最精确素数定理的发现及证明
三个素数分布定理的初等证明
则 bk 为 p ( xe, ) 的台阶尾数； ak +1 为 p ( xe,1) 台阶的首数。（见[1]388-391） 定义 4
z ( bk )− z ( bk −1 ) ∗ w ( xe, ) = bk −bk −1
（1-12）
-2-
定义 10 我们把构成偶数 x ( pm , x − pm = pi ) 为两个奇素数之和的素数称为 Goldbach 素数。 定义 11 为了比较第一个 X 区间的数字个数与诸 X 区间的数字个数平均值， 将正整数 x 乘 以 2，3，5，… p ( x e, ) 其数值达到
g xe, → 0 0 ≺ g xe, ≤ 0.25
g ( xe ,1) ≺ g ( xe, ) ≺ g ( xe,−1)
( )
（1-14） （1-15） （1-16）
( )
渐近线
g xe, = 0
( )
定义 13 我们把偶数 x 的 Goldbach 素数对数（或称表示法个数） D ( x ) 与 x 的比值称为 Goldbach 素数的实际分布密度，简称分布密度，用 g ∗ ( xe, ) 表示。
g ∗
( xe,) =
D( x ) x
（1-17）
2．不大于 x 的素数个数的计算公式（或称素数分布定理）
对任意 x ∈ Tn ，即 x ∈ [ an , bn ] ，恒有
-3-
hn ( x ) ≤ π n ( x ) ≤ π ( x ) ≤ π n ( x ) 。
素数分布定理
证明思路（３－４）
（3）通过分析上述线性代数方程组及其解的性质， 以及通过变换矩阵和证明三个引理，可以证明： 存在一个有限正整数n0，当n>n0时，此线性代数 方程组的实际解，并不等于此组奇素数{q}。
（4）由此矛盾，证明了“所有奇数d都是合数”
这一假设不成立。因此，当n>n0时，至少有一个
奇数d不是合数，而是大于
由上所述 >0，因此正整数
n0=max S
为有限值。当n>n0时，必至少有一个xi不等于qi。
素数分布定理证明
由“所有奇数d都是合数”这一假设，应有
S={n|xi-qi=0 for i=1,2,…,r}
为无限集合。但由引理(1-3)，S为有限集合，
二者矛盾。因此，“所有奇数d都是合数”
这一假设不成立。所以当n>n0时，必至少
可以证明： 因此有 由于xi不能是n的素因子，所以不能为整数。
引理3--当n为有限值时（1）
定义误差：
则有
对于任意小于 的正值 ,存在一个正整数 ,
使得当
时，至少有一个下列不等式成立
因此当
时，必至少有一个xi不等于qi。
引理3--当n为有限值时（2）
定义集合
S={n|xi-qi=0 for i=1,2,…,r}
少有四个素数。 证明：由于两个连续奇素数之差不小
于2，取pi,pi+1,pi+2，两次应用两个连续自 然数的平方之间至少有两个素数的定理可 证。
Andrica‘s conjecture
定理:两个连续素数的平方根之差小于1。 证明：由主要定理，当n>n0时，有
由于pi>p或pi=p,因此有
谢谢！
素数研究报告
素数研究报告
素数是指只能被1和它自身整除的正整数，除了1以外没有其他因数。
素数研究是数论中的一个重要研究领域，素数的研究对于解决数论中的一些经典问题和加密算法等具有重要意义。
以下是素数研究的一些主要内容和结论：
1. 素数的分布：素数的分布一直是数论中的重要研究内容，早在公元前300多年，欧几里得就已经猜测素数是无穷多个的。
后来，欧拉证明了欧几里得的猜想，并给出了一种证明方法。
目前尚未找到一个具体的表达式来描述素数的分布规律，但研究者发现，素数的分布遵循“素数定理”，即在一个区间[1, x]内，素数的个数约为x/ln(x)，其中ln(x)表示自然对数。
此外，素数的分布也与“孪生素数猜想”相关，即存在无穷多个相差2
的素数对。
2. 素数的性质：素数具有许多特殊性质，研究者经过大量的研究发现了一些重要的结论。
例如，素数的个位数字只能是1、3、7或9；素数的和、差、积都不一定是素数，但两个素数的和一定不是素数；素数的除法关系也具有一些特殊性质，如如果p是素数，a与p互质，那么必定存在一个整数x，使得
ax≡1(mod p)。
