椭圆焦半径公式的一种变式与应用

椭圆焦半径公式的一种变式与应用

玉宏图

在圆锥曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。为此，本文以椭圆为例研究它的一种变式。

一、椭圆焦半径公式

P 是椭圆x a y b

222

2+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离心率，则（1）||PE a ex P =+，

（2）||PF a ex P =-。 P 是椭圆y a x b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。

以上结论由椭圆的第二定义及第一定义易得。

二、椭圆焦半径公式的变式

P 是椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2

α

；（2）||cos PF b a c =+2β。 P 是椭圆y a x b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（3）||sin PE b a c =+2

α

；（4）||sin PF b a c =-2β。 证明：（1）设P 在x 轴上的射影为Q ，当α不大于90°时，在三角形PEQ 中，有 cos ||||||

α==+PQ PE x c PE P 由椭圆焦半径公式（1）得

||PE a ex P =+。

消去x P 后，化简即得（1）||cos PE b a c =-2

α

。 而当α大于90°时，在三角形PEQ 中，有

cos()||||||

πα-==--PQ PE c x PE P

⇒=+cos ||

αx c PE P ， 以下与上述相同。

（2）、（3）、（4）的证明与（1）相仿，从略。

三、变式的应用

对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。

例1. （2005年全国高考题）P 是椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是左右焦点，过P 作x 轴的垂线恰好通过焦点F ，若三角形PEF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是___________。

解：因为PF ⊥EF ，所以由（2）式得

||cos PF b a c b a

=+=22

90°。 再由题意得||||EF PF c b a

a c ac c ac a e =⇒=⇒-=⇒+-=⇒22202

22222＋ 210e -=。 注意到0121<<=

-e e 解得。

例2. （见高中数学课本第二册（上）133页复习参考题八B 组第3题）P 是椭圆x y 22

10064

1+=上且位于x 轴上方的一点，E ，F 是左右焦点，直线PF 的斜率为-43，求三角形PEF 的面积。

解：设PF 的倾斜角为β，则：

tan cos sin βββ=-=-=4317437

，，。 因为a ＝10，b ＝8，c ＝6，由变式（2）得

||()PF =+-=81061772

×

所以三角形PEF 的面积

S PF EF ===12

12726437

243

||||sin β××××

例3. （2003年希望杯赛题）经过椭圆x a y b

a b 222

210+=>>()的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B 两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。

解：由题意及变式（2）得

b a

c b a 22

60260180-=-+cos cos()

°×°° 化简得2123223

a c a c c a e c a -=+

⇒=⇒==。 例 4. （2005年全国高考题）设F 是椭圆x y 2

2

21+=的上焦点，PF FQ →→与共线，MF FN →→与共线，且PF MF →→·＝0。求四边形PMQN 面积的最大值和最小值。 解：设PF 倾斜角为α，则由题意知PF ⊥MF ，所以MF 倾斜角为90°＋α，而a b c ===211，，，由题意及（3）式得

||||||

sin sin()

sin PQ PF FQ =+=-+-+=-121218022

22ααα

° 同理得||cos MN =

-2222α。由题意知四边形PMQN 面积 S PQ MN =12

|||| =

--=+=+=+=-122222224216841682321742222222··sin cos sin cos sin cos sin cos αα

αααα

αα

所以当cos41α=时，S max =-=321712；当cos41α=-时，S min ()=--32171＝ 169

。