2022年河北省中考数学试卷-含答案详解

2022年河北省中考数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算a3÷a得a，则“？”是( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

2. 如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的( )

A. 中线

B. 中位线

C. 高线

D. 角平分线

3. 与−31

相等的是( )

2

A. −3−1

2

B. 3−1

2

C. −3+1

2

D. 3+1

2

4. 下列正确的是( )

A. √4+9=2+3

B. √4×9=2×3

C. √94=32

D. √4.9=0.7

5. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是( )

A. α−β=0

B. α−β<0

C. α−β>0

D. 无法比较α与β的大小

6. 某正方形广场的边长为4×102m，其面积用科学记数法表示为( )

A. 4×104m2

B. 16×104m2

C. 1.6×105m2

D. 1.6×104m2

7. ①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择( )

A. ①③

B. ②③

C. ③④

D. ①④

8. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )

A. B.

C. D.

9. 若x和y互为倒数，则(x+1

y )(2y−1

x

)的值是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10. 某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2，PA，PB分别与AMB

⏜所在圆相切于点A，B，若该圆半径是9cm，∠P=40°，则AMB

⏜的长是( )

A. 11πcm

B. 11

2πcm C. 7πcm D. 7

2

πcm

11. 要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案(如图1和图2)：

图1图2

对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是( )

A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行

B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C. Ⅰ、Ⅱ都可行

D. Ⅰ、Ⅱ都不可行

12. 某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对(m,n)，在坐标系中进行描点，则正确的是( )

A.

B.

C.

D.

13. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形(如图)，则d可能是( )

A. 1

B. 2

C. 7

D. 8

14. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10(单位：元)，捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是( )

A. 只有平均数

B. 只有中位数

C. 只有众数

D. 中位数和众数

15. “曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是( )

A. 依题意3×120=x−120

B. 依题意20x+3×120=(20+1)x+120

C. 该象的重量是5040斤

D. 每块条形石的重量是260斤

16. 题目：“如图，∠B=45°，BC=2，在射线BM上取一点A，设AC=d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d=1.6，丙答：d=√2，则正确的是( )

A. 只有甲答的对

B. 甲、丙答案合在一起才完整

C. 甲、乙答案合在一起才完整

D. 三人答案合在一起才完整

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

17. 如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1～8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是______．

18. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的

连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则

(1)AB 与CD 是否垂直？______(填“是”或“否”)； (2)AE =______．

19. 如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．

(1)甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出a 个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a = ；

(2)设甲盒中都是黑子，共m(m >2)个，乙盒中都是白子，共2m 个．嘉嘉从甲盒拿出a(1

x 的值为 ．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. (本小题9.0分)

整式3(1

3−m)的值为P ．

(1)当m =2时，求P 的值；

(2)若P 的取值范围如图所示，求m 的负整数值．

21. (本小题9.0分)

某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，

(1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

(2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图(图2)各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变(1)的录用结果．

22. (本小题9.0分)

发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．

验证如，(2+1)2+(2−1)2=10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；

探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．

23. (本小题10.0分)

如图，点P(a,3)在抛物线C：y=4−(6−x)2上，且在C的对称轴右侧．

(1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；

(2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′.平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y=−x2+6x−9.求点P′移动的最短路程．

24. (本小题10.0分)

如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN//AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m．

(1)求∠C的大小及AB的长；

(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位)．

(参考数据：tan76°取4，√17取4.1)

25. (本小题10.0分)

如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(−8,19)，B(6,5)．

(1)求AB所在直线的解析式；

(2)某同学设计了一个动画：

在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C(c,0).当c= 2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出．

①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；

②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数．

26. (本小题12.0分)

如图1，四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，∠C=30°，AD=3，AB=2√3，DH⊥BC 于点H.将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q=90°，∠QPM=30°，PM=4√3．

(1)求证：△PQM≌△CHD；

(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图2)，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转(图3)，当边PM旋转50°时停止．

①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；

②如图2，点K在BH上，且BK=9−4√3.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长度，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域(含边界)内的时长；

③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE=d，直接写出CF的长(用含d的式子表示)．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根据同底数幂的除法可得：a3÷a=a2，

∴=2，

故选：C．

根据同底数幂的除法法则解答即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．

本题主要考查同底数幂的除法，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法．

2.【答案】D

【解析】解：由已知可得，

∠1=∠2，

则l为△ABC的角平分线，

故选：D．

根据翻折的性质和图形，可以判断直线l与△ABC的关系．

本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了有理数的运算，掌握有理数的加减法法则是解决本题的关键．

