第十一章动量矩定理_东南大学_理论力学课件

R sinθ = ϕ l
z C´ A´ FT FT C O B´ 分析圆盘受力
cosθ ≈ 1
W 3FT cosθ = W , FT ≈ T T 3
设F’T 为FT 在圆盘周边切 线方向上的分量：
θ
FT B
ϕ
A W
WR FT′ = FT sinθ = ϕ T T 3l
WR FT′ = ϕ T 3l
m1 g
解： （2）由质心运动定理
FN − ( m + m1 + m2 ) g = ( m + m1 + m2 )aCy
∑ mi yi aCy = yC = ∑ mi − m1a1 + m2 a2 = m + m1 + m2 =
O
α
FN
mg
ω
α ( − m1r1 + m2 r2 )
m + m1 + m2
倾角θ的固定斜面上，从静止 开始向下作无滑动的滚动。 θ FN 求：1、圆轮滚动到任意位置 时，质心的加速度； 2、圆轮在斜面上不发生滑动所需要的最小 摩擦因数。 解：分析圆轮的受力和运动
z C´ A´ FT FT C O B´
应用刚体绕定轴转动的动量 矩定理：
d ( J ZZϕ )＝− 3FTT′R dt
2 R 2W ϕ =0 J zzϕ + l
→ϕ + ω 22ϕ = 0
θ
FT B
2π ω = 2π f = T
2π lJ zz →T = R W
ϕ
A W
R 22T 22W ∴ J zz = 2 4 π 2l
或
J zϕ = ∑ M z ( F )
例11-2 物理摆（复摆），已知 m , J O , a 。 求: 微小摆动的周期。
d 2ϕ 解： J O 2 = −mga sin ϕ dt
微小摆动时，
2
sin ϕ ≈ ϕ
dϕ J O 2 = − mgaϕ dt
d 2ϕ mga ϕ =0 即： 2 + dt JO
FT2 = m 2 ( g + r2α )
★ 动量矩守恒
e e M O＝0 ∑ O
dLO e e O = ∑ MO O dt
LO = 恒矢量 O
如果外力系对于定点的主矩等于零， 则质点系对这一点的动量矩守恒。
M zee = 0 ∑ z
d Lzz = ∑ M zee z dt
LOz = C Oz
如果外力系对于定轴之矩等于零， 则质点系对这一轴的动量矩守恒。
两人A、B 同时爬绳，设两人质量相同， 思考： 讨论下面几种情形： （1）A以绝对速度v 爬绳，B不爬，问B的绝对速度 为多少？
思考： （2）开始时两人静止在同一高度，而后两 人分别以相对于绳子的速度vAr , vBr 同时爬绳，问 谁先到达顶点？ （3）在（2）中绳子移动的速度为多少？ （4）象这样的爬绳比赛能比出谁的力气大吗？
质点系相对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶 导数，等于作用于质点系上的外力系对质心的 主矩。 不仅适用于惯性参考系，而且适用于非惯 性参考系。
■刚体平面运动微分方程
应用相对质心的动量矩定理(投影式）
dLC d (e) C = (J Cω ) = J Cα = ∑ M C (Fii(e) ) C C dt dt C ii
第十一章 动量矩定理
(Theorem the Moment of Momentum) 第十二章of 动量矩定理 2011年9月20日
第十一章 动量矩定理
§11-1 §11-2 §11-3 §11-4 §11-5 §11-6 质点和质点系的动量矩 刚体对轴的转动惯量（§11-4 ） 动量矩定理（§11-2 ） 刚体绕定轴的转动微分方程（§11-3 ） 质点系相对于质心的动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
v2
m2 g
v1
FN = (m + m1 + m2 ) g + α (− m1 r1 + m2 r2 )
= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
m1 g
解： （3）分别以两重物为研究对象
m1 g − FT1 = m1a1 = m1r1α
FT1 = m1 ( g − r1α )
FT2 − m 2 g = m 2 a 2 = m 2 r2α
2
n
ω
Lz = J zω
§12-1
刚体对轴的转动惯量（§11-4 ） Jz = ∑miri2
★常见规则形状物体的转动惯量 ★ 平行移轴定理 ★ 回转半径 ★ 确定转动惯量的方法
§12-1
刚体对轴的转动惯量（§11-4 ）
★常见规则形状物体的转动惯量 ●均质圆盘（圆柱）：质量为m, 半径为R
R
O
1 J O = mR 2 2
= rC × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vi
∑mv
i i
= m vC ,
∑ r′ × m v
i
i i
= LC
LO = rC × mvC + LC = M O ( mvC ) + LC
平面问题
LO = M O ( mvC ) + LC
★刚体平面运动时的动量矩
y S F2 Fi y′ vir ri mi
§11-5
质点系相对于质心的动量矩定理
★ 相对Βιβλιοθήκη Baidu心的动量矩 ★一般情况下质点系的动量矩 ★刚体平面运动时的动量矩 ★质点系相对质心的动量矩定理
★ 相对质心的动量矩
LC = ∑ MC ( mivi ) = ∑ri′× mivi
vi = vC +vir
LC = ∑ri′×mivC +∑ri′×mivir
n n
LO = rC × m v C
●刚体定轴转动
L z=
n i =1 n z i i n
i =1
i =1
z
i i i
∑ M (m v ) = ∑ m v r
i =1 n
= ∑ miωri ⋅ ri = ω ∑ mi ri
i =1 i =1
2
mi vi
r
i
记 J z = ∑ m i ri i 为刚体对z轴的转动惯量
O A B
例：三线摆
解：让三线摆作微小扭转振动建立振动周期与转 动惯量之间的关系，通过测量振动周期，就可以 测量出圆盘转动惯量。 设圆盘绕 z 轴转过微小角度，几何关系为：
z z C´ C´ A´ A´ B´
R Rϕ = lsinθ , sinθ = ϕ l
cosθ ≈ 1
θ
C O A B ϕ A B
解： 令
ω
2
ω
得
m ga = JO
——固有频率
ϕ + ω 2ϕ = 0
mga t +θ ) 通解为 ϕ = ϕ O sin( JO
周期为
T =
2π
ω
= 2π
JO mga
例11-3
用于测量圆盘转动惯量的三线摆中， 三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆 盘。已知圆盘半径为 R、重量为W。 z C´ A´ 怎样才能测量出圆盘转动惯量？ C B´
z O
zC C
●均质细直杆：质量为m，杆长为l
J C = J zc
1 = ml 2 12
2
1 2 J o = J z = ml 3
●均质圆环：质量为m，半径为R
J O = mR
★ 平行移轴定理
J z = J z C + md
C为质心
2
★ 回转半径
Jz = mρ
2 z
其 中 ρ z —回转半径
★ 确定转动惯量的方法 ● 积分法 ● 组合法 ● 实验法
★质点系相对质心的动量矩定理
dLO d (e) = ( rC × mvC + LC ) = ∑ ri × Fi = ∑ (rC + ri′) × Fi ( e) dt dt
= ∑ rC × Fi ( ) + ∑ ri′× Fi (
e e)
LO = rC × mvC + LC
drC dLC d ( e ) dLC × m v C + rC × ( m v C ) + = rC × ∑ Fi + 即 dt dt dt dt
d LO = M O ( F ) 矢量式 dt
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
d rii × miivii = ∑ MO (Fiiii ) + ∑ MO (Fiiee) ∑ O O dt ii ii ii
0
= ∑ MO (F ) O
ii e e ii
dLx = dt dLy = dt dLz = dt
∑ ∑ ∑
M M M
e x
e y e z
例11-1 已知 m、JO、m1、m2、r、r2， 不计摩擦。 1 求：（1）滑轮转动的角加速度；
（2）滑轮O处的约束力； （3）绳索的拉力。 （ 解： 1）取系统为研究对象 L O = J O ω + m 1 v1 r1 ？m 2 v 2 r2 + +
动量矩矢量是定位矢量 质点对z轴的动量矩
mv
O
M z ( mv ) = ⎡ M O ( mv ) ⎤ z ⎣ ⎦
对比力对点之矩 对比力对轴之矩
r
MO ( F ) = r × F O
M z ( F ) = ⎡ M O ( F )⎤ z ⎣ ⎦
2. 质点系的动量矩 第i个质点的动量矩
z
m2 O
vi
ri
在平移系中，任意质点 mi对平面图形质心C轴的 动量矩为： L C = rii m ii v iirr C x′
x Fn
ω
α C aC O F1
刚体对平面图形质心 的动量矩为：
2 LC = ∑riimiiviir＝ ∑miirii2 )ω ( C r
LC = J Cω
ii
ii
一般情况
LO = M O ( mvC ) + J Cω
■ 实际问题
谁最先到达 顶点
？
■ 实际问题
谁最先到达 顶点
？
■ 实际问题
无论力偶加在 哪里，为什么 圆盘总是绕着 质心转动
■ 实际问题
为什么二者转 动方向相反
■ 实际问题
航天器是怎样 实现姿态控制 的
§11-1
质点和质点系的动量矩
MO (mv )
1. 质点的动量矩
M O ( mv ) = r × mv O
其中
∑ri′×mivC = (∑miri′)×vC
∑ m r′ = 0） = 0 （r′ =
i i C
LC = ∑ri′×mivi = ∑ ri′× mi v ir
m
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度或 以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.
