对数函数的图像与性质
4.6对数函数的图像和性质(共43张)
(1)Sketches and Properties of
Logarithmic Functions
第1页，共43页。
复习:一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做(jiàozuò)指数函数,其
中x是自变量.函数的定义域是 R.
a
a
第10页，共43页。
例2 比较下列各组中两个(liǎnɡ ɡè)值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴
log67＞log76
图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左 图边像的㈡纵则坐正标好都相小反于0;
自左向右看,
图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降
函数性质
定义域是( 0,＋∞）
1 的对数是 0
当底数a＞1时 x＞1 , 则logax＞0
当底数0＜a＜100时＜＜xx＜x＜＞111,,则则, 则lologlgoaxagx＞a＜x0＜0 0 当a＞1时,
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1＞log a5.9
注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,
对底数与1的大小关系未明确指出时,
要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
第9页，共43页。
练习:
1、比较下列(xiàliè)各题中两个值的大小:
2
2
求函数
课件4：4.2.3 对数函数的性质与图像(一)
2．函数 f(x)＝ x＋2－lg(1－x)的定义域为( )
A．[－2,1]
B．[－2,1)
C．(－2,1)
D．[－2，＋∞)
B
x＋2≥0， [1－x＞0
⇒－2≤x＜1.]
3．已知对数函数的图像过点 M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x
B．y＝log3x
C．y＝log1x 3
③⑥正确．
(2)由于 y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
2a－1>0， 则有2a－1≠1，
a2－5a＋4＝0，
解得 a＝4.]
【规律方法】 判断一个函数是对数函数的方法
【跟踪训练】 1．(1)函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实数 a＝________. (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，＋∞)时， f(x)＝log2x，则 f(－8)＝________. (1)1 (2)－3 [(1)由 a2－a＋1＝1 解得 a＝1 或 a＝0， 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，所以 a＝1. (2)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.]
【当堂达标】
1．思考辨析
(1)函数 y＝logx12是对数函数．(
)
(2)函数 y＝2log3x 是对数函数．( )
3．函数 f(x)＝loga(2－ax)在区间(0,1)上单调递减，求 a 的取值范围． [解] 令 f(x)＝logau，u＝2－ax. 因为 a＞0，a≠1，所以 u＝2－ax 为减函数， 因为 y＝logau 为增函数，所以 a＞1. 又因为 2－ax＞0 在区间(0,1)上恒成立，所以 2－a≥0，解得 a≤2. 综上所述，1＜a≤2.
对数函数的图象及性质 课件
标从左向右依次为 c，d，a，b，显然 b＞a＞1＞d＞c.
【答案】
(1)C
8 (2)9
(3)b＞a＞1＞d＞c
(1)由函数 y＝x＋a 的图象判断出 a 的范围． ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2)依据 loga1＝0，a0＝1，求定点坐标． (3)沿直线 y＝1 自左向右看，对数函数的底数由小变大．
方法归纳
解决对数函数图象的问题时要注意 (1)明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四 象限．当 x 趋近于 0 时，函数图象会越来越靠近 y 轴，但永远不会 与 y 轴相交． (2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数 的底数 a 的取值范围是 a>1，还是 0<a<1. (3)牢记特殊点．对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象经过 点：(1,0)，(a,1)和1a，－1.
【解析】 (1)A 中，由 y＝x＋a 的图象知 a＞1，而 y＝logax 为减函数，A 错；B 中，0＜a＜1，而 y＝logax 为增函数，B 错；C 中，0＜a＜1，且 y＝logax 为减函数，所以 C 对；D 中，a＜0，而 y＝logax 无意义，也不对．
(2)依题意可知定点 A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－
解析：由题意，得x1≥－0x，>0， 解得 0≤x<1；故函数 y＝ xln(1 －x)的定义域为[0,1)．
答案：B
4．若 f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数 f(x)的值域为________．
解析：因为 f(x)＝log2x 在[2,3]上是单调递增的， 所以 log22≤log2x≤log23， 即 1≤log2x≤log23. 答案：[1，log23]
对数函数的图像和性质
(3) log a 5.1, log a 5.9(a 0, a 1)
归纳总结
问题. 两个同底数的对数比较大小的 一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的
增减性判断两对数值的大小．
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
２、 log1.51.6______log1.51４.
3、 若 log3m log3n
，则m___n;
4、 若 log0.7m log0.7n ， 则m___n.
