电磁学第四章答案全

第四章 习题

2、平行板电容器（面积为S,间距为d ）中间两层的厚度各为d 1和d 2（d 1+d 2=d ），介电常数各为1ε和2ε的电介质。试求：

（1）电容C ；（2）当金属板上带电密度为0σ±时，两层介质的分界面上的极化电荷密度'σ；（3）极板间电势差U;（4）两层介质中的电位移D ； 解：（1）这个电容器可看成是厚度为d 1和d 2的两个电容器的串联：

1

2210212121d d S

C C C C C εεεεε+=+=

（2）分界处第一层介质的极化电荷面密度（设与d 1接触的金属板带正电）

1

111011111εσεεεσ)(E )(P '-=

-=-=⋅=

分界处第二层介质的极化电荷面密度：

21

222022211εσεεεσ)(E )(P n P '--

=--=-=⋅=

所以， 2

10

21211

εεσεεσσσ+-=+=)('

''

若与d 1接触的金属板带负电，则2

10

21211

εεσεεσσσ+--=+=)('''

（3）2

10

122

1202010102211εεσεεεεσεεσ)d d (d d d E d E U +=+=

+= （4）01101σεε==E D ，02202σεε==E D

4、平行板电容器两极板相距3.Ocm ，其间放有一层02.=ε的介电质，位置与厚度如图所示，已知极板上面电荷密度为21101098m /c .-⨯=σ，略去边缘效应，求: (1)极板间各处的P 、E 和D 的值;

(2)极板间各处的电势(设正极板处00=U ); (3)画出E-x ，D-x ，U-x 曲线;

解：（1）由高斯定理利用对称性，可给出二极板内：

2111098m /c .D e -⨯==σ（各区域均相同），

在0与1之间01==P ,r ε，m /V D

E 20

101⨯==

ε

在1与2之间210000010454112m /c .D

)

(E )(P ,r r r -⨯=-=-==εεεεεεε，m /V D E r

500==εε 在2与3之间，01==P ,r ε，m /V D

E 20

101⨯==ε

（2）0=A V ：

0-1区：,x dx E V x

D 100=⋅=⎰

1-2区：),x x (dx E V x

x 1501

-=⋅=⎰)x x x ,.x x )x x (V 2111505010050≤≤+=+-=

2-3区：),x x (dx E V x

x 2100021

-==⎰∆

)

x x x (,.x ).x (,x x x x x )x x (V 3212221501000050100505010010010050≤≤-=-=+-=-++=

题4图

6、一平行板电容器两极板相距为d,其间充满了两种介质，介电常数为1ε的介质所占的面积为S 1, 介电常数为2ε的介质所占的面积为S 2。略去边缘效应，求电容C 。

解：电容C 等效为两个电容器的并联：

d

)

S S (d S d S C C C 2211020210121εεεεεεε+=+=+=

9、在半径为R 的金属球之外有一层半径为'R 的均匀电介质层，设电介质的介电常数为ε，金属球带电荷云为Q ，求：

(l)介质层内、外的场强分布： (2)介质层内、外的电势分布；

(3)金属球的电势。

解：（1）当R r <时，0=E ，当'R r R <<时，2

00

4r Q E E πεεε

=

=

当'R r >时，2

04r Q E πε=

（2）介质层内的电势：

)R r (Q

dr r

Q dr r

Q d E U 'R R r

r '

'

1

144402

02

0-+=+==⎰⎰

⎰∞

∞

επεεπεπεε内 （3）金属球的电势：

)R

R (

Q dr r

Q dr r

Q r d E U 'R R R

R '

'

1

14440

2

02

0-+=+=⋅=⎰⎰

⎰∞

∞

επεεπεπεε电势 12、球形电容器由半径为1R 的导体球和与它同心的导体球壳构成,壳的内半径为

2R ，其间有两层均匀电介质，分界面的半径为r ，介电常数分别为1ε和2ε（见图

4-27）。

（1）求电容C ；

（2）当内球带电Q -时，求各介质表面上极化电荷的面密度e 'σ。 解：（1）设导体球和导体球壳分别带电Q ±，则它们之间的电势差

2

10212111222

022

01124442

1

2

R R r )]

r R (R )R r (R [Q dr r

Q dr r

Q r d E U R r

r

R R R 1εεπεεεεπεεπε-+-=+=⋅=⎰⎰

⎰所以

)

r R (R )R r (R R rR U Q C -+-==

2111222

1021124εεεεπε (2)第一层介质的内表面上束缚电荷面密度

2

1112

1010

110114141R Q

)(R Q )(E )R (e e πεεεπεεεεχσ-=

-==

介质分界面上束缚电荷面密度

2

211222122214441r

Q

)(r Q )(r Q )()r ('τπτττπτττπττσ-=-+--

=

第二层介质的外表面上束缚电荷面密度

2

2

22212241R )

(Q E )R (e 'e πεεχσ--

-=

14、圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的导体圆筒构成的，圆筒的内半径为R 2，其间充满介电常数为ε的均匀介质（见图4-29）。设沿轴线单位长