最精确素数定理的发现及证明
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》素数公式是指对于给定的正整数n，小于等于n的素数的个数近似等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)近似等于n/ln(n)。
公式中的π(n)表示小于等于n的素数的个数。
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
首先证明素数公式。
定义函数S(n)为小于等于n的素数的个数。
我们需要证明当n趋向于无穷大时，S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
我们知道，当n越趋近于无穷大时，自然对数ln(n)也趋近于无穷大。
设m为一个足够大的正整数，使得ln(n) >= m。
我们将区间[2,n]均分为m个子区间，每个子区间的长度为(L=n-2)/m。
对于每个子区间，我们选择一个整数ni作为代表，使得ni落在这个子区间内，并且ni是最接近该子区间中点的整数。
由于n趋向于无穷大，我们可以得到ni一定存在。
我们定义T(m)为小于等于n的素数中，满足ni是素数的个数。
显然T(m) <= S(n)，因为ni只是小于等于n的素数中的一个子集。
我们对于每一个ni都检查它是否是素数，最简单的方法是对所有小于等于√ni的正整数k，检查ni是否能被k整除。
若存在整数k使得ni被k整除，则ni不是素数；若不存在这样的整数k，则ni是素数。
现在我们来估计T(m)的上界。
对于每个ni，我们需要进行√ni次的整除运算。
所以，总的运算次数为Sqrt(n1) + Sqrt(n2) + ... +Sqrt(nm)。
由于ni是区间中点附近的整数，所以我们可以将每个Sqrt(ni)近似为Sqrt(L/m) = Sqrt((n-2)/m)。
所以总的运算次数可以近似为m*Sqrt(L/m) = (n-2)*Sqrt(m/(n-2))。
当n趋向于无穷大时，这个运算次数的上界也趋于无穷大。
所以S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
最精确素数定理的发现及证明
最精确素数定理的发现及证明Pi ][1/2][2/3][4/5] ……[(Pr –1)/Pr ] =1时将会有 Pi+1 = Pi +[2/1][3/2][5/4] ……[Pr /( Pr1)]= ΔPr1[xr /(xr –1)]那么其平均导数是 dy/dx = (yr /yr1 =1/(xr –1)] =1/(x –1)从而得 dy = dx/(x –1)将两边积分得 y = ln(x-1)+ C当积分区间是从2开始到x的定积分时，积分常数C 将被消去。
并且当x很大时，x –1 项中的1可以略去，因而得 y = ln(x)yr = ln(xr)可是实际验算证明：用这个公式计算的只是从3/2开始一直到Pr /( Pr1)这一项。
从sqrt(Pi)到Pr+1这一段的筛剩率是不可忽略的。
只是由于它的位置不定，所以我们只好取它的中间位置。
这样以来此项筛剩率就变成了 sqrt(Pi)/[sqrt(Pi)– 0、5]在增加了这一项之后素数定理即变成了ΔPi =ln(Pi)sqrt(Pi)/[sqrt(Pi)– 0、5] = ln(Pi)/[1 – 0、5/sqrt(Pi)]这就是迄今为止最为精确的素数定理。
素数的递推式为Pi+1 = Pi + ln(Pi)/[1 – 0、5/sqrt(Pi)]实践证明：用这个递推式计算绘出的序列曲线比任何其它曲线都更靠近和更多的穿越真实的素数曲线，它就是素数的中轴曲线。
由于精确的素数定理的发现，使得历史上遗留下来的许多疑难问题被迎刃而解。
(1)首先是关于素数的个数，其精确的计算公式应该为 i(x)=∫[1 – 0、5/sqrt(x )] (1/lnx)dx = li(x)0、5 li[sqrt(x)]Δi = li(x)π(x)≈ li(x)π(x)]/x^(0、5+α)≈1/[(lnx)( x^α)] → 0这在数论领域为许多问题的解决奠定了基础。
精确素数定理的发现和证明虽然姗姗来迟，但它也是人类智慧的胜利，在数论的研究史上无疑是一件大事。
人类迄今发现的最大素数，最纯粹的梅森素数