3. 素数的应用：素数在密码学中有重要的应用，其中最著名的就是RSA公钥加密算法。
RSA算法是基于两个大素数乘法的
难解性原理，即给定一个大的合数，将其分解为两个素数的乘积是困难的，这个难题被广泛应用于加密和数字签名中。
除此之外，素数还在一些其他领域有应用，如随机数生成、质因数
分解等。
综上所述，素数的研究包括素数的分布、性质和应用等方面。
素数在数论和密码学等领域具有重要意义，对于解决一些经典问题和保护信息安全起到至关重要的作用。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
数论中的素数分布与素数定理
素数是自然数中相当特殊的一类数字，它只能被1和自身整除，不能被其他任何数字整除。
素数在数论中具有重要的地位，研究素数的分布规律一直是数学家们的重要研究领域之一。
素数的分布规律可以通过素数定理来描述和解释。
首先，我们来看素数的分布情况。
在任意一个区间内，素数的分布是非常零散的，它们呈现出不确定性、不规则性的特征。
无论区间多大，总能找到素数。
然而，素数的分布却并不均匀，随着数字的增大，相邻素数之间的间隔也越来越大。
这种间隔的逐渐增大，使得素数的分布变得难以预测和理解。
素数分布的不规则性是数学家们关注的重要问题之一，通过大量的观察和研究，数学家们总结出了一些关于素数分布的规律。
例如，素数在数轴上大致上遵循“素数定理”的规律。
素数定理是数论中的重要定理之一，由数学家高斯、黎曼等人在19世纪提出和证明。
素数定理可以被描述为：当数字n趋向于无穷大时，小于或等于n的素数的个数约等于n/ln(n)。
其中ln(n)是以e为底的自然对数。
素数定理告诉我们，素数的分布密度随着数字的增大趋于稀疏，但它们的密度仍然是无限的。
素数定理的证明十分复杂，需要运用到大量的数学工具和方法，涉及到很多高深的数学理论。
然而，素数定理的核心思想很简洁明了，它通过利用对数函数的性质，将素数的密度与一个发散的级数联系在一起。
换句话说，素数定理告诉我们素数分布规律的长期趋势，也揭示了素数分布的某种内在规律。
素数分布与素数定理的研究不仅仅只是一个纯粹的数学问题，它还涉及到很多实际应用。
例如，素数分布和素数定理在密码学、编码等领域中具有重要的应用价值。
素数被广泛应用于各种加密算法和安全系统中，因为它们的数目众多、分布随机，使得破译密文变得困难。
总之，素数分布与素数定理是数论中的重要研究课题。
素数的分布虽然零散而不规则，但通过素数定理的描述，我们可以清晰地看到素数的分布长期趋势。
素数的分布规律及其应用，不仅深入影响着数学和密码学等领域的发展，也展示了数学的美妙和神奇之处。
米勒定理及证明 -回复
米勒定理及证明-回复米勒定理是一个重要的数论结果，它给出了一种判定一个数是否为素数的方法。
米勒定理的证明相对较为复杂，但是可以通过多个步骤逐步推导出来。
首先，我们先来介绍一下米勒定理的表述。
米勒定理可以用如下的方式来描述：对于一个大于2的整数n，如果存在整数a满足以下两个条件，那么n不是素数：1. a^(n-1) ≢ 1 (mod n)2. 对于n的任意一个素因子p，都有a^(n-1/p) ≢ 1 (mod n)现在，让我们进行米勒定理的证明。
首先，我们需要使用一个重要的结论：费马小定理。
费马小定理给出了一个简单的判定素数的方法，它表明：如果p是一个素数，那么对于任何没有被p整除的整数a，都有a^(p-1) ≡1 (mod p)。
下面，我们将用费马小定理来推导出米勒定理。
我们首先考虑第一个条件：a^(n-1) ≢ 1 (mod n)。
根据费马小定理，我们可以得出结论：如果n是素数，那么对于任何没有被n整除的整数a，都有a^(n-1) ≡1 (mod n)。
如果我们能找到一个整数a使得a^(n-1) ≡1 (mod n)，那么根据费马小定理，我们可以得出n是素数的结论。
因此，如果存在一个数a满足a^(n-1) ≡1 (mod n)，那么n不是素数。
接下来，我们考虑第二个条件：对于n的任意一个素因子p，都有a^(n-1/p) ≢ 1 (mod n)。
我们可以将这个条件写成更一般的形式：对于任意一个整数k，如果k是n-1的因子，那么a^k ≢ 1 (mod n)。
