高中数学函数定义域,值域

函数概念及性质

教学过程：

一、学习目标：

1.了解构成函数的要素，会求简单函数以及复合函数的定义域和值域；了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.

二、自我梳理：

1.函数与映射的概念

函数映射

两集合

A，B

设A，B是两个非空____ 设A，B是两个非空____

对应关系f：A→B

如果按照某种确定的对

应关系f，使对于集合A中的

____一个____，在集合B中

____________的____和它对应

如果按某一个确定的对

应关系f，使对于集合A中的

____一个______在集合B中

__________的______与之对应

名称

称________为从集合A

到集合B的一个函数

称对应______为从集合A

到集合B的一个映射

记法y＝f(x)，(x∈A，y∈B)

对应f：A→B是一个映射

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域．

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：__________、__________和__________．

3．函数的表示方法

表示函数的常用方法有__________、__________和__________．

4．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

教学过程：

三、基础自测

1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )．

A．f：x→y＝1

2

x B．f：x→y＝

1

3

x

C．f：x→y＝2

3

x D．f：x→y＝x 3x，x≤1.

2．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x等于( )．

-x，x＞1.

A．log32 B．－2 C．log32或－2 D．2

3.下列各函数中，表示同一个函数的是( )．

A．f(x)＝lg x2，g(x)＝2lg x

B．f(x)＝lg x＋1

x－1

，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)

C．f(u)＝1＋u

1－u

，g(v)＝

1＋v

1－v

D．f(x)＝x，g(x)＝2x

四、探究突破

1、求简单函数的定义域.

高中范围内涉及的内容有：（1）开偶次方时，被开方数为非负数；（2）分式中的分母不等于0；（3）对数的真数大于0；（4）指数对数的底数大于0且不等于1.

2、求复合函数的定义域。

（1）复合函数：如果y是u的函数，也就是y=f(u)；如果u是x的函数，那么u=g(x)，那么y=f(g(x))，这类函数我们称为复合函数。

（2）求复合函数的三种类型：（1）已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域。（2）已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域。（3）已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))

注：解决此类题目的关键就是因为受同一法则的约束，所以（）内的范围是一致的。

2、求函数值域的基本方法.

（

1）列举法。根据函数的定义域将对应关系一一求出来写成集合的形式。适用条件：只适用于值域中元素有限或者虽然无限但却是与自然数有关的集合。

（2）配方法。将二次函数进行配方，从而快速得到值域。适用条件：适用于二次函数或者能转化为二次函数

的复合函数。 （3）反函数法。求函数的反函数，得到新函数的定义域就是原函数的值域。使用条件：适用于分式中分子分母上都包含一次函数的函数。

（4）换元法。将函数中复杂的式子进行换元处理。适用条件：形如d cx b ax y +++=(a,b,c,d ，为常数

)

（5）分离常数法。形如：)0(≠

++=a b

ax d

cx y 的函数，这种类型经常适用。 （6）有界性法。通过固定函数的有限性进行值域的求解。形如)(sin y f =α，)(2y g x =，)(y h a x =等形

式可解除y 的范围，从而求出函数的值域。 （7）数形结合法。若函数的解析式具有明显的几何意义，比如说距离、斜率等，可用数形结合的方法。 （8）基本不等式的方法。利用基本不等式33,2abc c b a ab b a ≥++≥+，要注意条件：“一正，二定，三相等” （9）利用函数的单调性。

（10）利用导数法。利用函数的导数求出最值，从而确定值域。

（11）倒数法。遇到分式不好求值域时，可以尝试倒数法。

3、函数解析式的求法.

1．凑配法：由已知条件))((x g f ＝)(x F ，可将)(x F 改写成关于)(x g 的表达式，然后以x 替代)(x g ，

便得)(x f 的表达式； 2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； 3．换元法：已知复合函数))((x g f 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

教学过程： .

4、方程思想：已知关于)(x f 与)

1(x f 或)(x f -的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出)(x f ． 提醒：因为函数的解析式相同、定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误． 五、例题巩固。 1、求复合函数的定义域。 (1))(x f 的定为义域[0,2] ,求)(2

x f 的定义域。 (2))12(-x f 的定为义域(-1,5] ,求)(x f 的定义域。

(3))52(x f -的定为义域[-57,1) ,求)(x f 的定义域。

(4))(log 3x f 的定为义域[3,9],求)2(1

-x f 得定义域。

(5) )12(-x f 的定为义域(-1,5] ,求)52(x f -的定义域。

2、求以下函数的值域。

(1)542

+-=x x y (2)12222+++-=x x x x y (3)12+=

x x y (4)x x y 212-+=

(5)11+-=x x e e y (6)2

2)8()2(-+-=x x y (7)x x y 2

2+= (8)

32++=x x y

六、高考演练 1．函数241ln 1)(x x x f -+-=的定义域为( )．（2012年山东高考） A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2] D ．(－1,2]

2．已知函数)01()(≠+=a a b a x f x 且＞

定义域和值域都是[-1,0],则b a +=_______(2015年山东高考)

3．已知⎩⎨⎧≥-=.12.1,13)(x x x x f x ，＜满足

)

(2))((a f a f f =)的a 的取值范围。(2015年山东高考)