如果有人问，人类到目前为止研究进展最缓慢的领域是什么？别的学科，见仁见智。但要是数学上的话，毫无疑问是对于素数的研究。古老而又漫长，有无数人前赴后继去研究，然而，成果却真心是不多。
上古大神——欧几里得
公元前300年，欧几里得最早研究了形如2N-1的素数，发现了这个性质：
若2N-1是素数，则2N-1×(2N-1)是一个完全数。
这个性质用等比数列的求和公式很容易验证，也就是说只要找到新的梅森素数，新的完全数也就诞生了。后来人们又发现了一个性质：
若2N-1是素数，则N必定为素数。
我中学时代也曾经琢磨过这个问题，其实这个问题用因式分解就可以证明：
这个命题的逆命题却不一定成立，事实上，假如逆命题也成立的话，那么素数的秘密恐怕在几百年前就基本上揭露殆尽了。但是当N等于某一些素数的时候，2N-1却真的可以是素数。
到目前为止，已经有60万人加入了这个几乎等同于公益性质的项目了，在数百万台个人计算机的加ห้องสมุดไป่ตู้之下，这个项目目前的算力可以达到2300万亿次每秒，这个算力跟最厉害的超级计算机基本持平，但是成本却几乎为零。人们从这个项目里一共发现了16个梅森素数，当然也就发现16个新的完全数了。
值得一提的是在2017年12月26日，美国人佩斯（不是中国佩斯）发现了第50个梅森素数，这个数大概有2300多万位，可以用277232917-1来表示，这是当时已知最大的素数（2018年12月7日发现了第51个梅森数M(82589933)）。
其次这种需要大量计算的事件中，为了达到最终结果，算力是一方面，另外一方面更加重要的是算法的革新。如果算法复杂度很低，那么你就可以用很有限的算力，就可以获得极高的成果。举个最动听的例子，2001年，一个叫魏德涅夫斯基的德国人通过分布式计算的方法，在世界上动用几万台计算机来一起寻找黎曼猜想的非平凡零点，截止到2004年末，得到了大约1万亿个非平凡零点。然而几乎在同时，两个法国年轻人宣布，用自己的几台个人计算机，用时1年，居然发现了10万亿个非平凡零点，人们直呼不可思议。后来人们才了解，他们用了更加高明的计算公式，这个公式的执行效率远比魏德涅夫斯基采用黎曼-西格尔公式高的多，所以就产生了如此戏剧性的事件。几台个人电脑居然PK掉了几万台计算机，甚至还高出了1个数量级！至此，魏德涅夫斯基用计算机找寻海量黎曼猜想非平凡零点的项目才停止下来。毫无疑问，算法有效性提高的意义要远远高于计算力的提高。
素数定理 阿达玛
素数定理阿达玛素数定理是数论中的重要结果之一，它描述了素数的分布规律。
这个定理的内容可以用2000字进行详细的阐述，下面我将对素数定理进行解释和推导。
素数定理是由数学家阿达玛（Adrien-Marie Legendre）在1798年提出的，后来也被高斯（Carl Friedrich Gauss）和黎曼（Bernhard Riemann）等数学家进一步发展和证明。
该定理的表述如下：对于一个大于1的正整数n，令π(n)表示不超过n的素数的个数。
素数定理指出，当n趋向于无穷大时，π(n)与n/ln(n)的比值趋近于1，即：lim (n→∞) π(n) / (n / ln(n)) = 1其中ln(n)表示自然对数（以e为底）。
素数定理的含义是，当n足够大时，不超过n的素数的个数大致等于n除以ln(n)。
这个定理揭示了素数的分布规律，说明了素数在整数序列中的稀疏性和随机性。
要理解素数定理的证明和推导，需要运用复杂的数论和分析工具。
黎曼猜想是对素数分布的深入研究，它与素数定理密切相关。
黎曼猜想提出了一个与素数分布有关的复数函数，称为黎曼ζ函数（Riemann zeta function）。
黎曼猜想认为，除了实部为1的特殊点外，黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面的临界线上，也就是实部为1/2的直线。
这个猜想至今尚未被证明，但与素数定理的关联性使得它成为数论中的重大问题之一。
素数定理的应用广泛，涉及到许多领域。
在密码学中，素数的随机性和稀疏性是构建强大密码算法的基础。
在数值计算中，素数定理可以用于估计素数的个数，从而确定算法的时间复杂度。
在算法设计中，素数定理也有一些重要的应用，比如在质因数分解和快速傅里叶变换等算法中。
总之，素数定理是数论中的重要结果，它描述了素数的分布规律。