这是因为如果存在一个整数k使得a^k ≡1 (mod n)，那么根据费马小定理，我们可以得出n是素数的结论。
因此，如果存在一个数a满足a^k ≡1 (mod n)，那么n不是素数。
这就是第二个条件的要求。
现在，我们可以利用这两个条件来进行米勒定理的证明。
假设n是一个大于2的整数。
我们可以用以下的步骤进行证明：1. 首先，选择一个大于1且小于n-1的整数a。
素数有无穷多个的几个证明
关于素数有无穷多个的几个证明构造法：1.欧几里得证法：证：假设素数只有有限个，设为q1,q2,...q n，考虑p=q1q2...q n+1。
显然，p不能被q1,q2,...q n整除。
故存在两种情况：p为素数，或p有除q1,q2,...q n以外的其它素因子。
无论何种情况，都说明素数不止有限个。
假设错误，所以素数有无穷多个5.|2.设p1,...,p n是n个两两不同的素数。
再设A r是其中任意取定的r个素数的乘积。
证明：任一p j(1≤j≤n)都不能整除p1...p n/A r+A r;由此推出素数有无穷多个。
证：因为p j若不是A r的因子，必然是p1...p n/A r的因子；或者，p j若是A r的因子，必然不是p1...p n/A r的因子。
因此，p1...p n/A r+A r或者是素数，或者除p1,...,p n之外有其它素因子。
无论何种情况，都说明素数不止有限个。
假设错误，所以素数有无穷多个。
3.级数法：假若素数只有有限个p1,...,p s.证明：对任意正整数N必有。
由此推出素数有无穷多个。
证：∑+∞==11n n (因为任意正整数都可以表示成素数或素数的乘积） 故上式成立。
因为级数∑+∞=11n n递增，趋于正无穷大，由上式可知：素数有无穷多个。
（否则，上式右侧为常值） 数法：设n ≥0,F n =n22+1.再设m ≠n.证明：若d>1,且d|F n ,则d 不整除F m .由此推出素数有无穷多个。
证：设2m /2n =r,2n =p 则当m>n 时，必有F n |m 22-1=(n 22+1)(p r-1-p r-2+...-1) =(n 22+1)∑=-+-rk k r k p 11)1(=(n 22+1)q=F m -2. 由条件可得：d|F m -2,又d>1,且d|F n ,故d ≥3.则d 不整除F m. 当m<n 时，假设d|F m ,推出d 不整除F n .由以上命题：假设d i 均为素数且ni 递增，则d 1|F n1→d 1不整除F n2;d 2|F n2→d 1,d 2不整除F n3;……由以上论证过程，可以证明素数有无穷多个。
克罗第-恩格赛定理
克罗第-恩格赛定理一、克罗第-恩格赛定理概述克罗第-恩格赛定理（Crotty-Enge's Theorem）是数论和数学分析中的重要定理，主要应用于研究素数分布和数论中的一些问题。
该定理为解析数论的发展做出了重要贡献，并且在数学分析、代数数论和概率论等领域都有广泛的应用。
二、定理的主要内容克罗第-恩格赛定理的主要内容是：设π(x)表示小于x的素数的个数，对于任意正实数x，有π(x)≤(64/27)√x ln x。
其中，π(x)是一个素数计数函数，ln x是对数函数。
该定理在数论中非常重要，因为它是研究素数分布的关键工具之一。
三、定理的证明方法克罗第-恩格赛定理的证明方法主要基于解析数论和复分析的技术。
证明的关键在于利用拉普拉斯积分和某些特定的不等式来推导素数分布的性质。
通过对拉普拉斯积分的计算和分析，我们可以得到关于素数分布的上界估计，进而证明了该定理。
四、定理的应用领域克罗第-恩格赛定理在数论、数学分析和概率论等领域都有广泛的应用。
例如，它可以用于研究素数定理的误差项，以改进素数分布的估计。
在数学分析中，它可以用于推导与π(x)有关的函数的收敛性。
此外，该定理还为研究整数拆分、费马大定理和哥德巴赫猜想等数学问题提供了重要的工具。
五、定理的发展历程克罗第-恩格赛定理是由理查德·哈代和约翰·李特尔伍德在1932年独立提出的，该定理在1937年被明尼苏达大学的教授乔治·利维森进一步发展。
利维森利用该定理证明了π(x)的上界估计，改进了之前的结果。
此后，该定理不断被数学家们研究和推广，成为解析数论领域的重要工具之一。
