第五章 电磁波辐射

第五章 电磁波辐射

一、选择

1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是

A ． 2

10A c t ϕ∂∇⋅-=∂ B. 210A c t

ϕ

∂∇⋅+=∂ C. 22210A c t ϕ∂∇⋅+=∂ D. 22

2210A c t

ϕ∂∇+=∂

答案：B

2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生

A ．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C

3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是 A ．电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B ．电磁场在传播时需要介质；

C ．场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；

D ．场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 答案：B

4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是 A ．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B

5.严格的讲,电偶极辐射场的

A ．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B

6.对电偶极子辐射的能流,若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是

A. 2πθ=;

B. 4πθ=;

C. 6

π

θ= D. πθ,0=

答案：D

7.电偶极辐射场的平均功率

A ．正比于场点到偶极子距离的平方 B.反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C

8. 关于电偶极辐射的说法中错误的是

A ．电场和磁场方向互相垂直 B. 电场和磁场相位相同 C. 辐射总功率和频率的平方成正比 D. 辐射具有方向性 答案：C

二、填空

1.变化电磁场的场量E 和B 与势（A 、ϕ）的关系是E

= ，B

= 。

答案： t

A

E ∂∂--∇=

φ ,A B ⨯∇=

2. 势的规范变换为='A ，='φ 。

答案：ψ∇+='A A ，t

∂∂-='ψ

φφ

3. 洛仑兹规范辅助条件是 ；在此规范下，真空中迅变电磁场的势ϕ满足的微分方程是 .

答案： 012

=∂∂+⋅∇t c A φ ，02222

1ερφφ-=∂∂-∇t

c ， 4. 真空中电荷只有做 运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅0P 不变，当辐射频率有由ω时变为3ω，则偶极辐射总功率由原来的0P 变为 。

答案：加速，81P 0

5. 一均匀带电圆环, 半径为R,电荷线密度为λ,绕圆环的轴线以角速度ω匀速转动,它产生的辐射场的电场强度为 . 答案： 零

6.真空中某处有点电荷t i e q q ω-=0那么决定离场源r 处t 时刻的电磁场的电荷电量等于 . 答案： )

(0),(c

r

t i e

q t r q --=ω

7.已知自由空间中电磁场矢势为A ，波矢为K

，则电磁场的标势等于φ

答案：A K c

⋅=ω

φ2,

8.真空中电荷）（t Q 距场点m 6109⨯,则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在 秒时刻激发的. 答案： 0.17s

9.短天线的辐射能力是由 来表征的,它正比于 。

答案：辐射电阻, 2()l

λ

10.电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有 .

答案： 辐射压力

三、解答及证明

1. 若φ,A 是满足洛伦兹规范的电磁势，证明当ψ满足012222

=∂∂-∇t

c ψψ，那么新

的矢势和标势t

A A ∂∂-='∇+='ψφφψ， 仍然满足洛伦兹规范。

证明:电磁势φ，A

满足洛伦兹规范

012=∂∂+⋅∇t

c A φ (1)

作规范变换 t

A A ∂∂-='∇+='ψ

φφψ，

则 2222

22

111t

c t c A t c A ∂∂-∇+∂∂-⋅∇=∂'∂+'⋅∇ψψφφ (2) 将(1)代入(2),可看出只要ψ满足

012222

=∂∂-∇t

c ψ

ψ

则φ''，A

满足洛伦兹规范条件: 012

=∂'∂+'⋅∇t

c A φ 2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若ρ=0，J ＝0，则E 和B

可

完全由矢势A 决定．若取ϕ＝0，这时A

满足哪两个方程?

证明 （1）若0ρ=，0J =

，对线性各向同性均匀非导电介质中的单色波麦克斯韦方程组为

B

E t ∂∇⨯=-∂

①

E

B t

με∂∇⨯=-∂

②

0E ∇⋅=

③ 0B ∇⋅=

④

将

B A =∇⨯ ,A E t

ϕ∂=-∇-∂

代入场方程①～④中，并选择洛伦兹规范

0A t

ϕμε∂∇⋅+=∂ ⑤ 得

2222

220,0A A t t

ϕμεϕμε∂∂∇⋅-=∇-=∂∂ ⑥

对单色波

(,)()i t A x t A x e ω-= ,(,)()i t x t x e ωϕϕ-=

⑦

代入⑤式中,得

i

A ϕμεω

=-

∇⋅

⑧

于是

1()A E A B A t

μεω∂=∇∇⋅- =∇⨯∂

⑨

可见在线性均匀非导电介质中，当0ρ=，0J = 时，E 、B 完全由矢势A

决定．

（2）若取0ϕ=，由⑤⑥两式变为

22200A

A t A με⎫∂∇⋅-=⎪

∂⎬⎪∇⋅=⎭

⑩

上式便是此时A

满足得方程．

3. 证明沿z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势()A ωτ

表示，其中/t z c τ=-，A

垂直于z 轴方向．

解题思路 由于A E t ϕ∂=-∇∂

,B A =∇⨯

，再考虑沿z 方向传播的电磁波矢

势A 解析表达式，找出于ϕ与A

的关系便可证明．

证明: 利用上题中得到的自由空间矢势的方程

222210A

A c t ∂∇-=∂ ①

解得平面波解为

()0i k

x t A A e ω⋅-= ②

由于平面波沿z 轴方向传播，故z K ke =

，则②式可写为