利用有理数的加减法法则，逐个计算得结论．

【解答】

解：A.−3−1

2=−31

2

，选项A的计算结果是−31

2

；

B.3−1

2=21

2

，选项B的计算结果不是−31

2

；

C.−3+1

2=−21

2

，选项C的计算结果不是−31

2

；

D.3+1

2=31

2

，选项D的计算结果不是−31

2

．

故选：A．

4.【答案】B

【解析】解：A、原式=√13，故该选项不符合题意；

B、原式=√4×√9=2×3，故该选项符合题意；

C、原式=√(92)2=92，故该选项不符合题意；

D、0.72=0.49，故该选项不符合题意；

故选：B．

根据√4+9=√13判断A选项；根据√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)判断B选项；根据√a2=|a|判断C 选项；根据算术平方根的定义判断D选项．

本题考查了二次根式的性质与化简，掌握√ab=√a⋅√b(a≥0,b≥0)是解题的关键．

5.【答案】A

【解析】解：∵任意多边形的外角和为360°，

∴α=β=360°．

∴α−β=0．

故选：A．

利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．

本题主要考查了多边形的外角，正确利用任意多边形的外角和为360°解答是解题的关键．

6.【答案】C

【解析】解：(4×102)2

=42×(102)2

=16×104

=1.6×105(m2)，

故选：C．

根据正方形的面积=边长×边长列出代数式，根据积的乘方化简，结果写成科学记数法的形式即可．本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握(ab)n=a n b n是解题的关键．

7.【答案】D

【解析】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，

∴①④符合要求，

故选：D．

根据组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成直接判断即可．

本题主要考查立体图形的拼搭，根据组合后的几何体形状做出判断是解题的关键．

8.【答案】D

【解析】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；

B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；

C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；

D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；

故选：D．

根据平行四边形的判定定理做出判断即可．

本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．

9.【答案】B

【解析】解：∵x和y互为倒数，

∴xy=1，

∵(x+1

y )(2y−1

x

)

=2xy−1+2−1

xy =2×1−1+2−1 =2−1+2−1

=2．

故选：B．

根据x和y互为倒数可得xy=1，再将(x+1

y

)(2y−1

x

)进行化简，将xy=1代入即可求值．

本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．

10.【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与AMB

⏜ 所在圆相切于点A，B，∠P=40°可以得

到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．

本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数．

【解答】

解：作AO⊥PA，BO⊥PB，AO和BO相交于点O，如图，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOB=140°，

∴优弧AMB对应的圆心角为360°−140°=220°，

∴优弧AMB的长是：220π×9

=11π(cm)，

180

故选：A．

11.【答案】C

【解析】解：方案Ⅰ，∵∠HEN=∠CFG，

∴MN//CD，

根据两直线平行，内错角相等可知，直线AB，CD所夹锐角与∠AEM相等，

故方案Ⅰ可行，

方案Ⅱ，根据三角形内角和定理可知，直线AB，CD所夹锐角与180°−∠AEH−∠CFG相等，故方案Ⅱ可行，

故选：C．

根据平行线的性质、三角形内角和定理解答即可．

本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，正确理解两直线夹角的概念是解题的关键．

12.【答案】C

【解析】解：∵一个人完成需12天，

∴一人一天的工作量为1

，

12

∵m个人共同完成需n天，

∴一人一天的工作量为1

，

mn

∵每人每天完成的工作量相同，

∴mn=12．

∴n=12

，

m

∴n是m的反比例函数，

∴选取6组数对(m,n)，在坐标系中进行描点，则正确的是：C．

故选：C．

利用已知条件得出n与m的函数关系式，利用函数关系式即可得出结论．

本题主要考查了函数的图象，利用已知条件得出n与m的函数关系式是解题的关键．

13.【答案】C

【解析】

【分析】如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC，CE，并设AC=a，CE=b，先在△ABC和△CDE 中，根据三角形的三边关系定理可得4

解：如图，设这个凸五边形为ABCDE，连接AC，CE，并设AC=a，CE=b，

在△ABC中，5−1

在△CDE中，1−1

所以4

在△ACE中，a−b

所以2

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C．

【点晴】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键．14.【答案】D

【解析】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，

追加后5个数据的中位数是5，众数为5，

∵数据追加后平均数会变大，

∴集中趋势相同的只有中位数和众数，

故选：D．

根据中位数和众数的概念做出判断即可．

本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基本概念是解题的关键．

15.【答案】B

【解析】解：由题意得出等量关系为：

20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和=21块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，∵已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，

