加后可以得到: )1ln(113121nn 另一方面ninABDExS1,从而有)ln(ln|ln11innxxiinninnin
取1i有,)1ln(ln11nnn, 所以有nn1211)1ln(,所以综上有nnn1211)1ln(113121 例11.求证:en)!11()!311)(!211(和en)311()8111)(911(2.解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(nenn 解析:1)1(32]1)1(ln[nnnn,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(xxxxxxx(加强命题) 例13.证明:)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn