函数的奇偶性
函数奇偶性的方法
函数奇偶性的方法
确定一个函数的奇偶性的方法如下：
1. 定义
奇函数：对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)。
偶函数：对于任意实数x，有f(-x) = f(x)。
2. 奇偶性的判断
(1) 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)满足f(-x) = -f(x)，则f(x)为奇函数。
(2) 如果函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)满足f(-x) = f(x)，则f(x)为偶函数。
(3) 如果函数f(x)既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
3. 奇偶函数的性质
(1) 奇函数与奇函数相加、相减，结果仍为奇函数；
(2) 偶函数与偶函数相加、相减，结果仍为偶函数；
(3) 奇函数与偶函数相乘，结果为奇函数；
(4) 若f(x)为奇函数，则f(x)的零点关于原点对称；
(5) 若f(x)为偶函数，则f(x)关于y轴对称。
4. 判断奇偶性的方法
(1) 对函数f(x)进行奇偶性的判断时，可尝试代入-x或者x来验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义；
(2) 若函数表达式含有二次方及以上的偶次幂，则函数为偶函数；
(3) 若函数表达式含有一次方及以上的奇次幂，则函数为奇函数；
(4) 若函数表达式含有一次方及以上的奇次幂，并且函数表达式中包含一个偶函数，则函数为奇函数。
注意：上述方法只适用于一些简单的函数，复杂函数的奇偶性可能需要使用其他数学工具进行推导。
奇偶函数的概念
函数的奇偶性概念
1、偶函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．例如：函数
，等都是偶函数．
2、奇函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．例如：函
数f(x)=x，都是奇函数．
3、奇偶性的定义：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性．
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(－x)=f(x)或f(－x)=－f(x)必有一成立．
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(－x)，看是等于f(x)还是等于－f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性．（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数．
（4）函数f(x)=0既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足f(－x)=f(x)也满足f(－x)=－f(x)．
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
（6）奇函数若在x=0时有定义，则f(0)=0．。
函数奇偶性的性质
$f(x)=x^2$是偶函数，因为$f(-x)=(-x)^2=f(x)$。
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偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 $x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$ 为偶函数。
性质
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$。 偶函数的图像关于y轴对称，即对于任意$x$，有$f(-x)=f(x)$。
举例
$f(x)=x^3$是奇函数，因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
性质
偶函数的图像关于y轴对称。 偶函数的导数（如果存在）是奇函数。 偶函数满足$f(-x) = f(x)$的性质。
举例
$f(x) = x^2$是偶函数，因为$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$。
$f(x) = frac{1}{x}$不是偶函数，因为虽 然$f(-x) = -x^{-1} = -f(x)$，但$f(-x) neq f(x)$。
03 非奇非偶函数
定义
• 定义：如果一个函数既不满足奇函数的定义（f(-x) = -f(x)），也不满足偶函数的定义（f(-x) = f(x)），则该函 数被称为非奇非偶函数。
性质
不确定性
非奇非偶函数的性质和行为通常是不 确定的，因为它们既不具有奇函数的 特点也不具有偶函数的对称性。
无规律性
非奇非偶函数通常没有明显的规律性 ，不像奇函数或偶函数那样具有对称 性或周期性。
奇函数的图像关于原点对 称。
01
03 02
举例
$f(x)=x^3$是奇函数，因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
$f(x)=x$不是奇函数，因为当$x=0$时，$f(0)=0$，不满足奇函数的定义。
函数的奇偶性(经典)
奇函数：设函数y f ( x)的定义域为D， 如果对于D内任意一个x，都有 x D 且f ( x) f ( x), 则这个函数叫做奇函数。
（一）奇函数、偶函数的定义
对于函数y=f(x),当自变量x取一 对相反数时，相应的两个函数值相等. 这样的函数是偶函数
偶函数：设函数y f ( x)的定义域为D， 如果对于D内任意一个x，都有 x D 且f ( x) f ( x), 则这个函数叫做偶函数。
函数的奇偶性
画出下列函数的图像， 并研究图像的对称性. 1 2 (1) f ( x) ;(2) g ( x) x . x
1 2 (1) f ( x) ;(2) g ( x) x . x 这两个函数的图像的对称性 如何通过数学语言描述.