∴20x+3×120=(20+1)x+120，

∴A选项不正确，B选项正确；

由题意：大象的体重为20×240+360=5160斤，

∴C选项不正确；

由题意可知：一块条形石的重量=2个搬运工的体重，

∴每块条形石的重量是240斤，

∴D选项不正确；

综上，正确的选项为：B．

利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论．

本题主要考查了一元一次方程的应用，利用题意正确找出等量关系是解题的关键．

16.【答案】B

【解析】解：由题意知，当CA⊥BA或CA>BC时，能作出唯一一个△ABC，

①当CA⊥BA时，

∵∠B=45°，BC=2，

=√2，

∴AC=BC⋅sin45°=2×√2

2

即此时d=√2，

②当CA=BC时，

∵∠B=45°，BC=2，

∴此时AC=2，

即d≥2，

综上，当d=√2或d≥2时能作出唯一一个△ABC，

故选：B．

由题意知，当CA⊥BA或CA≥BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可．

本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．

17.【答案】1

8

【解析】解：所有可能出现的结果数为8，抽到6号赛道的结果数为1，每种结果出现的可能性相同，

P(抽到6号赛道)=1

，

8

故答案为：1

．

8

根据抽到6号赛道的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．

本题考查了概率公式，掌握抽到6号赛道的概率=抽到6号赛道的结果数÷所有可能出现的结果数是

18.【答案】(1)是；(2)4√5

5【解析】解：(1)如图1，

在△ACM和△CFD中，

{AC=CF=2

∠ACM=∠CFD=90°CM=FD=1

，

∴△ACM≌△CFD(SAS)，

∴∠CAM=∠FCD，

∵∠CAM+∠CMA=90°，

∴∠FCD+∠CMA=90°，

∴∠CEM=90°，

∴AB⊥CD，

故答案为：是；

(2)如图2，

在Rt△ABH中，AB=√AH2+BH2=√22+42=2√5，∵AC//BD，

∴∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，

∴△ACE∽△BDE，

∴AE BE =AC

BD

=2

3

，

∴

2√5−AE =2

3

，

∴AE=4√5

5

，

故答案为：4√5

5

．

(1)证明△ACM≌△CFD，得出∠CAM=∠FCD，由∠CAM+∠CMA=90°，得出∠FCD+∠CMA=90°，进而得出∠CEM=90°，即可得出AB⊥CD；

(2)先利用勾股定理求出AB=2√5，再证明△ACE∽△BDE，利用相似三角形的性质即可求出AE的长度．

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．

19.【答案】(1)4；

(2)(m+2a)，1．

【解析】

【分析】

本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键．

(1)根据嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，列出方程计算即可求解；

(2)根据题意可得乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多的个数，根据题意可以求出y=x，进一步求

出y

x

的值．

【解答】

解：(1)依题意有：a+8=2(10−a)，

解得a=4．

故答案为：4；

(2)依题意有：2m+a−(m−a)=(m+2a)个，y=a−(a−x)=a−a+x=x，

y x =x

x

=1．

故答案为：(m+2a)，1．

20.【答案】解：(1)根据题意得，P=3×(1

3−2)=3×(−5

3

)=−5；

(2)由数轴知，P≤7，

即3(1

3

−m)≤7，

解得m≥−2，

∵m为负整数，

∴m=−1或−2．

【解析】(1)把m=2代入代数式中进行计算便可；

(2)根据数轴列出m的不等式进行解答便可．

本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第(2)题关键是根据数轴列出m的不等式．

21.【答案】解：(1)由题意得，甲三项成绩之和为：9+5+9=23(分)，

乙三项成绩之和为：8+9+5=22(分)，

∵23>22，

∴会录用甲；

(2)由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：9×120

360+5×360−120−60

360

+9×60

360

=3+2.5+1.5 =7(分)，

乙三项成绩之加权平均数为：8×120

360+9×360−120−60

360

+5×60

360 =

8

3+4.5+

5

6

=8(分)，

∵7<8，

∴会改变(1)的录用结果．

【解析】(1)分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；

(2)分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．

此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．

22.【答案】解：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：

(m+n)2+(m−n)2

=m2+2mn+n2+m2−2mn+n2

=2m2+2n2

=2(m2+n2)，

故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．

【解析】写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解．

本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．

23.【答案】解：(1)∵抛物线C：y=4−(6−x)2=−(x−6)2+4，

∴抛物线的顶点为M(6,4)，

∴抛物线的对称轴为直线x=6，y的最大值为4，

当y=3时，3=−(x−6)2+4，

∴x=5或7，

∵点P在对称轴的右侧，

∴P(7,3)，

∴a=7；

(2)y=−x2+6x−9=y=−(x−3)2，

∴抛物线y=−x2+6x−9的顶点为N(3,0)．

如图，过C的顶点M(6,4)作MA⊥x轴于点A．

连接MN，PP′.由平移可知，PP′=MN，

∴点P′移动的最短路程是PP′=√32+42=5．