知识讲解_匀变速直线运动复习与巩固(基础)

匀变速直线运动复习与巩固

编稿：周军审稿：隋伟

【学习目标】

1、正确理解描述质点运动的物理量，即位移和路程、速度（平均速度和瞬时速度）和加速度.

2、熟练掌握匀变速直线运动的特点、规律及自由落体运动的规律，并能在实际问题中加以运用.

3、正确理解并熟练掌握匀速直线运动和匀变速直线运动的x-t图象、v-t图象的物理意义.

【知识网络】

【要点梳理】

【高清课程：描述直线运动的概念的规律】

要点一、质点的概念

要点诠释：

1、定义

用来代替物体的有质量的点称为质点.

2、说明

质点是一个理想化的模型，是对实际物体科学的抽象，真正的质点是不存在的.

在实际所研究的问题中，如果物体的形状和大小对所研究运动的影响可以忽略不计时，可将物体视为质点.

一个物体能否被看成质点，与物体的大小无关.

【高清课程：描述直线运动的概念的规律】

要点二、几个基本概念的区分

要点诠释：

物理量概念或物理意

义

标、矢量对应运动量区别与联系

时间和时刻时刻一瞬间标量状态量时刻在时间轴上表示轴上一点，通常说法有：第

几秒末、第几秒初、第几秒时

时间是两个时刻间的间隔，在时间表示轴上一段，

通常说法有：前（头）几秒内，后几秒内、第几秒

内

时

间

一段时间，两

时刻间隔

标量过程量

位移位

移

表示质点的位

置变化的物理

量

矢量

方向：由初

位置指向末

过程量

与时间相对

应

位移是矢量，是由初位置指向末位置的有向线段；

路程是质点运动所通过的实际轨迹的长度.

一般情况下，路程不等于位移的大小，只有在单向

【高清课程：描述直线运动的概念的规律】 要点三、加速度的物理意义 要点诠释： 1、定义

物体速度的变化与完成这一变化所用时间的比值，叫做物体的加速度，用a 来表示，即0

v v v a t t

-?=

=,式中v ?表示速度的变化量，0v 表示开始时刻的速度（初速度），v 表示经过一段时间t 后末了时刻的速度（末速度）

2、物理意义

加速度是表示速度变化快慢的物理量. 3、单位

在国际单位制中，加速度的单位是2

m/s ，读作米每二次方秒. 4、矢量

加速度是矢量，它的方向同速度变化的方向. 5、速度、速度的变化、加速度的区别与联系

【高清课程：描述直线运动的概念的规律】 要点四、匀变速直线运动及其规律 1．匀变速直线运动

定义：在任意相等的时间内，速度的变化都相等的直线运动. 特点：a 恒定不变

对于做匀变速运动的质点，当质点的加速度与速度方向相同时，表示质点做加速运动；当质点的加速度与速度方向相反时，表示质点做减速运动. 2．匀变速直线运动的规律 (1)基本规律

速度公式 0v v at =+ 位移公式 222000122

2

v v

x v t at v v ax

x vt t +=+

-===

要点诠释：

a 、以上四式只适用于匀变速直线运动；

b 、式中0v 、v 、a 和x 均为矢量，应用时要规定正方向，凡是与正方向相同者取正值，相反者取负值（通常将0v 的方向规定为正方向），所求矢量为正值表示与正方向相同，为负者表示与正方向相反. (2)一些有用的推论

a ．做匀变速直线运动的物体，在任何两个连续相等的时间内的位移的差是一个恒量：2

x aT ?=

b ．做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度，等于该段时间的中间时刻的瞬时速度 ： 0t 2

v 2

v v

v +=

=

c ．做匀变速直线运动的物体，在某段位移中点的瞬时速度2

x v =

d ．初速度为零的匀变速直线运动

①前1秒、前2秒、前3秒……内的位移之比为1∶4∶9∶…… ②第1秒、第2秒、第3秒……内的位移之比为1∶3∶5∶……

③前1米、前2米、前3米……所用的时间之比为

④第1米、第2米、第3米……所用的时间之比为1:1)::

