2018年秋高考数学一轮总复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语 1.1
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语 1-3 精品
【小题快练】
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练一练
1.(选修2-1P18习题1.3A组T1(3)改编)已知p:2是偶 数,q:2是质数,则命题¬p,¬q,p∨q,p∧q中真命题的个
数为
A.1
(
)
B.2 C.3 D.4
【解析】选B.p和q显然都是真命题,所以¬p,¬q都是假 命题,p∨q,p∧q都是真命题.
2.(选修2-1P27习题1.4A组T3(2)改编)命题“所有可以 被5整除的整数,末位数字都是5”的否定为 .
量词名称 全称量词 存在量词 常见量词 符号表示 ∀ ___ ∃ ___
所有、一切、任意、全部、每 一个等 存在一个、至少有一个、有些、 某些等
3.全称命题和特称命题
名称 形式 语言 表示 符号 表示 否定 全称命题 对M中任意一个x, 有p(x)成立 特称命题 M中存在元素x0, 使p(x0)成立
【解题导引】(1)先判断命题p,q的真假,再根据真值表 求解. (2)根据真值表判断.
【规范解答】(1)选D.易知命题p为真命题,因为x>1无 法推出x>2成立,所以命题q为假命题,故p∧q为假命 题,¬p∧¬q为假命题,¬p∧q为假命题,p∧¬q为真命题. (2)选B.由p为真,知“p”为假,又“p∨q”为真,所以q 为真.
C.①③④
【解析】选D.命题p真,q真,所以①正确;②正确;③正 确;④正确.
2.如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列结论: ①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题; ③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题. 其中正确的结论是( A.①③ B.②④ ) C.②③ D.①④
【解析】选A.“非p或非q”是假命题,则“p且q”为真 命题,“p或q”为真命题,从而①③正确.
2018年高考数学理一轮复习教师用书：第一章 集合与常
第1课时 集 合1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示A B 或B A ∅B 且B ≠∅(1)三种基本运算的概念及表示①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.②A∩A＝A，A∩∅＝∅.③A∪A＝A，A∪∅＝A.④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A.4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×)(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.(×)(3)若A B，则A⊆B且A≠B.(√)(4)N*N Z.(√)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)成立．(√)(7)∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．(√)(8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(10)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(×)考点一集合的概念第一章集合与常用逻辑用语大一轮复习数学(理)例1](1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5 D．9解析：∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素． 答案：C(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98. 答案：D方法引航] (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，a 2，0，则a ＝________.解析：由题意1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，所以只有a 2＝1. 当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1. 答案：－12．(2017·福建厦门模拟)已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5＜k ≤6. 答案：(5,6]考点二 集合间的关系及应用例2] (1)设P ＝{y |y R }，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P解析：因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，所以∁R P ＝{y |y ＞1}，所以∁R P ⊆Q ，选C.答案：C(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎨⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3]方法引航] 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系． 2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．1．在本例(1)中，集合P 变为P ＝{y |y ＝x 2＋1}，Q 不变，如何选答案． 解析：P ＝{y |y ≥1}，Q ＝{y |y ＞0}，∴P ⊆Q ，选A. 2．①在本例(2)中，若A ⊆B ，如何求m 的取值范围？ 解：若A ⊆B ，则⎩⎨⎧ m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎨⎧m ≤－3，m ≥3. 所以m 的取值范围为∅.②若将本例(2)中的集合A ，B 分别更换为A ＝{1,2}， B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，如何求m 的取值范围？ 解：(ⅰ)若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2；(ⅱ)若1∈B ，则12＋m ＋1＝0， 解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； (ⅲ)若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值范围为－2,2)．考点三 集合的运算例3] (1)(2017·山东烟台诊断)若集合A ＝⎩⎨⎭⎬－1，0，12，1，集合B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则集合A ∩B ＝( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1D ．{0,1}解析：B ＝{y |y ＝2x，x ∈A }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2，2，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，故选C.答案：C(2)(2017·安徽合肥模拟)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＞0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0≤x ≤2}解析：由x 2－2x ＞0得x ＞2或x ＜0，即B ＝{x |x ＜0，或x ＞2}，∴A ∪B ＝{x |x ＜0，或x ＞1}，∴∁U (A ∪B )＝{x |0≤x ≤1}． 答案：C(3)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( ) A ．( －∞，－1] B ．1，＋∞)C ．－1,1]D ．(－∞，－1]∪1，＋∞]解析：由P ∪M ＝P ，得M ⊆P .又∵P ＝{x |x 2≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴－1≤a ≤1，故选C. 