（一）奇函数、偶函数的定义
对于函数y=f(x),当自变量x取一对 相反数时，相应的两个函数值也是一对 相反数.这样的函数是奇函数
2
课本49页练习A 第1、2、3、4、5题
课本53页练习第8题
1 例2 研究函数y 2 的性质并作出它的图像. x
函数奇偶性的说明： （1）因此函数是奇函数或偶函 数的一个必不可少的条件是定 义域关于原点对称。
(2) 定义本身就是判断或证明函 数奇偶性的方法。
练习
（1）已知f(x)=x5+bx3+cx 且f(-2)=10，那么f(2)等于
性质
f(-x)= - f(x) 奇函数 图象关于原点对称
f(-x)=f(x)
偶函数 图象关于y轴对称
例1 判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x x x ;
3 5
(2) f ( x) x 1; (3) f ( x) x 1;
函数的奇偶性
函数的奇偶性一函数奇偶性知识点：1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2．奇偶函数图像的特征：定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数。
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数。
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数。
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数。
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数。
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.二，例题例1：已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)= 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论思维分析：根据函数单调性的定义，可以设x1<x2<0，进而判断：F(x1) －F(x2)= － = 符号解：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则－x1>－x2>0因为y=f(x)在(0，+∞]上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)<f(－x1)<0，①又因为f(x)是奇函数所以f(－x2)= －f(x2)，f(－x1)=f(x1)②由①②得f(x2)>f(x1)>0于是F(x1) －F(x2)= －例2：已知 是定义域为 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．解：设x<0，则－x>0且满足表达式f(x)=x|x －2|所以f(－x)= －x|－x －2|=－x|x+2|又f(x)是奇函数，有f(－x)= －f(x) 所以－f(x)= －x|x+2|所以f(x)=x|x+2| 故当x<0时F(x)表达式为f(x)=x|x+2|.x)= 在(－∞，0)上是减函数。
奇偶性的判断方法
奇偶性的判断方法
1、定义法。
用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。
首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。
其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。
2、用必要条件。
具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。
例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。
3、用对称性。
若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。
若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。
4、用函数运算。
如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数.简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。
函数的奇偶性教学设计-优秀