要点五、自由落体运动及其规律 要点诠释：

１、自由落体运动

（1）定义：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动 （2）特点：初速度v 0=0，加速度a=g 的匀加速直线运动 ２、自由落体的运动规律

（说明：只需将v 0=0,a=g 代入匀变速直线运动的公式中即可） （1）基本规律

速度公式：v gt =

位移公式：22122

h gt v gh =

=

（2）自由落体运动的有关推论： 中间时刻的瞬时速度2

2

t v v v ==

连续相等时间间隔内的位移之差是2

x gT ?=

前1秒、前2秒、前3秒……内的位移之比为1∶4∶9∶……

第1秒、第2秒、第3秒……内的位移之比为1∶3∶5∶……

前1米、前2米、前3米……所用的时间之比为

第1米、第2米、第3米……所用的时间之比为1:1)::

要点六、质点运动规律的图象描述 要点诠释：

用图象表述物理规律是物理学中常用的一种处理方法，图象具有简明、直观等特点．对于物理图象需要从图象上的轴、点、线、面、斜率、截距等方面来理解它的物理意义，因为不同的物理函数图象中，这几方面所对应的物理意义不同.

1、位移—时间图象（x-t 图象）

（1）物理意义：表示质点位移随时间变化的关系图象 注意：位移图象不是质点运动轨迹. （2）从图象可获得的信息

a ．位移与时刻的对应关系；图象与位移轴的交点表示物体的初位移，两条图象的交点表示两质点相遇.

b ．图象的斜率表示速度的大小和方向（斜率的正负表示速度的方向）.

c ．判断物体的运动性质：图象与时间轴平行表示物体静止；若位移图象是倾斜的直线，表示物体做匀速直线运动；若位移图象是曲线，表示物体做变速运动.

2、速度—时间图象（v-t 图象）

（1）物理意义：反映质点速度随时间变化的关系图象. （2）从图象可获得的信息

a ．瞬时速度与时刻的对应关系；图象与v 轴的交点表示初速度，两条图象交点表示速度相等；根据速度的正负判断运动的方向，速度为正，表示物体沿正方向运动；速度为负，表示物体沿负方向运动. 注意：v-t 图象相交的点不是质点相遇的点（只有从同一地点出发，且“面积”代数累计相等时，质点才会相遇）.

b ．判断物体运动的性质：在v-t 图象中，平行于时间轴的直线表示匀速直线运动；和时间轴重合的直线表示静止；倾斜的直线表示匀变速直线运动；曲线表示变加速直线运动.

c ．速度图象的斜率表示加速度的大小和方向（斜率的正负表示加速度的方向）

d ．速度图象和时间轴所围成的面积表示位移的大小，且t 轴上方取正值，t 轴下方取负值，总位移为其代数和.

要点七、用打点计时器测速度和加速度 要点诠释：1、用打点计时器测速度

打点计时器是记录运动物体在一定时间间隔内位移的仪器.电磁打点计时器的工作电压为交流4~6V ，电火花计时器的工作电压为交流220V ，当电源频率为50Hz 时，它们每隔0.02s 打一个点.在纸带上打点后，

用

t

x

v

?

?

=即可求得包含测量点在内的两点间的平均速度.

若两点离得较近，便可将此平均速度作为该测量点的瞬时速度.

2、用打点计时器测加速度

（1）判定被测物体的运动是否为匀变速直线运动的方法：可以计算出相邻相等时间内的位移差x2-x1、x3-x2、x4-x3、…如果它们在允许的误差范围内位移差相等，则可以判定被测物体的运动是匀变速直线运动.

