电磁学第四章

第四章 稳恒电流和稳恒电场

重点

自由电荷宏观定向运动——电流

稳恒电流: 不随时间变化的电流

稳恒电场: 对应稳恒电流的电场

本章主要讨论导体中的电流

§1电流场.稳恒电流

1. 电流密度矢量j

1. 电流场

自由电荷流动—电流场

形成电流的运动电荷—载流子

电流场的矢量—电流密度矢量j

2. j 的宏观定义

j 方向: 正电荷定向运动方向 j=⊥S I

d d

电流线(j 线): 电流场的场线.

3. j 的微观定义

若电荷都以v 运动 j =nq v=ρv

4. j 的微观定义与宏观定义的联系

(1) 同一种载流子

j =∑ j i =ρv =v ρ

(2) 多种载流子

j i = n i q i v i

j =∑ j i =∑ n i q i v i

2. j 的通量—电流强度I

d S 上的通量

dI=j ⋅d S =dq/dt

曲面S 上的通量

I=⎰S j ⋅d S =dq/dt

I 为单位时间通过S 面的电量 3. 电流场连续性方程——电荷守恒定律的数学表达

∮j ⋅d S = -t

q d d ——电流连续性方程(通量定理)

电流场有源; j 线发自正电荷减少处, 终于正电荷增加处 微分关系:

∇⋅j = -t

∂∂ρ 4. 稳恒电流和稳恒条件

稳恒电流场: t

∂∂j =0 j =j (r ) 稳恒条件: ∮j ⋅d S =0 ∇⋅j =0

则 t

∂∂ρ=0 ρ=ρ(r ) 推论：

(1)稳恒电流场j 线闭合.

(2) 稳恒电流场内同一电流管内各截面上的j 通量I 相同

5. 电源和电动势—稳恒电流的实现

实现稳恒电流必须有非静电力F k ∝ q

电源—产生非静电力的装置

非静电力场强 E K =F K /q

E 总=E +E K 电源电动势

ε= ⎰-+ E K ⋅d l = j

⎰E K ⋅d l (沿j 积分) ε标量; ε 常数与电流无关;

对电荷q, 电源做功

W k =⎰+-F K ⋅d l =⎰+-q E K ⋅d l =q ε §2 稳恒电流场与稳恒电场

1. 欧姆定律——电流与电场的关系

1. 不含源电路欧姆定律(实验定律)

I=G(U a -U b )=(U a -U b )/R

j=σe E

满足欧姆定律的元件——线性元件

R=⎰ ρd l /S ⊥=⎰ d l /σe S ⊥

纯金属 ρ(t)=ρ0(1+αt) α ≈ 0.004

金属 半导体 绝缘体

ρ(Ω⋅m) 10-6—10-8 10-5—10 6 10 8—10 18

2. 含源电路欧姆定律

电源

j=σe (E + E K )

(1)电源端电压

∆U=U +-U - =ε-Ir

沿ε方向通过电源则电位升的大小为ε, 同时有电位降Ir

(2) 全电路欧姆定律

∮(E+E K )⋅d l =ε=(∮j ⋅d l )/σ e =I (R+r)

ε=I(R+r) I = ε/(R+r)

2.金属导电的经典微观解释

1. 欧姆定律微分形式

电子平均自由程λ, 平均碰撞间隔时间τ, 热运动平均速率u (~105m/s) . λ= u τ

金属中电场E .

v f =a τ v ≡v =v f /2=a τ/2

j =nq v =m

nq 22τE =σe E ——欧姆定律微分形式

定性正确、定量不对

2. 焦耳定律微分形式

热功率密度

p=nw/τ =j ⋅E =σe E 2

——焦耳定律微分形式

P=⎰ pdV=I 2 (R+r)

3. 稳恒电场和电流场

导体内电场很小

1. 基本性质(方程) (q=q 总)

∮E ⋅d S =q/ε0 ∮E ⋅d l =0

∮σe E ⋅d S =0 ∮D ⋅d S =q 0

j =σe E

∂ρ/∂t=0 ∂E /∂t=0

2. 边界条件

E t1=E t2 j n1=j n2

3. 导体内外电场 导线内: E 内=j /σe

导线表面

E 内n =0

E 外n =σ/ε0

E 外t =j/σe

特点:

E 内// j //导线; E 外不垂直于表面; 导体外表面≠等位面; 导体非等位体;

4. 导体上的电荷分布

f

均匀导体内

ρ=0 (ρ0=0 , ρ’=0)

不同导体的交界面有面电荷σ、σ’、σ0

电源两极上有电荷, 形成E电源内

导线表面有分布电荷

5. 稳恒电场的作用

保持稳恒电流

内电路(电源) 与E K抗衡达到稳定

外电路克服阻力流动

提供能量转化的条件

4. 稳恒电路中能量转换

电流的功与功率:

外电路P=IV W=Pt=IVt

电源Pε=IεWε=Iε t

Iε =IV+ I2r

稳恒电场参与能量转换

§3 基尔霍夫方程组

计算复杂的具有分支的电路

一个支路: 该电路中每个元件串联

一个节点: 三个或更多支路交汇处

1. 基尔霍夫第一定律

流入同一节点的电流的代数和为零

∑ I i = 0

2. 基尔霍夫第二定律

1 电位关系与基尔霍夫第二定律

电源: 沿ε方向电位升ε; 逆ε方向电位降ε

电阻: 沿电流电位降IR ; 逆电流电位升IR

例: 求B→A电位升

∆U=U A -U B

=ε1+ε2-ε3+I1(r1+R1)-I2

基尔霍夫第二定律:

±∑ε i ±∑IiRj =0

“±”规则: 按回路方向, 电位升取“+”、电位降取“-”

2. 推广的欧姆定律与基尔霍夫第二定律

j/σe=E+E K两边∮d l⇒基尔霍夫第二定律:

±∑εi =±∑ I i R j

“±”规则: 回路方向与ε ( I )相同取“+”;

回路方向与ε( I )相反取“-”

3 基尔霍夫方程组I2 3