答案：C方法引航] (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(3)对于混合运算，有括号者，先运算括号里面的．1．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,3) B ．(－1,0) C ．(0,2)D ．(2,3)解析：选A.将集合A 与B 在数轴上画出(如图)．由图可知A ∪B ＝(－1,3)，故选A.2．已知集合A ＝{－1,0,4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }，全集为Z ，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{4}B ．{4，－1}C ．{4,5}D ．{－1,0}解析：B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，阴影部分为A ∩(∁Z B )＝{4，－1}． 答案：B3．(2017·宁夏银川一中模拟)已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________解析：因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则⎩⎨⎧ a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎨⎧ a ＝b 2，b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14.答案：0或14易错警示]空集的呐喊——勿忘我空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有∅⊆A .空集是任何非空集合的真子集．当遇到“A ⊆B ”时，要注意是否需要讨论A ＝∅或A ≠∅两种情况，即“∅优先原则”．典例] 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为________．正解] P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ， 为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12. 答案]⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12易误] 在解答本题时，易出现两个典型错误．一是易忽略对空集的讨论，如S ＝∅时，a ＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.警示] (1)从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，勿遗忘S ＝∅的情况． (2)对含字母的问题，注意分类讨论．高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2＜9}，则A ∩B ＝( ) A ．{－2，－1,0,1,2,3} B ．{－2，－1,0,1,2} C ．{1,2,3}D ．{1,2}解析：选D.∵B ＝{x |x 2＜9}＝{x |－3＜x ＜3}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2}． 2．(2016·高考全国乙卷)设集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{5,7}D ．{1,7}解析：选B.A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}， ∴A ∩B ＝{3,5}．3．(2016·高考全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{1}B ．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C.B＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，∴A∪B＝{0,1,2,3}．4．(2016·高考全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝() A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：选C.∵A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴∁A B＝{0,2,6,10}．5．(2016·高考浙江卷)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．2,3]B．(－2,3]C．1,2)D．(－∞，－2]∪1，＋∞)解析：选B.根据补集和并集的概念进行运算，也可以借助数轴求解．∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁R Q＝{x∈R|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁R Q)＝{x|－2＜x≤3}＝(－2,3]．6．(2016·高考山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B＝() A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C.先化简集合A，B，再利用并集的定义求解．由已知得A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A∪B＝{x|x＞－1}．故选C.课时规范训练A组基础演练1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝() A．{－1,0}B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：选A.由于B＝{x|－2＜x＜1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．0,1] B．(0,1]C．0,1) D．(－∞，1]解析：选A.∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.3．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A．－2，－1] B．－1,2)C．－1,1] D．1,2)解析：选A.由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x＜2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.4．设集合P＝{x|x＞1}，Q＝{x|x2－x＞0}，则下列结论正确的是()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P＝Q D．P∪Q＝R解析：选A.由集合Q＝{x|x2－x＞0}，知Q＝{x|x＜0或x＞1}，所以选A.5．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：选D.由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D. 6．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}，则∁U(A∪B)＝() A．{0,1,3,4} B．{1,2,3}C．{0,4} D．{0}解析：选C.因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4＜0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,4}．所以选C.7．已知集合M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是() A．(2，＋∞) B．2，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1]解析：选B.依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是2，＋∞)，选B.8．已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为() A．2 B．3C．4 D．5解析：选C.依题意得，A＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.9．