虽然素数定理的证明和推导非常复杂，涉及到深奥的数论和分析工具，但它的应用广泛，对密码学、数值计算和算法设计等领域都有重要意义。
黎曼猜想与素数定理的关联性使得素数分布问题成为数学界的研究热点之一。
数论中的素数分布定理证明
数论中的素数分布定理证明素数是数论中非常重要的概念，它们在数学和密码学等领域有着广泛应用。
素数分布定理是数论中一个重要的结论，它描述了素数在自然数中的分布规律。
本文将通过数学推导，对素数分布定理进行证明。
I. 引言素数是只能被1和自身整除的自然数。
它们是数论中的基本要素，对于整数的因子分解、素因子分解以及算术运算等方面有着重要作用。
素数的分布规律一直是数学家们感兴趣的问题，而素数分布定理则给出了一个近似的描述。
II. 素数分布定理素数分布定理描述了对于给定的自然数n，小于等于n的素数个数π(n)与n的比值的极限为1，即：lim (π(n) / (n / ln(n))) = 1n→∞其中ln(n)是自然对数函数。
这个定理意味着随着自然数n的增加，小于等于n的素数的个数与n的比值逐渐趋近于1。
III. 素数分布定理证明要证明素数分布定理，我们需要引入数论中的一些重要引理和定理。
1. 罗素函数引理罗素函数R(n)定义为小于等于n且与n互质的正整数的个数，即R(n) = π(n)。
根据罗素函数引理，我们有：R(n) = n * Π (1 - 1/p)p | n其中p为n的素因子。
由此，我们可以得到：π(n) = n / Π (1 - 1/p)p | n2. 欧拉定理欧拉定理是数论中一个重要的定理，它描述了对于互质的正整数a 和n，a的欧拉函数值与n满足以下关系：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数个数，也称为欧拉函数。
3. 对数积分数学中存在自然对数函数ln(x)的积分形式表示，称为对数积分。
对数积分定义为：Li(x) = ∫ (1 / ln(t)) dtt = 2 to x根据以上引理和定理，我们可以进行素数分布定理的证明。
IV. 素数分布定理证明步骤1. 首先，我们定义一个新的函数J(x) = ∫ (π(t) / t) dt，其中t从2到x。
这个函数的作用是表示小于等于x的正整数中素数的个数。
素数的判断方法
素数的判断方法素数，又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身之外，没有其他因数的数。
素数在数论中有着重要的地位，它们的性质和特点被广泛应用于密码学、计算机算法等领域。
因此，判断一个数是否为素数是十分重要的。
本文将介绍几种常见的素数判断方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用素数的概念。
1.试除法。
试除法是最直观、最简单的判断素数的方法。
对于一个大于1的自然数n，如果它能够被2到√n之间的所有整数整除，那么它就是素数。
因为如果n有大于√n的因数，那么它一定也有小于√n的因数，所以只需要检查2到√n之间的整数即可。
这种方法的时间复杂度为O(√n)，在实际应用中比较高效。
2.费马小定理。
费马小定理是一种基于模运算的素数判断方法。
如果一个数n是素数，那么对于任意的1到n-1之间的整数a，都有a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。
反之，如果对于某个a，a^(n-1) ≢ 1 (mod n)，那么n一定不是素数。
这种方法在一定范围内的数值判断中比较有效，但在大数判断中并不适用。
3.米勒-拉宾素性检测。
米勒-拉宾素性检测是一种基于随机化算法的素数判断方法。
它通过多次的随机选择整数a，来判断n是否为素数。
如果对于所有选择的a，都有a^(n-1) ≡ 1 (mod n)，则n可能是素数；否则，n一定不是素数。
这种方法在大数判断中具有较高的准确性和效率。
4.埃拉托斯特尼筛法。
埃拉托斯特尼筛法是一种用于求解素数的算法，但也可以间接用于判断一个数是否为素数。
该方法的基本思想是从2开始，不断地筛去它的倍数，最终剩下的数就是素数。
因此，如果一个数n不能被2到√n之间的任何素数整除，那么它就是素数。
这种方法在一定范围内的数值判断中比较有效。
总结。