（2）求瞬时速度v的方法：

若纸带做匀变速直线运动，可利用平均速度公式

2

t

x

v v

t

==求解.如：23

2

x x

v

c T

+

=

（3）求加速度a的方法

-

22

(-)

x x

x m n

a a

T m n T

?

==

或

①利用任意两段相邻记数点间的位移差求解.

②“逐差法”求解.如从纸带上得到6个相邻相等时间内的位移，则

456123

2

()()

9

x x x x x x

a

T

++-++

=

③利用v-t图线求a：求出A、B、C、D、E、F各点的即时速度,画出v-t图线(如图所示),图线的斜率就是加速度a.

（4）注意事项

①实验中应先根据测量和计算得出的各Δx判断纸带是否做匀变速直线运动，根据估算，如果各Δx 差值在5%以内，可认为它们是相等的，纸带做匀变速直线运动.

②每打好一条纸带，将定位轴上的复写纸换个位置，以保证打点清晰，同时注意纸带打完后及时断开电源.

③应区别计时器打出的点与人为选取的计数点，不可混淆.

④不要分段测量各段位移，应一次测量完毕(可先统一量出到点O之间的距离)，读数时应估读到毫米下一位.

【典型例题】

类型一、位移和路程的区别和联系

例1、一个电子在匀强磁场中沿半径为R的圆周运动.转了3圈回到原位置，运动过程中位移大小的最大值和路程的最大值分别是( )

A．2R，2R B．2R，6πR C．2πR，2R D．0，6πR

【思路点拨】注意本题强调的是最大值。

【答案】B

【解析】位移的最大值应是2R ，而路程的最大值应是6πR.即B 选项正确.

【点评】位移是表示质点位置变化的物理量，它是由质点运动的起始位置指向终止位置的矢量.而路程是质点运动路线的长度，是标量.只有做直线运动的质点始终朝着一个方向运动时，位移的大小才与运动路程相等.

类型二、瞬时速度和平均速度的区别和联系

例2、甲、乙两辆汽车沿平直公路从某地同时驶向同一目标，甲车在前一半时间内以速度V 1做匀速直线运动，后一半时间内以速度V 2做匀速直线运动；乙车在前一半路程中以速度V 1做匀速直线运动，后一半路程中以速度V 2做匀速直线运动，则（ ）

A ．甲先到达 B.乙先到达 C.甲、乙同时到达 D.不能确定 【思路点拨】根据平均速度的定义列出时间t 的表达式即可。 【答案】A

【解析】设甲、乙车从某地到目的地距离为x ，

则对甲车有：12

2x

t V V =

+甲

对于乙车有：121212

()222V V x x x

t V V VV +=

+=乙 所以2

212

1)(4V V V V t t +=乙甲 由数学知识知212

214)(V V V V >+，故t t <甲乙

【点评】瞬时速度是运动物体在某一时刻或某一位置的速度，而平均速度是指运动物体在某一段时间t ?或某段位移x ?的平均速度，它们都是矢量.当0→?t 时，平均速度的极限，就是该时刻的瞬时速度.同时要注意数学不等式2

()4a b ab +>的应用.

类型三、速度、速度的变化和加速度的区别和联系 例3、下列所描述的运动中，可能的有（ ）

A ．速度变化大，加速度很小

B ．速度变化方向为正，加速度方向为负

C ．速度越来越大，而加速度越来越小

D ．速度变化越来越大，而加速度越来越小 【思路点拨】速度与加速度没有必然联系；速度变化越快，加速度越大。 【答案】ACD

【解析】加速度的概念：加速度是描述速度变化快慢的物理量（v a t

?=

?），加速度的方向始终与速度变化的方向一致，因此B 是错误的；质点是否做加速直线运动不是由加速度大小和如何变化决定的，而是由加速度方向与速度方向共同决定的.当加速度方向与质点运动方向一致时，不论加速度大小如何变化，质点的速度都将是越来越大．因此，A 、C 、D 都是正确的．

【点评】加速度是描述速度变化的快慢和方向的物理量，是速度的变化和所用时间的比值，加速度的大小和方向与速度的大小和方向没有必然的联系.只要速度在变化，无论速度多小，都有加速度；只要速度不变化，无论速度多大，加速度总是零；只要速度变化快，无论速度是大、是小或是零，物体的加速度就大. 加速度的与速度的变化v ?也无直接关系.物体有了加速度，经过一段时间速度有一定的变化，因此速度的变化v ?是一个过程量，加速度大，速度的变化v ?不一定大；反过来，v ?大，加速度也不一定大.