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B ＝________.解析：A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}10．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________.解析：由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.答案：－1或2B组能力突破1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是()A．－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪－1，＋∞) D．(－3，－1)解析：选D.由题意可知，M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x|－1≤x≤1}，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝{x|－3＜x＜－1}．2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示()A．M∩N B．(∁U M)∩NC．M∩(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：选B.M∩N＝{5}，A错误；∁U M＝{1,2}，(∁U M)∩N＝{1,2}，B正确；∁U N＝{3,4}，M∩(∁U N)＝{3,4}，C错误；(∁U M)∩(∁U N)＝∅，D错误．故选B.3．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：选D.集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n ＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2.4．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是()A．7 B．10C．25D．52解析：选B.A ∩B ＝{2,3}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A ⊙B ＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)}，共有10个元素，故选B.5．已知函数f (x )＝2－x －1，集合A 为函数f (x )的定义域，集合B 为函数f (x )的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．解析：本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．要使函数f (x )＝2－x －1有意义，则2－x －1≥0，解得x ≤0，所以A ＝(－∞，0]．又函数f (x )＝2－x －1的值域B ＝0，＋∞)．所以阴影部分用集合表示为∁A ∪B (A ∩B )＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)6．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎨⎧ －a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.答案：(－∞，－1] 第2课时 命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题(1)命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件、必要条件与充要条件的概念3.(1)“x2＋2x－3＜0”是命题．(×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(√)(6)q不是p的必要条件时，“p q”成立．(√)(7)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)(8)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)(9)命题“若x2－1＝0，则x＝1或x＝－1”的否命题为：若x2－1≠0，则x≠1或x≠－1.(×)(10)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．(√)考点一四种命题及其关系例1](1)命题“若a＞b则a－1＞b－1”的否命题是()A．若a＞b，则a－1≤b－1B．若a＞b，则a－1＜b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1 D．若a＜b，则a－1＜b－1解析：根据否命题的定义可知，命题“若a＞b，则a－1＞b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．答案：C(2)(2017·宁夏银川模拟)命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，则x2＋y2≠0解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定为x≠0或y≠0.答案：D(3)(2017·山东菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中正确的命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③解析：①“若x，y互为倒数，则xy＝1”是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.答案：D方法引航](1)在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变.判定命题为真，必须进行推理证明；若说明为假，只需举出一个反例.互为逆否命题的两个命题是等价命题.1．原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，其逆否命题是________． 解析：“当c ＞0时”为大前提，其逆否命题为：当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b .答案：当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b2．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2，p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ，p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4 解析：选C.z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ， 所以|z |＝2，p 1为假命题；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2为真命题，z ＝－1＋i ，p 3为假命题；p 4为真命题．故选C.考点二 充分条件与必要辄条件的判断例2] (1)“x ＞1”是“ (x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ＞1⇒(x ＋2)＜0， (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1， ∴“x ＞1”是“(x ＋2)＜0”的充分而不必要条件．答案：B(2)(2017·天津调研)“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：x2－3x＋2＝0，即(x－2)(x－1)＝0，∴x＝1或x＝2.∴当x＝1或x＝2时，x2－3x＋2＝0，∴“x2－3x＋2＝0”是“x＝1或x＝2”的充要条件，那么“x≠1且x≠2”是“x2－3x＋2≠0”的充要条件．答案：C(3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：P集合为(1,2)，q集合为(0，＋∞)，p q，故选A.