函数的奇偶性与单调性
高一数学必修一第三讲《函数的单调性与奇偶性》
注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
家长签字：
第五讲 函数单调性与奇偶性的复习 一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域 是什么？ （2）它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
家长签字：
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一、偶函数
暑期预科:函数
第四讲 奇偶性
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？ 例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
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暑期预科:函数
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
例
6、已知函数
y
2（ x 1
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
《函数的单调性与奇偶性》教学设计
一、教学内容
本节课的教学内容是函数的单调性与奇偶性。
二、教学目标
1.了解函数的单调性与奇偶性两个概念；
2.会判断函数的单调性与奇偶性；
3.熟练掌握解决实际问题时如何利用函数的单调性与奇偶性的知识；
三、学习重点
1.了解概念：单调性与奇偶性；
2.学会判断函数的单调性与奇偶性；
3.学会利用函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
四、学习难点
1.学会判断函数是否单调，是否为奇偶函数；
2.学会利用函数的单调性与奇偶性解决实际问题。
五、教学方法
1.根据学生的学习习惯，采用以讲授课为主的教学方法，结合实例演示；
2.针对学生的实际能力，采用视频讲授、讨论和实例分析来讲解；
3.通过练习，让学生加深对函数的单调性与奇偶性的理解。
六、教学过程
一、导入
1.情境描述：以赛博士排比赛为例，展开课程教学：从一个单调函数的概念开始，讲解单调函数的定义和例子；再讲解奇偶函数的概念及其定义和例子。
2.引入问题：以赛博士排比赛为例，借助函数的单调性与奇偶性，能不能有效的解决实际问题？
二、讲授
1.讲解函数的单调性，包括定义、例子、注意事项等；。
函数单调性与奇偶性典型例题讲解
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；
高中数学 函数的奇偶性与单调性复习
高中数学：函数的奇偶性与单调性复习一、函数奇偶性的复习函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它反映了函数在输入与输出之间的内在关系。
根据奇偶性的定义，我们可以将函数分为奇函数和偶函数。
奇函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)的函数；偶函数是指对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)的函数。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握奇偶性的定义，理解奇函数和偶函数的特性。
2、掌握奇偶性的判断方法，能够根据函数的图像和性质判断其奇偶性。
3、了解奇偶性在函数性质中的应用，如对称性、单调性等。
二、函数单调性的复习函数的单调性是函数变化的另一种重要性质，它描述了函数在输入增加或减少时输出的变化情况。
如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上单调递增；如果对于定义域内的任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上单调递减。
在复习过程中，我们需要掌握以下几点：1、掌握单调性的定义，理解单调递增和单调递减的含义。
2、掌握判断函数单调性的方法，能够根据函数的图像和性质判断其单调性。
3、了解单调性在函数性质中的应用，如最值、不等式等。
4、能够利用导数工具判断函数的单调性，并了解导数与单调性的关系。
三、总结函数的奇偶性和单调性是高中数学中重要的概念和性质，它们在函数的性质和应用中扮演着重要的角色。
通过复习，我们要能够深入理解奇偶性和单调性的定义和性质，掌握判断方法，并了解它们在解决实际问题中的应用。
我们还要能够利用导数工具判断函数的单调性，为后续的学习打下基础。
高中数学《函数的单调性》公开课一、教学背景分析函数的单调性是高中数学中非常重要的一部分，它不仅对于理解函数的概念有着关键性的作用，而且也是解决实际问题中常常需要用到的工具。
因此，通过对函数的单调性的学习，学生可以更好地理解函数的概念和性质，提高解决实际问题的能力。
函数的单调性和奇偶性经典例题
经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1．证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0则∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1<x2，则∵0<x1<x2≤1 ∴x1-x2<0，0<x1x2<1 ∵0<x1x2<1故，即f(x1)-f(x2)>0∴x1<x2时有f(x1)>f(x2) 上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .举一反三：【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.举一反三：【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a-1)<f(a) ∴f(|a-1|)<f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 的范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0<x1<x2，∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1·x2>0(1)当时0<x1·x2<1，∴x1·x2-1<0∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x<a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.。
高三数学复习课件-函数的奇偶性和单调性综合复习
(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
例2：函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足： f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3
[4，+∞）
注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域
练习 1、函数f(x)在（0，+∞）上是减函数求f(a2-a+1)与 f( 3 )的大小关系
3 f(a2-a+1) ≤f( ) 4 2－mx＋5 在区间 [－2，+∞) 上是增 2、函数 f(x)＝4x 函数，求f(1) 的取值范围。 f(1) ≥25 3、设f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数， 解不等式f(x-1)<f(x2-1). （1， 2 ]
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函 数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减 函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
y
例1 、 画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像， 并指出函数的单调区间.