通过以上介绍，我们可以看到，素数的判断方法有多种多样，每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来判断一个数是否为素数。
同时，我们也可以结合多种方法来提高判断的准确性和效率。
素数定理 阿达玛
素数定理阿达玛
摘要：
1.素数定理的定义和背景
2.阿达玛的研究和贡献
3.素数定理的应用和意义
正文：
1.素数定理的定义和背景
素数定理，是数论中的一个重要定理。
它主要研究的是素数在自然数中的分布规律。
素数，又称为质数，是大于1 的自然数中，除了1 和它本身以外不再有其他因数的数。
在数学领域，素数分布问题是一个古老的问题，历史上许多数学家都曾对此进行过研究。
2.阿达玛的研究和贡献
在素数定理的研究历程中，法国数学家阿达玛（Hadamard）做出了重要的贡献。
阿达玛在1896 年发表了一篇关于素数分布的论文，提出了一种新的研究方法，被称为“阿达玛方法”。
他利用复分析技术，将素数分布问题转化为一个关于复平面上的解析函数的问题，从而开创了素数分布问题的新篇章。
阿达玛的贡献并不仅限于理论研究，他还通过大量的数值计算，验证了自己的理论。
他的计算结果表明，素数在自然数中的分布规律可以用一个特定的公式来描述，这个公式被称为“素数定理”。
3.素数定理的应用和意义
素数定理在数学领域具有广泛的应用，它为我们研究素数的性质和分布规
律提供了一个重要的理论工具。
此外，素数定理还在计算机科学、密码学等领域有重要的应用。
素数定理的研究，不仅丰富了数学领域的理论体系，还推动了数学与其他学科的交叉发展。
同时，它也为我们理解自然数中的素数分布规律提供了一个深刻的视角。
erdos素数定理证明
erdos素数定理证明
Erdos素数定理是一个重要的数学定理，它描述了素数的分布规律。
这个定理由匈牙利数学家Erdos在1950年提出，并经过多年的研究和发展，最终在20世纪70年代得到了完整的证明。
Erdos素数定理的表述是：对于任意一个大于1的整数k，存在一个常数C(k)，使得不超过x的素数个数p(x)满足：
p(x) = C(k) * (x / ln x) * (1 + O(1 / ln x))
其中O表示大O符号，表示一个函数的增长率不超过另一个函数的增长率。
这个式子的意思是，随着x的增大，不超过x的素数个数p(x)与x / ln x的比值趋近于一个常数C(k)。
证明Erdos素数定理需要运用很多复杂的数学理论和方法，主要有解析数论、复变函数论、概率论等。
其中一些重要的技术包括：平均数定理、数域筛法、泊松分布和离散对数定理等。
Erdos素数定理的证明是一项非常困难和复杂的数学工作，需要经过数学家们多年的研究和努力。
但它的重要性和价值无法被低估，它为我们理解素数分布的规律提供了重要的理论基础，也为我们研究其他数学问题提供了启示和指引。
- 1 -。
素数定理复分析证明
素数定理复分析证明证明素数定理是数论中最重要也是最引人关注的概念。
几个世纪以来，许多数学家和理论物理学家都在致力于从它的定义及其后的一系列后果中寻求更深层的智慧。
自古以来，人们就发现，在整数集合N中，有一些整数比其他整数更容易受到其他整数整除，这就是素数（也叫质数）。
而定理是把素数分解成乘积的形式，称为素数定理。
素数定理的发现可追溯到古希腊拉普拉斯的著作。
古希腊时期的数学家认为，数字可以表示一切，并且用它来解决不断出现的种种问题。
他们认为，如果一个数字可以分解成仅由素数的乘积，那么它必定是一个质数，而不可能是合数。
然而，他们无法证明这一点，因此只能依赖观察和推测，而无法得出一个必然的结论，直到17世纪，贝尔才在欧洲发表了他的素数定理，证实了这一猜想。
贝尔是第一个证明素数定理的人，也是第一个提出素数定理的人。
他的证明是从古代任意数字的分解开始的。
素数定理的定义是此数字被素数乘积表示，并且乘积的唯一表示是其中一种乘积形式。
贝尔利用古希腊时期的知识，以及拉普拉斯提出的数学结论，推出了一系列完美的数学证明，从而证实了素数定理。
贝尔把它称为“可视论”，用来证明数学真理，而不是为了提出一种具体的定理。
贝尔的这一巨大成就在未来的几个世纪中都被公认，并被用来证明其他重要的数论定理，如欧拉定理、哥德巴赫猜想等。
贝尔的证明具有非常强大的数学智慧，但他的证明确实存在一定的缺陷。
如今，理论物理学家和数学家们正在精心研究素数定理，期望发现更多的有价值的信息，以及更有效的证明方法。