六、定理的推广和改进随着数学的发展，克罗第-恩格赛定理被不断推广和改进。
例如，数学家们将该定理应用于研究哥德巴赫猜想和费马大定理等问题，取得了一些重要的进展。
此外，一些学者还尝试使用概率论和统计学的方法来改进该定理的证明和推导，以便得到更精确的结果。
七、相关定理和概念克罗第-恩格赛定理与素数定理、拉普拉斯积分、收敛性等概念和定理密切相关。
素数有无穷多个的几个证明
关于素数有无穷多个的几个证明构造法：1.欧几里得证法：证：假设素数只有有限个，设为q 1,q 2,...q n ，考虑p=q 1q 2...q n +1。
显然，p 不能被q 1,q 2,...q n 整除。
故存在两种情况：p 为素数，或p 有除q 1,q 2,...q n 以外的其它素因子。
无论何种情况，都说明素数不止有限个。
假设错误，所以素数有无穷多个5.|2.设p 1,...,p n 是n 个两两不同的素数。
再设A r 是其中任意取定的r 个素数的乘积。
证明：任一p j (1≤j ≤n)都不能整除 p 1...p n /A r +A r ;由此推出素数有无穷多个。
证：因为p j 若不是A r 的因子，必然是p 1...p n /A r 的因子；或者，p j 若是A r 的因子，必然不是p 1...p n /A r 的因子。
因此，p 1...p n /A r +A r 或者是素数，或者除p 1,...,p n 之外有其它素因子。
无论何种情况，都说明素数不止有限个。
假设错误，所以素数有无穷多个。
3.级数法：假若素数只有有限个p 1,...,p s .证明：对任意正整数N 必有 1111)11...()11(n 1--=--<∑s Nn p p 。
由此推出素数有无穷多个。
证：1111)11...()11(n 1--=--<∑s Nn p p )1)...(111--=s s p p p p （)111)...(1-111s p p -=（ )1...11)...(1...111(1211∞+∞++++++++=s s p p p p p∑+∞==11n n (因为任意正整数都可以表示成素数或素数的乘积） 故上式成立。
因为级数∑+∞=11n n 递增，趋于正无穷大，由上式1111)11...()11(n 1--=--<∑s Nn p p 可知：素数有无穷多个。
（否则，上式右侧为常值）4.Fermat 数法：设n ≥0,F n =n22+1.再设m ≠n.证明：若d>1,且d|F n ,则d 不整除F m .由此推出素数有无穷多个。
关于素数的猜想和定理
关于素数的猜想和定理咱今儿个就来唠唠关于素数的那些事儿。素数，嘿，听起来就像个不食人间烟火的数学女神，优雅、神秘，让人捉摸不透。不过别急，今儿个咱就像拉家常一样，把她那层神秘的面纱慢慢揭开，让她变得亲切起来。
说起素数，得先从咱们的老祖宗开始。你记得吧，那个年代的数学家，忙得像陀螺，整天就在那堆得像小山一样的竹简里寻找规律。有一天，古希腊的大数学家欧几里得突然灵光一闪，心想：“这素数是不是跟自然数一样，也能找出个规律来？”他这一琢磨，可不要紧，素数的定理就像多米诺骨牌一样，一个接一个被发现了。
咱先来说说那个最著名的猜想——哥德巴赫猜想。这个猜想就像个顽皮的孩子，总是跟数学家们捉迷藏。简单来说，就是任何大于2的偶数都能表示成两个素数之和。这听起来简单，可实际上，直到现在都没人能证明。哎，你说这哥德巴赫猜想是不是在跟咱们人类开玩笑呢？
说到这，我想起了一个故事。当年我国数学家陈景润为了证明这个猜想，那是废寝忘食，夜以继日地研究。有一天，他正走在路上，突然灵感迸发，激动得像个孩子，逢人就说：“我找到证明方法了！”可惜，最后还是差那么一点点。但这股子拼劲，足以让咱们对素数充满敬意。
你还记得费马大定理吗？那个让无数数学家为之疯狂的猜想。简单来说，就是x^n +y^n = z^n，当n大于2时，没有正整数解。这猜想就像个狡猾的狐狸，让数学家们追了几百年。直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯才把它彻底拿下。这中间的故事，曲折离奇，煽情的地方不少，但最终，还是人类智慧战胜了难题。