类型四、应用“运动图象”解决质点运动问题

例4、一物体自t=0时开始做直线运动，其速度图线如图所示.下列选项正确的是( ) A.在06s ～内，物体离出发点最远为30m B.在06s ～内，物体经过的路程为40m C.在04s ～内，物体的平均速率为7.5m/s

D. 在04s ～内，物体的位移为50m

【思路点拨】速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负. 【答案】ＢＣ

【解析】速度图线中，速度可以直接从纵坐标轴上读出，其正、负就表示速度方向，位移为速度图线下的“面积”，在坐标轴下方的“面积”为负. 对A ，05s ～,物体向正向运动，56s ～向负向运动，故5s 末离出发点最远，A 错 对B ，由面积法求出05s ～的位移s 1=35m, 56s ～的位移s 2=-5m,总路程为40m,B 对 对C ，由面积法求出04s ～的位移s=30m ，平度速度为：v s /t 7.5m /s ==，C 对，D 错

【点评】运动图象包括速度图象和位移图象，要能通过坐标轴及图象的形状识别各种图象，知道它们分别代表何种运动，注意速度图象和位移图象斜率的物理意义不同，x-t 图象的斜率为速度，而v-t 图象的斜率为加速度，图线和t 轴所围的面积表示物体的位移. 举一反三

【变式】龟兔赛跑的故事流传至今，按照龟兔赛跑的故事情节，兔子和乌龟的位移图象如图所示，下列关于兔子和乌龟的运动正确的是（ ）

A ．兔子和乌龟是同时从同一地点出发的

B ．乌龟一直做匀加速运动，兔子先加速后匀速再加速

C ．骄傲的兔子在T 4时刻发现落后奋力追赶，但由于速度比乌龟的速度小，还是让乌龟先到达预定位移S 3

D ．在50T ～时间内，乌龟的平均速度比兔子的平均速度大

【答案】D

【解析】从图中看出，10T ～这段时间内，兔子没有运动，而乌龟在做匀速运动，所以A 选项错；乌龟一直做匀速运动，兔子先静止后匀速再静止，所以B 选项错；在T 4时刻以后，兔子的速度比乌龟的速度大，所以C 选项错；在50T ～时间内，乌龟位移比兔子的位移大，所以乌龟的平均速度比兔子的平均速度大，即D 选项正确.

类型五、应用匀变速直线运动的规律解决问题

例5、一质点做匀变速直线运动，从A 至B 用了5s ，其中前三秒的位移为18m ，后三秒的位移为24m ，求质点通过A 点和B 点的瞬时速度及质点在每一秒内的位移. 【思路点拨】画出运动示意图，根据运动学公式即可求出。 【答案】A 4.5m /s v =B 9.5m /s v = 5m 6m 7m 8m 9m 【解析】在求解运动问题时应根据题意画出运动的示意图.

利用所给的条件，可以很容易地求出前三秒的平均速度为6m/s ，即为前三秒的中间时刻C v 的瞬时速度，C 6m /s v =.后三秒的平均速度为8m/s ，为后三秒的中间时刻D v 的瞬时速度D 8m /s v = 由题意可知自C 至D 所用时间为2s ，速度变化2m /s v =.质点的加速度2a 1m /s v

t

?==? 由A C →，历时1.5s ，速度应增加1.5m/s ，故 A 4.5m /s v = 由D B →，历时也为1.5s ，速度也增加1.5m/s ，故B 9.5m /s v = 质点在第一秒内的位移22I A 11

t at 4.51115m 22

x v =+

=?+??= 又22aT 111m x ==?=.第二秒位移为6m ，第三秒位移为7m ，第四秒位移为8m ，第五秒位移为9m.

