2017-2018学年北京市西城区高一(上)期末数学试卷

第1页（共22页）2017-2018学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4.00分）已知sinα＜0，且tanα＞0，则α的终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4.00分）函数f（x）=sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π

3．（4.00分）如果向量=（1，2），=（3，4），那么2﹣=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣2）C．（1，0）D．（1，﹣2）4．（4.00分）计算sin（π﹣α）＋sin（π+α）=（）A．0B．1C．2sinαD．﹣2sinα

5．（4.00分）如图，在矩形ABCD中，=（）

A．B．C．D．6．（4.00分）已知向量，满足｜|=2，｜|=1，?=﹣，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．7．（4.00分）已知m是函数f（x）=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f（m）=（）A．﹣1B．0C．D．1

8．（4.00分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度第2页（共22页）

C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（4.00分）函数f（x）=Asinx（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=（）

A．3B．C．D．110．（4.00分）已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．C．D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4.00分）=．

12．（4.00分）已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若∥，则实数x=．13．（4.00分）角θ的始边与x轴正半轴重合，终边上一点坐标为（﹣1，2），则tanθ＝．14．（4.00分）函数f（x）=sinx+cosx的最大值为．15．（4.00分）已知点A（0，4），B（2，0），如果，那么点C的坐标为；设点P（3，t），且∠APB是钝角，则t的取值范围是．16．（4.00分）已知函数f（x）=sinxtanx．给出下列结论：①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）在区间上是增函数；③函数f（x）的最小正周期是2π；④函数f（x）的图象关于直线x=π对称．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）第3页（共22页）

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12.00分）已知，且．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．

18．（12.00分）已知函数．（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期上的图象；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出f（x）的单调递增区间．

19．（12.00分）如图，已知AB⊥BC，，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为

圆A、圆B上的动点，（且与同向），设∠BAE=θ（θ∈[0，π]）．（Ⅰ）当，且时，求的值；（Ⅱ）用a，θ表示出，并给出一组a，θ的值，使得最小．

一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.第4页（共22页）

20．（4.00分）设全集U=R，集合A={x|x＜0}，B={x|x＞1}，则A∪（?UB）=．21．（4.00分）函数的定义域为．

22．（4.00分）已知函数则=；若f（x）=1，则x=．23．（4.00分）sin2，，三个数中最大的是．

24．（4.00分）某购物网站在2017年11月开展“买三免一”活动，规则是“购买3件商品，最便宜的一件商品免费”，比如如下结算案例：

如果在此网站上购买的三件商品价格如图所示，按照“买三免一”的规则，购买这三件商品的实际折扣为折．

在这个网站上购买3件商品，按照“买三免一”的规则，这3件商品实际折扣力度最大约为折（保留一位小数）．

二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25．（10.00分）已知函数是偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．26．（10.00分）设a为实数，函数f（x）=x2﹣｜x﹣a|+1，x∈R．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）在区间［0，2]上的最大值和最小值；第5页（共22页）

（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．27．（10.00分）若函数f（x）满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f（s）≥0，f（t）≥0，且f（s）＋f（t）≤f（s+t），则称函数f（x）为“Ｔ函数”．（Ⅰ）试判断函数与f2（x）=lg（x+1）是否是“Ｔ函数”，并说明理由；

（Ⅱ）设f（x）为“Ｔ函数”，且存在x0∈[0，+∞），使f（f（x0））=x0，求证：f

（x0）=x0；

（Ⅲ）试写出一个“Ｔ函数”ｆ（x），满足f（1）=1，且使集合｛y|y=f（x），0≤x≤1}中元素的个数最少．（只需写出结论）第6页（共22页）

2017-2018学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4.00分）已知sinα＜0，且tanα＞0，则α的终边所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】分别由sinα＜0，tanα＞0求得α的终边的位置，取交集得答案．【解答】解：∵sinα＜0，∴α的终边在第三、第四象限或在y轴负半轴上，∵tanα＞0，∴α的终边在第一或第三象限，取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．故选：C．

2．（4.00分）函数f（x）=sin2x的最小正周期为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】利用三角函数的诱导公式结合正切函数的定义求得函数f（x）=sin2x的最小正周期．【解答】解：∵sin2x=sin（2x+2π）=sin2（x+π），∴f（x）=sin2x满足f（x）=f（x+π），由正切函数的定义可得，函数f（x）=sin2x的最小正周期为π．故选：B．

3．（4.00分）如果向量=（1，2），=（3，4），那么2﹣=（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣2）C．（1，0）D．（1，﹣2）【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．

【解答】解：2﹣=2（1，2）﹣（3，4）=（﹣1，0）．故选：A．第7页（共22页）

4．（4.00分）计算sin（π﹣α）＋sin（π+α）=（）A．0B．1C．2sinαD．﹣2sinα【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简得答案．【解答】解：sin（π﹣α）＋sin（π+α）=sinα﹣sinα=0．故选：A．

5．（4.00分）如图，在矩形ABCD中，=（）

A．B．C．D．【分析】根据向量加法法则以及向量相等的定义进行转化求解即可．【解答】解：在矩形ABCD中，

=，则=++=+=，故选：B．

6．（4.00分）已知向量，满足｜|=2，｜|=1，?=﹣，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设向量，的夹角为θ，由向量数量积的计算公式可得

cosθ＝，代入数据计算可得cosθ的值，结合θ的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为θ，又由向量，满足｜|=2，｜|=1，?=﹣，则cosθ＝=﹣，第8页（共22页）

又由0≤θ≤π，则θ＝；故选：D．

7．（4.00分）已知m是函数f（x）=cosx图象一个对称中心的横坐标，则f（m）=（）A．﹣1B．0C．D．1【分析】根据余弦函数的性质求解对称中心的横坐标即可．【解答】解：函数f（x）=cosx，其对称中心的横坐标：x=，k∈Z．

当k=0时，可得x=m=，那么：f（）=cos=0，故选：B．

8．（4.00分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】利用函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：将函数y=sin2x，向左平移个单位长度，可得y=sin2（x+），

即sin2（x+）=．故选：C．

9．（4.00分）函数f（x）=Asinx（A＞0）的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=（）第9页（共22页）

A．3B．C．D．1【分析】由题意，△OPQ是直角三角形，过P，Q作x轴的垂线，利用勾股定理求解QP，OP，OQ，建立关系可得A的值．【解答】解：函数f（x）=Asinx（A＞0），周期T=2π，可得：P（，A），Q（）．连接PQ，过P，Q作x轴的垂线，可得：QP2=4[A2+]，OP2=A2+]，OQ2=A2+]，由题意，△OPQ是直角三角形，∴QP2=OP2+OQ2，即2A2+π2

=，

解得：A=故选：B．

10．（4.00分）已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB=1，BC=2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．C．D．【分析】由题意画出图形，然后建系，求出M的坐标，数形结合可得?的最大值为0，且可知当P在线段AC上时，?有最小值，设P（0，y）（0≤y≤），写出数量积的坐标表示，由y的范围求得最小值．【解答】解：如图，由AB=1，BC=2，可得AC=，