解：函数图像如下图所示，
当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-(x-1)2+4； 当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-(x+1)2+4.
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区间必须是其定义域的 子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单调性是由函数y=f(u)及 u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”
16函数的单调性和奇偶性
第十二课时 函数的单调性和奇偶性 【学习导航】学习要求：1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。
2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。
3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。
【精典范例】一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,y ∈R 均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －32. (1)判断并证明f(x)在R 上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。
思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。
二、复合函数单调性例2、求函数y=322--x x 的单调区间，并对其中一种情况证明。
思维分析：要求出y=322--x x 的单调区间，首先求出定义域，然后利用复合函数的判定方法判断.三、利用奇偶性，讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定四、利用奇偶性，单调性解不等式例4、设f(x)是定义在[－2，2]上的偶函数，当x ≥0时，f(x)单调递减，若f(1－m)<f(m)成立，求m 的取值范围。
追踪训练1、函数f(x)=x x +-12的值域是( )A.[21，+∞) B.(－∞，21] C.(0,+∞) D.[1,+ ∞)2、下列函数中，在区间(－∞，0)上为增函数的是( )A.y=1+x 1B.y=－(x+1)2C.y=xD.y=x 33、设f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f(2a 2+a+1)<f(3a 2－2a+1)，求a 的取值范围。
4、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x ∈R 且x ≠±1}，若f(x)+g(x)=11-x ，则f(x)=________,g(x)=__________. 5、函数f(x)=21xb ax ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(21)=52. (1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3)解不等式f(t －1)+f(t)<0；。
函数的单调性、奇偶性、周期性
函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。
2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。
注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。
（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。
（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
函数的奇偶性单调性
2.3函数的奇偶性和单调性【考纲要求】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义去判断一些简单函数的奇偶性2.理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义，会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性。
【难点疑点】1. 如何判断奇偶性？要能利用定义去判断一些简单函数的奇偶性。
并且能运用定义的等价形式。
简便地判断函数的奇偶性，还可以利用函数图像的对称性判断函数的奇偶性2. 定义域对奇偶性有影响吗？函数y=f(x)为奇函数或偶函数的必要、但不充分条件是：它的定义域关于原点对称。
不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数。
如：3. 如何判断函数？若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，则在其公共定义域内H(x)为偶函数；若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在其公共定义域内H(x)为奇函数。
4. 判断函数单调性有哪些常用的方法？（1）定义法（2）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数，（3）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性（4）互为反函数的两个函数有相同的单调性（5）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一个子区间上也是增（减）函数（6）如果y=F(x)和u=g(x)单调性相同，那么y=f[g(x)是增函数，如果y=f(x)与u=g(x)的单调性相反，则y=f[g(x)是减函数5. 奇函数、偶函数在其对称区间上的单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间的单调性相反，并能结合函数图像验证这一性质。
6. 单调区间表示误区：函数在区间（a,b）,(c,d)上单调不能说该函数在。
如：函数【课前预习】(奇偶函数)【例题解析】题型一函数奇偶性的判断1. 判断下列五个函数的奇偶性题型二函数奇偶性的运用题型三函数单调性的判断题型四函数增减证明5.6.题型五函数奇偶性、单调性的混合运算【随堂练习】。
函数的单调性与奇偶性
函数的单调性【知识梳理】1、单调性的定义：对于给定区间上的函数()y f x =：如果对于属于这个区间的自变量的____________两个值12,x x ，当12x x <时，都有____________，那么就说，函数()y f x =在这个区间上市增函数。
如果对于属于这个区间的自变量的____________两个值12,x x ，当12x x <时，都有____________，那么就说，函数()y f x =在这个区间上市减函数。
2、符合函数的单调性遵循____________的规律，同时特别注意：讨论函数单调性必须在其____________内进行，因此，要研究函数的单调性，必须先求函数的定义域。
3、若()f x 在区间D 上是增函数，则____________12,x x D ∈，当12x x <时，()()210f x f x ->____________；若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，()()210f x f x -<____________，则若()f x 在区间D 上是减函数。
4、若()f x 在区间D 上不是增函数，则____________12,x x D ∈，是的当12x x <时，____________；若存在12,x x D ∈，当12,x x D ∈时，()()210f x f x -≥，则()f x 在区间D 上____________减函数。
5、在研究形如a y x x=+的函数的单调性时，需分两种情况讨论：（1）当0a ≤时，在____________及____________上市增函数；（2）当0a >时，在____________上是减函数；由对称性，当0x <时，在(),a -∞-上是____________，在(),0a -上是____________。
6、函数1y x=的单调区间是____________。
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函数的奇偶性与单调性
湖南岳阳县七中 胡旭光供稿
一.知识总结
1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）
(1)为奇函数;为偶函数;
(2)奇函数在原点有定义
(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一
个偶函数之和
即 （奇）（偶）.