★一般情况下质点系的动量矩
LO = ∑ ri × mi vi = ∑ ( rC + ri′) × mi vi
m1 mi
MO ( mivi ) = ri ×mivi
质点系的动量矩
n n i =1 i =1
y
x
m3
mn
LO = ∑ MO ( mi vi ) = ∑ri × mi vi
质点系对z轴的动量矩
Lz = ∑ M z ( mi vi )
i =1 n
3. 质点系为刚体时的动量矩 ●刚体平移时 LO = ∑ ri × mi v = (∑ mi ri ) × v = mrC × v
应用质心运动定理(矢量式） maC = ∑ Fii = ∑ Fiiee C
ii
刚体平面运动微分方程
m a C x = m xC = m aCy J Cα
C
∑ = my = ∑ F = J ϕ =∑M
C i
Fx e
e y C
(F )
e
例11-4 半径为r的均质圆轮，在
y
OF C
α
aC W ＝ mg x
思考：
无论力偶加 在哪里，为什 么圆盘总是绕 着质心转动
思考：
无论力偶加 在哪里，为什 么圆盘总是绕 着质心转动
§11-4
dLz dt
刚体绕定轴的转动微分方程（§11-3 ）
=
d( J zω ) dt
= J zα = ∑ M (F )
z
刚体定轴转动时的微分方程
J zα = ∑ M z ( F )
§11-3
动量矩定理（§11-2 ）
★ 质点的动量矩定理 ★ 质点系的动量矩定理 ★ 动量矩守恒
★ 质点的动量矩定理 由
d(mv ) =F dt
d(mv ) r× = r×F dt
d(mv ) d(r × mv ) dr r× = − × mv dt dt dt
dr v= dt
d(mv ) d(r × mv ) r× = dt dt
③
由于
①
drC drC = vC , × mvC = 0 ① dt dt
②
② rC ×
rC × Fi( ) = rC × ∑ Fi( ) ③∑
e e
d ( m vC ) = rC × ∑ Fi ( e ) dt
★质点系相对质心的动量矩定理
dLC dLC (e) e = ∑ ri′× Fi 即 = ∑ MC dt dt
O
α
FN
mg
ω
= ω ( J O + m1r12
(e)
v2 （顺时针） m2 g + m2 r22 )
∑ M O (F
) = ( m1r1 − m2 r2 ) g （顺时针）
v1
dLO (e) = ∑ M O (F ) dt
dω (m1r1 − m2 r2 ) g α= = dt J O + m1r12 + m2 r22
z F2 O m2
F1
vi r i m1 i
m y Fn
dLO e = ∑ MO dt
x
m3 mn Fi
质点系对于定点O的动量矩对时间的一阶导 数，等于作用在系统上所有外力对于同一 点的主矩 .
●质点系对于定点的动量矩定理（矢量式）
dLO e = ∑ MO dt
●质点系对于定点的动量矩定理（投影式）