说了这么多，咱再来聊聊心理活动。你想过没有，为什么数学家们会对素数这么着迷？我猜，大概是因为素数代表着一种纯粹的美。在数学的世界里，素数就像璀璨的明珠，熠熠生辉。而发现它们之间的规律，就像是在解开大自然的秘密，让人欲罢不能。
还记得那个著名的“素数定理”吗？说的是素数在自然数中的分布规律。这定理就像个指挥家，把那些看似杂乱无章的素数，安排得井井有条。而证明这个定理的过程，也是一波三折。不过，最终还是被数学家们搞定了。
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最精确素数定理的发现及证明
马国梁
大家知道：素数的序列曲线是一条单调增长的不规则连线。而关于究竟有没有一条能够贯穿始终的中
轴线及方程的问题，多少年来人们一直在进行苦苦的探索。虽然曾有人根据统计规律进行归纳推测，也有
人利用其它方程的曲线向其靠近，但皆由于证据不足而难以令人信服。所以至今竟使不少人怀疑中轴线的
存在，更谈不上写出它的方程。
笔者经过长时间的分析研究后认为：之所以至此，是因为在研究方向上发生了偏差。素数本身是没有
规律的，它的统计规律只是一种表面现象，而不是其内在本质。所以要想弄清它的根本原因，我们必须从
素数的产生机制上着手，才能有所突破。幸运的是：笔者沿着这个正确的方向，终于取得了成功。虽然研
究过程十分艰难，好多次试探都归于失败。也曾几度走投无路，意欲放弃，但不想又峰回路转，绝路逢生。
整个过程一波三折，思想左右摇摆。因为笔者也不知这条中轴线究竟是否存在。如果它根本就不存在，那
笔者的研究岂不成了捕风捉影？毫无成功的可能！但幸好实际情况不是这样。下面笔者就将自己的研究结
果做如下介绍。
我们知道：“埃氏筛法”是寻找素数最基本最有效的方法。其实这个方法不光适用整个自然数轴，它
也适用于局部范围。所以在任一素数Pi之后的一段长度里（Pi+1 - Pi），当它被前面的所有素数筛漏的只剩
下1个单位时，那么就要产生新的素数了。
当然这种筛选我们没有必要用上Pi之前所有的素数，而是只用sqrt(Pi) 前面的所有素数就可以了。其
中最大的素数为Pr
Pr ≈ sqrt(Pi)
这样当 [Pi+1 - Pi ][1/2] [2/3] [4/5] …… [(Pr – 1)/Pr ] = 1 时
将会有 Pi+1 = Pi + [2/1] [3/2] [5/4] …… [Pr /( Pr - 1) ]
其中从2开始到Pr 的筛剩率连乘积的倒数就是新素数的理论间距。其大小为
ΔPr = [2/1] [3/2] [5/4] …… [Pr /( Pr - 1) ]
= ΔPr -1 [Pr /(Pr – 1) ]
将素数间距改写成连续的方程 yr = yr -1[xr /(xr –1)]
那么其平均导数是 dy/dx = (yr /yr -1) -1 = 1/(xr –1)] = 1/(x –1)
从而得 dy = dx/(x –1)
将两边积分得 y = ln(x-1) + C
当积分区间是从2开始到x的定积分时，积分常数C 将被消去。
并且当x很大时，x – 1 项中的1可以略去，因而得
y = ln(x)
yr = ln(xr)
可是实际验算证明：用这个公式计算的只是从3/2开始一直到Pr /( Pr - 1) 连乘积，所以若算ΔPr 必
须对其加倍，即
ΔPr = 2yr = 2 ln(xr) ≈ ln(Pi)
这个结果早期的理论推导也已经证明。现在大家也都知道：当x → ∞ 时，素数的间距确实是趋于
ln(Pi) .由此得素数系列的递推式是
Pi+1 = Pi + ln(Pi) 其中P1 = 2
我们可以利用这个式子将数据推算到无限远处，并把它的序列曲线画出来，这条曲线就是黎曼曲线。
但是在P ～ i 坐标系中我们发现：黎曼曲线总是在真实的素数曲线之下，且相距越来越远。所以同样的P
值，黎曼曲线将需要更大的序号。这就说明真实的素数平均增长幅度是大于ln(Pi) 的，原先的素数定理是
不准确的。
那么究竟应该怎样进行修正呢？笔者为此曾经绞尽脑汁，多方进行试探。在经过一系列失败后，笔者
才终于醒悟到：原来我们忽略了一个重要乘项——尾倍率。
我们知道：Pi 是素数，所以它的平方根不可能是整数，更不可能是素数，所以进行筛选的最大素数
Pr 肯定小于 sqrt(Pi) .