2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)
(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为
上增函数,若时有,称为上减函数.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区
间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性
的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.
3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.
求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满
足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.
二.例题精讲
【例1】已知定义域为的函数是奇函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的
取值范围.
解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，
即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即 ：，
整理得
上式对一切均成立，
从而判别式
【例2】设函数在处取得极值－2,试用
表示和,并求的单调区间.
解：依题意有而
故 解得
从而。
令，得或。
由于在处取得极值，
故，即。
（1） 若，即，则当时，；
（2） 当时，；当时，；
从而的单调增区间为；
单调减区间为
若，即，同上可得，
的单调增区间为；单调减区间为
【例3】(理)设函数,若对所有的,都有
成立,求实数的取值范围.
(文)讨论函数的单调性
（理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′
(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上
是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所
有x≥0，都有 f(x)≥ax．
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，
ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1
时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，
1]．
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为
g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e
a
－1
－1，
当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)
＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，
即a的取值范围是（－∞，1]．
（文）解：设，
则
∵
∴ ，，，
当时，，则为增函数
当时，，则为减函数
当时，为常量，无单调性
【例4】(理)已知函数,其中为常数.
(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;
(Ⅱ)若,且=4,试证:.
(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，
求的表达式.
（理）
（文）解：∵为奇函数， ∴
当 时，
∵为奇函数 ∴
∴
∴
三.巩固练习
1.已知是上的减函数,那么的取
值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设
则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
4.若不等式对于一切(0,)成立,则的取值范围是
( )
A.0 B. –2 C.- D.-3
5.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A.是奇函数 B.是奇函数
C.是偶函数 D.是偶函数
6.已知定义在上的奇函数满足,则的值
为( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
7.已知函数的图象与函数（且）的图象关
于直线对称,记.若在区间上
是增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.(理)如果函数在区间上是
增函数,那么实数的取值范围是( )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )
A. B. C.
D.
10.已知,则( )
A. B. C. D.
11.已知函数,若为奇函数,则 .
12.已知函数是定义在上的偶函数. 当
时,,则当时, .
13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程
=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是
( )
A.5 B.4 C.3 D.2
14.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
15.若函数, 则该函数在上是( )
A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
16.若函数在区间内单调递增,
则的取值范围是( )
A. B. C. D.
17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线
对称,则______.
18.设函数在上满足,,
且在闭区间［0，7］上,只有.
(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;
(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并
证明你的结论.
19. (理)已知,函数
(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在
[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.
(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图
象关于直线对称,当时,,为实常数,
且.
(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为
12,求.
20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点
处的切线方程为.
(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.
21.已知向量若函数在区间（－
1,1）上是增函数,求的取值范围.
22. (理)已知函数,,.若,且
存在单调递减区间,求的取值范围.
(文)已知函数在区
间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.
巩固练习参考答案
1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. D 8.
B 9. C 10. A 11. a= 12. -x-x4 13. B 14. D 15.
A 16. B 17. 0
18 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为
,
从而知函数不是奇函数,
由
,
从而知函数的周期为又,
故函数是非奇非偶函数;
(II)由
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数
在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,
所以函数在[-2005,2005]上有802个解.
19. (理) 解：（I）对函数求导数得
令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0
解得
当 变化时，、的变化如下表
+
0
－
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
当≥0时，<－1,在上为减函数，在上为增函
数,
而当时=，
当x=0时，.