2019-2020学年河南省开封市五县联考高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河南省开封市五县联考高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省开封市五县联考高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2,0,1,2,3A =-，{}1,1,3,4B =-，则A B =I （ ） A ．{}1,3 B ．{}2,1,3-C ．{}1,1,3,4-D ．{}2,1,1,3--【答案】A【解析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}2,0,1,2,3A =-，{}1,1,3,4B =- 所以A B =I {}1,3 故选：A 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.2．函数y =定义域为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．[1,)+∞D ．(0,1]【答案】D【解析】根据根号下非负与对数单调性解不等式即可. 【详解】 由题,0.50.50.5log 0log log 10100x x x x x ≥≥⎧⎧⇒⇒<≤⎨⎨>>⎩⎩.故选：D 【点睛】本题主要考查了定义的求解与对数不等式的求解,属于基础题. 3．若函数()f x 满足1(21)f x x-=，则(3)f =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B【解析】令213x -=求得x 再计算即可.令213x -=得2,x =故1(3)2f =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数值的问题,属于基础题. 4．幂函数()21()22af x a a x -=--在(0,)+∞上是减函数，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据幂函数的定义可知2221a a --=,再根据减函数可知10a -<再求解即可. 【详解】2221,1a a a --==-或3,当1a =-时,2()f x x =在(0,)+∞上是增函数,当3a =时,2()f x x -=在(0,)+∞上是减函数,∴3a =.故选：D 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与单调性的运用,属于基础题. 5．已知函数()f x 为偶函数，当0x >时，()1f x x x=-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．1x x+B ．1x x- C ．1x x- D ．1x x --【答案】B【解析】当0x <时，0x ->，结合偶函数的定义()()f x f x =-，即可得到()f x . 【详解】当0x <时，0x ->，()()1f x f x x x=-=-+. 故选：B 【点睛】本题主要考查了求函数的解析式，主要是根据奇偶性来求解，属于基础题.6．若函数2()(21)f x x x m x =-++在(1,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】将二次函数化简为顶点式,再根据对称轴与区间端点满足的表达式求解即可. 【详解】22221(21)()(21)24m m f x x m x m x m --⎛⎫=+-+=++- ⎪⎝⎭的单调增区间为 21,2m -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭,∴2112m --„,∴12m -…. 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数单调性的问题,属于基础题.7．函数2()22x xx f x -=+的部分图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断奇偶性,再根据函数分子分母的增减趋势判定即可. 【详解】 易知()2()()22xxx f x f x ---==+,所以()0f x >且为偶函数,又分母为指数函数,增长速度比分子快,故当x →+∞时2()022x xx f x -=→+. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断函数图像的问题,需要根据函数的奇偶性与分子分母的增长速度分析函数的极限.属于基础题.8．若0.33133,log 0.3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】A【解析】分别判断,,a b c 的大致范围再判定即可.∵10.33>,∴3log 0.31<-,∴1b <-,∵1,0c a =->,∴b c a <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查了指对数幂的大小比较,属于基础题. 9．若函数31()log 1f x x x =-+的零点为0x ，则0x 属于（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据零点存在性定理分析即可. 【详解】()f x 是增函数,1(1)02f =-<,3311(2)log 2log 033f =->>,∴0(1,2)x ∈. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,属于基础题.10．已知函数()()21,11log ,12a x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(]0,1 B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为分段函数()f x 在R 上的减函数，则分段函数()f x 的每一段都为减函数，根据一次函数与对数函数的单调性，列出不等式，求解即可. 【详解】由题意有2111log 12a a <⎧⎪⎨-≥--⎪⎩，得112a ≤<.故选：B 【点睛】本题主要考查了已知分段函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.11．若函数log (1)3(0,1)a y x a a =-+>≠的图象过定点(,)m n ，则不等式2x x m n >的解集为（ ） A ．21,01log 3⎛⎫⎪-⎝⎭B ．210,1log 3⎛⎫ ⎪+⎝⎭C ．21,1log 3⎛⎫-∞ ⎪+⎝⎭D ．21,1log 3⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭【答案】D【解析】根据对数函数的定点分析(,)m n ,再根据指数不等式的解法求解即可. 【详解】易得函数log (1)3(0,1)a y x a a =-+>≠的图象过定点(3,2),即2m =,3n =,223x x >⨯,223x⎛⎫> ⎪⎝⎭,2231log 21log 3x <=-. 故选：D 【点睛】本题主要考查了对数定点的问题与指数不等式的求解,属于中档题.12．若函数2()|2|4,()21f x x x m g x x =-+-=+，且函数()f x 的图象在函数()g x 的图象的上方，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．35,416⎛⎫--⎪⎝⎭D ．31,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】分2,2x x ≥<两种情况去绝对值,再分别根据恒成立问题求解m 的取值范围即可. 【详解】2224,2()24,2x x m x f x x x m x ⎧-+-=⎨-+-<⎩…, 由22421(2)x x m x x -+->+…得243,4342x x m m ->++<-,∴14m <-. 由22421(2)x x m x x -+->+<得2999341,41424x x m m ->--<-=-,∴516m <-.综上516m <-.【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意去绝对值分类讨论,属于中档题.二、填空题13．设集合{|231},{|0}A x x B x x a =+>=+…，若A B ⊆，则实数a 的最小值是______. 【答案】1【解析】根据集合的包含关系列出集合的区间端点满足的不等式,再求解求a 的最小值即可. 【详解】{|1},{|}A x x B x x a =>-=-…,∵A B ⊆,∴1a --„,∴1a ….故答案为：1 【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数取值范围的问题.属于基础题. 14．若函数21()1ax f x x +=+的图象过点(1,6)，则a =______. 【答案】11【解析】代入点(1,6)求解即可. 【详解】1(1)6,112a f a +=== 故答案为：11 【点睛】本题主要考查了根据函数过某点求解参数的值的问题.属于基础题.15．若函数()f x 是偶函数，定义域为[2,2]-，且在[0,2]是增函数，则满足(1)(1)f x f ->的实数x 的取值范围是________.【答案】[1,0)(2,3]-U【解析】根据函数为()f x 偶函数且在[0,2]是增函数可知112x <-≤,再求解绝对值不等式即可.由题意知, 112x <-≤,即112x <-≤或211x --<-„,∴10x -<„或23x <„. 故答案为：[1,0)(2,3]-U 【点睛】本题主要考查了根据奇偶性与单调性求解抽象函数不等式的问题,需要注意自变量绝对值的取值范围与定义域.属于基础题.16．已知函数221,0()21,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩…，若函数()y f x k =-有3个零点，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(0,1)【解析】画出221,0()21,0xx f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+⎪⎩…的图像,再分析()f x k =有3个交点时实数k 的取值范围即可. 【详解】()y f x =的图象如图.∵()y f x k =-有3个零点,∴()y f x =图象与y k =图象有3个交点. ∴1()0,k ∈. 故答案为：(0,1) 【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求解参数的取值范围问题.需要数形结合分析,属于中档题.三、解答题 17．计算：（1）249log 3log 8log 16⋅⋅；（2）0lg5(lg5lg 4)(lg 21)(lg 2-1)++++；（3）已知集合{|02},{0|012}A x x B x =<<=<+<，求()R A B I ð. 【答案】（1）3（2）1（3）{|12}R A B x x ⋂=<„ð 【解析】(1)根据换底公式化简求解即可. (2)提取公共项构造lg5lg 2+求解即可.(3)分别求解集合,A B 再根据集合的交并补运算求解即可. 【详解】解：（1）249lg3lg8lg16lg33lg 24lg 2log 3log 8log 163lg 2lg 4lg9lg 22lg 22lg3⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=.（2）01)lg 5(lg 5lg 4)(lg 21)(lg 21)++++-2221lg 52lg5lg 2lg 21(lg5lg 2)1=+++-=+=.（3）{|02},{|11},{|11}R A x x B x x B x x x =<<=-<<=-或厔ð. ∴{|12}R A B x x ⋂=<„ð. 【点睛】本题主要考查了对数的运算与集合交并补的运算,属于基础题. 18．若函数22()log (8)log (8)f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （2）求函数()f x 的最大值.【答案】（1）定义域为(8,8)-；是偶函数（2）6【解析】(1)根据对数中真数大于0求解即可.再求解()f x -分析与()f x 的关系证明即可. (2)由题2()log (8)(8),(8,8)f x x x x =+-∈-,再利用基本不等式求最大值即可. 【详解】解：（1）由80,80x x +>->,得88x -<<, ∴()f x 定义域为(8,8)-.由22()log (8)log (8)()f x x x f x -=-++=知()f x 是偶函数.（2）2()log (8)(8),(8,8)f x x x x =+-∈-.∵(8)(8)8864y x x =+-⨯=„,当且仅当0x =时取等号, ∴22log (8)(8)log 646x x +-=„,∴0x =时,()f x 取得最大值6 【点睛】本题主要考查了对数函数有关的定义域与奇偶性的判定,同时也考查了根据基本不等式求解函数最值的方法,属于中档题. 19．已知函数1()f x x x -=+. （1）若()6f a =，求()2f a的值；（2）写出函数|()|y f x =的单调区间，不必说明理由； （3）若5|()|2f x <，求实数x 的取值范围. 【答案】（1）()234f a=（2）单调减区间为(,1],(0,1]-∞-，单调增区间为[1,0),[1,)-+∞（3）112,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】(1)利用()22212a a a a --+=+-求解即可.(2)根据对勾函数的图像与绝对值函数的变换直接判定即可. (3)先求解15()2f x x x -=+=,再根据(2)中的单调性求解不等式即可. 【详解】解：（1）∵1()6f a a a-=+=,∴()()22221236234f a a a a a --=+=+-=-=.（2）|()|y f x =的单调减区间为(,1],(0,1]-∞-,单调增区间为[1,0),[1,)-+∞. （3）当0x >时,由15()2f x x x -=+=得12x =或2x =.∵11|()||()|f x x xx x f x ---=--=+=,∴|()|y f x =是偶函数,利用偶函数及单调性知5|()|2f x <时,实数x 的取值范围是112,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查了函数的求值与函数的单调区间的问题.同时也考查了根据函数的单调性与奇偶性求解不等式的问题.属于中档题.20．技术员小张对甲、乙两项工作投入时间m （小时）与做这两项工作所得报酬,P Q（百元）的关系式为：136,655P m Q =+=+，若这两项工作投入的总时间为120小时，且每项工作至少投入20小时.（1）试建立小张所得总报酬y （单位：百元）与对乙项工作投入的时间x （单位：小时）的函数关系式，并指明函数定义域；（2）小张如何计划使用时间，才能使所得报酬最高？【答案】（1）11255y x =-+，其定义域为[20,100]. （2）对甲、乙两项工作投入时间分别为45小时与75小时，所得报酬最高 【解析】(1)根据y P Q =+代入列式即可.(2) 令t =,再换元代入根据二次函数的最值求解即可.【详解】解：（1）若对乙项工作投入x 小时,则对甲项工作投入(120)-x 小时,所以11(120)366512555y P Q x x =+=-+++=-+, 其定义域为[20,100].（2）令t =,则函数为关于t 的二次函数：2211125(14055y t t =-++=--+.所以当t =,即75x =时,max 140y =.即对甲、乙两项工作投入时间分别为45小时与75小时,所得报酬最高. 【点睛】本题主要考查了函数模型的运用,包括解析式求解与根据解析式求最值的问题,同时也考查了二次函数有关的复合函数问题,属于中档题.21．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2.（1）求实数a 的值； （2）若()()1ff x >，求实数x 的取值范围.【答案】（1）12a =或2 （2）见解析 【解析】(1)根据对数函数的单调性以及在区间1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，列出等式，求解即可；(2)讨论12a =或2 ，求解不等式()log log a a f x a >，即可得到实数x 的取值范围. 【详解】 解：（1）当01a <<时，()f x 在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，()f x 是最大值124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1log 24a =，∴12a =， 当1a >时，()f x 在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，()f x 最大值为()42f =， log 42a =，∴2a =，∴12a =或2 （2）当12a =时，由()()1f f x >得()1122log lo 1g 2f x >，解得：()102f x << ∴1210log 2x <<，∴12x <<，∴x的取值范围是2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭当2a =时，由()()1f f x >得()222log log f x >，解得：()2f x >，∴2log 2x >，∴4x >，∴x 的取值范围是()4,+∞.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性、最值以及对数不等式的解法，属于中档题.22．已知函数()22x x f x -=-.（1）若对任意实数[1,2]t ∈-，有()2(2)0f t t m f t --+>成立，求实数m 的取值范围；（2）若函数12()(2)()2x g x f x mf x -=-+在[0,)x ∈+∞上的最小值为5-，求实数m 的值.【答案】（1）1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）m =【解析】(1)先判定()f x 的奇偶性,再化简()2(2)0f t t m f t --+>,利用函数的奇偶性与单调性与恒成立问题求解最值分析即可.(2)代入化简得()22()2222x x x x g x m --=+--,再根据()22222222x x x x --+=-+代入换元根据二次函数的最值求解即可.【详解】解：（1）∵()f x 的定义域为R ,()()2222()x x x x f x f x ---=-=--=-, ∴()f x 是奇函数.()2(2)0f t t m f t --+>化为()2(2)(2)f t t m f t f t -->-=-. ∵1()22x xf x =-是增函数, ∴22t t m t -->-,∴2m t t <+.∵[1,2]t =-,∴12t =-时,()2min 111424t t +=-=-. ∴14m <-,即m 的取值范围是1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. （2）22()22,(2)22x x x x f x f x --=-=-,()()1222222()(2)()22222222222x x x x x x x x x x g x f x mf x m m ------=-+=---+⨯=+--()()222222222()()2()224x x x x m m m f x mf x f x --⎡⎤=-+--=-+=--+⎢⎥⎣⎦. ∵[0,),(0)0,()x f f x ∈+∞=是增函数,∴()[0,)f x ∈+∞.∴0m …时,()g x 最小值为2.0m >时,()g x 最小值为224m -, 由225,04m m -=->得m =. 【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解不等式的方法,同时也考查了二次函数有关的复合函数最值问题,需要熟悉()22222222x x x x --+=-+等关系.属于难题.。
