弧长的公式、扇形面积公式及其应用
24.4弧长公式扇形面积综合应用(3)
6
B
1
C
变式训练：如图，圆锥的底面半径为1，母线
长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿 圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上， 问它爬行的最短路线是多少？
A
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
点击中考
1. 如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的 半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD, 则图形中四个扇形(空白部分)的面积之和是 ___________.
s全 s侧 s底 rl r
2
例2、如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2， AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC， 则阴影部分面积等于 。
C B
O
A
例3：如图，把Rt△ABC的斜边放在直线
l 上，按
顺时针方向转动一次,使它转到 A BC 的位置。 若BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经 过的路线长。 A′
B A
D
C
2.如图所示，分别以n边形的顶点为圆心， 以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的 面积之和为____个平方单位．
弧长公式与扇形面积 综合应用
团山中学 数学组
一、复习
（ ） L 弧长 1
n πR = 180 nπ R = 360
2
( 2) S 扇形面积
S 扇形面积
1 = L•R 2
（3）、圆锥的侧面积与全面积
S
侧
=πrl
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ) 圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全 面积(或表面积).
弧度制弧长面积公式
弧度制弧长面积公式弧度制是一种角度度量方式，常用于计算圆周上弧长和扇形面积。
弧度制将一个圆的弧长定义为它所对应的圆心角的弧度数。
圆周上弧长的计算公式：L=rθ其中，L表示弧长，r表示半径，θ表示所对应圆心角的弧度数。
扇形面积的计算公式：A=1/2r²θ其中，A表示扇形面积，r表示半径，θ表示所对应圆心角的弧度数。
弧度制的优势在于其计算公式简洁且易于使用，在数学和物理学中被广泛应用。
与角度制不同，弧度制的计算直接依赖于圆心角的弧度数，更符合数学的逻辑。
在实际应用中，常常需要将角度制转换为弧度制，这可以通过以下公式实现：radian = (π/180)°其中，radian表示弧度，°表示角度。
例如，将一角度为30°的角转换为弧度，其对应的弧度为：radian = (π/180) * 30 ≈ 0.523 rad反之，将弧度制转换为角度制可以使用以下公式：degree = (180/π) rad其中，degree表示角度，rad表示弧度。
例如，将一个弧度为π/6的角转换为角度，其对应的角度为：degree = (180/π) * (π/6)= 30°弧度制的引入可以更好地揭示圆的本质特征和数学性质，有助于简化计算和推导，同时也方便了圆周上弧长和扇形面积的计算。
在物理学和工程学领域中，弧度制的应用更加广泛。
例如，在力学中，角加速度的计算需要使用弧度制，通过简洁的计算公式可以直接得到加速度的值。
在电磁学中，计算电磁波的波长和波速也常常使用弧度制。
总结起来，弧度制是一种角度度量方式，通过直接使用圆心角的弧度数，简化了计算和推导，并获得了更好的数学性质和物理应用。
弧度制的公式包括圆周上弧长和扇形面积的计算公式，可以用于解决相关数学和物理问题。
弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用
高中数学：弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：(1)α＝60°＝π3rad ，∴l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得⎩⎨⎧2R ＋αR ＝10，12α·R 2＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎨⎧ R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知，得l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.【条件探究】 将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14α＋4＋α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216. 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．提醒：弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(1)如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的3__倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为l r .将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r＝3·l r ，即弧度数变为原来的3倍．(2)若圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数是 3.解析：设圆的半径为R ，如图所示，OA＝R，OD＝12R，故AD＝R2－14R2＝32R，因此AB＝2AD＝3R，故该圆弧长度为3R，所以该圆弧所对圆心角的弧度数为α＝3RR＝ 3.。
高中数学一轮复习三角函数的图像与性质：第3节扇形的弧长及面积公式