答案：A方法引航](1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法.,①綈q是綈p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；,②綈q是綈p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；,③綈q是綈p的充要条件⇔p是q的充要条件.1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.y＝log2x(x＞0)为增函数，当a＞b＞1时，log2a＞log2b＞0；反之，若log2a ＞log2b＞0，结合对数函数的图象易知a＞b＞1成立，故“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件．2．若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是() A．綈p⇔綈s B．p⇔sC．綈p⇒綈s D．綈s⇒綈p解析：选C.由已知得：q ⇒p ，s ⇒q ，则s ⇒p ，由于原命题与逆否命题等价，所以s ⇒p 等价于綈p ⇒綈s ，故选C.3．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.由ln(x ＋1)＜0得0＜x ＋1＜1，∴－1＜x ＜0即(－1,0)(－∞，0)， ∴“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的必要不充分条件．考点三 根据充分、必要条件求参数例3] (1)(2017·：(x －1)2－m 2≤0(m ＞0)，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．21，＋∞)B ．9，＋∞)C ．19，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：条件p ：－2≤x ≤10，条件q ：1－m ≤x ≤m ＋1，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.解得m ≥9.答案：B(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎨⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3. 所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是0,3]．答案：0,3]方法引航] 由充分条件、必要条件求参数.解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解.但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值.1．本例(2)条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎨⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9.即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例(2)条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由例(2)知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/P .∴P S∴⎩⎨⎧ 1＋m ≥101－m ≤－2∴⎩⎨⎧m ≥9，m ≥3.∴m ≥9.思想方法]集合的关系与充分、必要条件“再牵手”集合的运算常与充分、必要条件交汇，判断充分、必要条件时，可利用集合的包含关系．如果是根据充分、必要条件求参数问题，也可以转化为集合的包含关系求解． 典例] (2017·河南省实验中学模拟)设条件p ：|x －2|＜3，条件q ：0＜x ＜a ，其中a 为正常数．若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是( )A ．(0,5]B ．(0,5)C ．5，＋∞)D ．(5，＋∞)解析] p ：|x －2|<3，∴－3<x －2<3，即－1<x <5，设p ＝(－1,5)，q ＝(0，a )，∵p 是q 的必要不充分条件，∴(0，a )(－1,5)，∴0<a ≤5.答案] A高考真题体验]1．(2015·高考山东卷)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D.命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”，故选D.2．(2016·高考天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.令x ＝1，y ＝－2，满足x ＞y ，但不满足x ＞|y |；又x ＞|y |≥y ，∴x ＞y 成立，故“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要而不充分条件．3．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当x ＞1且y ＞1时，x ＋y ＞2，即p ⇒q 所以充分性成立；令x ＝－1，y ＝4，则x ＋y ＞2，但x ＜1，即q p 所以必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.4．(2016·高考天津卷)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.a 2n －1＋a 2n ＝a 2n －1(1＋q )＝a 1q 2n －2(1＋q )＜0⇔q ＜－1⇒q ＜0，故必要性成立；而q ＜0⇒/ q ＜－1，故充分性不成立．故选C.5．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.如图，命题p表示圆心为(1,1)，半径为2的圆及其内部，命题q表示的是图中的阴影区域，所以p q，q⇒p.故选A.6．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P ∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．课时规范训练A组基础演练1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意得，原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是()A．若a，b，c成等比数列，则b2≠acB．若a，b，c不成等比数列，则b2≠acC．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列解析：选D.因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”．3．若集合A＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)＜0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当a＝1时，B＝{x|－2＜x＜1}，满足A∩B＝∅；反之，若A∩B＝∅，只需a≤2即可，故“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．4．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题解析：选A.A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．5．已知条件p：x≤1，条件q：1x＜1，则綈p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由x＞1得1x＜1；反过来，由1x＜1不能得知x＞1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.6．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0解析：选C.原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．7．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解析：选A.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立．所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 8．