2019-2020学年河南省开封市高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省开封市高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B ⋂=ð（ ） A ．{}2,5 B ．{}3,6 C ．{}2,5,6 D ．{}2,3,5,6,8【答案】A【解析】{}2,5,8U B =ð,所以{}2,5U A B ⋂=ð，故选A. 【考点】集合的运算.2．若方程222x y x m +-=表示圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞ C ．(),0-∞ D ．()0,∞+【答案】B【解析】将圆方程化为标准形式,满足20r >即可. 【详解】将圆方程222x y x m +-=化为标准方程:22(1)1x y m -+=+, 则210r m =+>, 故1m >-, 故选:B. 【点睛】本题主要考查圆的方程,属于简单题. 3．下列说法正确的是（ ） A ．四边形一定是平面图形 B ．三点确定一个平面C ．平行四边形一定是平面图形D ．平面α和平面β有且只有一条交线 【答案】C【解析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误. 【详解】对于选项A,四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A 错误; 对于选项B,不共线的三点确定一个平面,故B 错误;对于选项C,平行四边形的对边平行,可以确定一个平面,故C 正确; 对于选项D,若平面α和平面β平行,则其没有交线,故D 错误; 故选:C. 【点睛】本题考查点､线､面的位置关系及公理,推论,涉及知识比较基础,但容易弄混,要求学生对基础知识掌握牢固.4．已知m ､n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ B ．若//m α，//m n ，则//n α C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】A【解析】利用线面平行,线面垂直的判定定理以及性质定理对选项依次分析正误. 【详解】对于选项A,若m α⊥,//m n ,根据线面垂直的性质,可以推出n α⊥,故A 正确; 对于选项B,若//m α,//m n ,则//n α或n ⊂α,故B 错误; 对于选项C,若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n ⊂α,故C 错误;对于选项D,若//m α,m n ⊥,则n 与α相交或平行或n ⊂α,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查空间中线线,线面位置关系的判断,需要学生有一定的空间想象及推理能力,对各类判定方法及性质能灵活应用. 5．幂函数()2531m y m m x--=--在()0,∞+上为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．2m =或1m =-D ．12m +≠【答案】A【解析】根据题意列出不等式组,求其交集即可.因为幂函数()2531m y m m x--=--在()0,∞+上为减函数,所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩,解得2m =, 故选:A. 【点睛】本题考查幂函数的基本性质,难度不大.6．从平面α外一点P 引平面α的垂线，垂足为H ，PA ､PB 是平面α的两条斜线（点A ､B 在平面α内)，5PA =，PB =34AH BH =，则点P 到平面α的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．92D ．143【答案】B【解析】由题可知PH ⊥平面α,因此在,Rt PAH Rt PBH ∆∆中,利用勾股定理即可求解. 【详解】由题可知PH ⊥平面α, 故,PH AH PH BH ⊥⊥,所以2222222222942516432PH PH BHPH PA AH BH PH PB BH PH BH⎧=⎧=-=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪=-⎩, 所以点P 到平面α的距离为4PH =, 故选:B. 【点睛】本题主要考查线面垂直的应用,需要学生有一定的空间思维和计算能力. 7．函数13y = ）A ．(],3-∞B ．(]0,1C ．(]0,3D ．(]1,3【答案】C【解析】11≤，结合指数函数的单调性，即可得到函数函数13y =.0≥，∴11≤，∴1033<≤.故选：C 【点睛】本题主要考查了具体函数的值域，属于基础题.8．若偶函数()f x 在(],0-∞内单调递减，则不等式()()1lg f f x -<的解集是（ ） A ．()0,10B ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,10⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()10,10,10骣琪??琪桫【答案】D【解析】由题知偶函数()f x 在(0,)+∞内单调递增,因此可以将题设不等式转化lg 1x >求解.【详解】若偶函数()f x 在(],0-∞内单调递减, 则()f x 在(0,)+∞内单调递增, 则()()()()1lg 1lg 1lg f f x ff x x -<⇒-<⇒<,解得10x >或1010x <<, 故选:D. 【点睛】本题属于利用函数的单调性与奇偶性解不等式问题,需要学生对函数的性质熟练掌握且灵活应用.尤其在遇见偶函数解不等式问题时,常用()()f x f x =进行转化.9．把直线y x =，y x =-，1x =围成的图形绕y 轴旋转一圈，所得旋转体的体积为（ ） A ．3π B ．23π C ．43π D ．2π【答案】C【解析】根据题意画出直线所围图形,推出旋转体的形状,再求体积即可.直线y x =,y x =-,1x =围成图中阴影部分所示的图形,则其绕y 轴旋转一周得到的几何体是一个圆柱挖去两个相同且共顶点的圆锥,圆柱的体积21122V ππ=⋅⋅=,圆锥的体积2211133V ππ=⋅⋅⋅=, 因此所求几何体的体积为12423V V V π=-=, 故选:C. 【点睛】本题考查了旋转体的形成及其体积计算问题,属于基础题.10．已知圆1C 的圆心在x 轴上，半径为1，且过点()2,1-，圆2C ：()()224210x y -+-=，则圆1C ，2C 的公共弦长为（ ）A 62B ．32C 37D ．2【答案】A【解析】根据题意设圆1C 方程为:22()1x a y -+=,代点(2,1)-即可求出a ,进而求出1C 方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长. 【详解】设圆1C 的圆心为(,0)a ,则其标准方程为:22()1x a y -+=,将点(2,1)-代入1C 方程,解得2a =, 故1C 方程为:22(2)1x y -+=,两圆1C ,2C 方程作差得其公共弦所在直线方程为:4470x y +-=,圆心()12,0C8=,因此公共弦长为=故选:A. 【点睛】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.11．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C 【解析】【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 12．已知函数()2log ,046,4x x f x x x ⎧<<=⎨-≥⎩，若()()()f a f b f c ==（a b c <<)，则abc的取值范围是（ ） A ．()2,3 B ．()2,4 C ．()4,6 D ．()3,6【答案】C【解析】画出()f x 图像,结合图像即可推出1ab =,(4,6)c ∈,从而可得结论. 【详解】画出()f x 图像如下图所示:由图可知,22()()log log f a f b a b =⇒-=,即1ab =, 又(4,6)c ∈,所以(4,6)abc ∈, 故选:C. 【点睛】本题考查分段函数的应用问题,运用了数形结合的思想,难度不大.二、填空题13．已知直线1l ：2210x y --=，2l ：220x -+=，则直线1l ，2l 之间的距离为______. 【答案】62【解析】将直线2l 2220x y -+=,再利用两平行线的距离公式求解. 【详解】直线2l 2220x y -+=, 则直线1l ,2l ()21624--=+, 故答案为:62【点睛】本题考查求两平行线间的距离,注意应用公式时,两平行线方程必须是一般式方程,且,x y 的系数对应相等.14．已知函数()2log ,031,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则()()311log 2f f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.【答案】5【解析】依据分段函数解析式,分别代数求解即可. 【详解】2(1)log 10f ==Q ,0((1))(0)312f f f ∴==+=,又31log 231log =3132f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭, ()()311log 52f f f ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,故答案为:5. 【点睛】本题考查分段函数求值,结合了指对运算,难度不大. 15．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.【答案】2或12【解析】将函数化为()2()26xf x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a .【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-, 11x -≤≤Q ,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.16．如图，在底面边长为1的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 为1AA 的中点，异面直线BE 与1CD 1AA 的长度为______.【答案】1或2【解析】连1A B,由11//A B CD,知异面直线BE与1CD所成角的平面角为1A BE∠,故过点E作1EH A B⊥于点H,设EH h=,即可表示出,BE AE,又由11A HE A AB∆∆∽,可得其对应线段成比例,列出等式代入数据后即可得解.【详解】连1A B,由题可知11//A B CD,可得异面直线BE与1CD所成角的平面角为1A BE∠,过点E作1EH A B⊥于点H,设EH h=,有110sin10EHBE hA BE===∠,222101AE BE AB h=-=-,又11A HE A AB∆∆∽,有11A EEHAB A B=,得()22101114101h hh-=+-,解得218h=或15,所以12AE=或1,所以11AA=或2.【点睛】本题考查空间中棱长的求法,需要学生有一定的空间思维和计算能力,解题关键是将异面直线所成角转化为平面角求解.三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知直线l 过点()1,1. （1）若直线l 的纵截距和横截距相等，求直线l 的方程； （2）若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为14，求直线l 的方程. 【答案】（1）y x =或20x y +-=，（2）210x y --=或210x y -+=. 【解析】(1)按截距为0和截距不为0,分两种情况求解方程即可; (2)设出直线方程,确定其横､纵截距后,根据面积公式列等式求解即可. 【详解】(1)①若直线l 截距为0，则其过原点,可得直线l 的方程为y x =, ②若直线l 截距不为0,设直线l 的方程为1(0)x ya a a+=≠, 代点()1,1入方程可得111a a+=,解得2a =, 此时直线l 的方程为20x y +-=,综上所述,所求直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=; (2)由题意知直线l 的斜率存在且不为零, 故可设直线l 的方程为()11y k x =-+(0k ≠), 可得直线l 与坐标轴的交点坐标为()0,1k -,1,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭, 因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为14, 则有111124k k k -⨯-⨯=,解得2k =或12k =. 故所求直线方程为210x y --=或210x y -+=. 【点睛】本题考查了求直线方程,涉及了三角形面积公式,需要学生有一定的计算能力,难度不大. 18．如图，AC 是O e 的直径，点B 是O e 上与A ，C 不重合的动点，PO ⊥平面ABC .（1）当点B 在什么位置时，平面OBP ⊥平面PAC ，并证明之；（2）请判断，当点B 在O e 上运动时，会不会使得BC AP ⊥，若存在这样的点B ，请确定点B 的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）当OB AC ⊥时，平面OBP ⊥平面PAC ，证明见解析，（2）不存点B 使得BC AP ⊥，理由见解析【解析】(1)由题可推出平面ACP ⊥平面ABC ,故OB AC ⊥时,即可推出OB ⊥平面PAC ,进而得出结论;(2)假设存在点B 满足题意,即可推出BC ⊥平面PAB ,进而有BC BP ⊥,又由题可推得BP PC =,故PBC ∠为锐角,这与BC BP ⊥矛盾,故不存点B 使得BC AP ⊥.【详解】(1)当OB AC ⊥时,平面OBP ⊥平面PAC ,证明如下:OP ⊥Q 平面ABC ,OP ⊂平面ACP ,∴平面ACP ⊥平面ABC ,OB AC ⊥Q ,平面APC I 平面ABC AC =,OB ∴⊥平面PAC ,OB ⊂Q 平面OBP ,∴平面OBP ⊥平面PAC ;(2)假设存在点B ,使得BC AP ⊥,Q 点B 是O e 上的动点,BC AB ∴⊥,又BC AP ⊥Q ,AB ､AP ⊂平面PAB ,AB AP A =I ,BC ∴⊥平面PAB ,BP ⊂Q 平面PAB ,BC BP ∴⊥,设OB R =,在Rt OPC ∆中,有2222PC OC OP R OP +=+在Rt OPB ∆中,有2222PB OB OP R OP +=+,可得BP PC =,故PBC ∠为锐角,这与BC BP ⊥矛盾,故不存点B 使得BC AP ⊥.【点睛】本题考查空间中的垂直问题,需要一定的空间思维和推理能力,属于中档题.解决存在性问题时,一般先假设存在,再以此为基础,推出结论或矛盾.19．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12x f x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围 .【答案】（1）2a =（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】(1)依题意代数求值即可;(2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设条件可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,因此,求出()g x 的最小值即可得出结论.【详解】(1)()32f =-Q , ()12log 1032a ∴-=-, 即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得2a =; (2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立, ()g x Q 在[]3,4上为增函数,()31min2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭, 178m ∴<-, m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.20．如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，1AD =，3BC =，2AB CD ==，点E 为PC 边上的点，2EC PE =.（1）求证：//DE 平面PAB ；（2）若12PA =，求点E 到平面PAB 的距离 . 【答案】（1）证明见解析（2）22 【解析】(1)在PB 上取一点,使得2BF PF =,推出//EF BC ,则四边形ADEF 为平行四边形,从而//DE AF ,进而得到//DE 平面PAB ;(2)由(1)知,//DE 平面PAB ,故点E 到平面PAB 的距离与点D 到平面PAB 的距离相等,设点E 到平面PAB 的距离为d ,由B PAD D PAB V V --=,即可解出d .【详解】(1)证明:如图,在PB 上取一点,使得2BF PF =,2BF PF =Q ,2CE PE =,12PF PF FB EC ∴==,可得//EF BC , 13EF BC ∴=,可得113133EF BC ==⨯=, 又1AD =Q ,且//AD BC ,//AD EF ∴且AD EF =,∴四边形ADEF 为平行四边形,//DE AF ∴,AF ⊂Q 平面PAB ,DE ⊄平面PAB ,//DE ∴平面PAB ;(2)由(1)知,//DE 平面PAB ,故点E 到平面PAB 的距离与点D 到平面PAB 的距离相等,设点E 到平面PAB 的距离为d ,过点A 作AH BC ⊥于点H ,可得()()1131122BH BC AD =-=⨯-=, 故在Rt ABH ∆中,22211AH AB BH =-=-=, //BC AD Q ,AH BC ⊥,AH AD ∴⊥,又PA ⊥Q 平面ABCD ,AH ⊂平面ABCD ,PA AH ∴⊥,AD ⊂Q 平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,PA AD A ⋂=, AH ∴⊥平面PAD ,11111132212B PAD V -∴=⨯⨯⨯⨯=,11122322D PAB V d -=⨯⨯⨯=, B PAD D PAB V V --=Q ,2112=,解得2d =, 故点E 到平面PAB 的距离为22. 【点睛】本题考查线面平行的证明,考查点到平面距离的求法,属于中档题.一般而言,解决点到平面距离问题时,常用等体积法.21．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .【答案】（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩ 【解析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; (2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, 当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+, 当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭, 综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题.22．如图，已知圆O ：224x y +=和点()6,8A ，由圆O 外一点P 向圆O 引切线PQ ，Q为切点，且有PQ PA=.（1）求点P的轨迹方程，并说明点P的轨迹是什么样的几何图形?（2）求PQ的最小值；（3）以P为圆心作圆，使它与圆O有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.【答案】（1）34260x y+-=，轨迹是斜率为34-，在y轴上的截距为132的直线，（2）245（3）2278104256252525x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】(1)设点P(),x y,根据PQ PA=,列式化简即可得解;(2)由PQ PA=可知,PQ的最小值即为点A到直线34260x y+-=的距离;(3)结合圆的性质可知,OP与直线34260x y+-=垂直,且圆P与圆O相切时,半径最小,据此求解即可.【详解】(1)设点P的坐标为(),x y,()()2268PA x y=-+-222244PQ OP x y=-=+-,由题意有()()2222684x y x y-+-=+-,整理为:34260x y+-=,故点P的轨迹方程为34260x y+-=,点P的轨迹是斜率为34-,在y轴上的截距为132的直线;(2)由PQ PA=和(1)可知,PQ的最小值即为点A到直线34260x y+-=的距离,2218322624534+-=+;(3)由圆的性质可知,当直线OP 与直线34260x y +-=垂直时,以此时的点P 为圆心,且与圆O 相外切的圆即为所求,此时OP 的方程为43y x =, 联立方程4334260y x x y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩,解得782510425x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即78104(,)2525P , 又点O 到直线34260x y +-=的距离为265,可得所求圆的半径为2616255-=, 故所求圆的标准方程为2278104256252525x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,综合运用了直线与圆的各项性质,需要学生有一定的分析和计算能力,属于中档题.。
河南省开封市2019-2020学年高一上学期期末考试数学答案(PDF版)
2
2
f x 在 36,57上单调递减，所以 f x f 36 87 . ………………10 分
因为 89 87 ，所以在甲合作社投入 16 万元，乙合作社投入 56 万元时，总收益最大，
最大总收益为 89 万元. ………………12 分
21.（本小题满分 12 分） 解：（1）因为平面 ABCD⊥平面 ACEF，AF⊥AC， 所以 AF⊥平面 ABCD，
19.（本小题满分 12 分）
3
解：（1）BC 的中点为（1， ），………………2 分
2
由两点式可得
y 3
2 2
x3 13
，所以所求直线方程为
x
4y
5
0
.………………6
分
2
（2）BC
边所在直线斜率为 kBC
3 2
，BC
边上的高所在直线的斜率为
2 3
，……9
分
1
由点斜式可得 y 2 2 x 3 ，所以所求直线方程为 2x 3y 0 . ……………12 分
③
x
0,1
时，该不等式等价于
m
m
x2 1 x 1 x2 2 x 1
.
x 0,1 时， m x2 1 即 m x 1恒成立， m 2 ； ………………10 分
x 1
x1 恒成立，
又 BN 平面 BEF，所以 DM⊥BN，故 DM 与 BN 所成角为定值 90o. …………6 分
（2）DE=BE，DF=BF，O 为 BD 中点，可得 OE⊥BD，OF⊥BD， ∠EOF 为二面角 E-BD-F 的平面角，所以∠EOF=60o， ………………8 分
河南省开封市第五中学2019-2020学年高一下学期3月月考数学试题 Word版含解析
数学试题一、选择题（每小题5分共60分）1. 在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1,x2,…,x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i=1,2,…,n)都在直线y=12x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A. －1B. 0C. 12D. 1【答案】D 【解析】【分析】所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线112y x=+上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.【详解】由题设知，所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，n）都在直线112y x=+上，∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.2. 某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )A. 100B. 150C. 200D. 250【答案】A【解析】试题分析：根据已知可得：70100 350015003500nn=⇒=+，故选择A考点：分层抽样3. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53【答案】A 【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47=462，众数是45，极差为68-12=56.所以选A.点评：此题主要考察样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体.4. 如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A.34B.16C. 1112D.2524【答案】C【解析】由算法流程图知s＝0＋12＋14＋16＝1112.选C.5. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于A. 14B.13C. 12D.23【答案】C【解析】【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．【详解】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．故选C．【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．6. 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10，12）内的频数为（）A. 18B. 36C. 54D. 72【答案】A 【解析】试题分析：每一组的频率等于本组矩形的面积，所以的面积是，所以这组的频数就是，故选A.考点：频率分布直方图7. 若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y =1相切，则圆C 的方程是（ ） A. 22(2)4x y -+=B. 2225(2)4x y -+=C. 223(2)()42x y -++= D.22325(2)()24x y -++=【答案】D 【解析】 【分析】结合圆上点的对称性，可设圆心为()2,b ，再结合半径相等建立方程组求解即可【详解】因为圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y =1相切，可设圆心为()2,b ，1b <，则圆心到原点的距离等于到1y =2221b b +=-，解得32b =-，则半径为52，圆心为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆的方程为：22325(2)()24x y -++=故选：D【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题8. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是（ ） A.34B.12C.23D.13【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有可能性，结合古典概型公式计算即可【详解】由题可知，所有可能性有：()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，符合条件的有()()1,2,2,4，故其中一个数是另一个的两倍的概率是2163P == 故选：D【点睛】本题考查古典概型的计算，属于基础题 9. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元） 4 2 3 5 销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 63.6万元 B. 65.5万元C. 67.7万元D. 72.0万元【答案】B 【解析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程10. 如图框图，当x 1=6，x 2=9，p=8.5时，x 3等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 11【答案】B 【解析】试题分析：从程序框图中得到求p 的解析式；列出方程，求出x 3的值． 解：∵ ∴解得x 3=8 故选B点评：本题考查通过程序框图能判断出框图的功能．11. 已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ）A. 12-B. 1C. 2D.12【答案】C【解析】【详解】试题分析：设过点(2,2)P 的直线的斜率为k ，则直线方程(22)y k x -=-，即220kx y k -+-=，由于和圆相切，故251k =+，得12k =-，由于直线220kx y k -+-=与直线10ax y -+=，因此112a -⨯=-，解得2a =，故答案为C.考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.12. 已知圆的方程为2240x y x +-=，直线(1)y k x =+上存在点P ，过点P 做圆的切线互相垂直，实数k 的取值范围是（ ） A. (,22⎤-∞-⎦B. (),2222,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣C.22,22-⎡⎤⎣⎦D. 2525,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】先确定圆心和半径，再结合几何关系得出关于k 的不等式，即可求解 【详解】圆的标准方程为：()2224x y -+=，则圆心为()20,，半径2r，设两切点为,A B ，由题意可得四边形PACB 为正方形，则222PC r ==，所以圆心()20,到直线(1)y k x =+的距离d PC ≤，即23221k k ≤+，解得28k ≤，即22,22k -⎡⎤∈⎣⎦故选：C【点睛】本题考查由直线与圆的位置关系求参数，转化思想，属于中档题 二、填空题（每小题5分共20分）13. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________． 【答案】23【解析】3a ﹣1＞0即a ＞，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为P==．14. 盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____. 【答案】35【解析】【详解】从5个球中任选2个，共有2510C =种选法.2个球颜色不同，共有11326C C =种选法. 所以所求概率为63105p ==.15. 由正整数组成的一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________.(从小到大排列) 【答案】1,1,3,3 【解析】【详解】设1234x x x x ≤≤≤，则x 2+x 3=4，123414244x x x x x x +++=∴+=.22222222212341234(2)(2)(2)(2)1(2)(2)(2)(2)44x x x x x x x x -+-+-+-=∴-+-+-+-=因为1234,,,x x x x 为正整数，所以12341,1,3,3x x x x ==== 考点：本题考查平均数与中位数及标准差的求解.16. 过直线:220l x y +-=上一点P 作圆：221x y +=的两条切线的夹角为60°，则点P 的坐标为__________． 【答案】2,2【解析】【详解】设切断为E 、F60EPF ∠=由切线的性质可知30OPF ∠=，因为,OE PE ⊥所以设，由故点P 的坐标为(2,2.【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，以及切线的性质．已知切线往往连接圆心与切点，借助图形构造直角三角形解决问题，培养了学生数形结合的思想，分析问题，解决问题的能力三、解答题（写出简要的文字说明及推理计算过程）17. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1、2、3、4、5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5fa 0.2 0.45b c（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件；求a 、b 、c 的值．（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件记为x 1、x 2、x 3，等级系数为5的2件记为y 1、y 2．现从这五件日用品中任取2件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．【答案】（1）0.1,0.15,0.1a b c ===；（2）所有可能的结果详见解析；概率为0.4． 【解析】 【分析】（1）根据频数与频率的关系，将频数转化成频率，求出,b c ，再根据频率之和为1求出a ； （2）用列举法写出所有的可能性，再结合古典概型公式求解即可 【详解】（1）由频率分布表得0.20.451,0.35a b c a b c ++++=++=， 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以30.15,20b == 等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==，从而0.350.1a b c =--=所以0.1,0.15,0.1.a b c ===（2）从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y ，设事件A 表示“从日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：{}{}{}{}12132312,,,,,,,x x x x x x y y 共4个，又基本事件的总数为10，故所求的概率4()0.4.10P A == 【点睛】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，属于中档题18. 一汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车A轿车B轿车C舒适型 100 150 z标准型 300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆. （1）求z 的值.（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 【答案】（1）400 （2）710（3）0.75【解析】 【分析】（1）由分层抽样按比例运算即可得解；（2）先求出基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求解即可； （3）先求出平均数，再求概率即可.【详解】解：（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意可得5010100300n =+，即2000n =， 则2000(100300)150450600400z =-+---=；（2）抽取一个容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，用12,A A 表示2辆舒适型轿车，123,,B B B 表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则在该样本中任取2辆的基本事件为{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,AB ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B 共10个，事件E 为{}12,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}13,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}23,A B 共7个， 故7()10P E =; （3）由题意可得1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98x =+++++++=， 则满足该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个， 故所求概率为68，即0.75. 【点睛】本题考查了分层抽样及平均数求法，重点考查了古典概型概率公式，属中档题. 19. 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现用分层抽样方法（按A 类，B 类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数） （1）A 类工人中和B 类工人各抽查多少工人？（2）从A 类工人中抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2： 表1：生产能力分组 [)100,110[)110,120[)120130, [)130140, [)140150, 人数 48x5 3表2：生产能力分组 [)110,120[)120130, [)130140, [)140150, 人数 6y3618①先确定x ，y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）②分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）图1A 类工人生产能力的频率分布直方图 图2B 类工人生产能力的频率分布直方图 【答案】（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B 类②123，133.8，131.1 【解析】 【分析】（1）先计算抽样比为110，进而可得各层抽取人数（2）①A 类、B 类工人人数之比为250:7501:3=，按此比例确定两类工人需抽取的人数，再算出x 和y 即可．画出频率分布直方图，从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小 ②取每个小矩形的横坐标的中点乘以对应矩形的面积相加即得平均数. 【详解】（1）由已知可得：抽样比10110010k ==， 故A 类工人中应抽取：12502510⨯=人， B 类工人中应抽取：17507510⨯=人， （2）①由题意知48525x +++=，得5x =，6361875y +++=，得15y =．满足条件的频率分布直方图如下所示：从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小． ②485531051151251351451232525252525A x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 6153618115125135145133.875757575B x =⨯+⨯+⨯+⨯= 2575123133.8133.1100100x =⨯+⨯= A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1【点睛】本题考查等可能事件、相互独立事件的概率、频率分布直方图的理解以及利用频率分布直方图求平均数等知识、考查运算能力．20. 某种产品的广告支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下的对应关系x 2 4 5 6 8 y3040605070（1）假定y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程． （2）若实际销售额不少于60百万元，则广告支出应该不少于多少？参考数据：55211145,1380i i i i i x x y ====∑∑参考公式：121ˆ()()(ˆ)ˆniii ni i x x y y b x x ay bx ==⎧--⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑【答案】（1）ˆ 6.517.5y x =+；（2）6.54百万元．【解析】 【分析】（1）先求出样本中心(),x y ，再求出b ，由ˆˆay bx =-求出a ，即可求解； （2）由（1）得ˆ 6.517.5yx =+，令60y ≥解出对应x 值即可 【详解】（1）5,50x y ==，55115522211()()513801250ˆ 6.5145125()5iii ii i iii i x x y y x y xybx x xx ====----====---∑∑∑∑ ，50 6.5517.5ˆˆay bx =-=-⨯=， （2）ˆ 6.517.5yx =+，令6.517.560,x +≥得856.5413x ≥≈，所以广告支出应该不少于多少6.54百万元【点睛】本题考查线性回归方程的求解，由回归方程进行数据预测，属于中档题21. 在平面直角坐标系xOy 中,已知圆P 在x 轴上截得线段长为2,在y 轴上截得线段长为3(1)求圆心P 的轨迹方程; (2)若P 点到直线y=x 的距离为22,求圆P 的方程. 【答案】（Ⅰ）221y x -=（Ⅱ）22(1)3x y +-=或22(1)3x y ++= 【解析】试题分析：（1）设(),C x y ，圆C 的半径为r ，则22222,3y r x r +=+=，可得圆心C 的轨迹方程；（2）设()00,C x y ，则 22001y x -=，又根据点到直线距离公式得00222x y -=，解出00,x y ，进而可得圆的半径，求得圆C 的方程．试题解析：（1）设(),C x y ，圆C 的半径为r ，由题设22222,3y r x r +=+=，从而，故C 的轨迹方程为221y x -=．（2）设()00,C x y ，由已知得00222x y -=，又C 点在双曲线221y x -=上，从而得0022001{1x y y x -=-=．由0022001{1x y y x -=-=，得000{1x y ==-，此时，圆C 的半径3r =， 由0022001{1x y y x -=--=，得000{1x y ==，此时，圆C 的半径3r =，故圆C 的方程为()2213x y ++=或()2213x y +-=．考点：1.勾股定理及点到直线的距离公式；2.轨迹方程及待定系数法求圆的方程． 【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有：①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00{x g x y h x ==代入()00,0=f x y ．本题（1）就是利用方法①求C 的轨迹方程的．22. 已知圆M ：()2244x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（Ⅰ）当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段AB 长度的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）84(0,4),,55⎛⎫⎪⎝⎭；（Ⅲ）AB 有最小值【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点P (,)x y 是直线l ：20x y -=上的一动点，得2x y =，由切线PA 的长度为23得()()2204423x y -+--=，解得168(0,0)(,)55P P 或（Ⅱ）设P （2b,b ），先确定圆N 的方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭，再按b 整理：()22(24)40x y b x y y +--+-=由22240{40x y x y y +-=+-=解得0{4x y ==或85{45x y ==，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭（Ⅲ）先确定直线AB 方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭及 圆M ：()2244x y +-=，相减消去x,y 平方项得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-=，相交弦长即：222442441415816464555AB d b b b =-=-=--+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当45b =时，AB 有最小值11试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M 的半径r ＝2，设P （2b,b ）， 因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP＝90°, 所以MP ＝()()22220244b b AM AP -+-=+=，解得所以168(0,0)(,)55P P 或4分 （Ⅱ）设P （2b ，b ），因为∠MAP＝90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()22(24)40x y b x y y +--+-= 由22240{40x y x y y +-=+-=， 7分解得0{4x y ==或85{45x y ==，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭9分 （Ⅲ）因为圆N 方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ 即222(4)40x y bx b y b +--++=①圆M ：()2244x y +-=，即228120x y y +-+=②②－①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程：2(4)1240bx b y b +-+-=11分点M 到直线AB 的距离25816d b b =-+13分相交弦长即：222442441415816464555AB d b b b =-=-=--+⎛⎫-+⎪⎝⎭当45b =时，AB 1116分 考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程。
河南省郑州市2019-2020学年高一下期末达标测试数学试题含解析