复分析是一种以极其精密的计算来证明素数定理的方法。
它通过建立数学模型，然后数学模型得出的恒等式来证明素数定理。
复分析的核心在于建立一系列的调和函数，将原始的素数分解函数转化为一系列的不相同的调和函数，然后再求出最终的定结论。
而且，这种方法证明素数定理的过程不受数字大小的限制，因此可用于对超大数字的证明。
复分析的精确性和准确性也使它成为证明素数定理的理想方法。
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最精确素数定理的发现及证明
山东章丘一职专马国梁
大家知道：素数的序列曲线是一条单调增长的不规则连线。
而关于究竟有没有一条能够贯穿始终的中轴线及方程的问题，多少年来人们一直在进行苦苦的探索。
虽然曾有人根据统计规律进行归纳推测，也有人利用其它方程的曲线向其靠近，但皆由于证据不足而难以令人信服。
所以至今竟使不少人怀疑中轴线的存在，更谈不上写出它的方程。
笔者经过长时间的分析研究后认为：之所以至此，是因为在研究方向上发生了偏差。
素数本身是没有规律的，它的统计规律只是一种表面现象，而不是其内在本质。
所以要想弄清它的根本原因，我们必须从素数的产生机制上着手，才能有所突破。
幸运的是：笔者沿着这个正确的方向，终于取得了成功。
虽然研究过程十分艰难，好多次试探都归于失败。
也曾几度走投无路，意欲放弃，但不想又峰回路转，绝路逢生。
整个过程一波三折，思想左右摇摆。
因为笔者也不知这条中轴线究竟是否存在。
如果它根本就不存在，那笔者的研究岂不成了捕风捉影？毫无成功的可能！但幸好实际情况不是这样。
下面笔者就将自己的研究结果做如下介绍。
我们知道：“埃氏筛法”是寻找素数最基本最有效的方法。
其实这个方法不光适用整个自然数轴，它也适用于局部范围。
所以在任一素数Pi之后的一段长度里（P i+1 - P i），当它被前面的所有素数筛漏的只剩下1个单位时，那么就要产生新的素数了。
当然这种筛选我们没有必要用上P i之前所有的素数，而是只用sqrt(P i) 前面的所有素数就可以了。
其中最大的素数为P r
P r≈sqrt(P i)
这样当[P i+1 - P i ][1/2] [2/3] [4/5] ……[(P r– 1)/P r ] = 1 时
将会有P i+1 = P i + [2/1] [3/2] [5/4] ……[P r /( P r - 1) ]
其中从2开始到P r的筛剩率连乘积的倒数就是新素数的理论间距。
其大小为
ΔP r = [2/1] [3/2] [5/4] ……[P r /( P r - 1) ]
= ΔP r -1 [P r /(P r– 1) ]
将素数间距改写成连续的方程y r = y r -1[x r /(x r–1)]
那么其平均导数是dy/dx = (y r /y r -1) -1 = 1/(x r–1)] = 1/(x –1)
从而得dy = dx/(x –1)
将两边积分得y = ln(x-1) + C
当积分区间是从2开始到x的定积分时，积分常数C 将被消去。
并且当x很大时，x – 1 项中的1可以略去，因而得
y = ln(x)
y r = ln(x r)
可是实际验算证明：用这个公式计算的只是从3/2开始一直到P r /( P r - 1) 连乘积，所以若算ΔP r必须对其加倍，即
ΔP r = 2y r = 2 ln(x r) ≈ln(P i)
这个结果早期的理论推导也已经证明。
现在大家也都知道：当x →∞时，素数的间距确实是趋于ln(P i) .由此得素数系列的递推式是
P i+1 = P i + ln(P i) 其中P1 = 2
我们可以利用这个式子将数据推算到无限远处，并把它的序列曲线画出来，这条曲线就是黎曼曲线。
但是在P ～i 坐标系中我们发现：黎曼曲线总是在真实的素数曲线之下，且相距越来越远。
所以同样的P 值，黎曼曲线将需要更大的序号。
这就说明真实的素数平均增长幅度是大于ln(P i) 的，原先的素数定理是不准确的。
那么究竟应该怎样进行修正呢？笔者为此曾经绞尽脑汁，多方进行试探。
在经过一系列失败后，笔者才终于醒悟到：原来我们忽略了一个重要乘项——尾倍率。
我们知道：P i是素数，所以它的平方根不可能是整数，更不可能是素数，所以进行筛选的最大素数P r肯定小于sqrt(P i) .