有四个关于三角函数的命题： p 1：sin x ＝sin y ⇒x ＋y ＝π或x ＝y ； p 2：∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1； p 3：x ，y ∈R ，cos(x －y )＝cos x －cos y ； p 4：∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，1＋cos 2x2＝cos x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 2，p 3 C ．p 1，p 4D ．p 2，p 4解析：选D.对于命题p 1，若sin x ＝sin y ，则x ＋y ＝π＋2k π，k ∈Z 或者x ＝y ＋2k π，k ∈Z ，所以命题p 1是假命题．对于命题p 2，由同角三角函数基本关系知命题p 2是真命题．对于命题p 3，由两角差的余弦公式可知cos(x －y )＝cos x cos y ＋sin x sin y ，所以命题p 3是假命题．对于命题p 4，由余弦的倍角公式cos 2x ＝2cos 2x －1得 1＋cos 2x2＝1＋2cos 2x －12＝cos 2x ，又因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以cos x ≥0，所以cos 2x ＝cos x ，所以命题p 4是真命题．综上，选D. 9．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________． 解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．答案：若|a |＝|b |，则a ＝－b 10．给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积不相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③B组能力突破1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选A.两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.2．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当m＝－3时，a＝(9，－9)，b＝(1，－1)，则a＝9b，所以a∥b，即“m ＝－3”⇒“a∥b”；当a∥b时，m2＝9，得m＝±3，所以不能推得m＝－3，即“m＝－3”“a∥b”．故“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．3．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则() A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C.由于q⇒p，则p是q的必要条件；而p⇒/q，如f(x)＝x3在x＝0处f′(0)＝0，而x＝0不是极值点，故选C.4．已知p：x＞1或x＜－3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．1，＋∞) B．(－∞，1]C．－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：选A.法一：设P ＝{x |x ＞1或x ＜－3}，Q ＝{x |x ＞a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.法二：令a ＝－3，则q ：x ＞－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ，D ，选A.5．设条件p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＜0；条件q ：实数x 满足x 2＋2x －8＞0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x 2－4ax ＋3a 2＜0得3a ＜x ＜a ，由x 2＋2x －8＞0得x ＜－4或x ＞2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎨⎧a ＜0，a ≤－4，所以a ≤－4.答案：(－∞，－4]6．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 解析：由x 2＞1，得x ＜－1，或x ＞1.又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知由“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1. 答案：－1第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2.全称量词和存在量词3.全称命题和特称命题5.(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．(×) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．(√)(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．(√) (4)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(×) (5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(√) (6)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．(√) (7)已知命题p ：∀x ∈R ，x 2≠x ，则綈p ：∀x ∈/ R ，x 2＝x .(×) (8)命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是：∃x 0∈R ，使x ≤1.(×) (9)“∀x ∈R,2x －1＞0”是真命题．(√)(10)“全等三角形的面积相等”是全称命题．(√)考点一 含逻辑联结词命题的真假判断及应用例1] (1)给定命题p ：函数y ＝sin ⎝ ⎭⎪⎫2x ＋4和函数y ＝cos ⎝ ⎭⎪⎫2x －4的图象关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝2(sin 2x ＋cos 2x )取得极小值．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题解析：命题p 中y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4关于原点对称，故p 为真命题；命题q 中y ＝2(sin 2x ＋cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取极小值时，2x ＋π4＝2k π－π2，则x ＝k π－3π8，k ∈Z ，故q 为假命题，则綈p ∧q 为假命题，故选B. 答案：B(2)已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数 y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p ∧(綈q )为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(1,2] D ．(－∞，1]解析：由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)＜0，即－1·(2a －2)＜0，得a ＞1；对命题q ，令2－a ＜0，即a ＞2，则綈q 对应的a 的取值范围是a ≤2.∵p ∧(綈q )为真命题，∴实数a 的取值范围是(1,2]． 答案：C方法引航] (1)要判断p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假.首先确定，每个简单命题p ，q 的真假，然后再判断复合命题的真假.(2)含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假，解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围.1．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D.不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．2．