历年自主招生试题分类汇编—复数

历年自主招生试题分类汇编——不等式 5. （2014年北约）已知1xy且,xy都是负数,求1xyxy的最值. 【解】由0,0xy可知,1||1||||1xyxyxy, 所以2(||||)1||||||44xyxyxy,即1(0,]4xy,

令1(0,]4txy,则易知函数1ytt在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,

于是1xyxy有最小值117444,无最大值. 解答二：1()()2xyxy得104xy，而函数1()fttt在(0,1)上单调递减，在(1,)单调递增，故1()()4fxyf，即1174xyxy，当且仅当12xy时取等号． 10. （2014年北约）已知12,,,nxxxR,且121nxxx,求

证:12(2)(2)(2)(21)nnxxx. 【证】(一法:数学归纳法)①当1n时,左边122121x右边,不等式成立; ②假设*(1,)nkkkN时,不等式12(2)(2)(2)(21)kkxxx成立. 那么当1nk时,则1211kkxxxx,由于这1k个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01kkxx, 从而111(1)(1)01kkkkkkxxxxxx,所以

121(2)(2)(2)(2)kkxxxx

1211(2)(2)[22()]kkkkxxxxxx 1121(2)(2)(2)(21)(21)(21)(21)kkkkxxxx

其中推导上式时利用了1211()1kkkxxxxx及nk时的假设,故1nk时不等式也成立. 综上①②知,不等式对任意正整数n都成立.

(二法)左边展开得12(2)(2)(2)nxxx 12121212111(2)(2)(2)()(2)()kk

nnnnnkiijiiiniijniiinxxxxxxxxx





由平均值不等式得 1112121212111211()(())kkknnnkkkkCCCkkkiiiniiinnniiiniiinxxxCxxxCxxxC





故12(2)(2)(2)nxxx 11222)(2)(2)(2)(21)nnnnkknnnnnnCCCC

,即证.

(三法)由平均值不等式有 11122()22nnnkkkknxx





……①;111()22nnkknkkkkxxnxx……②

①+②得112112()(2)nnnnkkxxxnnx,即12(2)(2)(2)(21)nnxxx成立. (四法)由AMGM不等式得：11122()2(2)nniiniinxx，

1111()2(2)niniiniixnxx





，两式相加得：1211(2)nniix，故

1(2)(21)nniix．

1．（2011年北约文）02，求证：sintan． 【解析】 不妨设()sinfxxx，则(0)0f，且当0

2x时，()1cos0fxx．于是

()fx在02x上单调增．∴()(0)0fxf．即有sinxx． 同理可证()tan0gxxx． (0)0g，当02x时，21()10cosgxx．于是()gx在02x上单调增。

∴在02x上有()(0)0gxg。即tanxx。 注记：也可用三角函数线的方法求解． 7. （2014年华约）已知*,,nNxn求证:2(1)nxxnnexn. 【证明】原不等式等价于2((1))xnnxnxnen. 当2xn,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2xn时,由1(0)yeyy及贝努力不等式(1)1(1,1)nynyny,

从而22222((1))((1)(1))(1)(1)xnnnnxxxxxnennnnnxnnnnn,即证. 1. （2014年卓越联盟）32||210xx,求x范围. 【解】由32321515||210||2||10(||1)(||)(||)022xxxxxxx 所以由数轴标根法得1515||(,)(1,)22x,又因为||0x, 所以1515(,1)(1,)22x. 1、 （2013年卓越联盟）设函数sinfxxx．若1x、2ππ22x，，且12fxfx，则 A．12xx B．120xx C．12xx D．2212xx 答案:（文科）D．