【点评】做匀变速直线运动的物体在整个运动过程中的加速度始终保持不变，不仅加速度的大小不变，而且方向也不变.我们在学习过程中要把握住匀变速直线运动的特点，利用规律处理实际问题.在处理问题中，要注意一题多解，例如本题由于应用了匀变直线运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度这一关系，大大简化了运算过程.如果套用运动学三公式，则因未知数较多，求解过程将较繁杂. 举一反三：

【高清课程：描述直线运动的概念的规律35页例题】

【变式1】骑自行车的人以5m/s 的初速度冲上斜坡，作匀减速运动，加速度大小是0.4m/s 2

，经过多长时间骑车人的速度减为零？经过10s ，在斜坡上通过多长距离？ 【答案】12.5s 30m

【变式2】某矿井的升降机，由井底从静止开始做匀加速直线运动，经过５s 速度达到5m/s,又匀 速上升了30s ，最后8s 做匀减速运动停在井口.求矿井的深度？ 【答案】182.5m 【解析】

解法1：公式法

升降机的运动可分为三个阶段：

第一阶段是由井底从静止开始做匀加速直线运动到匀速上升：0110,5m /s,t 5s v v ===

此过程的位移1

1111t t 2

v x v ==

第二阶段是匀速上升阶段：225m /s,t 30s v == 此过程的位移222t x v =

第三阶段是最后8s 钟的匀减速运动到停在井口：33t 5m /s,t 8s,0v v === 此过程的位移3

3333t t 2

v x v ==

三个过程的总位移：123182.5m x x x x =++=，即是矿井的深度.

解法２：图像法

升降机由井底开始运动到井口的总位移即矿井的深度是右图梯形的面积，所以： 位移(355)43

x 182.5m 2

-+?＝

５＝

类型六、自由落体运动

例6、如图所示，悬挂的直杆AB 长为L 1，在其下L 2处，有一长为L 3的无底圆筒CD ，若将悬线剪断，则直杆穿过圆筒所用的时间为多少？

【思路点拨】画好运动的示意图是关键。

【答案】1232

2()2L L L L t g g

++?=

【解析】直杆穿过圆筒所用的时间是从杆B 点落到筒C 端开始，到杆的A 端落到D 端结束.

设杆B 落到C 端所用的时间为t 1,杆A 端落到D 端所用的时间为t 2,由位移公式2

2

1

gt h =得：

g

L t 2

12=

，g

L L L t )

(23212++=

所以，g

L g L L L t t t 2

321122)(2-

++=

-=? 【点评】自由落体运动是初速度为零的匀变速直线运动，画出运动示意图，且从下落起点开始列式计算往

往比较简单. 举一反三

【变式】 一个物体从塔顶上下落，在到达地面前最后1s 内通过的位移是整个位移的9/25，求塔高.（g

取10m/s 2

） 【答案】125m

类型七、匀减速直线运动问题的处理

例7、汽车以20m/s 的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5m/s 2

，则它关闭发动机后通过x=37.5m 所需的时间为（ ）

A.3s

B.4s

C.5s

D.6s 【思路点拨】注意“刹车陷阱” 【答案】A

【解析】设汽车初速度的方向为正方向，即20V 20m /s,a 5m /s ,s 37.5m ===－

则由位移公式2021at t V s +=得：5.3752

1

202=?-t t 解得：t 1=3s,t 2=5s

因为汽车经过0

00V t 4s a

-=

=已经停止运动，4s 后位移公式已不适用，故t 2=5s 应舍去. 即正确答案为A.