已知命题p ：“∀x ∈1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ≤－2或a ＝1} B ．{a |a ≥1} C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}解析：选A.由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，∴a≤－2或a＝1.考点二全称命题、特称命题的否定例2](1)已知命题p：1221210，则綈p是() A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1)(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0解析：由否命题的定义可得，綈p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0.答案：C(2)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D. 存在实数x，使x≤1解析：利用特称命题的否定是全称命题求解．“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.答案：C[方法引航]对全(特)称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定.(2)对原命题的结论进行否定.1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则() A．綈p：∀x∈A,2x∈B B．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B解析：选D.命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n解析：选C.命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.考点三全称命题、特称命题真假的判断及应用例3](1)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x0∈R，ln x0＜1 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析：因为2x－1＞0，对∀x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0＜x0＜e，使得ln x0＜1，所以C是真命题；因为正切函数y＝tan x的值域是R，所以D是真命题．答案：B(2)已知命题p：∀x＞0，x＋4x≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝12，则下列判断正确的是()A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(綈q)是真命题D．(綈p)∧q是真命题解析：当x＞0时，x＋4x≥2x·4x＝4，p是真命题；当x＞0时，2x＞1，q是假命题，所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题．答案：C(3)由命题“存在x0∈R，使x20＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．解析：∵命题“存在x0∈R使x20＋2x0＋m≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，故Δ＝22－4m＜0，即m＞1，故a＝1.答案：1方法引航] 1.全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．1．在本例(3)中，命题改为：“∀x∈R，x2＋2x＋m≥0”，求m的范围．解析：设y＝x2＋2x＋m，要使y≥0恒成立．∴Δ＝22－4m≤0，∴m≥12．在本例(3)中，命题改为“∃x0≤0，使x20＋2x0＋m≤0”，求m的范围．解析：由x20＋2x0＋m≤0，可得m≤－x20－2x0.设y＝－x20－2x0，由题意可知，m≤y max.y＝－(x0＋1)2＋1，当x≤0时，y max＝f(－1)＝1，∴m≤1.易错警示]量词的“烦恼”——对量词的否定不当致误含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．典例](2017·山东济南检测)已知命题p：“∀x∈1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x ∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1B．a≤2或1≤a≤2C．a＞1 D．－2≤a≤1正解]由题意得綈p：∃x0∈1,2]，x20－a＜0.∴a＞x20∈1,4]，∴a＞1.q为真，即x2＋2ax＋2－a＝0有根，∴Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.∵(綈p)∧q是真命题，∴a＞1.答案] C易误]写綈p时，命题写错：①∃x∈1,2]，x2－a≤0，导致a≥1.②∀x∈1,2]，x2－a＞0，导致a＜1.。
2018高考数学(理)一轮复习课件：第一章 集合与常用逻辑用语 1-3
(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假.
跟踪训练 1
真命题是
已知命题 p ：若 x>y ，则－ x< － y ；命题 q ：若 x>y ，
则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中， 答案
解析
A.①③ B.①④ 当x>y时，－x<－y，
C.②③
D.②④
答案 3.(教材改编)下列命题中，为真命题的是
A.∀x∈R，－x2－1<0 1 C.∀x∈R，x －x＋4>0
2
B.∃x0∈R，x2 0＋x0＝－1 D.∃x0∈R，x2 0＋2x0＋2<0
4.(2017· 西安调研)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否
定是
A.全等三角形的面积不一定都相等 B.不全等三角形的面积不一定都相等 C.存在两个不全等三角形的面积相等 D.存在两个全等三角形的面积不相等 命题是省略量词的全称命题，易知选D.
§1.3 简单的逻辑联结词、全称量 词与 存在量词
内容索引
基础知识 自主学 习 题型分类 深度剖 析 课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
真 ____
p∨q
綈p
真
真
真
假
真
真
假
假
真 ____
假 ____
假
假
真
假
假
假
真
假 ____
真 ____
2.全称量词和存在量词
题型分类
深度剖析
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
2018高考一轮数学(课件)第1章 集合与常用逻辑用语
8,5 分(理)
系
7,5 分(文) 8,5 分(文)
充分条件与
2,5 分(理)
6,5 分(文) 3,5 分(文)
必要条件
2,5 分(文)
2013 年 2,5 分(理) 1,5 分(文)
10,5 分(理) 4,5 分(文)
4,5 分(理) 3,5 分(文)
2012 年 1,5 分(理) 1,5 分(文) 5,5 分(理) 7,5 分(理) 9,5 分(理) 3,5 分(理) 4,5 分(文)
高三一轮总复习
第一章 集合与常用逻辑用语
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高三一轮总复习
[五年考情]
考点
2016 年
集合的基本 1,5 分(理)
运算
1,5 分(文)
2015 年 1,5 分(理) 1,5 分(文)
2014 年 1,5 分(理) 1,5 分(文)
命题及其关 8,5 分(理) 6,5 分(理)
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高三一轮总复习
[重点关注] 综合近 5 年浙江卷高考试系与充要条件是高考的必考内容，复习时应加以重视．
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2018届高考数学(文)大一轮复习讲义课件：第一章+集合与常用逻辑用语+1-3
(1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题 p、q 的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈 p”等形式命题的真假.