函数的奇偶性教学设计一．教材分析1 . 教材的地位与作用内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修1第一章第三节;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用;奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
2 . 学情分析已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。
尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定性也都还有待于提高；高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动机，能自觉配合教师完成教学内容。
二．目的分析教学目标知识与技能目标：……理解函数奇偶性的概念……能利用定义判断函数的奇偶性过程与方法目标：……培养学生的类比，观察,归纳能力……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法情感态度与价值观目标：……对数学研究的科学方法有进一步的感受……体验数学研究严谨性，感受数学对称美重点与难点重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断难点：函数奇偶性概念的探究与理解三．教法、学法教法借助多媒体和几何画板软件以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅的教学模式 遵循研究函数性质的三步曲学法根据自主性和差异性原则以促进学生发展为出发点着眼于知识的形成和发展着眼于学生的学习体验四．过程分析（一）情境导航、引入新课问题提出源于生活，那么我们现在正在学习的函数图象，是否也会具有对称的特性呢？是否也体现了图象对称的美感呢？ （二）构建概念、突破难点考察下列两个函数：(1) (2) 思考1:这两个函数的图象有何共同特征？思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(a)与f(-a)有什么关系？一般地，若函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当自变量x 任取定义域中的一对相反数时，对应的函数值相等。
函数的奇偶性证明
函数的奇偶性证明函数的奇偶性是指当函数f(x)在点x获得f(x)值时，如果用-x 代替x，f(-x)的值与f(x)的值可能相等，也可能完全不等。
如果f(-x)=f(x)，则此函数称之为奇函数，也称为偶函数。
二、为什么函数的奇偶性很重要函数的奇偶性被用来定义函数的性质以及函数的解析方法。
换言之，当被解析函数存在奇偶性，可以用来简化函数和解决相关问题。
具体来说，可以利用函数的奇偶性来简化经典函数的解析形式，从而获得解析解。
此外，函数的奇偶性还可用来证明函数的一致性律，如函数在原点处的导数连续性等。
三、函数的奇偶性及证明1、绝对值函数的奇偶性绝对值函数的定义是：如果x为实数，则绝对值函数的定义为|x|=x，如果x＜0，则|x|= -x。
可以根据绝对值函数的定义，了解它的奇偶性。
当x=0时，|x|=0，即绝对值函数在原点处为零；当x=a 时，|-a|=-a，即绝对值函数在-a处为a，他们的函数值相等，即此函数为奇函数，其表达式为f(-x)=f(x)，这表明绝对值函数是奇函数。
2、幂函数的奇偶性设x为实数，xn为x的幂，则可以指出，x-n为x的反幂。
例如，2-3=1/8，以及-2-3=-1/8，根据这一结果，可以证明x的幂函数的奇偶性。
因为当x>0（x<0）时，x-n>0（x-n<0），因此可以得出，x-n=|x-n|，利用绝对值函数的奇函数性质可以得出，当x>0，|x-n|=x-n，|-x-n|=-x-n，根据之前的结果，f(-x)=f(x)可得x的幂函数也是奇函数，其表达式为f(-x)=f(x)。
3、双曲函数的奇偶性双曲函数的定义是：当x＞1时，函数为正双曲线，当x＜-1时，函数为负双曲线。
可以将其表达式表示为y=sinhx或y=coshx。
由此可以推出，对于双曲函数的奇偶性也可以进行证明，即取x为实数，双曲函数满足f(-x)=f(x)，因此双曲函数也是奇函数。
四、总结以上，本文简要分析了函数的奇偶性，介绍了为什么函数的奇偶性很重要，并根据常见函数的特点介绍如何证明函数的奇偶性。
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函数的奇偶性第一部分：奇偶函数的定义在前面我们研究了函数的单调性，今天我们来继续学习函数的性质----奇偶性。
（板书：书写课题）我们知道，函数的单调性，是函数的局部性质，是指在函数的定义域内的一个子区间上，任取两个自变量，研究函数值随之改变的情况。