并且sqrt(P i) 的位置不是固定不变的，而是随机的。
它可能略大于P r，也可能略小于P r+1 .虽然P r和P r+1的平均距离并不大，但是对于P i之后的素数增幅却影响很大。
P i+1的增幅是lnP i，而P i后面最大的增幅则是
ln[(P r+1)^2] = 2 ln(P r+1) = 2 ln[sqrt(P i) + ln(sqrt(P i))] ≈lnP i [1+1/sqrt(P i)]
前后的平均增幅是lnP i [1+0.5/sqrt(P i)]
ln(P i) ＜＜sqrt(P i) ＜＜P i
就是说前面我们在用筛剩率的倒数计算素数间距时，必须采用收尾法乘到P r+1/(P r+1-1) 这一项。
从sqrt(P i) 到P r+1这一段的筛剩率是不可忽略的。
只是由于它的位置不定，所以我们只好取它的中间位置。
这样以来此项筛剩率就变成了
sqrt(P i)/[sqrt(P i) – 0.5]
在增加了这一项之后素数定理即变成了
ΔP i = ln(P i) sqrt(P i)/[sqrt(P i) – 0.5] = ln(P i)/[1 – 0.5/sqrt(P i) ]
这就是迄今为止最为精确的素数定理。
素数的递推式为P i+1 = P i + ln(P i)/[1 – 0.5/sqrt(P i) ]
实践证明：用这个递推式计算绘出的序列曲线比任何其它曲线都更靠近和更多的穿越真实的素数曲线，它就是素数的中轴曲线。
由于精确的素数定理的发现，使得历史上遗留下来的许多疑难问题被迎刃而解。
(1) 首先是关于素数的个数，其精确的计算公式应该为
i(x) =∫[1 – 0.5/sqrt(x )] (1/lnx)dx = li(x) -∫[0.5/ln(sqrt(x))] dsqrt(x)
= li(x) - 0.5 li[sqrt(x)]
Δi = li(x) - i(x) = 0.5 li[sqrt(x)]
≈sqrt(x)/(lnx – 2) ≈sqrt(x)/lnx
据美国学者阿尔伯特·H·贝勒在《数论妙趣——数学女王的盛情款待》一书中介绍，x值在900万之前，素数的中轴线与真实线相交“不少于19次”。
另外根据四川熊一兵先生在《概率素数论》一书中的资料，可知在x等于10^22之前，真实的素数线一直在中轴线上下穿越；因此可以相信，我们的中轴线确实是一条能够将素数曲线贯穿到底的大曲线。
(2) 再就是关于素数曲线能否和黎曼曲线相交的问题。
由于Δi = sqrt(x)/lnx →∞
所以我们知道：中轴曲线和黎曼曲线已经没有可能趋于平行，且更谈不上相交了。
它们的纵向距离是Δx = lnx Δi = sqrt(x) →∞
但是真实的素数曲线却是没有规则的，它在中轴线的左右摇摆不定。
按照二项式分布的规律，由摆动所引起的序号之差是与序号的平方根成正比的。
所以即使是只取它的一半，也总是大于主轴曲线和黎曼曲线之差的，即
Δi = sqrt(i)/2 ＞sqrt(x)/lnx = sqrt(i/lnx)
所以素数曲线是肯定能和黎曼曲线相交的。
其早期的分离完全是由于当时的“一念之差”，3、5、7、11这个四个素数的增量都偏大了。
但其影响却是如此的深远，以至于到现在我们仍然看不到回归的希望。
从理论上虽说需要将序号增大到足够的程度才行，但究竟需要多大，我们还根本不知。
它超过了目前我们所有的运算能力。
(3) 还有它证明了黎曼猜想是成立的。
当α＞0 时
因为li(x) - π(x) ≈li(x) - i(x) ≈sqrt(x)/lnx
所以[li(x) - π(x)]/x^(0.5+α) ≈1/[(lnx)( x^α)] →0
这在数论领域为许多问题的解决奠定了基础。
精确素数定理的发现和证明虽然姗姗来迟，但它也是人类智慧的胜利，在数论的研究史上无疑是一件大事。
它不仅能够一举解决我们过去的许多困惑，而且对未来的研究也有着重大的指导意义。
漫长的黑夜终于过去，我们迎来了久违的黎明。
我们相信：新的一天肯定会更美好。