第3节扇形的弧长及面积公式【基础知识】弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.【规律技巧】(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【典例讲解】【例1】已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．【规律方法】涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2＝12lR.【变式探究】已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为______ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.【答案】12 1【针对训练】1、已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4 B．1C．4 D．8【答案】A2、已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大3.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C. 3D.2【答案】C【解析】设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长为3R，即该圆弧的弧长为3R，于是其圆心角的弧度数为 3.故选C.4.一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】(7＋43)∶9【练习巩固】1．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10，1 2θ·r2＝4，解得r＝4，θ＝12或r＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为1 2 .(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________．【答案】(2－sin 2，1－cos 2) 3．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A ．4B ．2 C．8 D．1【答案】A 【解析】试题分析：记扇形的圆心角为,42,.2rS 扇，故选A ．考点：1、扇形面积公式．4．（2015秋?友谊县校级期末）一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（）A ．B．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由扇形面积公式得θr=2π，θｒ2=3π，先解出r 值，即可得到θ值．解：设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r ，则由题意得θr=2π，θｒ2=3π，解得 r=3，θ＝．故选：D ．考点：扇形面积公式．5．已知扇形的圆心角为060，所在圆的半径为10cm ，则扇形的面积是________2cm ．【答案】503【解析】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为350100321212RS；故填503．考点：扇形的面积公式．6．在半径为2的圆中，一扇形的弧所对的圆心角为60°，则该扇形的弧长等于．【答案】32【解析】试题分析：圆心角为60°即32233l r考点：弧长公式7．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积为______．【答案】3【解析】试题分析：21203oQ ，扇形所对的弧长2323l，扇形面积为12332S ．考点：扇形面积．8．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是______．【答案】2【解析】试题分析：设扇形的半径R ，弧长，根据题意R l R 2，解得2Rl ，而圆心角2Rl 考点：圆心角公式9．（2015秋?溧阳市期末）已知扇形的半径为1cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为cm 2．【答案】1【解析】试题分析：直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为：=1．故答案为：1．考点：扇形面积公式．10．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．【答案】【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l=2r ，于是侧面展开图的扇形半径为l ，弧长为2πr ，∴圆心角α＝=π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台），圆锥的侧面展开图．【名师点睛】旋转体的侧面展开图问题：1．圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的高是圆柱的高（母线），矩形的底是圆柱的底面周长．2．圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的中心角是，则2r l．3．圆台的上、下底面半径分别为r,R ，母线长为l ，侧面展开图圆环的中心角为，则2R r l．11．如图，点P 从（1,0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为．【答案】13,22【解析】试题分析：由三角函数定义知：13cos(),sin(),3232xy ，因此Q 点的坐标为13,22考点：三角函数定义【名师点睛】定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．。
弧长及扇形的面积公式
弧长及扇形的面积公式弧长的公式：弧长是弧上的一段弧线长度，表示为S，可以通过下面的公式来计算：S=rθ其中，S表示弧长，r表示弧的半径，θ表示圆心角（以弧度为单位）。
这个公式的推导可以通过以下几个步骤来得到：首先，我们将圆的半周长除以π，得到半径r之后，再用r乘以θ，即可得到弧长S。
需要注意的是，弧度是一个角度的度量单位，一个完整的圆的弧度是2π。
所以，如果我们知道了弧度的大小，就可以很容易地计算出弧长。
扇形的面积公式：扇形是由圆心角和半径所确定的一个图形，它是由一个圆的一部分构成，通常是从圆心到圆上的一段弧线，再与两个半径的延长线所围成的图形。
扇形的面积表示为A，可以通过下面的公式来计算：A=0.5r²θ其中，A表示扇形的面积，r表示扇形的半径，θ表示扇形的圆心角。
这个公式的推导可以通过以下几个步骤来得到：首先，我们将整个圆的面积除以2π，得到圆的半径r之后，再用r乘以圆心角的弧度θ，最后再除以2，即可得到扇形的面积A。
需要注意的是，公式中的θ必须使用弧度来表示。
因此，在计算扇形的面积之前，我们需要将角度转换为弧度。
将角度转换为弧度可以使用以下公式：弧度=角度×π/180。
另外，如果我们知道扇形的弧长S，也可以使用以下公式来计算扇形的面积A：A=0.5rS这个公式是根据弧长和扇形圆心角的关系来推导的。
总结：弧长和扇形的面积是圆的重要属性之一，它们可以通过简单的公式来计算。
在计算之前，我们需要明确圆的半径和圆心角（以弧度形式表示）。
然后，根据公式S=rθ和A=0.5r²θ或A=0.5rS，即可计算出弧长和扇形的面积。
九年级数学上册 3.6 弧长及扇形面积的计算 扇形面积公式的注意点及应用素材 (新版)青岛版
扇形面积公式的注意点及应用一、注意点课本推出扇形面积公式为S扇形=360n πR 2和S 扇形=21lR ，运用这两个公式时要注意以下四点： 1、公式S 扇形=3602R n π中的n 与弧长公式中的n 一样，应理解为1°的倍数，不带单位，如圆心角是25°，n 就是25。
2、扇形面积公式S 扇形=21lR 与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看成底，R 看成底边上的高即可。