今天我们要要研究的性质是，在函数的定义域内，任取一对相反数x 和-x ，观察所对应函数值的是否具有一定的关联？ 我们来看两个我们非常熟悉的函数①f(x)=X 2②考察它们在自变量任取一对相反数x 和-x 时的函数值f(x)与f(-x).在研究函数时，我们首先要求函数的定义域，1） 的定义域为R ，满足自变量任取一对相反数x 和-x ，都在定义域内，有意义。
代入发现 f(-x) =X 2 与f(x)存在什么样的数量关系呢？（学生回答） 他们相等，即：f(-x)= f(x) ，我们就把具有这样特点的函数称为偶函数。
2） 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 满足自变量任取一对相反数x 和-x ，都在定义域内，有意义.带入发现，f(-x)=-1/x ， 与f(x)之间存在什么样的数量关系呢？（学生回答）他们也互为相反数，即f(-x)= -f(x)。
我们把具有这样特点的函数成为奇函数。
现在，请同学们根据这两个例子，自行给出偶函数和奇函数的定义：（学生回答，教师总结，并板书在黑板上）定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x,都有-x ∈D,且f(-x)= f(x) ，则这个函数叫做偶函数。
设函数y=f(x)的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x,都有-x ∈D,且f(-x)= -f(x) ，则)0(1)(≠=x x x f这个函数叫做奇函数。
对定义的解析：1.函数的奇偶性是要求对定义域内的任意自变量x而言，都具有的性质，所以，函数的奇偶性，是函数的整体性质。
2.我们要求x和-x都在定义域内，即函数的定义域在数轴上对应的区间应该关于原点对称（如图形象的表示，想电脑演示）函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。
3.检验f(-x)与f(x)的关系，从而判定它的奇偶性。
下面我们试着用奇偶函数的定义来判断下列给出函数的奇偶性例一：判断下列函数是否具有奇偶性①f(x)=x4②f(x)=x3+2x③ f(x)=x+1④ f(x) = 0解：①f(x)=x4定义域为R，当x∈R时，有-x∈R，∵f(-x)=（-x）4 = x4 = f(x) ∴f（x）是偶函数。
②f(x)=x3+2x 定义域为R，当x∈R时，有-x∈R，∵f(-x)= （-x）3+2（-x）=-（x3+2x）= -f(x)∴f（x）是偶函数。
③ f(x)=x+1定义域为R，当x∈R时，有-x∈R，∵f(-x)= -x+1，- f(x)=-x-1∴f（-x）≠- f(x)，f（-x）≠f(x)，∴f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数，又称为非奇非偶函数。
④ f(x) = 0的定义域为R ，当x∈R时，有-x∈R，∵ f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 = -f(x) ∴f(x)为既奇又偶函数。
由此，我们发现根据奇偶性, 函数可划分为四类，（板书：函数奇偶性的分类）1.奇函数2.偶函数3.非奇非偶函数4.既奇又偶函数例二：请大家观察下列函数，并判断他们的奇偶性。
①f(x)=x3+2x x∈(-5,5] ②f(x)=（x-3）1/x（x-3）(想说明的问题，判断奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称，而不是上来就计算f(-x)与f(x)的关系)第二部分：奇偶函数的图像与性质前面我们研究函数的单调性时，从函数的图像角度，我们也可以对函数的单调性进行判断（想用电脑给出函数单调性对应的那个图像变化趋势），那么，当函数是奇函数或是偶函数时，它的图像具有什么样的特点呢？我们还是先来观察偶函数f(x)=X2 的图像和奇函数y=1/x的图像（学生观察并回答：图像关于Y轴对称，图像关于原点对称）提出猜想：偶函数的图像关于y轴成轴对称图形；基函数图象关于原点对称下面我们来用数学语言证明任意偶函数y=f(x)的图像关于Y 轴对称。
我们怎么说明函数的图象关于y轴对称呢？（学生找不到方法时提示：只需说明图像上任意一点的关于Y轴的对称点也在函数的图像上即可）（找同学尝试证明，并以课件形式给出证明过程）具体如下：师:若在y=f(x)的图象上任取一点p(x，f(x))，那么点p(x，f(x))关于y轴的对称点是什么？生：p'(-x，f(x))．师：利用偶函数的条件f(-x)=f(x)，点p'(-x，f(x))还可以写成另一种形式吗？生：可以．由于f(x)=f(-x)，所以p'还可以写为p'(-x，f(-x))．师：点p'(-x，f(-x))与f(x)的图象的位置关系如何？生：点p'(-x，f(-x))恰是f(x)的图象上的点．师：这就是说，函数f(x)图象上任意一点p(x，f(x))关于y轴的对称点(-x，f(x))都在f(x)的图象上,说明了函数图像关于y轴对称。