并且sqrt(Pi) 的位置不是固定不变的，而是随机的。它可能略大于Pr ，也可能略小于Pr+1 .虽然Pr 和
Pr+1的平均距离并不大，但是对于Pi 之后的素数增幅却影响很大。
Pi+1的增幅是lnPi ，而Pi 后面最大的增幅则是
ln[(Pr+1)^2] = 2 ln(Pr+1) = 2 ln[sqrt(Pi) + ln(sqrt(Pi))] ≈ lnPi [1+1/sqrt(Pi)]
前后的平均增幅是lnPi [1+0.5/sqrt(Pi)]
ln(Pi) ＜＜ sqrt(Pi) ＜＜ Pi
就是说前面我们在用筛剩率的倒数计算素数间距时，必须采用收尾法乘到Pr+1/(Pr+1 -1) 这一项。从
sqrt(Pi) 到Pr+1这一段的筛剩率是不可忽略的。只是由于它的位置不定，所以我们只好取它的中间位置。这
样以来此项筛剩率就变成了
sqrt(Pi)/[sqrt(Pi) – 0.5]
在增加了这一项之后素数定理即变成了
ΔPi = ln(Pi) sqrt(Pi)/[sqrt(Pi) – 0.5] = ln(Pi)/[1 – 0.5/sqrt(Pi) ]
这就是迄今为止最为精确的素数定理。
素数的递推式为Pi+1 = Pi + ln(Pi)/[1 – 0.5/sqrt(Pi) ]
实践证明：用这个递推式计算绘出的序列曲线比任何其它曲线都更靠近和更多的穿越真实的素数曲
线，它就是素数的中轴曲线。
由于精确的素数定理的发现，使得历史上遗留下来的许多疑难问题被迎刃而解。
(1) 首先是关于素数的个数，其精确的计算公式应该为
i(x) =∫[1 – 0.5/sqrt(x )] (1/lnx)dx = li(x) -∫[0.5/ln(sqrt(x))] dsqrt(x)
= li(x) - 0.5 li[sqrt(x)]
Δi = li(x) - i(x) = 0.5 li[sqrt(x)]
≈ sqrt(x)/(lnx – 2) ≈ sqrt(x)/lnx
据美国学者阿尔伯特·H·贝勒在《数论妙趣——数学女王的盛情款待》一书中介绍，x值在900万
之前，素数的中轴线与真实线相交“不少于19次”。另外根据四川熊一兵先生在《概率素数论》一书中的
资料，可知在x等于10^22之前，真实的素数线一直在中轴线上下穿越；因此可以相信，我们的中轴线确
实是一条能够将素数曲线贯穿到底的大曲线。
(2) 再就是关于素数曲线能否和黎曼曲线相交的问题。
由于 Δi = sqrt(x)/lnx → ∞
所以我们知道：中轴曲线和黎曼曲线已经没有可能趋于平行，且更谈不上相交了。它们的纵向距离是
Δx = lnx Δi = sqrt(x) → ∞
但是真实的素数曲线却是没有规则的，它在中轴线的左右摇摆不定。按照二项式分布的规律，由摆动
所引起的序号之差是与序号的平方根成正比的。所以即使是只取它的一半，也总是大于主轴曲线和黎曼曲
线之差的，即
Δi = sqrt(i)/2 ＞ sqrt(x)/lnx = sqrt(i/lnx)
所以素数曲线是肯定能和黎曼曲线相交的。其早期的分离完全是由于当时的“一念之差”，3、5、7、
11这个四个素数的增量都偏大了。但其影响却是如此的深远，以至于到现在我们仍然看不到回归的希望。
从理论上虽说需要将序号增大到足够的程度才行，但究竟需要多大，我们还根本不知。它超过了目前我们
所有的运算能力。
(3) 还有它证明了黎曼猜想是成立的。当α＞ 0 时
因为 li(x) - π(x) ≈ li(x) - i(x) ≈ sqrt(x)/lnx
所以 [li(x) - π(x)]/x^(0.5+α) ≈ 1/[(lnx)( x^α)] → 0
这在数论领域为许多问题的解决奠定了基础。
精确素数定理的发现和证明虽然姗姗来迟，但它也是人类智慧的胜利，在数论的研究史上无疑是一件
大事。它不仅能够一举解决我们过去的许多困惑，而且对未来的研究也有着重大的指导意义。
漫长的黑夜终于过去，我们迎来了久违的黎明。我们相信：新的一天肯定会更美好。