3、当已知半径R 和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式S 扇形=3602R n π；当已知半径R 和弧长求扇形面积时，应选用公式S 扇形=21lR 。
4、根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形、l 、n 、R 四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量。
二、应用 例1 如图1，水平放置的圆柱形油桶的截面半径是R ，油面高为32R ，截面上有油的弓形（阴影部分）的面积为 （结果不取近似值） 分析：弓形（阴影部分）的面积可分为扇形与三角形面积之和，关键是求扇形圆心角度数及弓形弦长。
解：如图2，可知OC=23R-R=21R ∴BC=23R ，∠BOC=60°，∠AOB=120°∴S 阴影=S 扇形AOB +S △AOB =3602402R π+21×3×21R =32πR 2+43R 2=（32π+43）R 2 故应填（32π+43）R 2 例2 如图所示，把Rt△ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A′B′C′的位置，设BC=1，AC=3，则顶点A 运动到点A′′的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的图形面积是 （计算结果不取近似值）分析：三角形第一次转动时，从A 运动到A′，所围成的图形面积是S 扇形ABA′，扇形所在圆的圆心为B ，半径为AB ，扇形的圆心角为∠ABA′；第二次转动时，从A′运动到A′′，所围成的图形的面积是S 扇形A′C′′A′′，扇形所在圆的圆心为C′′，半径为A′C′′，扇形的圆心角为∠A′C′′A′′，所以点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积S=S 扇形ABA′+S △A′BC′′+S 扇形A′C′′A′′解：在Rt△ACB 中，tanA=AC BC =31=33 AB=22BC AC +=221)3(+=2∴∠A=30°，∠A′BC′′=∠CBA=60°∴∠ABA′=180°-∠A′BC′′=180°-60°=120°∴S 扇形ABA′=360)(1202AB π=36021202⨯π=34π S △A′BC′′=S △ABC =21AC·BC=21×3×1=23 A B C lA ′B ′′C ′′ A ′′S 扇形A′CA′′=360)'''(902C A π=360902AC ⨯π=360)3(902π=43π ∴S=S 扇形ABA′+S △A′BC′′+ S 扇形A′CA′′ =34π+23+43π=1225π+23 答案：1225π+23 点评：对于图形旋转问题应明确以下几点：（1）旋转前后图形的形状、大小不变、位置不变；（2）旋转时不动的点是定点，移动的点是动点，旋转过程中动点经过的路线（轨迹）一般是一段圆弧，所形成的图形面积是扇形面积；（3）解此类问题的关键是找到定点（旋转时的不动点，亦即所形成扇形的圆心）和动点，其中定点和动点之间的距离是所形成扇形的半径。
扇形的弧长公式和面积公式
扇形的弧长公式和面积公式
弧长和面积是扇形的重要特征，它们的表达式可用来计算出扇形的特定参数。
本文将介绍扇形的弧长和面积的表达式。
一般来说，扇形的弧长可以用下面的公式表示：
弧长= 2πrθ
其中，r表示扇形的半径，θ表示扇形的弧度数，π表示圆周率，其值为3.14159。
举个例子说明，如果扇形的半径是5，弧度数是2，那么扇形的弧长就是 2*3.14159*5*2 = 31.4158。
另外，扇形的面积可以用下面的公式表示：
面积= (1/2)r²θ
其中，r表示扇形的半径，θ表示扇形的弧度数，也就是说，扇形的面积等于扇形的半径的平方乘以弧度数的一半。
举个例子说明，如果扇形的半径是5，弧度数是2，那么扇形的面积就是 (1/2)*5*5*2 = 25。
以上就是扇形的弧长和面积的表达式。
可以看出，弧长和面积是扇形的重要特征，它们的表达式可以帮助我们计算出扇形的特定参数。
弧长公式与扇形的面积计算公式 的运用
A 有水部分的面积为：
D
B
∴OD=DC
又AD DC
∴AD上线段OC的垂直平分线 ∴AC=AO=OC
从而∠AOD=60°，
∠AOB=120°
S= S扇OAB- S△OAB
C
= 120 0.62 1 AB • OD
306
2
= 0.12 1 0.6 3 0.3
2
≈ 0.22m2
变式：2.如图、水平放置的圆柱形排水管道的
学习目标：
1. 知道弧长公式和扇形的两个面积计算公式。 2. 会用弧长公式、扇形的面积计算公式 进
行相关计算。
自学提纲：
• 1. 弧长公式 是什么？
l nR
180
• 2. 扇形的两个 面积计算公式 是什么？
S扇形
nR 2
360
S扇形
1 lR 2
A
B
O
O
l nR
180
nR 2
S扇形 360ห้องสมุดไป่ตู้
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
拓展与应用
练习3：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截
面半径0.6m，其中水面高0.3m，求有水部分的
面积。（精确0.01m）。
- 分析：有水部分的面积为： S= S扇OAB
S△OAB
解：如图，连接OA，OB，
过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交弧AB于点C，
连接AC
0
∵OC=0.6，DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.3
1
S扇形
lR 2
想一想：扇形的面积公式与什么 公式类似？
（1）.已知弧所对的圆心角为900，半径是4， 求该弧的弧长为多少？
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1 弧长与扇形面积、圆锥侧面积 【知识详解】 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：， 说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例
如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°
的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
知识点3、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那
么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 （2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 2
知识点4、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，
若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积
圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱
图形 图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。 由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。