河南省郑州市2019-2020学年高一下期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a ,b 满足1a b ==,a 和b 的夹角为4π,则a b ⋅=( ) A ．12BCD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的数量积公式，即可得到本题答案. 【详解】由题意可得o 112c s 4cos4a b a b ππ⋅==⨯⨯⋅=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式，属基础题.2．若变量x ，y 满足约束条件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值是A ．48B ．30C ．24D ．16【答案】C 【解析】 由()()8842165161624428x y x y x y y x z y x a y x y x +≤+≤⎧⎧⇒⇒++-≤⇒-≤⇒=⎨⎨-≤-≤⎩⎩＝， 由8802408400,02x y x y x x xx y +≤⎧-≥⎧⎪⎪-≤⇒⇒≤≤⎨⎨+≥⎪⎪≥≥⎩⎩，当8x =最大时，0y = 最小，此时58z y x =-=- 最小，8,16824b a b ∴=-∴-=+=，故选C.【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移0l 求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采用设元求出构造所学的系数. 3．若23x =，则x =（ ）A ．2log 2B ．lg 2lg3-C ．lg 2lg 3D ．lg3lg2【答案】D 【解析】 【分析】将指数形式化为对数形式可得2log 3x =，再利用换底公式即可. 【详解】 解：因为23x =， 所以2lg 3log 3lg 2x ==， 故选：D. 【点睛】本题考查了指数与对数的互化，重点考查了换底公式，属基础题.4．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） A ．14B ．12C ．18D ．16【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】设三件正品分别记为1,2,3，一件次品记为a则从三件正品、一件次品中随机取出两件，取出的产品可能为{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,,2,3,2,,3,a a a ，共6种情况，其中取出的产品全是正品的有3种 所以产品全是正品的概率31=62P = 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递减的函数是（ ） A ．1y x=B ．21y x =+C ．21y x =-+D ．lg y x =【答案】C 【解析】【分析】依次分析选项的奇偶性和在区间()0,∞+上的单调性即可得到答案. 【详解】 因为1y x=是奇函数，故A 选项错误， 因为lg y x =是非奇非偶函数，故D 选项错误， 因为21y x =+是偶函数，由函数图像知， 在区间()0,∞+上单调递增，故B 选项错误， 因为21y x =-+是偶函数，由函数图像知， 在区间()0,∞+上单调递减，故C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，二次函数单调性的判断，属于基础题.6．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20πC ．24πD ．32π【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线1BD 是其外接球的直径, 1BD 的中点O 是球心, 如图:依题意设AB BC ==x ,则正四棱柱的体积为:24x 16=,解得2x =, 所以外接球的直径2222444162426R x x ++=++=所以外接球的半径6R =,则这个球的表面积是2424R ππ=.故选C. 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.7．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ） 3 9 4 0 1 1 2 5 5 1 3 6 6 7 7 8 8 8 9 6 00 123 34 5A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可． 【详解】解：样本间隔为2464÷=，年龄不超过55岁的有8人， 则这个小组中年龄不超过55岁的人数为2人．故选：B ． 【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题． 8．在一段时间内，某种商品的价格x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表：若y 与x 呈线性相关关系，且解得回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率0.9b ∧=，则a ∧的值为（ ） A ．0.2 B ．-0.7C ．-0.2D ．0.7【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用线性回归方程的性质计算可得a 的值. 【详解】 由于468101285x ++++==，35891075y ++++==，由于线性回归方程过样本中心点(),x y ，故：70.98a =⨯+， 据此可得：0.2a =-. 故选C. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其应用，属于中等题.9．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（ ） A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】D 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，A 被选中包含的基本事件个数2，由此能求出A 被选中的概率． 【详解】从A ，B ，C 三个同学中选2名代表， 基本事件总数为：,,AB AC BC ，共3个，A 被选中包含的基本事件为：,AB AC ，共2个，A ∴被选中的概率23p =． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题． 10．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（ ） A ．22(6)(5)10x y -+-= B ．22(6)(5)10x y +++= C ．22(5)(6)10x y -+-= D ．22(5)(6)10x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为222(6)(5)x y r -+-=,然后根据圆过点B （3，6），代入方程可求出r 的值，得到圆的方程. 【详解】因为||BC ==,又因为圆心为C （6，5）,所以所求圆的方程为222(6)(5)x y r -+-=,因为此圆过点B （3，6），所以222(36)(65)r -+-=,所以210r =，因而所求圆的方程为22(6)(5)10x y -+-=.考点：圆的标准方程.11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2019a =（） A ．201921-- B ．201936--C ．20191728⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．201911033⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式，最后求出2019a ，选出答案即可. 【详解】因为323n n S a n =-，所以当2,n n N *≥∈时，11323(1)n n S a n --=--，两式相减化简得：1131212()n n n n a a a a --=--⇒++=-，而13a =-，所以数列{}1n a +是以112a +=-为首项，2-为公比的等比数列，因此有1(2)(2)(21)1n n n n a a -+==-⋅-⇒--，所以201292001919(2)121a --=--=，故本题选A.【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.12．计算sin15sin30sin75的值等于（ ）A ．4B ．8C ．18D ．14【答案】C 【解析】 【分析】由三角正弦的倍角公式计算即可． 【详解】 原式111sin15cos15sin30248===．故选C 【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的正弦公式的计算． 二、填空题：本题共4小题13．已知等比数列｛a n ｝为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列｛a n ｝的通项公式a n =______________． 【答案】2n 【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则28911a q a q =，所以1a q =，由212()5n n n a a a +++=得22520q q -+=解得122q q ==或，因为数列{}n a 为递增数列，所以2q ，12a =，所以2n n a =考点定位：本题考查等比数列，意在考查考生对等比数列的通项公式的应用能力 14．若1()(1)k f x k x +=-()k ∈R 为幂函数，则满足sin()sin k θθ=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的θ的 值为________. 【答案】3π 【解析】 【分析】根据幂函数定义知2k =，又sin 2sin θθ=，由二倍角公式即可求解. 【详解】因为1()(1)k f x k x+=-()k ∈R 为幂函数，所以1=1k -，即2k =, 因为sin()sin k θθ=,所以sin 2sin θθ=，即2sin cos sin θθθ=， 因为02πθ<<，所以1cos 2θ=，=3πθ.故填3π. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.15．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】 【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果 【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题16．设数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N，关于数列{}na ，有下列三个命题：（1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则()*1n n a a n +=∈N ；（2）若2(,R)n S an bn a b =+∈，则{}n a 是等差数列： （3）若1(1)nn S =--，则{}n a 是等比数列这些命题中，真命题的序号是__________________________. 【答案】（1）、（2）、（3） 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的定义，以及等差数列和等比数列的前n 项和形式，逐一判断即可. 【详解】既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列，故（1）正确. 等差数列的前n 项和是二次函数形式，且不含常数，故（2）正确. 等比数列的前n 项和是常数加上常数乘以nq 的形式，故（3）正确.故答案为：（1），（2），（3） 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的定义，同时考查了等差数列和等比数列的前n 项和，属于简单题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南省开封市五县联考2019-2020学年高一上学期期末数学试卷(有解析)
河南省开封市五县联考2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={−1,1，2，3，5}，B={2,3，4}，C={x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B=()A. {2}B. {2,3}C. {−1,2，3}D. {1,2，3，4}2.圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A. x2+y2+10y=0B. x2+y2−10y=0C. x2+y2+10x=0D. x2+y2−10x=03.下列说法中正确的是A. 经过三点确定一个平面B. 四边形确定一个平面C. 梯形确定一个平面D. 空间任意两条直线确定一个平面4.给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两个平面互相垂直；②平行于同一平面的两个平面互相平行；③垂直于同一直线的两个平面互相垂直；④平行于同一直线的两个平面互相平行，其中正确命题的序号是()A. ①B. ②C. ③D. ④5.函数y=x13的图象是()A. B. C. D.6.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=4，AB=BC=2，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A. 2√23B. 2√33C. 43D. 2√537.已知函数f(x−1)的定义域为[−2,3]，则函数f(2x+1)的定义域为()A. [−1,9]B. [−3,7]C. [−2,1]D. [−2,12] 8.函数f(x)=(cosx)⋅ln|x|的大致图像是()A. B. C. D.9. 如图是由哪个平面图形旋转得到的( )A. B. C. D.10. 已知圆C 1的圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,−1)，圆C 2：(x −4)2+(y −2)2=10，则圆C 1，C 2的公共弦长为( ) A. √624 B. 3√2 C. 3√74 D. 211. 若函数f(x)={−|x +1|+1,x ≤0sin(π−πx),0<x <13x −3,x ≥1，满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)且a ，b ，c ，d ，e 互不相等，则a +b +c +d +e 的取值范围是( )A. (0,log 349)B. (0,log 394)C. (0,log 343)D. (0,log 334) 12. 已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <46−x,x ≥4，若f(a)=f(b)=f(c)(a <b <c)，则abc 的取值范围是( )A. (2,3)B. (2,4)C. (4,6)D. (3,6)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知P ，Q 分别为直线x +3y −9=0和x +3y +1=0上的动点，则PQ 的最小值为________．14. 已知函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <12x−1,x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是______． 15. 函数f(x)=sin(2x +3π2)−3cosx 的最小值为___________．16. 在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，且AB =BC =2√3，∠ABC =120°，若异面直线A 1B 和AD 1所成的角是90°，则AA 1的长度是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线l 1：2x −y +1=0和l 2：x −y −2=0的交点为P ．(1)若直线1经过点P 且与直线l 3：4x −3y −5=0平行，求直线l 的方程；(2)若直线m 经过点P 且与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，求△OAB 的面积(其中O 为坐标原点)．18. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点， E 为线段PC 上一点．(1)求证：；(2)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(3)当PA//平面BDE 时，求三棱锥E −BCD 的体积．19.已知函数f(x)=2x−1．2x+1(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断并证明f(x)在其定义域上的单调性；(3)若f(k·3x)+f(3x−9x+2)<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．20.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是长方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．(1)证明：PA//平面BDE；(2)若点F在线段PB(不包含端点)上，二面角A−PD−B为45∘，且直线PB⊥平面DEF，求线段DF的长．21.已知函数f(x)=√1+x+√1−x．(1)求函数f(x)的定义域和值域；[f2(x)−2]+f(x)(a<0)，求F(x)的最大值g(a)；(2)设F(x)=a2(3)对于(2)中g(a)，若−m2+2nm+√2≤g(a)在n∈[−1,1]上恒成立，求实数m的取值范围．22.已知圆C1：x2+(y+2)2=4，点A为圆C1上任意一点，点B(4,0)，线段AB的中点为M，点M的轨迹为曲线C2．(1)求点M的轨迹C2的方程；(2)求曲线C1与C2的公共弦长．(3)求过点(3,2)并与C2相切的直线方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集、并集运算，比较基础．根据集合的基本运算即可求A∩C，再求(A∩C)∪B．解：设集合A={−1,1，2，3，5}，C={x∈R|1≤x<3}，则A∩C={1,2}，∵B={2,3，4}，∴(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3，4}={1，2，3，4}；故选：D．2.答案：B解析：本题考查圆的方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键，为基础题．设出圆的圆心与半径，利用已知条件，求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．解：圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，设圆的圆心(0,r)，半径为r．则：√(3−0)2+(1−r)2=r.解得r=5．所求圆的方程为：x2+(y−5)2=25．即x2+y2−10y=0．故选B．3.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，考查平面的基本性质及及推论等基础知识，考查空间想象能力以及判断能力，是基础题．利用平面的基本性质及及推论直接判断各命题的真假．解：在A中，经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，四边形有可能是空间四边形，故四边形不一定能确定一个平面，故B错误；在C中，∵梯形有一组对边平行，∴梯形确定一个平面，故C正确；在D中，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故D错误．故选C．4.答案：B解析：解：①垂直于同一平面的两个平面可能垂直，比如墙角，故错误；②平行于同一平面的两个平面互相平行，正确；③垂直于同一直线的两个平面互相平行，故错误；④平行于同一直线的两个平面可能相交，故错误．故选：B．直接利用线面平行和线面垂直的判定和性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：线面平行和线面垂直的判定和性质的应用，主要考查学生对基础知识的应用，属于基础题型．5.答案：B解析：【分析】本题考查幂函数的图形性质，难度一般由幂函数y=x13的性质知，图象过点(0,0)，(1,1)，<1，所以图象在第一象限内向上凸．排除C．故排除A，D.因为y=x13中0<α=13【解答】解：由幂函数y=x13的性质知，图象过点(0,0)，(1,1)，故排除A，D．<1，因为y=x13中0<α=13所以图象在第一象限内向上凸，排除C．故选B．6.答案：C解析：【分析】本题考查空间向量两点之间的距离，属于基础题．以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，得出各点坐标，根据两点间的距离公式即可求出线段PQ 的最小值．解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0，0)，C(0,2，0)，C 1(0,2，4)，则可设P(0,t ，2t)，t ∈[0,2]，Q(2−m,m ，0)，m ∈[0,2]，∴PQ =√(m −2)2+(t −m)2+(2t)2=√5(t −m 5)2+95(m −109)2+169，当且仅当5t =m =109时，PQ 取得最小值43， 故选C ．7.答案：D解析：本题考查了抽象函数定义域的求法，若函数y =f(x)的定义域为[a,b]，求解y =f[g(x)]的定义域，只要让g(x)∈[a,b]，求解x 即可，属于基础题.先求出f(x)的定义域，再求f(2x +1)的定义域． 解：因为函数f(x −1)的定义域为[−2,3]，所以−3≤x −1≤2，所以函数f (x )的定义域为[−3,2]，所以−3≤2x+1≤2，所以函数f(2x+1)的定义域为[−2,12]．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题考查函数图像的应用，利用排除法.由解析式得出定义域和奇偶性，即可排除C，D；再代入特殊值π6，排除A，因此选出正确答案．【解答】解：因为f(x)=(cosx)⋅ln|x|，所以f(x)的定义域为{x|x≠0}，又因为f(−x)=cos(−x)⋅ln|−x|=(cosx)⋅ln|x|=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，排除C，D；又f(π6)=(cosπ6)⋅ln|π6|<0，排除A．故选B．9.答案：D解析：本题考查圆锥和圆台及其结构特征，属于基础题．根据圆锥以及圆台的概念即可得出结果．解：由题意，该几何体上半部分为圆锥，由直角三角形旋转得到，下半部分为圆台，由直角梯形旋转得到．可知：该几何体是由选项D中的平面图形旋转得到的，故选D．10.答案：A解析：解：设圆C1的方程为(x−a)2+y2=1，代入点(2,−1)的坐标得(2−a)2+1=1，解得a=2，故圆C1的方程为(x−2)2+y2=1，化为一般方程为x2+y2−4x+3=0，圆C2的一般方程为x2+y2−8x−4y+10=0，两圆方程作差得4x +4y −7=0，点C 1到直线4x +4y −7=0的距离为4√2=√28， 则圆C 1，C 2的公共弦长为2(√28)=√624． 故选：A ．设圆C 1的方程为(x −a)2+y 2=1，代入点(2,−1)的坐标得a =2，从而圆C 1的方程为(x −2)2+y 2=1，两圆方程作差得4x +4y −7=0，点C 1到直线4x +4y −7=0的距离为4√2=√28，由此能求出圆C 1，C 2的公共弦长．本题考查两圆公共弦长的求法，考查圆的性质、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 11.答案：C解析：解：作出函数f(x)的图象， 令直线y =t 与f(x)的图象交于五个点，其横坐标由左到右依次为a ，b ，c ，d ，e ；则由图象可得，b +a =−2，c +d =1，3e −3=t ，由于0<t <1，则得到3<3e <4，1<e <log 34，即有0<a +b +c +d +e <log 34−1=log 343，故选：C ．作出函数f(x)的图象，令直线y =t 与f(x)的图象交于五个点，其横坐标由左到右依次为a ，b ，c ，d ，e ，则由图象可得，b +a =−2，c +d =1，3e −3=t ，由于0<t <1，即可求得e 的范围，从而得到a +b +c +d +e 的范围．本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：如图所示：要使由f(a)=f(b)=f(c)，则f(a)=f(b)=f(c)∈(0,2]因为a <b <c ，f(a)=−log 2a =log 2a −1，f(b)=log 2b ，f(a)=f(b)，所以ab =1，所以4<c <6，所以abc =c ∈(4,6)，故选：C ．由所给的函数画出大致图象，数形结合可得ab =1，c ∈(4,6)，进而求出abc 的取值范围． 考查函数与方程的综合应用，属于中档题．13.答案：√10 解析：本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．直接利用平行线之间的距离公式求解即可，属基础题．解：PQ 的最小值即为平行直线x +3y −9=0和x +3y +1=0的距离，d =√32+12=√10=√10．故答案为√10．14.答案：[0,12)解析：本题考查了分段函数的值域问题，属于中档题．根据分段函数的表达式，得到不等式组{1−2a >01−2a +3a ≥1，求解即可． 解：当x ≥1时，f(x)=2x−1≥1，当x <1时，f(x)=(1−2a)x +3a ，∵函数f(x)={(1−2a)x +3a,x <12x−1,x ≥1的值域为R ， ∴当x <1时，f(x)=(1−2a)x +3a 的值域必须包含(−∞,1)，即满足：{1−2a >01−2a +3a ≥1，解得0≤a <12， 故答案为：[0,12). 15.答案：−4解析：先利用诱导公式，二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的单调性即可求解最小值． 本题主要考查了诱导公式、二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用；利用余弦函数、二次函数的性质求解最值的应用，属于基础试题．解：∵f(x)=sin(2x +3π2)−3cosx=−cos2x −3cosx=−2cos 2x −3cosx +1，令t =cosx ，则−1≤t ≤1，∴y =−2t 2−3t +1的开口向下，对称轴t =−34，在[−1,1]上先增后减，故当t =1即cosx =1时，函数有最小值−4．故答案为：−4 16.答案：√6解析：解：连结CD 1，AC ，由题意得四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1=BC ，A 1D 1//BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B//CD 1，∴∠AD 1C(或其补角)为A 1B 和AD 1所成的角，∵异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°，∴∠AD 1C =90°，∵四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2√3，∠ABC =120°，∴AC =2√3sin60°×2=6，∴AD 1=√22AC =3√2，∴AA 1=√AD 12−A 1D 12=√(3√2)2−(2√3)2=√6．