【点评】在处理质点做匀减速直线运动时，一定要考虑质点是否有返回的可能． 举一反三

【变式】如图所示，小球以0v 10m s =／、加速度为2a 5m /s =-沿斜面向上运动，斜面长L=10m ．求小球经过中点需要的时间.

【答案】1222()

22()t s t s =+=-

类型八、追及（相遇）问题

例8、汽车正以10m/s 的速度在平直公路上前进，突然发现正前方Ｓ米远处有一辆自行车以4m/s 的速度做

同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做匀减速运动，加速度大小6m/s 2

，若汽车恰好不碰上自行车，则S 大小为多少？

【思路点拨】画出它们的运动示意图，确定它们的位置关系是关键。

【答案】3m

【解析】解法１：公式法

自行车和汽车运动的时间是相同的，设为t ，设二者速度相同时汽车位移为x 1，自行车的位移为x 2，则根据题目所提供的物理情景有：

2121121

x s x x v t at x v t 2

-人＝＋ ＝ ＝

汽车恰好不碰上自行车时有：1v v =人 解得：S=3m 解法２：图象法

由v t －图象的特性可知,S 梯是汽车的位移，S 矩是自行车的位移，则有： S S S -=梯矩

104t 4t S 2+?-?=104

t 16

s -== 得到S=3m

【点评】追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同

一位置.可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系.若同地出发，相遇时位移相等为空间条件.二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系.若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发Δt，则运动时间关系为t t t =+?甲乙.要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系. 举一反三

【变式】火车以速率V 1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为S 处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率V 2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，加速度大小为a,要使两车不致相撞，求出a 应满足关式.

【答案】S

V V a 2)(2

21-≥

类型九、用打点计时器测匀变速直线运动的加速度

例9、做匀变速直线运动的小车带动纸带通过打点计时器，打出的部分计数点如图所示.每相邻两计数点间还有四个点未画出来，打点计时器使用的是50 Hz 的低压交流电.求打点计时器打计数点“2”时，小车的速度v 2等于多少?小车的加速度a 等于多少?请你依据本实验原理推断第7计数点和第8计数点之间的距离大约是多少.

【思路点拨】某点的速度用平均速度来求，加速度可用逐查法求解。

【答案】0.49 m/s 0.88 m/s 2

9.74cm

【解析】：（1）132

2(4.47 5.34)10/0.49 m /s 20.1

v v m s -+?==

=? （2）由于两相邻间点所用的时间为T 0.1 s = 及2x aT ?=，且有

23123423453456456756x x 5.34 cm 4.47 cm 0.87 cm x x 6.21 cm 5.34 cm 0.87 cm x x 7.10 cm 6.21 cm 0.89 cm x x 8.00 cm 7.10 cm 0.90 cm x x 8.86cm 8.00cm 0.86cm x 0.88cm

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=?≈

根据公式2x aT ?=得：

22222

0.8810/0.88 m /s 0.1

x a m s T -??=== （3）7867x x x 8.86 cm 0.88 cm 9.74 cm =+?=+=

举一反三

【变式】在研究匀变速直线运动的实验中，算出小车经过各计数点瞬时速度如下

计数点序号

1 2 3 4 5 6 计数点对应的时刻（s ） 0.10 0.20 0.30 0.40

0.50

0.60

通过计数点的速度（cm ／s ）

44.0

62.0

81.0

100.0 110.0 168.0

为了计算加速度，合理的方法是（）

A．根据任意两计数点的速度用公式

v

a

t

?

=

?

算出加速度

B．根据实验数据画出v－t图，量出其倾角，由公式a tanα

=求出加速度

C．根据实验数据画出v－t图，由图线上相距较远的两点所对应的速度、时间，用公式

v

a

t

?

=

?

算出

加速度

D．依次算出通过连续两计数点间的加速度，算出平均值作为小车的加速度【答案】C