历年自主招生试题分类汇编——初等数论 7．（2013年北约）最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数． 解析 设满足条件的正整数为n个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2． 则这n个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4n． 当4n时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个． 题6（2012年北约）在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？ 解： 将1，2，…，2012分成（1，2，3），（4，5，6，）…，（2008,2009,2010）,（2011,2012）这671组，如果所取数672n，则由抽屉原理必然有两个数属于同一组，不妨设为ab，则1ab或2。当1ab时，此时ab整除ab，不合要求。当2ab时，此时，a与b同奇偶，所以ab为偶数，从而ab也能整除ab，也不合要求。 ∴671n，考察1,4,7，…，2011这671个数中的任两数ab，则32,abkkN，而3,abllN， ∴ab不整除ab，从而可知，最多能取671个数，满足要求。

评析： 本题考查整除问题，而解答主要用到竞赛数学中的抽屉原则和剩余类，整除等简单的数论知识，体现出自主招生试题要求考生有一定的竞赛数学知识，并掌握数学竞赛的一些常用方法和技巧。

6. （2013年华约）已知,,xyz是互不相等的正整数,|(1)(1)(1)xyzxyxzyz,求,,xyz. 【解】本题等价于求使(1)(1)(1)1()xyxzyzxyyzzxxyzxyzxyzxyz为整数的正整数,,xyz,由于,,xyz是互不相等的正整数,因此|1xyzxyyzzx,不失一般性不妨设xyz,则13xyzxyyzzxyx,于是3z,结合z为正整数,故1,2z, 当1z时,|1xyxyyx,即|1xyyx,于是12xyxyyxx,所以2y, 但另一方面yz,且为正整数,所以2y矛盾,不合题意. 所以2z,此时2|221xyxyyx,于是2221xyxyyx,即221xyyx, 也所以224xyyxx,所以4y,又因为2yz,所以3y; 于是6|55xx,所以655xx,即5x,又因为3xy,所以4,5x, 经检验5x符合题意,于是符合题意的正整数,,xyz有 (,,)xyz=(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)

注:该题与2011年福建省高一数学竞赛试题雷同.

历年自主招生试题分类汇编——导数 7. （2014年华约）已知*,,nNxn求证:2(1)nxxnnexn. 【证明】原不等式等价于2((1))xnnxnxnen. 当2xn,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2xn时,由1(0)yeyy及贝努力不等式(1)1(1,1)nynyny,

从而22222((1))((1)(1))(1)(1)xnnnnxxxxxnennnnnxnnnnn,即证. 7. （2013年华约）已知()(1)1xfxxe 求证:(1)当0x,()0fx; (2)数列{}nx满足111,1nnxxnxeex,求证:数列{}nx单调递减且12nnx.

【解】(1)当0x时,()0xfxxe,所以()fx在(0,)上递减,所以()(0)0fxf.

(2)由11nnxxnxee得11nnxxneex,结合11x,及对任意0,1xxex,利用数学归纳法易得0nx对任意正整数n成立,由(1)知()0nfx,即1nnxxnexe, 即1nnxxnnxexe,因为0nx,所以1nnxxee,即1nnxx,所以数列{}nx递减,

下面证明12nnx,用数学归纳法证,设1()xegxx,则221()()xxxeefxgxxx, 由(1)知当0x时,()0fx,即()0gx,故()gx在(0,)递增,由归纳假设12nnx 得1()()2nngxg,要证明1112nnx只需证明1112nnxee,即112()nngxe, 故只需证明1121()2nnge,考虑函数2()()xhxxgxxe,因为当0x时212xxe, 所以222()(1)[(1)]022xxxxxxhxeeee,故()hx在(0,)上递增,又102n, 所以1()02nh,即1121()2nnge,由归纳法知,12nnx对任意正整数n成立. 注:此题的函数模型与2012年清华大学保送生考试试题的函数模型相似. (14) （2012年华约）记函数2()1,1,22!!nnxxfxxnn证明：当n是偶数时，方程()0nfx没有实根；当n是奇数时，方程()0nfx有唯一的实根n，且2nn＞。 证明一： 用数学归纳法证明0)(12xfn有唯一解12nx且严格单调递增，0)(2xfn无实数解，