(1)(2017· 广东韶关调研)已知命题 p： 对任意 x∈R， 总有 2x>0； 命题 q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题 的是( ) B．(綈 p)∧(綈 q)
答案 1．且 或 非 2.真 真 假 假 真 真 假
非p 假 ____ ____ 真
真 真 真 假 假 真 假 假
1．判断正误 (1)命题 p 和綈 p 不可能都是真命题．( )
(2)若 p∧q 为真，则 p 为真或 q 为真．(
) )
(3)p∧q 为假的充要条件是 p，q 至少有一个为假．(
答案：(1)√ (2)× (3)√
(
) A．①③ C．②③ B．①④ D．②④
【解析】 (1)命题 q：若 a>b，则 ac>bc 为假命题，命题 p：m， n 为直线，α 为平面，若 m∥n，n⊂α，则 m∥α 也为假命题，因此 只有“綈 p∨q”为真命题．
(2)当 x>y 时，－x<－y，故命题 p 为真命题，从而綈 p 为假命
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
热点一
含逻辑联结词的命题的真假判断
【例 1】 (1)已知命题 p：m，n 为直线，α 为平面，若 m∥n， n⊂α，则 m∥α，命题 q：若 a>b，则 ac>bc，则下列命题为真命题 的是( ) B．綈 p∨q
A．p∨q
C．綈 p∧q
D．p∧q
(2)已知命题 p： 若 x>y， 则－x<－y； 命题 q： 若 x>y， 则 x2 >y2 . 在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈 q)；④(綈 p)∨q 中，真命题是
【数学课件】2018版高考数学理科一轮复习第1章集合与常用逻辑用语(人教A版)
基础诊断
考点突破
课堂总结
2.集合间的基本关系
x∈B ，则 A⊆B 或 B⊇A. (1)子集：若对任意 x∈A，都有______
(2)真子集：若 A⊆B，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合
A B 或 B A. A，则_____
答案 D
基础诊断
考点突破
课堂总结
3.(2016· 全国Ⅰ卷)设集合 A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}， 则 A∩B＝________.
3 A.－3，－2 3 C.1，2 3 B.－3，2 3 D.2，3 源自C.{2，5}解析
D.{2，4}
由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又
U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，4}.
答案 D
基础诊断
考点突破
课堂总结
5. 已知集合 A ＝ {(x ， y)|x ， y ∈ R ，且 x2 ＋ y2 ＝ 1} ， B ＝ {(x ， y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________. 解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线
{x|x∈A， __________ 且x∈B} __________
基础诊断
{x|x∈U，且x∉A}
考点突破
课堂总结
4.集合关系与运算的常用结论
(1) 若有限集 A 中有 n个元素，则 A的子集有 ____ 2n 个，真子集 有________ 2n－1 个. A⊆C . (2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒________ A ⇔A∪B＝___. B (3)A⊆B⇔A∩B＝___
2018高考数学异构异模复习第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其关系课件文
2．若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下面结论中正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
Hale Waihona Puke D．a∉A解析 A＝{x∈N|x≤ 10}＝{0,1,2,3}而 a＝2 2，∴a∉A.
3．已知全集 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合 A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝( )
C．{2,4,7}
D．{2,5,7}
解析 由 U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}，∴∁UA＝{2,4,7}，故选 C.