故答案为：√6．连结CD 1，AC ，由题意得四边形A 1BCD 1是平行四边形，A 1B//CD 1，∠AD 1C(或其补角)为A 1B 和AD 1所成的角，由此能求出AA 1．本题考查四棱柱中侧棱长的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：解：(1)由{2x −y +1=0x −y −2=0，求得{x =−3y =−5，可得直线l 1：2x −y +1=0和l 2：x −y −2=0的交点为P(−3,−5)．由于直线l 3的斜率为43，故过点P 且与直线l 3：4x −3y −5=0平行的直线l 的方程为y +5=43(x +3)，即4x −3y −3=0．(2)设直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程为y +5=k(x +3)，由于直线m 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且 P(−3,−5)为线段AB 的中点，故A (5k −3,0)，B( 0,3k −5)，且点P 的坐标满足直线m 的方程，∴5k −32=−3，且3k−52=−5，求得k =−53=−53． 故△OAB 的面积为12⋅OA ⋅OB =12⋅|5k −3|⋅|3k −5|=|(3k−5)22k |=(3k−5)22|k|=30．解析：(1)先求出交点P 的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．(2)先求出A 、B 两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得△OAB 的面积．本题主要考查求直线的交点，用点斜式求直线的方程，三角形的面积公式，属于基础题． 18.答案：(1)证明：由PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB ∩BC =B ，可得PA ⊥平面ABC ，由BD ⊂平面ABC ，可得PA ⊥BD ；(2)证明：由AB =BC ，D 为线段AC 的中点，可得BD ⊥AC ，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；(3)解：PA//平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA//DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE=12PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=12S△ABC=12×12×2×2=1，则三棱锥E−BCD的体积为13DE⋅S△BDC=13×1×1=13．解析：本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系，三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．(1)运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；(2)要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由(1)运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；(3)由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．19.答案：解：(1)f(x)的定义域R关于原点对称，∵f(−x)=2−x−12−x+1=(2−x−1)⋅2x(2−x+1)⋅2x=1−2x1+2x=−f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1<x2，f(x2)−f(x1)=2x2−12x2+1−2x1−12x1+1=2(2x2−2x1)(2x2+1)(2x1+1)，∵函数y=2x在R上为增函数，∴2x2>2x1，故2x2−2x1>0，∴f(x2)>f(x1).∴函数f(x)在R上单调递增．(3)∵f(k·3x)+f(3x−9x+2)<0，∴f(k·3x)<−f(3x−9x+2)，又f(x)为奇函数，∴f(k·3x)<f(−3x+9x−2)．∵f(x)在R上是增函数，∴k·3x<−3x+9x−2对任意x≥1恒成立，∴k<3x−23x−1对任意x≥1恒成立．设t=3x，则t≥3，∵y=t−2t−1在[3,+∞)上为增函数，∴当t=3时，函数y=t−2t −1取得最小值，且y min=3−23−1=43.∴k<43，∴实数k的取值范围为(−∞,43)．解析：本题考查函数的恒成立问题，涉及函数的奇偶性与单调性的判定以及性质的应用，属于综合题．(1)根据题意，由函数的解析式分析可得f(−x)=−f(x)，由函数奇偶性的定义分析可得结论；(2)根据题意，任取x1，x2∈R，且x1<x2，由作差法分析可得结论；(3)根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得：f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0⇒k<3x−23x−1，设t=3x，则t≥3，根据y=t−2t −1在[3,+∞)上为增函数可得y min=3−23−1=43，据此分析可得答案．20.答案：解：(1)证明：连接AC∩BD=O，连接OE，∵底面ABCD为长方形，∴O为对角线AC，BD的中点，又E是PC中点，∴OE//PA，∵OE在平面BDE内，PA不在平面BDE内，∴PA//平面BDE；(2)由PD⊥底面ABCD，知PD⊥AD，PD⊥BD，即二面角A−PD−B的平面角∠ADB=45∘，又∠A=90∘，可知AD=AB=DC=2，底面ABCD为正方形，AD⊥DC，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由PD=DC=2，有A(2,0，0)，P(0,0，2)，E(0,1，1)，B(2,2，0)，假设PB 上存在点F ，使得PB ⊥平面DEF ，设PF⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1),F(x,y,z)， 则(x,y ，z −2)=λ(2，2，−2)，∴F(2λ,2λ,2−2λ)，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,2λ,2−2λ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2)，由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得4λ+4λ−2(2−2λ)=0，解得λ=13，∴F(23,23,43)，|DF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(23)2+(23)2+(43)2=2√63．解析：本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角以及距离问题，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．(1)利用中位线定理可得OE//PA ，进而得证；(2)由条件可得∠A =90∘，AD =AB =DC =2，AD ⊥DC ，建立空间直角坐标系，假设点存在，并设出F 的坐标，根据题设建立方程，解出即可得出结论．21.答案：解：(1)由1+x ≥0且1−x ≥0，得−1≤x ≤1，所以函数f(x)的定义域为[−1,1].由f 2(x)=2+2√1−x 2∈[2,4]，且f(x)>0，得f(x)∈[√2,2]，所以函数f(x)的值域为[√2,2]．(2)F(x)=a 2[f 2(x)−2]+f(x)=a√1−x 2+√1+x +√1−x ， 令t =f(x)=√1+x +√1−x ， 则√1−x 2=12t 2−1，t ∈[√2,2].令m(t)=a(12t 2−1)+t =12at 2+t −a ，t ∈[√2,2].由题意知g(a)即为函数m(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2,2]的最大值．易得直线t =−1a 是函数m(t)=12at 2+t −a 的图象的对称轴．因为a <0，所以函数y =m(t)，t ∈[√2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，①若−1a ∈(0,√2]，即a ≤−√22，则g(a)=m(√2)=√2； ②若−1a ∈(√2,2]，即−√22<a ≤−12，则g(a)=m(−1a )=−a −12a ； ③若−1a ∈(2,+∞)，即−12<a <0，则g(a)=m(2)=a +2.综上可得g(a)={ √2,a ≤−√22−a −12a ,−√22<a ≤−12a +2,−12<a <0． (3)由(2)易得g(a)min =√2.要使−m 2+2nm +√2≤g(a)在n ∈[−1,1]上恒成立，即−m 2+2nm +√2≤g(a)min =√2在n ∈[−1,1]上恒成立，所以m 2−2nm ≥0在n ∈[−1,1]上恒成立．当m =0时，m 2−2nm ≥0恒成立．当m ≠0时，令ℎ(n)=m 2−2nm ，n ∈[−1,1]， 则有{ℎ(−1)≥0ℎ(1)≥0, 所以m ≥2或m ≤−2.综上，实数m 的取值范围是(−∞,−2]∪[2,+∞)∪{0}．解析：本题考查函数的定义域、值域、最值和恒成立问题，考查推理能力和计算能力，属于较难题．(1)求出使函数有意义的x 范围即可得定义域，先求出f 2(x)的范围，再求f(x)范围即可得值域；(2)换元后，利用二次函数的性质即可解答；(3)转化为m 2−2nm ≥0在n ∈[−1,1]上恒成立，然后对m 进行分类讨论即可．22.答案：解：(1)连C 1B ，C 1A ，则C 1B 的中点为N(2,−1)M 为AB 的中点，则有|MN|=12|C 1A|=1，即M 的轨迹为以N 为圆心，1为半径的圆．故方程为(x −2)2+(y +1)2=1．(2)圆C 1方程为：x 2+y 2+4y =0，圆C 2方程为：x 2+y 2−4x +2y +4=0，两方程相减可得公共直线l ：2x +y −2=0．点C 1(0,−2)到直线l 的距离为d =√5=√5． 所求曲线C 1与C 2的公共弦长为2√4−(√5)2=4√55． (3)斜率不存在时，过点(3,2)的直线l 1：x =3与圆C 2相切．当斜率存在时，设切线为y −2=k(x −3).即kx −y +2−3k =0． 根据题意，√k 2+1=1，解得k =43． 故所求切线方程为x =3或4x −3y −6=0．解析：本题考查与圆有关的轨迹问题，两圆之间的公共弦长，直线和圆相切，主要涉及到点到直线距离问题，考查转化与化归思想，是一道中档题．(1)根据几何知识可知M 的轨迹为以N 为圆心，1为半径的圆.由圆的标准方程形式可得(2)由两圆方程相减可得公共弦长，然后有点C 1(0,−2)到直线l 的距离，利用直线和圆的知识，根据直角三角形可得．(3)求切线的时候要关注切线斜率是否存在，分情况讨论.根据条件，斜率不存在时显然成立.斜率存在时设切线方程，利用圆心到切线距离可得到斜率k ，然后写出切线方程．。
2019-2020学年河南省郑州市高一下学期期末数学试卷(解析版)
2019-2020 学年河南省郑州市高一第二学期期末数学试卷、选择题（共 12 小题）1．已知平行四边形 ABCD 中，向量 ＝（ 3，7）， ＝（﹣ 2，3），则向量的坐标为3．某学校从编号依次为 01，02．⋯ 72的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽学生的编号为（s 2 为（）大排成的两位数记为 I （ a ），按从大到小排成的两位数记为 D a ）＝57，D （a ）＝ 75），执行如图所示的程序框图，若输入的6． 7． A ．已知 cos θ＝ A ．﹣7 B ．3C ．D ．4，且 θ∈（﹣B ．7，0），则 tan （ +θ）＝（C ．设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数．将组成 D ．a 的 2 个数字按从小到 A ．15B ．﹣ 272．sin (﹣）的值是（ ）A ．﹣B ．C ．（ 5，4）C ．取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21， 则该样本中来自第四组的4． 5．A ．30B ．31列函数中是偶函数且最小正周期为22A ． y ＝ cos 4x ﹣ sin C ． y ＝ sin2x+cos2xC ． 的是（B ．D ． 32y ＝ sin4 x y ＝ cos2x已知某 7 个数据的平均数为 5，方差为 4，现又加入一个新数据 D ．335，此时这 8 个数的方差 a ）（例如 a ＝ 75，则 Ia ＝97，则输出的b ＝）A．45B．40C．35 D．308．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（B．C．D．9 ．在△ ABC 中，，且∠ BAC＝120°，若，则A．2 ＝（）B．1 C．D．10．若点在函数＝sin（2x+ ）的图象上，为了得到函数A．向左平行移动B．向右平行移动C．向右平行移动x∈R）的图象，只需把曲线f（x）上所有的点（个单位长度个单位长度个单位长度D ．向左平行移动 个单位长度则实数 a 的取值范围为（二、填空题（每小题 5 分，共 20分）16．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3．以 C 为圆心， 2为半径作圆，线段 PQ 为该圆的一条直径，则 的最小值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量 ＝（3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4， 1）． （ 1）求 3 + ﹣2 ；2）若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），求实数 k ． 18．疫情期间口罩需求量大增， 某医疗器械公司开始生产质量按指标测试分数进行划分， 其中分数不小于 70 机抽取 100 件口罩进行检测，其结果如表：11．已知 ＝（ 2sin13°，2sin77°），| ﹣ |＝1， 与 ﹣ 的夹角为，则 ? ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．若 关于 x 的方程有两个不同解，A ．B ．C ．D ．13．已知向量 ＝（ 1， ）， ＝（ 2， 0），则 | ﹣2 | ＝ 14．已知函数 f （x ）＝ sin （ ωx +φ）（ ω>0，0< φ< π）的部分图象如图所示，则 ? 的值 ﹣ x )﹣ sin ( π﹣ x )的值KN 95 口罩，并且对所生产口罩的的为合格品， 否则为不合格品， 现随测试分数[50，60)[60， 70)[70， 80)[80，90)[90， 100]数量16422414，则 sin 2（Ⅰ）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； Ⅱ）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数；Ⅲ）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取 5 件，再从这 5 件口罩中随 机抽取 2件，求这 2 件口罩全是合格品的概率．19．已知 α， β为锐角，1）求 cos2α的值；﹣4）．（Ⅰ）求函数 f （ x ）的单调递增区间； （Ⅱ）求函数 f （ x ）的最大值和最小值．21．如图，四边形 OQRP 为矩形，其中 P ，Q 分别是函数 f （ x ）＝ sin ωx （A >0，ω> 0） 图象上的一个最高点和最低点， O 为坐标原点， R 为图象与 x 轴的交点．求 f （ x ）的解22．红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近5 个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有关，其统计数据如表：每台红外线治疗仪的销售价格： x/元140 150 160 170 180 红外线治疗仪的月销售量： y/台6455453526（I ）根据表中数据求 y 关于 x 的线性回归方程；（Ⅱ） ① 每台红外线治疗仪的价格为 165 元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍 五入为整数）2）求 tan （β﹣ α）的值． 20．已知函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[，］，其中 ＝（ ，cos 2x ）， ＝（sin （ 2x），② 若该红外线治疗仪的成本为120 元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（Ⅰ）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到 1 元）．参考公式：回归直线方程参考答案、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）1．已知平行四边形 ABCD 中，向量＝（ 3， 7）， ＝（﹣ 2，3），则向量 的坐标为（）A ．15B ．﹣27C ．（ 5，4）D ．（ 1，10）【分析】根据向量加法的平行四边形法则即可得出 ，然后带入坐标即可．解：根据向量加法的平行四边形法则， ． 故选： D ．2．sin (﹣）的值是（分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．故选： B ．3．某学校从编号依次为 01，02．⋯ 72的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为 12，21，则该样本中来自第四组的 学生的编号为（ ）A ． 30B ． 31C ．32D ． 33【分析】由样本中相邻的两个组的编号分别为12， 21，得到抽样间隔为： 21﹣ 12＝9，从而第二组的编号为 12，第三组的编号为 21，由此能求出该样本中来自第四组的学生的 编号．解：某学校从编号依次为 01， 02．⋯ 72 的 72 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方 法抽取一个样本，样本中相邻的两个组的编号分别为 12， 21， ∴抽样间隔为： 21﹣12＝ 9， ∴样本单元数为＝ 8，第二组的编号为 12，第三组的编号为 21，A ．B ．C ．D ．解： sin （﹣)＝ sin (﹣ 4π+）＝sin＝si＝， ＝，则该样本中来自第四组的学生的编号为21+9＝30．故选： A ．4．下列函数中是偶函数且最小正周期为的是（）22A ．y＝cos 4x﹣sin 4x B．y＝sin4 xC．y＝sin2x+cos2x D．y＝cos2x【分析】利用三角函数的奇偶性和三角函数的周期公式逐一判断即可．解：A．y＝cos24x﹣sin24x＝cos8x，是偶函数，周期T＝，符合条件；B．函数是奇函数，不符合条件；C．y＝sin2x+cos2x＝，是非奇非偶函数，不符合条件；D．函数是偶函数，周期T＝，不符合条件．故选： A ．5．已知某7 个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8 个数的方差s2为（）A．B．3 C．D．4分析】根据平均数和方差的定义，计算加入一个新数据后，这组数据的平均数和方差．解：因为7 个数据的平均数为5，方差为4，又加入一个新数据5，则这8 个数的平均数为＝5，方差为s2＝×[4×7+（5﹣5）2]＝故选：C．6．已知cosθ＝，且θ∈（﹣，0），则tan +θ）＝（A．﹣7 B．7 C．D．分析】由已知结合同角基本关系可求sin θ，tan θ，然后利用两角和的正切公式可求tan +θ）．解：∵ cosθ＝，且θ∈（﹣，0），∴sinθ＝，tan ，故选： D ．7．设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的两位数．将组成 a 的 2 个数字按从小到 大排成的两位数记为 I （ a ），按从大到小排成的两位数记为 D （ a ）（例如 a ＝ 75，则 I （a ）＝57，D （a ）＝ 75），执行如图所示的程序框图，若输入的 a ＝97，则输出的 b ＝ （）A ． 45B ． 40C ．35D ． 30【分析】模拟运行程序，直到满足条件，确定输出 b 的值，可得答案． 解：模拟程序的运行，可得a ＝ 97，b ＝ 97﹣79＝18 a ＝ 18， b ＝ 81﹣18＝63 a ＝63， b ＝ 63﹣36＝27 a ＝27，b ＝ 72﹣27＝45 45 为 5的倍数，退出循环，输出 b 的值为 45． 故选： A ．8．如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（则 tan （ + θ）r ，求出由内到外的区域面积，再计算所求的概率值．解：设中心圆的半径为 r ，则由内到外的环数对应的区域面积依次为πr 2，3πr 2，5πr 2，7πr 2，则命中深颜色的概率为故选： D ．＝（ ）A ． 2B ． 1【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算可．解：建立平面直角坐标系，如图所示，由题意知 A （0，1）， B （﹣ ，0），C （ ，0），则 ＝λ ＝λ（2 ，0）＝（ 2 λ，0）， ＝（﹣ ，﹣1）， ＝（ ，﹣1），所以 + ＝（ 0，﹣ 2），＝ + ＝（ 2 λ﹣ ，﹣ 1 ），所以 ? （ + ）＝ 0×（ 2 λ﹣ ）+（﹣ 1）×（﹣ 2）＝ 2． 故选： A ．C ．9．在△ ABC 中， ，且∠ BAC ＝ 120，若 ，则C ．分析】设中心圆的半径为所以 ＝，1＝4﹣分析】利用向量的模以及向量的数量积的运算法则化简求解即可． 解： ＝（ 2sin13°， 2sin77 °）＝（ 2sin13 °， 2cos13°）， | |＝ 2，| ﹣ |＝1， 与 ﹣ 的夹角为 ，的图象上，为了得到函数x ∈R ）的图象，只需把曲线 f （ x ）上所有的点（A ．向左平行移动B ．向右平行移动C ．向右平行移动 个单位长度 个单位长度 个单位长度D ．向左平行移动个单位长度分析】首先利用点的坐标求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的平移变换和伸 缩变换的应用求出结果． 解：点 在函数 的图象上， φ）＝ 1，所以由于 ，整理得： φ＝﹣故 f （x ）＝ cos （ 2x ﹣ ），将函数的图象向左平移 个单位得到 y ＝cos[2（ x+﹣ ］＝ cos ( 2x ﹣ ）＝ sin ）＝ sin （2x）的图象．故选： D ．11．已知 ＝( 2sin13°，2sin77° ），| ﹣ |＝ 1， 与 ﹣ 的夹角为，则 ? ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5＝sin (2x+∴ ? ＝ 3， 故选： B ．12．若关于 x 的方程有两个不同解，则实数 a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【分析】设 t ＝sinx+cosx ，由正弦公式和正弦函数的图象和性质，可得 t 的范围，进而原 方程即为 t ﹣t 2+2﹣a ＝0即 a ＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］有两解， 由二次函数的图象和性质， 可 得所求范围． 解：关于 x 的方程t ∈［0， ］，且 t 随着 x 的增大而增大；又 2sinxcosx ＝t 2﹣1，原方程即为 t ﹣t 2+2﹣a ＝0 即 a ＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］有两解， 由 f （t ）＝﹣ t 2+t+2 在［0， ］递增， { ， ］递减，可得 f （t ）的最大值为 ，最小值为， 则 2≤ a < ． 故选： D ．二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13．已知向量 ＝（ 1， ）， ＝（ 2， 0），则 | ﹣2 |＝【分析】可求出向量 的坐标，进而可求出 的值．解：∵ ，∴．故答案为： ．设 t ＝sinx+cosx ＝ sin (x+），由 x ∈［﹣］，14．已知函数 f （x ）＝ sin （ ωx+φ）ω>0， 0<φ<π）的部分图象如图所示，则 ? 的值］，可得 x∈[0，φ．解：由题意知， f （x ）＝ sin （ ωx+ φ），∵ f （0）＝ sin φ＝ ∵0<φ< π，根据图象特征，可得 φ＝代入可得答案．故答案为：16．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3．以 C 为圆心， 2为半径作圆，线段 PQ 为该圆的一条直径，则 的最小值为 ﹣ 10分析】先建系，再标各点的坐标，再结合平面向量数量积的运算及三角函数辅助角公 式运算可得解．解：设 C （ 0，0），A （ a ，0），B （ 0，b ），P （ 2cos α，2sin α），Q （﹣ 2cos α，﹣2sin α）， 则 a 2+b 2＝9，又 ＝（ 2cos α﹣ a ， 2sin α）， ＝（﹣ 2cos α，﹣ 2sin α﹣ b ），则 ＝（ 2cos α﹣ a ）（﹣ 2cos α） +2sin α（﹣ 2sin α﹣ b ）15．已知 sin （ +x ）＝﹣，则 sin 2（ ﹣x )﹣sin (π﹣x ）的值分析】由已知中 sin （ x+ 可得 sin （﹣ x )＝ sin ( x +）＝ ，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系公式，22），sin 2（ ﹣x ）＝ cos 2（x+解：∵ sin ( x+ ）＝∴ sin (﹣x )＝ sin[ π﹣ x+sin 2(x )＝ sin 2[x+]＝sin (x+ + ＝ 1﹣ sin 2( x）＝+φ＝ ．及图象特征，可得故答案为： ），）＝1﹣sin 2（x﹣ x )﹣ sin ( ∴ sin 2﹣]＝ cos 2( xπ﹣ x ）＝＝﹣ 4+2 acos α﹣ 2bsin α ＝﹣ 4+2cos （α+β）则当 cos （α+β）＝﹣ 1 时，的最小值为﹣ 10，三、解答题（本大题共 6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量 ＝（3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4，1）．（ 1）求 3 + ﹣2 ；（ 2）若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），求实数 k ．【分析】（ 1）根据题意，由向量的坐标计算公式计算即可得答案．（ 2）根据题意，求出（ +k ）和（ 2 ﹣ ）的坐标，由向量平行的坐标计算公式可得2×（ 3+4k ）﹣（﹣ 5）×（ 2+k ）＝ 0，解可得 k 的值，即可得答案． 解：（ 1）根据题意，向量 ＝（ 3，2）， ＝（﹣ 1，2）， ＝（ 4， 1）， 则 3 + ﹣2 ＝3（3，2）+（﹣1，2）﹣ 2（4，1）＝（ 0，6）；2）向量 ＝（ 3， 2）， ＝（﹣ 1， 2）， ＝（ 4， 1），则（ +k ）＝（ 3+4k ， 2+k ），（ 2 ﹣ ）＝（﹣ 5， 若（ +k ）∥（ 2 ﹣ ），则 2×（ 3+4k ）﹣（﹣ 5） 解可得 k ＝﹣ ； 故 k ＝﹣18．疫情期间口罩需求量大增， 某医疗器械公司开始生产 质量按指标测试分数进行划分， 其中分数不小于 70 的为合格品， 否则为不合格品， 现随2），×（ 2+k ）＝ 0， KN 95 口罩，并且对所生产口罩的＝ 6cos （ α+ β）﹣ ，故答案为：﹣ 10．机抽取 100 件口罩进行检测，其结果如表： 测试分数[50，60） [60， 70）[70，80）分析】（ 1）由已知结合同角基本关系进行弦化切，代入可求；[80，90)[90， 100]数量 416 4224 14（Ⅰ）根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率； （Ⅱ）根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数； （Ⅲ）若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取 机抽取 2件，求这 2 件口罩全是合格品的概率． 【分析】 （1）在抽取的 100 件产品中，不合格的口罩 5 件，再从这 5 件口罩中随4+16＝20，由此能估计该公司 所生产口罩的不合格率．2）由频数分布表能求出平均测试分数．3）由题意所抽取的 5 件口罩中不合格的 1 件，合格的 4 件．设 4 件合格口罩记为 a ， b ，c ，d ，1件不合格口罩记为 x ．从 5 件口罩中抽取 2 件，利用列举法能求出 2 件口罩全是合格品的概率．解：（ 1）在抽取的 100 件产品中，不合格的口罩有： 4+16＝20（件）根据频率可估计该公司所生产口罩的不合格率为2）平均测试分数为3）由题意所抽取的 5 件口罩中不合格的 1 件，合格的 4 件．设 4 件合格口罩记为 a ，b ，c ，d ，1 件不合格口罩记为 x ．若抽取的口罩中恰有 1 件不合格，则共有 ax ，bx ， cx ， d x ， 4 种情况，而从 5 件口罩中抽取 2 件，共有 ab ，ac ， ad ，ax ，bc ，bd ，bx ，cd ，cx ，dx ，10 种情况， 所以 2 件口罩中至少有一件不合格品的概率为 故 2 件口罩全是合格品的概率为 ．19．已知 α， β为锐角，1）求 cos2α的值；2）求 tan （β﹣ α）的值． 所以口罩为不合格品的频率为∵（Ⅱ）∵ ，可得 ∴．，．当当 时，函数 f （ x ）有最小值﹣ 2 ．时，函数 f （ x ）有最大值﹣ 1；21．如图，四边形 OQRP 为矩形，其中 P ，Q 分别是函数 f （ x ）＝ sin ωx （ A > 0， ω> 0） 2）由已知结合同角基本关系及两角差的正切公式即可求解．2）由 α， β为锐角，得 α+β∈（0，π）， 2α∈（ 0，π）， ，．由 ，得﹣4）．（Ⅰ）求函数 f （ x ）的单调递增区间； （Ⅱ）求函数 f （ x ）的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）先化简并整解析式，再利用正弦函数的性质即可求解． Ⅱ）利用正弦函数整体的性质求解即可．∴＝＝．图象上的一个最高点和最低点， O 为坐标原点， R 为图象与 x 轴的交点．求 f （ x ）的解 析解： 1）由 tan α＝ ，得 cos2又 cos （ α+β）＝ ，∴ sin （ α+ β）＝20．已知函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[]，其中 ＝（ ， 22，cos 2x ）， ＝（ sin （ 2x+），解： （Ⅰ）因为函数 f （ x ）＝ ? ，x ∈[ ，，其中 ＝（ ， cos 2x ）， ＝（ sin2x+），﹣ 4）．，；k ∈Z ；式．【分析】设函数f（x）的最小正周期为T，则，由题意可得，然后求出周期T，利用周期公式可求ω，即可得函数f（x）的解析式．解：设函数f （x）的最小正周期为T，则，因为四边形OQRP 为矩形，得OP⊥ OQ，所以，即，解得T＝4，所以，所以．22．红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近 5 个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有其统计数据如表：关，每台红外线治疗仪的销售价格：x/元140150160170180红外线治疗仪的月销售量：y/台6455453526（I）根据表中数据求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）① 每台红外线治疗仪的价格为165 元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍五入为整数）② 若该红外线治疗仪的成本为120 元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（Ⅰ）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到 1 元）．2）① 由回归方程计算 x ＝165 时对应的函数值即可；② 利用获利函数 Q （x ）是二次函数，求出 Q （ x ）取最大值时 x 的值．；2）① 由（ 1）知，当 x ＝165 时，所以每台红外线治疗仪的价格为 165 元时，红外线治疗仪的月销量为 40 台；② 药店每月获取得纯利为 Q （ x ）＝（﹣ 0.96x+198.6 ）（ x ﹣ 120）＝﹣ 0.96x 2+313.8x ﹣23832，所以药店为使每月获得最大的纯收益， 每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为 163 元．参考公式：回归直线方程，其中分析】（ 1）计算、，求出回归系数，写出回归方程；×(140+150+160+170+180 )＝ 160，×( 64+55+45+35+26 )＝45，所以，，所以 y 关于 x 的回归方程为，所以当时， Q （x ）取得最大值；解：（1）。
河南省开封市五县2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题
绝密★启用前 河南省开封市五县2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B ⋂=ð（ ） A ．{}2,5 B ．{}3,6 C ．{}2,5,6 D ．{}2,3,5,6,8 2．若方程222x y x m +-=表示圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．()1,-+∞ C ．(),0-∞ D ．()0,∞+ 3．下列说法正确的是（ ） A ．四边形一定是平面图形 B ．三点确定一个平面 C ．平行四边形一定是平面图形 D ．平面α和平面β有且只有一条交线 4．已知m ､n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ B ．若//m α，//m n ，则//n α C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．幂函数()2531m y m m x --=--在()0,∞+上为减函数，则实数m 的值为（ ） A ．2m = B ．1m =- C ．2m =或1m =- D ．12m +≠ 6．从平面α外一点P 引平面α的垂线，垂足为H ，PA ､PB 是平面α的两条斜线（点A ､B 在平面α内)，5PA =，PB =34AH BH =，则点P 到平面α的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．92 D ．143 7．函数13y = ）A ．(],3-∞B ．(]0,1C ．(]0,3D ．(]1,38．若偶函数()f x 在(],0-∞内单调递减，则不等式()()1lg f f x -<的解集是（ ） A ．()0,10 B ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,10⎛⎫+∞⎪⎝⎭ D ．()10,10,10骣琪??琪桫9．把直线y x =，y x =-，1x =围成的图形绕y 轴旋转一圈，所得旋转体的体积为（ ）A ．3πB ．23πC ．43πD ．2π10．已知圆1C 的圆心在x 轴上，半径为1，且过点()2,1-，圆2C ：()()224210x y -+-=，则圆1C ，2C 的公共弦长为（ ）A B ．C D ．211．设函数()()212log ,0,log,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞…………○…………学校:___________…………○…………12．已知函数()2log ,046,4x x f x x x ⎧<<=⎨-≥⎩，若()()()f a f b f c ==（a b c <<)，则abc 的取值范围是（ ） A ．()2,3 B ．()2,4 C ．()4,6 D ．()3,6 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 13．已知直线1l 210y --=，2l ：0x =，则直线1l ，2l 之间的距离为______. 14．已知函数()2log ,031,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则()()311log 2f f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______. 15．若函数()242x x f x a a =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______. 16．如图，在底面边长为1的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点E 为1AA 的中点，异面直线BE 与1CD 1AA 的长度为______. 三、解答题 17．在平面直角坐标系中，已知直线l 过点()1,1. （1）若直线l 的纵截距和横截距相等，求直线l 的方程；……装………………线…………※不※※要※※在※……装………………线…………（2）若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为14，求直线l 的方程. 18．如图，AC 是O e 的直径，点B 是O e 上与A ，C 不重合的动点，PO ⊥平面ABC . （1）当点B 在什么位置时，平面OBP ⊥平面PAC ，并证明之； （2）请判断，当点B 在O e 上运动时，会不会使得BC AP ⊥，若存在这样的点B ，请确定点B 的位置，若不存在，请说明理由.19．设()()12log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f=-.（1）求a 的值；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m的取值范围 .20．如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，1AD =，3BC =，AB CD ==E 为PC 边上的点，2EC PE =.（1）求证：//DE 平面PAB ；（2）若12PA =，求点E 到平面PAB 的距离 .21．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .22．如图，已知圆O ：224x y +=和点()6,8A ，由圆O 外一点P 向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且有PQ PA = .线…………○……线…………○…… （1）求点P 的轨迹方程，并说明点P 的轨迹是什么样的几何图形?（2）求PQ 的最小值； （3）以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程.参考答案1．A【解析】{}2,5,8U B =ð,所以{}2,5U A B ⋂=ð，故选A.考点：集合的运算.2．B【解析】【分析】将圆方程化为标准形式,满足20r >即可.【详解】将圆方程222x y x m +-=化为标准方程:22(1)1x y m -+=+,则210r m =+>,故1m >-,故选:B.【点睛】本题主要考查圆的方程,属于简单题.3．C【解析】【分析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误.【详解】对于选项A,四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A 错误;对于选项B,不共线的三点确定一个平面,故B 错误;对于选项C,平行四边形的对边平行,可以确定一个平面,故C 正确;对于选项D,若平面α和平面β平行,则其没有交线,故D 错误;故选:C.【点睛】本题考查点､线､面的位置关系及公理,推论,涉及知识比较基础,但容易弄混,要求学生对基础知识掌握牢固.4．A【解析】【分析】利用线面平行,线面垂直的判定定理以及性质定理对选项依次分析正误.【详解】对于选项A,若m α⊥,//m n ,根据线面垂直的性质,可以推出n α⊥,故A 正确;对于选项B,若//m α,//m n ,则//n α或n ⊂α,故B 错误;对于选项C,若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n ⊂α,故C 错误;对于选项D,若//m α,m n ⊥,则n 与α相交或平行或n ⊂α,故D 错误;故选:A.【点睛】本题考查空间中线线,线面位置关系的判断,需要学生有一定的空间想象及推理能力,对各类判定方法及性质能灵活应用.5．A【解析】【分析】根据题意列出不等式组,求其交集即可.【详解】因为幂函数()2531m y m m x --=--在()0,∞+上为减函数,所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩,解得2m =, 故选:A.【点睛】本题考查幂函数的基本性质,难度不大.6．B【解析】【分析】由题可知PH ⊥平面α,因此在,Rt PAH Rt PBH ∆∆中,利用勾股定理即可求解.【详解】由题可知PH ⊥平面α,故,PH AH PH BH ⊥⊥, 所以2222222222942516432PH PH BH PH PA AH BH PH PB BH PH BH⎧=⎧=-=-⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪=-⎩, 所以点P 到平面α的距离为4PH =,故选:B.【点睛】本题主要考查线面垂直的应用,需要学生有一定的空间思维和计算能力.7．C【解析】【分析】的范围得到11≤，结合指数函数的单调性，即可得到函数函数13y =域.【详解】，∴11≤，∴1033<≤. 故选：C【点睛】本题主要考查了具体函数的值域，属于基础题.8．D【解析】【分析】由题知偶函数()f x 在(0,)+∞内单调递增,因此可以将题设不等式转化lg 1x >求解.【详解】若偶函数()f x 在(],0-∞内单调递减,则()f x 在(0,)+∞内单调递增,则()()()()1lg 1lg 1lg f f x f f x x -<⇒-<⇒<,解得10x >或1010x <<, 故选:D.【点睛】 本题属于利用函数的单调性与奇偶性解不等式问题,需要学生对函数的性质熟练掌握且灵活应用.尤其在遇见偶函数解不等式问题时,常用()()f x f x =进行转化.9．C【解析】【分析】根据题意画出直线所围图形,推出旋转体的形状,再求体积即可.【详解】直线y x =,y x =-,1x =围成图中阴影部分所示的图形,则其绕y 轴旋转一周得到的几何体是一个圆柱挖去两个相同且共顶点的圆锥,圆柱的体积21122V ππ=⋅⋅=, 圆锥的体积2211133V ππ=⋅⋅⋅=, 因此所求几何体的体积为12423V V V π=-=, 故选:C.【点睛】本题考查了旋转体的形成及其体积计算问题,属于基础题.10．A【解析】【分析】根据题意设圆1C 方程为:22()1x a y -+=,代点(2,1)-即可求出a ,进而求出1C 方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.【详解】设圆1C 的圆心为(,0)a ,则其标准方程为:22()1x a y -+=,将点(2,1)-代入1C 方程,解得2a =,故1C 方程为:22(2)1x y -+=,两圆1C ,2C 方程作差得其公共弦所在直线方程为:4470x y +-=,圆心()12,0C8=,因此公共弦长为4=, 故选:A.【点睛】 本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.11．C【解析】【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 12．C【解析】【分析】画出()f x 图像,结合图像即可推出1ab =,(4,6)c ∈,从而可得结论.【详解】画出()f x 图像如下图所示:由图可知,22()()log log f a f b a b =⇒-=,即1ab =,又(4,6)c ∈,所以(4,6)abc ∈,故选:C.【点睛】本题考查分段函数的应用问题,运用了数形结合的思想,难度不大.13【解析】【分析】将直线2l 220y -+=,再利用两平行线的距离公式求解.【详解】直线2l 220y -+=,则直线1l ,2l 2=,故答案为【点睛】 本题考查求两平行线间的距离,注意应用公式时,两平行线方程必须是一般式方程,且,x y 的系数对应相等.14．5【分析】依据分段函数解析式,分别代数求解即可.【详解】2(1)log 10f ==Q ,0((1))(0)312f f f ∴==+=, 又31log 231log =3132f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭, ()()311log 52f f f ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭, 故答案为:5.【点睛】本题考查分段函数求值,结合了指对运算,难度不大.15．2或12【解析】【分析】将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a .【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-,11x -≤≤Q , 01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a = 1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =, 故答案为:12或2.本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.16．1或2【解析】【分析】连1A B ,由11//A B CD ,知异面直线BE 与1CD 所成角的平面角为1A BE ∠,故过点E 作1EH A B ⊥于点H ,设EH h =,即可表示出,BE AE ,又由11A HE A AB ∆∆∽,可得其对应线段成比例,列出等式代入数据后即可得解.【详解】连1A B ,由题可知11//A B CD ,可得异面直线BE 与1CD 所成角的平面角为1A BE ∠,过点E 作1EH A B ⊥于点H ,设EH h =,有1sin 10EH BE A BE ===∠,AE 又11A HE A AB ∆∆∽,有11A E EH AB A B=,得1h =解得218h =或15, 所以12AE =或1, 所以11AA =或2.【点睛】本题考查空间中棱长的求法,需要学生有一定的空间思维和计算能力,解题关键是将异面直线所成角转化为平面角求解.17．（1）y x =或20x y +-=，（2）210x y --=或210x y -+=.【解析】【分析】(1)按截距为0和截距不为0,分两种情况求解方程即可;(2)设出直线方程,确定其横､纵截距后,根据面积公式列等式求解即可.【详解】(1)①若直线l 截距为0，则其过原点,可得直线l 的方程为y x =,②若直线l 截距不为0,设直线l 的方程为1(0)x y a a a +=≠, 代点()1,1入方程可得111a a+=,解得2a =, 此时直线l 的方程为20x y +-=,综上所述,所求直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=;(2)由题意知直线l 的斜率存在且不为零,故可设直线l 的方程为()11y k x =-+(0k ≠),可得直线l 与坐标轴的交点坐标为()0,1k -,1,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭, 因为直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为14, 则有111124k k k -⨯-⨯=,解得2k =或12k =. 故所求直线方程为210x y --=或210x y -+=.【点睛】本题考查了求直线方程,涉及了三角形面积公式,需要学生有一定的计算能力,难度不大. 18．（1）当OB AC ⊥时，平面OBP ⊥平面PAC ，证明见解析，（2）不存点B 使得BC AP ⊥，理由见解析【解析】【分析】(1)由题可推出平面ACP ⊥平面ABC ,故OB AC ⊥时,即可推出OB ⊥平面PAC ,进而得出结论;(2)假设存在点B 满足题意,即可推出BC ⊥平面PAB ,进而有BC BP ⊥,又由题可推得BP PC =,故PBC ∠为锐角,这与BC BP ⊥矛盾,故不存点B 使得BC AP ⊥.【详解】(1)当OB AC ⊥时,平面OBP ⊥平面PAC ,证明如下:OP ⊥Q 平面ABC ,OP ⊂平面ACP ,∴平面ACP ⊥平面ABC ,OB AC ⊥Q ,平面APC I 平面ABC AC =,OB ∴⊥平面PAC ,OB ⊂Q 平面OBP ,∴平面OBP ⊥平面PAC ;(2)假设存在点B ,使得BC AP ⊥,Q 点B 是O e 上的动点,BC AB ∴⊥,又BC AP ⊥Q ,AB ､AP ⊂平面PAB ,AB AP A =I ,BC ∴⊥平面PAB ,BP ⊂Q 平面PAB ,BC BP ∴⊥,设OB R =,在Rt OPC ∆中,有PC ==在Rt OPB ∆中,有PB =,可得BP PC =,故PBC ∠为锐角,这与BC BP ⊥矛盾,故不存点B 使得BC AP ⊥.【点睛】本题考查空间中的垂直问题,需要一定的空间思维和推理能力,属于中档题.解决存在性问题时,一般先假设存在,再以此为基础,推出结论或矛盾.19．（1）2a =（2）17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)依题意代数求值即可;(2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,题设条件可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立,因此,求出()g x 的最小值即可得出结论.【详解】(1)()32f =-Q , ()12log 1032a ∴-=-, 即211032a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得2a =; (2)设()()121log 1022xg x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 题设不等式可转化为()g x m >在[]3,4x ∈上恒成立, ()g x Q 在[]3,4上为增函数,()31min2117(3)log (106)28g x g ⎛⎫∴==--=- ⎪⎝⎭, 178m ∴<-, m ∴的取值范围为17,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数性质的综合应用,属于中档题.在解决不等式恒成立问题时,常分离参数,将其转化为最值问题解决.20．（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】(1)在PB 上取一点,使得2BF PF =,推出//EF BC ,则四边形ADEF 为平行四边形,从而//DE AF ,进而得到//DE 平面PAB ;(2)由(1)知,//DE 平面PAB ,故点E 到平面PAB 的距离与点D 到平面PAB 的距离相等,设点E 到平面PAB 的距离为d ,由B PAD D PAB V V --=,即可解出d .【详解】(1)证明:如图,在PB 上取一点,使得2BF PF =,2BF PF =Q ,2CE PE =,12PF PF FB EC ∴==,可得//EF BC , 13EF BC ∴=,可得113133EF BC ==⨯=, 又1AD =Q ,且//AD BC ,//AD EF ∴且AD EF =,∴四边形ADEF 为平行四边形,//DE AF ∴,AF ⊂Q 平面PAB ,DE ⊄平面PAB ,//DE ∴平面PAB ;(2)由(1)知,//DE 平面PAB ,故点E 到平面PAB 的距离与点D 到平面PAB 的距离相等,设点E 到平面PAB 的距离为d ,过点A 作AH BC ⊥于点H , 可得()()1131122BH BC AD =-=⨯-=,故在Rt ABH ∆中,1AH ===, //BC AD Q ,AH BC ⊥,AH AD ∴⊥,又PA ⊥Q 平面ABCD ,AH ⊂平面ABCD ,PA AH ∴⊥,AD ⊂Q 平面PAD ,PA ⊂平面PAD ,PA AD A ⋂=,AH ∴⊥平面PAD ,11111132212B PAD V -∴=⨯⨯⨯⨯=,111322D PAB V d -=⨯⨯⨯=, B PAD D PAB V V --=Q,112=,解得d =, 故点E 到平面PAB的距离为2. 【点睛】本题考查线面平行的证明,考查点到平面距离的求法,属于中档题.一般而言,解决点到平面距离问题时,常用等体积法.21．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩ 【解析】【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解;(2)根据二次函数的性质,分类讨论即可.【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; (2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭,[]2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦, 当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+, 当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增, ()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭, 综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题. 22．（1）34260x y +-=，轨迹是斜率为34-，在y 轴上的截距为132的直线，（2）245（3）2278104256252525x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】【分析】(1)设点P (),x y ,根据PQ PA =,列式化简即可得解;(2)由PQ PA =可知,PQ 的最小值即为点A 到直线34260x y +-=的距离;(3)结合圆的性质可知,OP 与直线34260x y +-=垂直,且圆P 与圆O 相切时,半径最小,据此求解即可.【详解】(1)设点P 的坐标为(),x y ,本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2019-2020学年河南省开封市五县联考高二下学期期末考试数学(理)试题 word版
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，每小題5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B -=，则A B =（）A.{}1,0,1,2-B.{}1,0,1-C.{}2,0,1,2-D.{}0,12.命题：x R ∀∈，2x e x >的否定是（） A.x R ∀∈，2x e x ≤ B.0x R ∃∈，020x ex >C.0x R ∃∈，020x ex ≤D.x R ∀∈，2x e x <3.下列函数中，定义域为R 且在R 单调递增的函数是（） A.xy e -=B.3y x =C.12y x =D.y x =4.“0x <”是“()ln 10x +<”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()22,026lg ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点的个数为（）A.0B.1C.2D.36.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（） A.0.45B.0.6C.0.75D.0.87.将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（） A.150种B.180种C.240种D.540种8.某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A 到过疫区，B 确实是由A 感染的.对于C 难以判断是由A 或是由B 感染的，于是假定他是由A 和B 感染的概率都是12.同样也假定D 由A ，B 和C 感染的概率都是13，在这种假定下，B ，C ，D 中都是由A 感染的概率是（）A.16B.13C.12D.239.设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A.c a b << B.b c a <<C.a b c <<D.a c b <<10.函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（） A. B.C. D.11.已知命题p ：关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.()(),21,-∞-+∞B.(]2,1-C.(]1,2D.[)1,212.已知函数()(](]13,1,01,0,1x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（） A.91,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B.111,20,42⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C.9,20423,⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D.11,2420,3⎛⎤⎛⎤-- ⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.设样木数据122018,,,a a a 的方差是0.01，如果有()1021,2,,2018i i b a i =-=，那么数据122018,,,b b b 的标准差为________________.14.在6⎛ ⎝展开式中，含有2x 项的系数是_______________.（用数字作答）15.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________. 16.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在[]2,0-上是减函数，下面是关于()f x 的判断：（1）()0f 是函数的最大值；（2）()f x 的图像关于点()1,0P 对称； （3）()f x 在[]2,3上是减函数；（4）()f x 的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为3千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，562.7i iix y =∑. 18.（本小题满分12分）已知函数()21f x ax bx =++（a ，b 为实数，0a ≠，x R ∈），()()()00f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩.（1）若()10f -=，且函数()f x 的值域为[)0,+∞，求()F x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围； （3）设0mn <，0m n +>，0a >，且函数()f x 为偶函数，判断()()F m F n +是否大于0？ 19.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()175.6224.4P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了200件这种产品，记X 表示这200件产品中质量指标值位于区间()175.6,224.4的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .15012.2≈.若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=.20.（本小题满分12分）设函数()xxf x a ka -=-（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集； （2）若()312f =，且()()224x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[)1,+∞上的最小值. 21.选考题：共10分.请考生在下面A ，B 两题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分. A 【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）已知直线:10L x y +-=抛物线2y x =交于A ，B 两点. 求：（1）点()1,2M -到A ，B 两点的距离之积； （2）线段AB 的长.B.【选修4-5不等式选讲】（10分） 设函数()2123f x x x =-+-，x R ∈.（1）解不等式()5f x ≤； （2）若()()2g x f x m=-的定义域为R ，求实数m 的取值范围.22.选考题：共12分，请考生在下面A ，B 两题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分. A 【选修4-4：坐标系与参数方程】（12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ραα=+. （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线()0:L R θθρ=∈与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P ，Q 两点，且2OP OQ =，点M 的坐标为()1,0，求MPQ △的面积. B 【选修4-5：不等式选讲】（2分）（1）已知,a b R +∈，4a b +=.证明：111a b+≥； （2）已知,,a b c R +∈，9a b c ++=.证明：1111a b c++≥；类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）.高二（理科）数学参考答案一、选择题（51260⨯=分）：二、填空题（4520⨯=分）： 13.114.-19215.113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭16.（2）（3）（4）17.解：（1）3x =，5y =，5115ii x==∑，5125i i y ==∑，5162.7i ii x y==∑，52155i x ==∑，52155i i x ==∑，解得：ˆ 1.23b=-，.…………………………………………………………2分因为回归直线通过样本点的中心，将()3,5代入回归直线的方程得8.69a =，.………………4分所以：ˆ8.69 1.23yx =-，.…………………………………………………………6分 （2）年利润()28.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+.…………………………10分当 5.692.312 1.23x =≈⨯时，z 有最大值.因此当 2.31x =吨，年利润z 最大.……………………………………………………12分 18.解：（1）因为()10f -=，所以10a b -+=.因为()f x 的值域为[)0,+∞，所以240a b a >⎧⎨∆=-=⎩.…………………………………………………………2分 所以()2410b b --=.解得2b =，1a =.()()21f x x =+.因此()()()221010x x F x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩，.………………………………………………4分（2）因为()()()222121g x f x kx x x kx x k x =-=++-=+-+()2222124k k x --⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，………………………………………………6分 所以当222k -≥或222k -≤-时()g x 单调. 即k 的范围是(][),26,-∞-+∞时，()g x 是单调函数.………………………………8分（3）因为()f x 为偶函数，所以()21f x ax =+.()221,01,0ax x F x ax x ⎧+>=⎨--<⎩.……………………………………………………………………9分 因为0mn <，依条件设0m >，则0n <.又0m n +>，所以0m n >->. 所以m n >-.……………………………………………………………………10分 此时()()()()()2222110F m F n f m f n am an a m n +=-=+--=-> 即()()0F m F n +>.…………………………………………………………12分 19.解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，.…………………………………………………………………………………………2分()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=..……………………………………………………………………………………4分 （2）（i ）由（1）知，()~200,150Z N ，从而()()175.6224.4200212.2200212.20.9545P Z P Z <<=-⨯<<+⨯=.……………………8分（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间()175.6,224.4的概率为0.9545， 依题意知()~200,0.9545X B所以()2000.9545190.9E X =⨯=.…………………………………………………………12分 20.解∵()f x 是定义域为R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=.∴1k =.……………………1分 （1）∵()10f >，∴210a ->，又0a >且1a ≠，∴1a >，()xxf x a a -=-，∴()f x 在R 上为增函数.原不等式分为：()()224f x x f x +>-.……………………………………3分 ∴224x x x +>-，即2340x x +->∴不等式的解集为{}14x x x ><-或.………………………………………………6分（2）∵()312f =，∴132a a -=，即22320a a --=， ∴2a =或12a =-（舍去），.…………………………………………8分∴()()()()22222422224222xx x x x x x x g x ----=+--=---+，令()()221x xt x -=-≥，()242p t tt =-+.则22x x t -=-在[)1,+∞上为增函数，所以32t ≥，.…………………………10分 ∴()()224222p t t t t =-+=--，∴当2t =时，()min 2p t =-，此时(2log 1x =+，即当(2log 1x =时，()g x 有最小值-2.……………………………………12分 21.A 解：因为直线L 过定点M ，且L 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.……………………………………2分即12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.………………………………………………4分把它代入抛物线的方程，得220t -=12t t +=122t t =-.…………………………………………………………6分（1）122MA MB t t ⋅=⋅=.………………………………………………8分 （2）由参数t 的几何意义得12AB t t =-==.……………………………………10分B 解：（1）()344,2132,22144,2x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩.………………………………………………4分令445x -=得94x =；令445x -=得14x =-. 所以原不等式的解集是1944x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.………………………………………………6分 （2）由（1）得()f x 的最小值是2，要使函数有意义，只需2m <，即实数m 的取值范围是(),2-∞.……………………………………………………10分 22.A 解：（1）1C ：由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，得()2224x y -+=即2240x y x +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得4cos ρθ=.……………………2分由2224cos 4sin ραα=+得222:44C x y +=，即2214x y +=.…………………………5分 （2）由已知得：4cos OP θ=，OQ =，并且2OP OQ =得2223sin cos sin θθθ= 因为sin 0θ≠，所以21cos 3θ=，得cos 3θ=，sin 3θ=，从而直线的斜率k =.…………………………………………8分0y -=，点()1,0M到直线的距离为3，.…………………………10分333PQ =-=，12333S =⋅=△.因此所求三角形的面积为3.…………………………………………………………12分 B 解：（1）()()11111112221444a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2a b ==时取等号.（或者用柯西不等式证明）.………………………………5分 （2）因为()11111119a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭()1133222199b c a c a b a a b b c c ⎛⎫=++++++≥+++= ⎪⎝⎭ 当且仅当1a b c ===时取等号.所以原不等式成立. 推广到一般性的结论：若12,,n x x x R +⋯∈，且212n x x x n ++⋯+=，则121111nx x x ++⋯+≥.………………12分。
2019-2020学年河南省开封市五县联考高二下学期期末考试数学(文)试题(有答案)
河南省开封市五县联考2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文科）试题注意事项：请将各题答案写在指定位置.试题卷不交，只交答题卡.一、选择题（本大题共12小题，每小題5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设()2z i i =+，则z =（ ） A.12i +B.12i -+C.12i -D.12i --2.已知集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B -=，则A B =（ ）A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}2,0,1,2-D.{}1,0,1,2-3.命题：x R ∀∈，2x e x >的否定是（ ） A.x R ∀∈，2x e x ≤ B.0x R ∃∈，020x ex >C.0x R ∃∈，020x ex ≤D.x R ∀∈，2x e x <4.下列函数中，定义域为R 且在R 单调递增的函数是（ ） A.xy e -=B.3y x =C.12y x =D.y x =5.“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，首先假设的是（ ）A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根 D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根7.函数()22,026lg ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点的个数为（ ）A.0B.1C.2D.38.函数()2x xe ef x x --=的图像大致为（ ）A. B.C. D.9.甲，乙、丙、丁四位同学参加作文竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ） A.甲B.乙C.丙D.丁10.若2log 3a =，5log 7b =，40.7，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c >>B.c b a >>C.a c b >>D.b a c >>11.已知命题p ：关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A.()(),21,-∞-+∞B.(]2,1-C.(]1,2D.[)1,212.若242log 42log x yx y +=+，则（ ）A.2x y >B.2x y <C.2x y >D.2x y <二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在复平面内，O 是坐标原点，向量OA 对应的复数是2i -+，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数的模为_______________.14.设函数()()ln 1f x x =+，则使得()()12f x f x >-成立的x 的取值范围为_____________.15.已知2336122⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2333121232⎛⎫++= ⎪⎝⎭，233332012342⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，…，3333312344356n +++++=，则n =____________.16.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在[]2,0-上是减函数，下面是关于()f x 的判断：（1）()f x 是以2为周期的函数；（2）()0f 是函数的最大值； （3）()f x 在[]2,3上是减函数；（4）()f x 的图像关于直线2x =对称.其中正确的命题的序号是____________（注：把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]3,1x ∈-，若()25f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：x1 2 3 4 5 y7.06.55.53.82.2（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为3千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx =-，562.7i iix y =∑. 19.（本小题满分12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3/g m μ）PM2.5\2SO[]0,50(]50,150(]150,475[]0,3530 20 6 (]35,75 6 6 12 (]75,1153710（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面2×2列联表：PM2.5\2SO[]0,150(]150,475[]0,75(]75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82820.（本小题满分12分）设函数()xxf x a ka -=-（0a >且1a ≠）是定义域为R 的奇函数.（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集； （2）若()312f =，且()()224x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[)1,+∞上的最小值. 21.选考题：共10分.请考生在下面A ，B 两题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分.A 【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）已知直线:10L x y +-=抛物线2y x =交于A ，B 两点. 求：（1）点()1,2M -到A ，B 两点的距离之积； （2）线段AB 的长.B.【选修4-5不等式选讲】（10分） 设函数()2123f x x x =-+-，x R ∈. （1）解不等式()5f x ≤； （2）若()()2g x f x m=-的定义域为R ，求实数m 的取值范围.22.选考题：共12分，请考生在下面A ，B 两题中任选一题作答.如果多选，则按所做的第一题计分.A 【选修4-4：坐标系与参数方程】（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2224cos 4sin ραα=+. （1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线()0:L R θθρ=∈与曲线1C 、曲线2C 在第一象限交于P ，Q 两点，且2OP OQ =，点M 的坐标为()1,0，求MPQ △的面积.B 【选修4-5：不等式选讲】（2分）（1）已知,a b R +∈，4a b +=.