试一试
比较下列各题中两个值的大小:
１、 log0.56______log0.5４
式胃，酸说中明氢溶离液子酸的碱浓度度与溶是液2.中5×氢1离0子-2 摩的浓尔度/升， 之胃间酸的的变p化H是关多系；少？
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH．
回顾小结
通过本节的学习，大家对对数函数有哪些认 识？能概括一下吗？
习题２.２ P７４ ７，８ ．１０（做书上）
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象 0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
值域 : R
性
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y>0
质 当x=1时，y=0
当0<x<1时，y<0
在(0,+∞)上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0
第1课时 对数函数的性质与图像
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
判断一个函数是对数函数必须是形如 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的 形式，即必须满足以下条件： (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数． (3)对数的真数仅有自变量 x.
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
若某对数函数的图像过点(4，2)，则该对数函
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4．若 a＞0 且 a≠1，则函数 y＝loga(x－1)＋1 的图像过定点为 ________． 解析：函数图像过定点，则与 a 无关，故 loga(x－1)＝0， 所以 x－1＝1，x＝2，y＝1，所以 y＝loga(x－1)＋1 过定点 (2，1)． 答案：(2，1)
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路 栏目 导引
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
小案例—哪个
是你 忙忙叨叨，起早贪黑，
数学建模、数学运算
应用
解决与之有关的问题
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
问题导学 预习教材 P24－P27 的内容，思考以下问题： 1．对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？ 2．对数函数的图像是什么，通过图像可观察到对数函数具有哪 些性质？
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第四章 指数函数、对数函数与幂函数
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求 函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是 要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等 于 1；三是按底数的取值范围对应单调性，有针对性地解不等 式．
高中数学(人教B版)对数函数的性质与图像
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …（3）奇偶性 非奇非偶函数；
y log1 x
x…
3
1
1
1
1
2
4
（4）单调性 >1时,增函数； 0< <1时,减函数 ；
8 … （5）过定点 ( 1,0) .
27 9 3
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
探究对数函数的性质：
y ＝log ax （1）定义域是( 0,＋∞)；
对数函数的概念：
一般地，函数y ＝log ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )称为对数函数. 研究一个函数的一般过程：
定义——性质——图像——应用.
探究对数函数的性质：
y log2 x
x…1 1 1 1 2 4 8…
8 42
y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y log1 x
2
4
引入概念：
指数函数 y ＝ ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) x ＝log ay ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) y ＝log ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) .
每给一个x，都有唯一一个y与之对应. y ＝log ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )是一个函数.
对数函数的性质与图像
高一年级 数学
回顾：指数函数的概念
指数 自变量
一般地，函数
称为指数函数.
底数
且
常数
回顾：对数的概念
一般地，如果 ab N a 0, a 1 ，
那么数 叫做 以a为底 N的对数，记作 loga N b ，
叫做对数的底数， 叫做真数.
ab N loga N b
上海教育版高中数学一下4.6《对数函数的图像与性质》教案3篇
4.6对数函数的图像与性质（1）案例背景对数函数是函数中又一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础案例叙述：(一).创设情境（师）：前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．（提问）：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?（学生）：是指数函数，它是存在反函数的（师）：求反函数的步骤（由一个学生口答求反函数的过程）：由得．又的值域为，所求反函数为．（师）：那么我们今天就是研究指数函数的反函数-----对数函数．（二）新课1.（板书）定义：函数的反函数叫做对数函数．（师）：由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?（教师提示学生从反函数的三定与三反去认识，学生自主探究，合作交流）（学生）对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件．（在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．）2．研究对数函数的图像与性质（提问）用什么方法来画函数图像?（学生1）利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．（学生2）用列表描点法也是可以的。