撬法·命题法 解题法
[考法综述] 集合元素的三大特性是理解集合概念的关键，一般涉及集合与元素之间的关系及根据 集合中元素的特性(特别是集合中元素的互异性)，来确定集合中元素的个数，或求参数的取值范围，属于基 础题．
命题法 1 集合的基本概念
典例 1 (1)已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
(2)若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝( )
9
9
A.2
B.8
C．0
D．0 或98
[解析] (1)当 x＝0，y＝0,1,2 时，x－y 的值分别为 0，－1，－2；当 x＝1，y＝0,1,2 时，x－y 的值分
别为 1,0，－1；当 x＝2，y＝0,1,2 时，x－y 的值分别为 2,1,0；∴B＝{－2，－1，0,1,2}．
∴集合 B 中元素的个数是 5 个． (2)集合 A 是方程 ax2－3x＋2＝0 在实数范围内的解集，且 A 中只有一个元素，所以方程 ax2－3x＋2＝
2018高考数学(理)一轮复习课件 第一章 集合与常用逻辑用语 第1讲分层演练直击高考
D
)
B．{4} D．{1，4}
[解析] 由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以 A∩B＝{1，
4}．
2．设集合 M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合 M 的真子集 个数为( A．8 C．4
B
[解析] 因为 U＝{1，4，6，8，9}，A＝{1，6，8}，B＝{4，
6}，所以∁UB＝{1，8，9}，因此 A∩(∁UB)＝{1，8}，故选 B．
5．(2017· 湖南省东部六校联考)已知集合 M＝{－2，－1，0，
1 x 1}，N＝x2≤2 ≤4，x∈Z，则
M∩N＝(
xy 是偶数，不与 y＝3，y＝5 有相同的元素，当 y＝3，x＝5， 15，25，…，95 时，与 y＝5，x＝3，9，15，…，57 时有相 同的元素，共 10 个，故所求元素个数为 3×50－10＝140， 故选 B．
11．(2017· 开封市第一次模拟)设集合 A＝{n|n＝3k－1，k∈ Z}，B＝{x||x－1|>3}，则 A∩(∁RB)＝( A．{－1，2} C．{1，4} A )
B
) B．7 D．3
[ 解析 ] 依题意， M ＝ {x|(x ＋ 1)· (x － 3)<0 ， x ∈ Z} ＝ {x| －
1<x<3，x∈Z}＝{0，1，2}，因此集合 M 的真子集个数为 23 －1＝7，故选 B．
3． (2017· 南昌月考)设集合 P＝{a2， log2a}， Q＝{2a， b}， 若 P∩Q ＝{0}，则 P∪Q＝( A．{0，1} C．{0，2}
2018高三数学(理)一轮总复习课件-第一章 集合与常用逻辑用语 1-2
p⇒q (3)下结论 /q p⇐
，⇔p 是 q
/q p⇒ 的充分不必要条件 p⇐q
，⇔p
是q
p⇒q 的必要不充分条件， p⇐q
， ⇔p 是 q
/q p⇒ 的充要条件， /q p⇐
⇔
p 是 q 的既不充分也不必要条件．
1． 设 A， B 是两个集合， 则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．[21，＋∞) C．[19，＋∞)
解析：选 B.条件 p：－2≤x≤10，条件 q：1－m≤x≤m＋1， 又因为 p 是 q
1－m≤－2， 的充分不必要条件，所以有 1＋m≥10.
(且等号
不同时成立)解得 m≥9.
3．“直线 x－y－k＝0 与圆(x－1)2＋y2＝2 有两个不同的交 点”的一个充分不必要条件可以是( A．－1<k<3 C．0<k<3 ) B．－1≤k≤3 D．k<－1 或 k>3
命题点 2 等价命题法 (1)﹁q 是﹁p 的充分不必要条件⇔p 是 q 的充分不必要条件； (2)﹁q 是﹁p 的必要不充分条件⇔p 是 q 的必要不充分条件； (3)﹁q 是﹁p 的充要条件⇔p 是 q 的充要条件； (4)﹁q 是﹁p 的既不充分条件也不必要条件⇔p 是 q 的既不充 分也不必要条件．
2 2 2 4 4 4 －4x＝3x－3 － ≥－ ， ∴m≤－ ， 3 3 3
4 4 即 p：m≤－ .又 q：m<－ ，∴p⇒ / q，但 q⇒p，故 p 是 q 的必要 3 3 不充分条件．
运用定义法时要注意区分“谁是条件”、“谁是结 论”．“p q”中，p 是 q 的充分不必要条件(p 是条件)，q 是 p 的必要不充分条件(q 是条件)．