证明：111a b+≥； （2）已知,,a b c R +∈，9a b c ++=.证明：1111a b c++≥；类比上面的结论，写出推广后的一般性结论（不需证明）.高二文科数学参考答案一、选择题（51260⨯=分）： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DACBCACBDADB二、填空题（4520⨯=分）： 514.113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭15.11 16.（3）（4）17.解：（1）设()2f x ax bx c =++，因为()01f =，所以1c =…………………………2分 当0x =时，由()()125f x f x x +-=+，得()16f =当1x =时，由()()125f x f x x +-=+，得()213f =.………………………………4分由()()()0116213f f f =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得164213c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，求得141a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以()241f x x x =++.……………………………………………………6分（2）因为()241f x x x =++，对称轴2x =-又因为[]23,1-∈-，所以当1x =时，()f x 的最大值是6.…………………………8分256m m -≥.………………………………………………10分∴6m ≥或1m ≤-.…………………………………………12分 18.解：（1）3x =，5y =，5115ii x==∑，5125i i y ==∑，5162.7i i i x y ==∑，52155i x ==∑，52155i i x ==∑，解得：ˆ 1.23b=-，.…………………………………………………………2分 因为回归直线通过样本点的中心，将()3,5代入回归直线的方程得8.69a =，.………………4分所以：ˆ8.69 1.23yx =-，.…………………………………………………………6分 （2）年利润()28.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+.…………………………10分当 5.692.312 1.23x =≈⨯时，z 有最大值.因此当 2.31x =吨，年利润z 最大.……………………………………………………12分 19.解：（1）由条件知：包含事件A 发生的总数为30206662+++=，.……………………2分由古典概型的概率计算公式得：()620.62100p A ==.…………………………………………4分 （2）PM2.5\2SO[]0,150(]150,475[]0,7562 18 (]75,1151010 (8)分（3）由（2）中的列联表可得()2210062101810 6.000 6.63572288020k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯因此没有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关.…………………………12分20.解∵()f x 是定义域为R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=.∴1k =.……………………1分（1）∵()10f >，∴210a ->，又0a >且1a ≠，∴1a >，()xxf x a a -=-，∴()f x 在R 上为增函数.原不等式分为：()()224f x x f x +>-.……………………………………3分 ∴224x x x +>-，即2340x x +->∴不等式的解集为{}14x x x ><-或.………………………………………………6分（2）∵()312f =，∴132a a -=，即22320a a --=， ∴2a =或12a =-（舍去），.…………………………………………8分∴()()()()22222422224222xx x x x x x x g x ----=+--=---+，令()()221x xt x -=-≥，()242p t tt =-+.则22x x t -=-在[)1,+∞上为增函数，所以32t ≥，.…………………………10分 ∴()()224222p t t t t =-+=--，∴当2t =时，()min 2p t =-，此时(2log 12x =+，即当(2log 12x =时，()g x 有最小值-2.……………………………………12分 21.A 解：因为直线L 过定点M ，且L 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是 31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.……………………………………2分 即2122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.………………………………………………4分 把它代入抛物线的方程，得2220t t -=122t t +=-122t t =-.…………………………………………………………6分（1）122MA MB t t ⋅=⋅=.………………………………………………8分 （2）由参数t 的几何意义得()2121212410AB t t t t t t =-=+-=.……………………………………10分B 解：（1）()344,2132,22144,2x x f x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤⎪⎩.………………………………………………4分令445x -=得94x =；令445x -=得14x =-. 所以原不等式的解集是1944x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.………………………………………………6分 （2）由（1）得()f x 的最小值是2，要使函数有意义，只需2m <，即实数m 的取值范围是(),2-∞.……………………………………………………10分 22.A 解：（1）1C ：由22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，得()2224x y -+=即2240x y x +-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入方程得4cos ρθ=.……………………2分由2224cos 4sin ραα=+得222:44C x y +=，即2214x y +=.…………………………5分 （2）由已知得：4cos OP θ=，22cos 4sin OQ θθ=+，并且2OP OQ =得2223sin cos sin θθθ=因为sin 0θ≠，所以21cos 3θ=，得3cos θ=6sin θ=，从而直线的斜率2k =.…………………………………………8分20x y -=，点()1,0M 到直线的距离为63.…………………………10分 432323333PQ =-=，13622333S =⋅=△. 因此所求三角形的面积为23.…………………………………………………………12分 B 解：（1）()()11111112221444a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2a b ==时取等号.（或者用柯西不等式证明）.………………………………5分 （2）因为()11111119a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭()1133222199b c a c a b a a b b c c ⎛⎫=++++++≥+++= ⎪⎝⎭ 当且仅当1a b c ===时取等号.所以原不等式成立. 推广到一般性的结论：若12,,n x x x R +⋯∈，且212n x x x n ++⋯+=，则121111nx x x ++⋯+≥.………………12分。
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2019-2020学年河南开封市五县联考高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．sin（﹣）的值等于（）A．B．C．D．2．已知向量＝（1，2），＝（x，﹣6），若∥，则x的值为（）A．﹣3B．3C．12D．﹣123．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．144．已知扇形的弧长是5π，面积是15π，则该扇形的圆心角的正切值等于（）A．B．C．D．5．为了解高一学生对《中华人民共和国民法典》的学习情况，现从某校高一1205名学生中抽取50名学生参加测试，则首先用简单随机抽样剔除5名学生，然后剩余的1200名学生再用系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，为D．都相等，为6．设函数在[﹣π，π]的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数，则由观测的数据所得的线性回归方程可能是（）A．B．C．D．8．若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为Mod（N，m）＝r，例如Mod（10，4）＝2．如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i＝（）A．8B．18C．23D．389．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球．现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（）A．“恰有1个红球”和“恰有2个白球”B．“至少有1个红球”和“至少有1个白球”C．“至多有1个红球”和“至多有1个白球”D．“至少有1个红球”和“至多有1个白球”11．已知f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在区间[]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[7，]C．[7，]∪[]D．（0，]∪[]12．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝+λ（+），λ∈[0，+∞），则点P的轨迹经过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天．完工后，新华社记者要对部分参与人员采访．决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为．14．已知向量，满足||＝2，||＝，且⊥（+2），则向量在方向上的投影为．15．新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测．某个检测点派出了两名医生，四名护士．把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为．16．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②直线是函数f（x）的一条对称轴；③点是函数f（x）的一个对称中心；④函数f（x）的单调递减区间为其中正确的结论是（填序号）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知角α∈（0，π）且3cos2α﹣8cosα＝5．求下列各式的值．（1）求sin（+α）的值；（2）先化简，再求值．18．如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC 和OA交于点E，设．（1）用和表示向量．（2）若，求实数λ的值．19．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差．（每组数据以区间的中点值为代表）．20．已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）﹣4sin2ωx+2（ω＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求当m取得最小值时，g（x）在[﹣，]上的单调增区间．21．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758 PM2.5的浓度y（微克/立方米）3940424445（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；（2）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度是多少？（参考公式：，）22．在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（1，0）和点B（﹣1，0），＝1，且∠AOC ＝x，其中O为坐标原点．（1）若，设点D为线段OA上的动点，求||的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及其对应的x值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．sin（﹣）的值等于（）A．B．C．D．解：sin（﹣）＝sin（﹣6π+）＝sin＝．故选：A．2．已知向量＝（1，2），＝（x，﹣6），若∥，则x的值为（）A．﹣3B．3C．12D．﹣12解：∵向量＝（1，2），＝（x，﹣6），且∥，∴2x﹣1×（﹣6）＝0，解得x＝﹣3，即x的值为﹣3；故选：A．3．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0B．2C．4D．14解：模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．4．已知扇形的弧长是5π，面积是15π，则该扇形的圆心角的正切值等于（）A．B．C．D．解：扇形的面积公式＝lr＝15π，解得：r＝6cm，又因为l＝＝5π，所以n＝150°．可得该扇形的圆心角的正切值等于﹣．故选：D．5．为了解高一学生对《中华人民共和国民法典》的学习情况，现从某校高一1205名学生中抽取50名学生参加测试，则首先用简单随机抽样剔除5名学生，然后剩余的1200名学生再用系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，为D．都相等，为解：根据简单随机抽样和系统抽样原理知，每个个体被抽到的概率相等，所以每人入选的概率为P＝＝．故选：C．6．设函数在[﹣π，π]的图象大致如图所示，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．解：由图象知函数的周期T＜π﹣（﹣）＝，即＜，得ω＞，f（x）＝cosω（x+），当ω＞0时，函数f（x）的图象是y＝cos x向左平移得到，由五点对应法得﹣ω+＝﹣，即ω＝+＝，即ω＝，则f（x）的最小正周期为T＝＝，故选：C．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数，则由观测的数据所得的线性回归方程可能是（）A．B．C．D．解：变量x与y正相关，线性回归方程的斜率大于0；又观测数据的样本平均数为，满足方程＝0.4x+2.3．故选：D．8．若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为Mod（N，m）＝r，例如Mod（10，4）＝2．如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i＝（）A．8B．18C．23D．38解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余3，③被7除余2，最小两位数，故输出的i为23，故选：C．9．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．解：设最大正方形的边长为a，则正方形的面积S＝a2，其内部扇形的面积S′＝，其面积之比为＝，其它以下图形的面积之比同理可得也是，由几何概型的概率求解公式可得，矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为，故选：B．10．袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球．现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（）A．“恰有1个红球”和“恰有2个白球”B．“至少有1个红球”和“至少有1个白球”C．“至多有1个红球”和“至多有1个白球”D．“至少有1个红球”和“至多有1个白球”解：袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球．从中不放回地摸出3个小球，在A中，“恰有1个红球”和“恰有2个白球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有1个红球”和“至少有1个白球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C中，至多有1个红球”和“至多有1个白球”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；在D中，“至少有1个红球”和“至多有1个白球”能同时发生，不是互斥事件，故D 错误．故选：C．11．已知f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在区间[]上单调递增，则ω的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]∪[7，]C．[7，]∪[]D．（0，]∪[]解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z，得2kπ﹣≤ωx≤2kπ+，k∈Z，即≤x≤，即函数的单调递增区间为[，]，k∈Z，∵f（x）在区间[]上单调递增，∴，即，即12k﹣5≤ω≤8k+，∵ω＞0，∴当k＝0时﹣5≤ω≤，此时0＜ω≤，当k＝1时，7≤ω≤，当k＝2时，19≤ω≤16+，此时不成立，综上ω的范围是0＜ω≤或7≤ω≤，即（0，]∪[7，]，故选：B．12．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝+λ（+），λ∈[0，+∞），则点P的轨迹经过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心解：∵，∴＝λ（+）．又∵•（+）＝﹣||+||＝0∴与λ（+）垂直，即⊥，∴点P在BC的高线上，即P的轨迹过△ABC的垂心故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天．完工后，新华社记者要对部分参与人员采访．决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为12．解：由300+160+240＝700，按分层抽样法从中抽取35人，则从工人中抽取的人数为35×＝12（人）．故答案为：12．14．已知向量，满足||＝2，||＝，且⊥（+2），则向量在方向上的投影为﹣1．解：设向量、的夹角为θ，由||＝2，||＝，且⊥（+2），所以•（+2）＝+2•＝4+2×2××cosθ＝0，解得cosθ＝﹣，所以在方向上的投影为：||cosθ＝×（﹣）＝﹣1．故答案为：﹣1．15．新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测．某个检测点派出了两名医生，四名护士．把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为．解：新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测．某个检测点派出了两名医生，四名护士．把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，基本事件总数n＝＝12，医生甲与护士乙分在一组包含的基本事件个数m＝＝6，则医生甲与护士乙分在一组的概率为p＝＝＝．16．已知函数，给出下列四个结论：①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②直线是函数f（x）的一条对称轴；③点是函数f（x）的一个对称中心；④函数f（x）的单调递减区间为其中正确的结论是①②③（填序号）．解：函数＝＝．所以：对于①：函数的最小正周期为T＝，故正确．对于②：当x＝﹣时，f（﹣）＝，故正确．对于③：当x＝时，f（﹣）＝，故正确．对于④：令（k∈Z），解得（k∈Z）．所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．故选：①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知角α∈（0，π）且3cos2α﹣8cosα＝5．求下列各式的值．（1）求sin（+α）的值；（2）先化简，再求值．解：（1）∵3cos2α﹣8cosα＝3（2cos2α﹣1）﹣8cosα＝5，∴3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cos或cosα＝2（舍）．∵α∈（0，π），∴sinα＝．则sin（+α）＝＝；（2）∵，由（1）知，∴．18．如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是线段OB的靠近点B的三等分点，DC 和OA交于点E，设．（1）用和表示向量．（2）若，求实数λ的值．解：（1）∵，，∴，∵，∴．（2）设，∴，＝＝∵，∴又，且不共线．所以由平面向量基本定理知：，∴19．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩（成绩均为整数）分成[40，50），[50，60），…，[90，100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差．（每组数据以区间的中点值为代表）．解：（1）∵各组的频率和等于1，∴第四组的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10＝1﹣0.7＝0.3．补全的频率分布直方图如图所示．（2）前三组的频率之和为：（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4＜0.5前四组的频率之和为：0.4+0.03×10＝0.7＞0.5设中位数为x，则应有x∈（70，80）又∵0.4+（x﹣70）×0.03＝0.5，∴即样本的中位数为抽取学生的平均数约为：，样本的方差为：s2＝（45﹣71）2×0.010+（55﹣71）2×0.015+（65﹣71）2×0.015+（75﹣71）2×0.030+（85﹣71）2×0.025+（95﹣71）2×0.005＝194．20．已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）﹣4sin2ωx+2（ω＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求当m取得最小值时，g（x）在[﹣，]上的单调增区间．解：（1）函数f（x）＝sin（2wx﹣）﹣4sin2wx+2（w＞0）＝sin2wx﹣cos2wx﹣4•+2＝sin2wx+cos2wx＝sin（2wx+），根据图象与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小正周期为2×＝，求得w＝1，故函数f（x）＝sin（2x+）．（2）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）＝sin[2（x+m）+]＝sin（2x+2m+）的图象，再根据g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），可得sin（2m﹣）＝0，故m＝，g（x）＝sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，故函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈z．再结合x∈[﹣，]，可得增区间为[﹣，﹣]、[，]．21．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）5051545758 PM2.5的浓度y（微克/立方米）3940424445（1）根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；（2）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度是多少？（参考公式：，）解：（1），，∴样本中心坐标为（54，42）；（2）∵，，∴＝，，∴线性回归方程为；（3）取x＝100，得（微克/立方米）．故此时PM2.5的浓度是75.12微克/立方米．22．在如图所示的平面直角坐标系中，已知A（1，0）和点B（﹣1，0），＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（1）若，设点D为线段OA上的动点，求||的最小值；（2）若，向量，，求的最小值及其对应的x值．解：（1）设D（t，0）（0≤t≤1），由题易知C（﹣，），所以+＝（﹣+t，）所以|+|2＝﹣t+t2+＝t2﹣t+1＝（t﹣）2+（0≤t≤1），所以当t＝时，|+|最小，为．（2）由题意，得C（cos x，sin x），m＝＝（cos x+1，sin x），则m•n＝1﹣cos2x+sin2x﹣2sin x cos x＝1﹣cos 2x﹣sin 2x＝1﹣sin（2x+），因为x∈[0，]，所以≤2x+≤，所以当2x+＝，即x＝时，sin（2x+）取得最大值1，所以m•n的最小值为1﹣，此时x＝．。