请学生从中上述方法中选出一种，大家最终确定用图像变换法画图．（师）由于指数函数的图像按和分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况和，并分别以和为例画图．具体操作时，要求学生做到：(1) 指数函数和的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)．(2) 画出直线(3) 的图像在翻折时先将特殊点对称点找到，变化趋势由靠近轴对称为逐渐靠近轴，而的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在左侧的先翻，然后再翻在右侧的部分．学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出和的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：教师画完图后再利用电脑将和的图像画在同一坐标系内，如图然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明)3. 性质(1) 定义域：(2) 值域：由以上两条可说明图像位于轴的右侧．(3)图像恒过(1,0)(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于轴对称(5) 单调性：与有关．当时，在上是增函数．即图像是上升的当时，在上是减函数，即图像是下降的．之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：当时，有；当时，有．学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用．（三）．简单应用1. 研究相关函数的性质例1. 求下列函数的定义域：(1) (2) (3)先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．2. 利用单调性比较大小例2. 比较下列各组数的大小(1)与； (2)与；(3)与；(4)与．让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程．三．拓展练习练习：若，求的取值范围．四．小结及作业案例反思：本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，因而在教学上采取教师逐步引导，学生自主合作的方式，从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．在教学中一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地以反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣．课题：对数函数的图像与性质（2）（教案）【教学目标】知识与技能目标：（1）进一步熟悉对数函数的图像和性质（2）会利用对数函数的性质解决数学问题；（3）培养学生数形结合的意识。
对数函数的图象和性质
x
y = log a x（0来自a<1） ）(0，∞) +
R (1,0)
非奇非偶
大 致 图 形 单调性 数值 变化
y
0 1
y = log a x
x
y
0 1
y = log a x
x
a>1
0<a<1
y=logax在（0，+∞） y=logax在（0，+∞）上 在 ， ∞ 在 ， ∞ 上单调递增。 单调递减。 上单调递增。 单调递减。 若a>1, x>1则y>0 则 若0<a<1, 0<x<1则y>0 则 若a>1, 0<x<1则y<0 若0<a<1, x>1则y<0 则 则
y
图 形
y=log x
2
y=log x
10
0
1
y=log
0.5
y=log 0.1 x x
x
底数互为倒数 倒数的两个对数函数 补充 底数互为倒数的两个对数函数 的图像关于x轴对称。 性质 的图像关于x轴对称。 一 底数a>1 a>1时 底数越大 补充 底数a>1时,底数越大,其图像越 接近x 性质 接近x轴。 二 底数0<a<1 0<a<1时 底数越小 底数0<a<1时,底数越小,其图像 越接近x 越接近x轴。
（0<a<1）0<a<1） （0<a<1）（） ） ） （0<a<1）0<a<1） （0<a<1） （ （ （0<a<1） （0<a<1） ） ） ） ） ） ） 0<a<1）
对数函数的性质与图像
)
(3)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像均在x轴上方. (
)
(4)y-4=logm(x+9)(m>0,且m≠1)的图像恒过定点(-8,4). (
)
(5)当0<a<1时,y=logax为R上的减函数;当a>1时,y=logax为R上的
增函数.
(6)因为x2+1>0恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R. (
轴对称,据此可画出其图像如图所示.
从图像可知,函数 f(x)的值域为[0,+∞),递增
区间是[1,+∞),递减区间是(0,1).
1
1
当 x∈ 9 ,6 时,f(x)在 9 ,1 上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增
的.
1
1
又 f 9 =2,f(6)=log36<2,故 f(x)在 9 ,6 上的最大值为 2.
(0,+∞).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
利用对数函数的性质比较大小
例3 比较大小:
(1)log0.27与log0.29;
(2)log35与log65;
(3)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1);
(4)log85与lg 4.
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
0<a<1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是增函数.
反思感悟求复合函数的单调区间的步骤:
(1)求出函数的定义域;
(2)将复合函数分解为基本初等函数;
对数函数的图象及性质
• 对数函数的定义与性质 • 对数函数的图象 • 对数函数的实际应用 • 对数函数与其他数学知识的联系 • 练习与思考
01
对数函数的定义与性质
对数函数的定义
1 2
自然对数
以e为底的对数，记作lnx，其定义域为(0, +∞)。
常用对数
以10为底的对数，记作lgx，其定义域为(0, +∞)。
对数函数和幂函数在定义域和值域上 存用
对数函数在数学中的应用
求解方程
对数函数在求解方程中有着广泛的应 用，例如在解对数方程、指数方程等 数学问题时，常常需要利用对数函数 的性质进行转换和求解。
数值计算
在数值计算中，对数函数可以用于加 速某些计算过程，例如在计算复数的 模、向量的点积等运算中，利用对数 函数可以大大简化计算过程。
3
任意对数
以a为底的对数，记作log_ax，其定义域为(0, +∞)，其中a>0且a≠1。
对数函数的基本性质
定义域
对数函数的定义域为(0, +∞)， 因为对数的底数必须大于0且不
能等于1。
值域
对数函数的值域为R，即所有实 数。
单调性
当底数a>1时，对数函数是增 函数；当0<a<1时，对数函数 是减函数。
基础练习题2
已知函数$f(x) = log_2(x^2 - 1)$，求函数的值域。
基础练习题3
已知函数$f(x) = log_2(x + 3) - 1$，判断函数的 奇偶性。
提升练习题
提升练习题1
求函数$y = log_2(x^2 - 4x + 5)$的单调区 间。
提升练习题2