图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形
面积计算方法 3
补充：知识点5、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ ）（结果用表示）
分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以
， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积
公 式
（2）扇形与弓形的联系与区别
图 示 4
面 积 【典型例题】 例1.如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积
是（ ）A. B. C. D. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为， 所以
例2.如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10厘米，tan∠BAC＝，求阴影部分的面积。
分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。 解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10， tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝ 设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数）由勾股定理得
所以BC＝6，AC＝8，，而 所以 例3.如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（ ）
分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝， 5
因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以，设两部分阴影的面积中的一部分为M，另一部分为N，则，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P，
因为∠BOD＝∠DOC，所以 所以M＝P，所以
例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。
分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。 解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2 CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4
在△CDH中， 所以
例5.已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米 （1）求扇形的弧长。 （2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？
分析：（1）由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2r，底面圆半径r即CD的
长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以可求。 解：（1）设扇形的半径为R，由，得，解得R＝30. 所以扇形的弧长（厘米）。 （2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆周长C＝2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以
在Rt△ADC中，高AD＝ 6
所以轴截面面积（平方厘米）。 【模拟试题】 一、选择题 1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（ ）
A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л 2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ）
A. B. C. D. 3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）
A. 90° B. C. D.180° 4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍 5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为（ ）
A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5： 9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（ ） A. S1＝S2 B. S1 > S2 C. S1 < S2 D. S1、S2的大小关系不确定
二、填空题 7
1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm2. 2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为 . 4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则S1： S2
＝ 。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。
6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，则阴影部分的面积是 。
7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为 。
三、计算题
1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为圆心画弧，交AB于点D，交AC延长线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л取3）。
2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S1，另一个圆锥的侧面积是S2，如果圆锥和圆柱等底等高，求． 8
3. 圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．
【试题答案】 一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B
二、填空题 1、24 144 2、40° 3、19cm 4、3：4 5、3 6、2 7、2－4
三、计算题 1、连接AE，则，所以
2、 3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度。
利用等量关系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝，