函数的概念和性质

函数的基本概念

问题1 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：

观察上表，说说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的．解： 随着存期x的增长，相应的年利率y也随着增长．

问题2 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：

观察上表回答：

(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?

(2)波长l越大，频率f 就________．

解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即

或者说 ．

(2)波长i越大，频率f就　越小　．

问题3 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________．

利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表：

由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________．

解 S＝πr2．

圆的半径越大，它的面积就越大．

总结：例如问题3中，面积s随着半径r的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)．

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函

数(function)．表示函数关系的方法通常有三种：

(1)解析法，如问题2中的，问题3中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关系式．

(2)列表法，如问题1中的利率表，问题2中的波长与频率关系表．

(3)图象法，气温曲线．

问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题2中的300 000，问题3中的π等．

例1写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：

(1)圆的周长C与半径r的关系式；

(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；

(3)n边形的内角和S与边数n的关系式．

解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量；

(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量；

(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量．

小结：

1.函数概念包含：

(1)两个变量；

(2)两个变量之间的对应关系．

2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x和y， 对 于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量．

函数自变量取值范围

问题4 试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．

解: y与x的函数关系式：y＝180－2x．

因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°．

上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：

s＝60t， S＝πR2．

小结：在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是R＞0．

例2 求下列函数中自变量x的取值范围：

(1) y＝3x－1； (2) y＝2x2＋7； (3)； (4)．

解：分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，(2)中，x取任 意 实数，3x－1与2x2＋7都有意义；而在(3)中，x＝－2时，没有意义；在(4)中，x＜2时，没有意义．

解 (1)x取值范围是任意实数；

(2)x取值范围是任意实数；

(3)x的取值范围是x≠－2；

(4)x的取值范围是x≥2．

例3 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：

(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y(元)关于用电度数x的函数关系式；

(2)已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x(cm)，求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式；

(3)在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环．设圆环的面积为S(cm2)，求S关于r的函数关系式．解 (1) y＝0.50x，x可取任意正数；

(2)，x可取任意正数；

(3)S＝100π－πr2，r的取值范围是0＜r＜10．

例4 函数的自变量的取值范围是 ；

边形的内角和

，其中自变量

的取值范围是

函数值

如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值。

如：对于函数 y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数y的值是

y＝5×(30－5)＝5×25＝125．125叫做这个函数当x＝5时的函数值．

例5：已知函数f (x) = +，

（1）求函数的定义域；

（2）求f（－3），f ()的值；

（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.

*例6：下列函数中哪个与函数y=x相等？（了解）

（1）y = ()2 ; （2）y = ();

（3）y =; （4）y=.

解： 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

故选（2）

*例7：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1

② f ( x ) = x； g ( x ) =

③ f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2

④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) =

解：（1）不是，定义域不一样（2）不是，值域（3）不是，对应关系（4）是

例8：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数