提出问题：若函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形，它是否是一个偶函数呢？（根据定义证明，一。
定义域二。
f(-x)= f(x)具体过程：师：由图像的对称性，定义域关于原点对称。
我们图像上任取一对关于y轴对称的点，p(x，f(x)) 和p'(-x，f(x))， p'在函数图像上，那么它的坐标带入函数解析式成立吗？生：成立师：当自变量取-x时，带入解析式，相应的函数值应表示为f（-x），那么，点p'的坐标还可以写为什么形式呢？生：p'（-x，f（-x））师：由此得到什么结论呢？生：f(-x)= f(x)师：由此，我们证明了函数的图像关于y轴对称时，它是一个偶函数。
综上。
我们得到（想法是电脑演示，不体现在黑板上，不知道是否可以）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数。
请同学仿照刚才的方法证明任意奇函数y=f(x)的图像关于原点对称,书写详细的证明过程（给学生时间在学案上作答，并找学生说说他的证法，适当纠正）（学生说明时，用电脑配合学生的证明过程）反之，我们能否说明一个函数的图像关于原点对称，则这个函数是奇函数呢？学生尝试（我的想法，学生作答，不在重复老师带领的过程，即如下过程想由学生自行完成（师：由图像的对称性，定义域关于原点对称。
我们图像上任取一对关于原点对称的点，p(x，f(x)) 和p'(-x，-f(x))， p'在函数图像上，那么它的坐标带入函数解析式成立吗？生：成立师：当自变量取-x时，带入解析式，相应的函数值应表示为f（-x），那么，点p'的坐标还可以写为什么形式呢？生：p'（-x，f（-x））师：由此得到什么结论呢？生：f(-x)=- f(x)师：由此，我们证明了函数的图像关于原点对称时，它是一个偶函数。
）综上。
我们得到（想法是电脑演示，不体现在黑板上，不知道是否可以）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
以上结论告诉我们：1.判断一个函数是奇函数或是偶函数时，除了运用定义法之外，还可以借助图像的特点进行判断。
2.对于奇函数或是偶函数的研究，可由取自变量取正值时(或取负值时)的图象和性质，来推断它在整个定义域内的图象和性质．下面我们来做个2个练习：例一：观察下列函数图像，判断它们的奇偶性。
例四：例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在y轴左边的图象，并求f（-4）具体操作：师：针对某些同学作图时比较随意的情况，强调作图时应注意几点．（1）在y轴右边的图象上取几个点，如A1、A2、A3、A4、A5(这些点一般应该包括图象曲线的最低、最高点等“关键”点)(2)画出这些点关于y轴的对称点．如点A1、A2、A3、A4、A5的对称点分别为A1'、A2'、A3'、A4'、A5'，(3)用一条平滑曲线把对称点连结起来，例如用平滑曲线连结点A1'、A2'、A3'、A4'、A5'后，就得到f(x)在y轴左边的图象．利用函数的奇偶性，我们能不能求函数的解析式呢？让我们来看这样一道例题：例5：设f(x)为奇函数，且x＜0时，f(x)=x2+3．求当x＞0时，f(x)的表达式．师：(让学生思考若干时间，找学生回答．)设x＞0，则-x＜0．∵f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3]=-x2-3，即当x＞0时f(x)=-x2-3．总结:解答此时要注意几个问题：(i)求哪一个区域上的表达式，就应在这一区域上求自变量x(如＞0，则-x＜0)．(ii)利用f(x)=-f(-x)求得表达式f(x)即为所求，因为这时x已设x＞0．若学生出现从已知函数表达式的区域x＜0上去取自变量x的话，告诉学生这会给解答带来许多麻烦，应当回避这种做法．若有时间：进行练习：本节课的思考：函数的单调性和奇偶性之间具有怎么样的联系呢？例如：1）已知函数f(x)是偶函数，且在(∞，0)上是增函数，f(x)在(0，+∞)上是增函数还是减函数？2）已知函数f(x)是奇函数，且在(∞，0)上是增函数，f(x)在(0，+∞)上是增函数还是减函数？小结：1.两个定义: 对于f(x)定义域D内的任意一个x ,都有-x∈D如果都有f(-x)=-f(x) ,则f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)= f(x) ，则f(x)为偶函数。
2.两个性质:一个函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称。
一个函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称。