立体几何空间角的求法

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空间角的求解（１）

班级： _________ 姓名： ____________ 小 组：___________ 评价：___________ 【考纲解读】

通过平移平行直线中的一条或两条，作出它们所成的角，通过解三角形确定角的大小。理解直线与平面所成角的定义，并能以几何体为载体按找、作、证、求得逻辑顺序求角。理解二面角及其平面角的定义，并能以几何体为载体按找、作、证、求得逻辑顺序求角 【课堂六环节】

一、导——教师导入新课。（7分钟）

（一）异面直线所成的角：

定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上。范围：]2

,

0(π

求异面直线所成的角的方法：

法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；

法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求

法３．向量法： CD

AB CD AB →

→=

.cos θ

（二）直线和平面所成的角

1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角，范围：[0，

2

π] ２.求线面角的一般步骤：

（1）经过斜线上一点作面的垂线，找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角

（２）向量法：设直线a 与平面α所成角为θ，直线a 的方向向量与面α的法向量分别是

n m ,, 则>

m n m n m ⋅=

><=,cos sin θ

（三）二面角

b ′O

b

a n

m

1.二面角的平面角：

（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角范围是[0,180]； 二面角的平面角的特点：

1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱。

２利用法向量求解：设1n 是平面α的法向量，2n 是平面β的法向量．

①两个平面的二面角如图1所示的示意图，则1n 与2n 之间的夹角就是欲求的二面角； ②若两个平面的二面角如图2所示的示意图，设1n 与2n 之间的夹角为θ．则两个平面的二面角为πθ-．

（图1） （图2）

用法向量求二面角时，首先必须判断二面角是锐角还是钝角。 由余弦定理求出：|

|||cos ,cos 212121n n n n n n ••=

>=<θ。

二、思——自主学习。学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。（15分钟） 考点一 异面直线所成的角

例1．在正三棱锥S －ABC 中，E 为SA 的中点，F 为△ABC 的中心，SA =BC =2，则异面直线

EF 与AB 所成的角是 ( )

(A)30°

(B) 45°

(C) 60°

(D) 90°

分析：设M 是SB 的中点，连结EM ，则EM ∥AB ．∠MEF 是异面直线EF 与AB 所成的角．连A F 和MF ，由于F 是△ABC 的中心，故SF 是正三棱锥S －ABC 的高．在Rt △SAF 中，E 是斜边SA 的中点，因此12

1

==SA EF ，同理FM =1， 又12

1

21===BC AB EM ，故△EFM 是等边三角形，∠MEF =60°．

例2、如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB =BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；

解法一：(I) ∵PC ⊥平面ABC ，⊂A B 平面ABC ，

∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，⊂A B 平面PAB ，∴CD ⊥AB ．又C CD PC = ， ∴AB ⊥平面PCB ． (II) 过点A 作AF//BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF ．

则 PAF ∠为异面直线PA 与BC 所成的角．

由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF ．由三垂线定理，得PF ⊥AF ． 则AF=CF=2，PF=6 CF PC 2

2=+，

在PFA Rt ∆中， tan ∠PAF=

26

AF PF =

=3， ∴异面直线PA 与BC 所成的角为3

π

．

例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90

底面

ABCD ，且1

2

PA AD DC ===

，1AB =，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间

直角坐标系，则各点坐标为

1

(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2

A B C D P M

（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故

由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD

（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC

.

510

|

|||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PB

AC PB AC PB AC PB AC 所以故

考点二 直线和平面所成角

例4．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是菱形，四边形B CC 1B 1是矩形，CB ⊥AB ，且AB =4，BC =3，∠ABB 1=60°．求AC 1与平面BCC 1所成角的正弦．

解：∵ 四边形BCC 1B 1是矩形，即BC ⊥B 1B ．

A

B

C

D P E

F